Validierung einer potentialtheoretischen Berechnung mit einem 2D-CFD-Verfahren

Beitrag zur Ermittlung der Strömungswirklichkeit von Surfboardfinnen


Wissenschaftlicher Aufsatz, 2017
27 Seiten
Dipl.-Ing. Michael Dienst (Autor)

ebook
Kostenlos herunterladen! (PDF)

Leseprobe

INTRO

Bei der Erforschung der Fluidmechanik von Surfboardfinnen kommen neben messtech­nischen zunehmend numerische Verfahren der Strömungsanalyse zum Einsatz. Abhängig von der Güte der gewählten Computermethoden bieten unterschiedliche Simulations- und Modellierungsverfahren den mit der Berechnungspraxis Betrauten auch von einander verschiedene Strömungswirklichkeiten an. Berechnungsergebnisse, die gelegentlich von der experimentell beschreibbaren Strömungsrealität abweichen. Es ist in diesem Zusammenhang Aufgabe der Wissenschaft, die Tauglichkeit der unterschiedlichen Konzepte, Methoden und Verfahren der Modellierung, Berechnung und Simulation zu ermitteln und auszuloten, ihre Stärken und Schwächen nach Fragestellungen und Einsatzgebieten zu ordnen.

Stand der Technik und der Wissenschaft ist die Finite Volumen Methode. Sie stellt den numerischen Kern performanter kommerzieller Simulationsprogramme. Die verwendeten physikalischen Modelle, die Simulationsvor- und Nachbereitung in den Systemumgebungen, die Datenaufbereitung und deren graphische Darstellung besitzt heute ein hochprofessionelles Niveau. In Verbindung mit einer sich stetig fortentwickelnden Hardware sind die mit diesem CFD-Verfahren herstellbaren Berechnungswirklichkeiten von anerkannt hoher Güte und Aussagekraft. CFD-Verfahren besitzen die fluidmechanische Deutungshoheit im wissenschaftlichen Diskurs und liefern sowohl Grundaussagen zu klassischen Strömungs­phänomenen etwa in der Lehre, als auch Detailinformationen in der Entwurfs- und Konstruktionsphase der industriellen Produktentwicklungen von Strömungsbauteilen, Fahrzeugen und Innenströmungen bis hin zur Analyse in der Bioströmungsmechanik und der und fluidmechanischen Diagnose in der Medizin.

Gleichzeitig existieren potentialtheoretische Berechnungsverfahren, deren Grundkonzepte schon vor nahezu hundert Jahren festlagen und die heute in ihrer Einfachheit wie aus der Zeit gefallen wirken. Zu Unrecht, finde ich, sind diese schnellen, gelegentlich als „dirty Code" bezeichneten Berechnungsverfahren ein wenig in Vergessenheit, wenn nicht sogar in Verruf geraten. Dabei gibt es durchaus Arbeitsgebiete, auf denen ihre Vorteile herausragen. Gerade in der frühen Phase von Forschungs- und Entwicklungsprojekten, in der Funktionsanalyse und in der Konzeptphase setzen wir „unseren Potentiallöser", eingebettet in eine auf die speziellen Belange der Analyse der Surfboardfinnen abgestimmte Programmumgebung ein: LABFin. Da außerdem die Absicht besteht, zukünftig auch strömungsdynamische Phänomene in virtuellen Umgebungen darzustellen, lasten gewisse Erwartungen auf der Ausentwicklung schneller bis sehr schneller Berechnungsmethoden und Verfahren. Der Aufsatz erörtert kurz die wesentlichen Unterschiede zwischen CFD-Methoden und potentialtheoretischen Verfahren und stellt anschließend die jeweiligen Berechnungsergebnisse für ein einfaches ebenes Strömungsphänomen zusammen.

