Die vorliegende Arbeit wird zunächst die Grundlagen der Entscheidungstheorie skizzieren, zwei bekannte Verfahren - das Minimax-Prinzip und das Bayes-Prinzip - vorstellen und anhand eines praktischen Beispiels aus der Vorlesung die Vorgehensweise veranschaulichen. Der Fokus liegt allerdings auf einem der Likelihood-Funktion zugrunde liegenden Entscheidungsverfahren: Im Hauptteil werden zunächst die der Likelihood zu Grunde liegende Idee und die Annahmen sowie Eigenschaften der Likelihood-Funktion erläutert und danach Entscheidungsverfahren und ihre Umsetzung eingeführt, die auf ihr basieren.
Inhaltsverzeichnis
1 Entscheidungstheorie
2 Likelihood-basierte Entscheidungstheorie
2.1 Entscheidungstheorie: Ein Überblick
2.1.1 Investitionsbeispiel
2.1.2 Minimax-Prinzip
2.1.3 Bayes-Entscheidung
2.1.4 Risikofunktion
2.2 Das Likelihood-Konzept
2.2.1 Likelihood-Prinzip
2.2.2 Maximum Likelihood
2.2.3 Annahmen und Eigenschaften
2.3 Likelihood-basierte Entscheidungskriterien
2.3.1 MPL-Kriterium
2.4 Andere Verfahren
2.4.1 LRM (Likelihood-based Region Minimax)
2.4.2 MLD (Maximum Likelihood Decision)
2.4.3 Decision Theory with likelihood uncertainty
2.5 Relative Plausibility
2.6 Relative Plausibility und MPL
3 Anhang
3.1 Beispiel
3.2 Berechnungen für Bayes-Entscheidung ohne Daten
3.3 Berechnungen für Bayes-Entscheidung bei Daten
3.4 Berechnungen fürs MPL-Kriterium
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit befasst sich mit der normativen Entscheidungstheorie unter Unsicherheit, wobei das primäre Ziel darin besteht, Entscheidungskriterien vorzustellen und zu analysieren, die auf der Likelihood-Funktion basieren, anstatt klassische Wahrscheinlichkeiten vorauszusetzen.
- Grundlagen der Entscheidungstheorie (Minimax- und Bayes-Prinzip)
- Einführung und Analyse des Likelihood-Konzepts
- Das MPL-Kriterium (Minimax plausibility-weighted loss) als zentraler Ansatz
- Vergleich alternativer likelihood-basierter Entscheidungsverfahren
- Anwendung der Konzepte auf ein praktisches Investitionsbeispiel
Auszug aus dem Buch
2.2.1 Likelihood-Prinzip
Das Likelihood-Konzept hat eine wesentliche Bedeutung in der Statistik und ist seit Fisher’s Maximum Likelihood [Fisher, 1922] eins der meistbenutzten Verfahren, um bei gegebenen beobachteten Daten Informationen über die Parameter eines vorgegebenen Modells zu finden.
Definition 1. Likelihood-Funktion: Sei f(x|θ) Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion der Realisation x = (x1,...,xn), mit i = 1,...,n, der Zufallsvariable X. Die Funktion von dem Parametervektor θ lik(θ|x) = f(x|θ) heißt Likelihood-Funktion mit θ ∈ Θ, wobei Θ der Parameterraum ist.
Die Likelihood-Funktion kann als die Plausibilitätsfunktion für die beobachteten Daten in Form einer Funktion von θ aufgefasst werden. Ist X ein zufälliger diskreter Vektor, so ist lik(θ|x) = Pθ(X = x). Vergleicht man mehrere Parameter und ist zum Beispiel Pθ1 (X = x) = lik(θ1|x) > Pθ2 (X = x) = lik(θ2|x), so ist es bei den gegebenen Daten X=x plausibler, dass der wahre Parameter θ0 = θ1 ist statt θ0 = θ2.