STRÖMUNGSSIMULATION

In den Naturwissenschaften und in der Technik sind es fluidmechanische Fragestellungen, die sowohl einen hohen strukturellen Aufwand wie Windkanäle, Strömungsmessstrecken und ausgefeilte numerische Methoden (Strömungssimulation, Computational Fluid Dynamics, CFD), als auch eine sehr hohe theoretische Sachverständigkeit aller Beteiligten fordern. Für die Erforschung der Strömungswirklichkeit von Surfboardfinnen kommen analytische Methoden und Simulationsprogramme zum Einsatz. Gegenstand dieser Untersuchungen sind sehr einfache Profilkonturen synthetischer Surfboardfinnen. In der Hochschulforschung und in der Industrie ist heute in erster Linie kommerzielle Simulationssoftware im Einsatz. Als erste kommerzielle CFD-Programmsysteme zur numerischen Strömungssimulation waren in den 80er Jahren des vergangenen Jahrhunderts PHOENICS (1981), Fluent (1983) und Flow- 3D (1985) verfügbar. Der Begriff CFD umfasst das Aufstellen und Lösen gekoppelter Differentialgleichungen und Randbedingungen mittels algebraischer Gleichungssysteme, die Numerik und Näherungsverfahren, die statt exakter Lösungen von Differentialgleichungen Approximationen liefern, auch die vorbereitenden Arbeiten am Rechner und die Aufbereitung und Auswertung der Ergebnisse. Die Wahl des Strömungsmodells und die Deklaration der Randbedingungen des strömungsmechanischen Problems sind die wichtigsten Festlegungen zu Beginn jeder Simulation. (Preprocessing) das Einlesen der Geometrie, die Erzeugung des Rechennetzes, die Definition der Fluideigenschaften oder die Festlegung der Anfangs- und Randbedingungen. Das eigentliche Lösen der partiellen Differentialgleichungen mit einem numerischen Verfahren ist der Kern jeder Simulation. Wichtige Kriterien zur Auswahl des passenden Näherungsverfahrens sind etwa die Genauigkeit, die Stabilität, die Flexibilität oder die notwendige Anzahl an Iterationen. Nach erfolgreichem Simulationslauf wird das berechnete Ergebnis in Textform oder graphisch ausgegeben. Zur besseren Darstellung der zahlreichen Daten werden die Feldgrößen in verschiedene Diagrammtypen aufbereitet wiedergegeben (Postprocessing) Abschließend ist zu überprüfen, ob und wie genau die Rechenergebnisse mit evtl. experimentellen Messungen, mit Werten aus der Literatur oder Lösungen anderen numerischen Methoden übereinstimmen.

Laborfinnen nach dem LABFin-Standard werden im Laufe der Untersuchung als materielle Technik- und Technologie -Demonstratoren und als Computermodelle vorliegen; sie sollen einer numerischen Evaluation zugänglich sein. Die Strömungssimulationsverfahren, die für die Analyse von Unterwasserbauteilen eingesetzt werden können, lassen sich grob in Kategorien einteilen. Erweiterte potentialtheoretische Verfahren zur Berechnung der Konturnahen Strömung und des näheren Fernfeldes mit so genannten Panel-Codes. Die 2D- Strömungswirklichkeit des klassischen Potentiallösers kann durch eine schichtweise Anwendung auf die Finnengeometrie mit Traglinienverfahren (Prandtl) zu einem quasi-3D- Berechnungsansatz aufgebaut werden immer dann, wenn auch Lösungsmodell für endliche Tragflügel existiert. Mittelschnittverfahren auf der Grundlage klassische Potentiallöser stellen bei sehr einfachen Finnengeometrien eine Option dar. Bei zylindrischen Finnen - diese kommen bekanntlich weder in der belebten Natur noch in der Praxis artifizieller

Strömungsbauteile vor - sind unter Berücksichtigung der Randbogenumströmung sogar die aus der Simulation von Strömungsmaschinen bekannten Mittelschnittverfahren zulässig. RANSE-Verfahren lösen eine zeitlich gemittelte Form der Navier-Stokes-Gleichung mit Finite Volumen Verfahren. Bei der Analyse der Finnen interessieren Auftriebs- und Widerstandskennwerte , Kenngrößen der konturnahen Grenzschicht, die Vorhersage der Strömungsablösung und die Berechnung der Strömungswirklichkeit im näheren Fernfeld der Finne. Potentiallöser, RANSE-Verfahren und hochperformanten Grenzschichtverfahren ist gemeinsam, dass sie auf Erhaltungsgleichungen basieren. Die meisten kommerziellen Computerprogramme zur Strömungssimulation verwenden so genannte Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen. Derartige CFD-Solver benötigen oft längere Rechenzeiten zur Simulation und Berechnung der Strömungswirklichkeit von Surfboardfinnen. Auf der anderen Seite der Skala stehen Potentialtheoretische Verfahren. Hier verkürzen sich die Berechnungszeiten um den Faktor 1000. Zunächst werden die wesentlichen Eigenschaften der potentialtheoretischen Verfahren angesprochen ohne jedoch auf Grundaussagen der klassischen Strömungsmechanik einzugehen. Hier sei auf die einschlägige Literatur1 verwiesen [Tham-08] [Lech-14] [Scha-13] [Oert-11].

Bei der Analyse mit der Potentialtheorie werden Gleichungen gelöst, deren verallge­meinernde Beschreibung der sogenannte Arbitrary Lagrangian-Eulerian-Formulierung folgt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Strömungen können auf unterschiedliche Weise beschrieben werden. Die EULER­Formulierung geht von einem raumfesten Koordinatensystem aus. Werden dagegen materielle Partikel des strömenden Mediums verfolgt, so spricht man von der sogenannten materialbezogenen oder LAGRANGE-Formulierung. Bei der Untersuchung der Fuid-Struktur Wechselwirkung beweglicher, strömungsadaptiver Bauteile in einem Fluid müssen stark verformte Bereiche oder bewegliche Grenzen in der jeweiligen Formulierung abgebildet werden. Für eine gemeinsame Beschreibung der Bewegungen eines Mediums darf eine übergeordnete, willkürliche (engl. arbitrary) Beschreibung aus raum- und materialbezogener Formulierung, die sogenannte Arbitrary Lagrangian-Eulerian-Formulierung (ALE) erfolgen.

Angewandt auf das Gebiet κ und mit dem NABLA-Operator2 kann für die Erhaltung von Masse, Impuls und Energie geschrieben werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Auf einer abstrakten Ebene liefert die (dimensionslose) Navier-Stokes-Gleichung Aussagen über Transportvorgänge in einerStrömungs-Wechselwirklichkeit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die vereinfachte Betrachtung der reibungsfreien Umströmung ist die EULER-Gleichung3:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Navier-Stokes-Gleichungen gelten für (fast) alle Strömungen. Um das gegebene Strömungsproblem lösen zu können, sind neben der Geometrie auch fluidmechanische Randbedingungen notwendig. Nur durch die Wahl physikalisch richtiger Randbedingungen stellt sich auch eine Strömung ein. Grundsätzlich fragen wir zuerst: Was strömt in das Strömungsgebiet ein, was strömt heraus. Welcher Art ist die Strömung an den Wandungen des Modells. Wir unterscheiden die Randbedingungen nach physikalischen Rand­bedingungen, pRB und numerischen Randbedingungen, nRB. Hierin sind: pRB, alle vorgegebenen Größen am (Berechnungs-) Rand und nRB, alle berechenbaren Größen am (Berechnungs-) Rand. Die Anzahl der zu lösenden Erhaltungsgleichungen muss der Summe aller physikalischen Randbedingungen Σ pRB und aller numerischen Σ nRB entsprechen. Im dreidimensionalen Fall sind das also S3D= Σ nRB + Σ pRB = 5. Die eine numerische Randbedingung (innen) am Einströmrand EIN wird vom Simulationsprogramm berechnet, die vier äußeren physikalischen Randbedingungen pRB müssen vorgegeben werden; z.B. den Totaldruck pt, die Totaltemperatur Tt die Zuströmrichtung in der xz-Ebene (bzw. das Verhältnis der Zuströmgeschwindigkeit w/u) und die Zuströmung in der xy-Ebene (bzw. das

Verhältnis der Zuströmgeschwindigkeit v/u) die wir in unserem virtuellen Finnen­Strömungskanal als den Anströmwinkel α benennen werden. In anderen Anwendungen sind Randbedingungen, wie beispielsweise der Massenstrom m anzugeben. Am Abströmrand AUS wird lediglich eine physikalische Randbedingung gefordert, in der Regel ein statischer Druck p=konst. oder eine statische Druckverteilung p=f(y,z); die vier numerischen Randbedingungen werden vom Simulationsprogramm berechnet. Am Festkörperrand des Strömungsraumes müssen vier physikalische Ranbedingungen angegeben werden - drei Geschwindigkeitskomponenten und die Wandtemperatur, bzw. deren Gradient falls dieser bekannt ist - und eine Randbedingung nRB wird vom Programm berechnet. Bei reibungs­behafteten Strömungen gilt (die so genannte Haftbedingung) dass die Geschwindigkeits­komponenten an der Wand verschwinden: u=v=w=0.

Turbulenzmodelle. Die oben angesprochenen vollständigen, dreidimensionalen Navier-Stokes- Gleichungen können durchaus numerisch gelöst werden. Jedoch ist für eine allgemeine turbulente Strömung, bei der auch kleinste Turbulenzen aufgelöst werden (sollen), der Berechnungsaufwand erheblich, weil hier die zu deklarierenden Volumenelemente sehr klein sind. In der Berechnungspraxis haben sich deshalb CFD-Programme etabliert, die Reynolds-gemittelte Navier- Stokes-Gleichungen lösen. Die Berechnungsungeauigkeiten können somit auf ein erträgliches Maß eingesteuert werden. Bei Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen werden die kleinen Turbulenzenm durch Turbulenzmodelle ersetzt mit dem Vorteil, dass das Berechnungsnetz die kleinen turbulenten Schwankungen nicht mehr auflösen muss. Die tatsächlichen Strömungsgrößen p, u, v, w, e werden durch ihre Mittelwerte p, u, v, w, e und ihrer Schwankungsgröße Δρ, Δ-ε Δv, Δw, Δe ersetzt, also u=uMu, w=w+Aw, usw. In der Literatur wird die explizite Schreibweise (etwa w=wMw) oftmals vernachlässigt, die Reynolds-Mittelung unterstellt so dass die Navier-Stokes- Gleichungen die gleiche Erscheinung bilden, wie der vollständige Ansatz. Mit der Reynolds-Mittelung wir natürlich die Güte der gesamten Simulation vom Turbulenzmodell abhängig. Wenn beispielsweise die Umschlagpunkte von der laminaren in die turbulente Strömung (Transition) oder der Ablösepunkt der turbulenten Strömung an einer Körperwand (