Definition 2. Starkes Likelihood-Prinzip: Gibt es zwei Stichproben x und y, für die gilt, dass die jeweiligen Likelihood-Funktionen lik(θ|x) und lik(θ|y) proportional zueinander sind, will sagen, es gibt einen konstanten Wert C(x, y), der von θ unabhängig ist, sodass lik(θ|x) = C(x, y) · lik(θ|y) für alle θ dann sollen die Schlüsse, die aus x und y gezogen werden, gleich sein. Ist C(x, y) = 1, so liefern beide Stichproben die gleichen Informationen hinsichtlich θ; ist C(x, y) = 1, und man spricht von einem äquivalenten Informationsgehalt hinsichtlich θ. Stammen x und y aus der gleichen Stichprobe, so liegt das schwache Likelihood-Prinzip vor.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Entscheidungstheorie: Diese Einführung definiert die deskriptive und normative Entscheidungstheorie und ordnet die Arbeit dem Teilbereich der Entscheidungsfindung unter Unsicherheit zu.
2 Likelihood-basierte Entscheidungstheorie: Dieses Kapitel erläutert das Likelihood-Konzept, führt das MPL-Kriterium als zentrales Verfahren ein und diskutiert weitere Ansätze wie das LRM- oder MLD-Kriterium sowie den Ansatz von Giang und Shenoy.
3 Anhang: Der Anhang enthält detaillierte Berechnungen für die verschiedenen vorgestellten Entscheidungsmodelle sowie die Tabellen zum Investitionsbeispiel.
Schlüsselwörter
Entscheidungstheorie, Unsicherheit, Likelihood-Funktion, MPL-Kriterium, Minimax-Prinzip, Bayes-Entscheidung, Relative Plausibilität, Statistische Inferenz, Investitionsentscheidung, Maximum Likelihood, Parameterraum, Entscheidungsfunktion, Verlustfunktion, Risikofunktion, Statistik
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser wissenschaftlichen Arbeit grundlegend?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der normativen Entscheidungstheorie, speziell mit Entscheidungen unter Unsicherheit, bei denen keine Wahrscheinlichkeiten für das Eintreffen von Zuständen vorliegen.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Die zentralen Themen sind das Likelihood-Konzept, verschiedene likelihood-basierte Entscheidungskriterien (wie das MPL-Kriterium) sowie der Vergleich dieser Verfahren mit klassischen Ansätzen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Ziel ist es, zu zeigen, wie Entscheidungen auf Basis der Likelihood-Funktion getroffen werden können, um die Unsicherheit über unbekannte Zustände zu adressieren.
Welche wissenschaftliche Methode wird primär verwendet?
Es wird eine theoretische Analyse der Likelihood-basierten Entscheidungsverfahren durchgeführt und deren Anwendung anhand eines mathematischen Investitionsbeispiels demonstriert.
Was wird im Hauptteil der Arbeit detailliert behandelt?
Im Hauptteil werden die theoretischen Grundlagen der Likelihood-Funktion, ihre Eigenschaften und verschiedene Kriterien zu ihrer Anwendung in Entscheidungsprozessen analysiert.
Welche Begriffe charakterisieren die Arbeit am besten?
Die Arbeit wird durch Begriffe wie Likelihood-basierte Entscheidung, MPL-Kriterium, Unsicherheit, normative Entscheidungstheorie und statistische Inferenz charakterisiert.
Was unterscheidet das MPL-Kriterium von klassischen Ansätzen?
Im Gegensatz zu Ansätzen, die auf A-Priori-Wahrscheinlichkeiten basieren (wie beim Bayes-Prinzip), verwendet das MPL-Kriterium die Likelihood-Funktion zur Gewichtung der Verluste.
Warum ist die Invarianzeigenschaft für die vorgestellten Verfahren wichtig?
Die Invarianzeigenschaft stellt sicher, dass Entscheidungen unabhängig von einer Reparametrisierung des Modells sind, was die praktische Anwendbarkeit der Verfahren deutlich erhöht.
- Arbeit zitieren
- Claudio Salvati (Autor:in), 2017, Likelihood-basierte Entscheidungstheorie unter Unsicherheit. Das Minimax-Prinzip und das Bayes-Prinzip, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/365975
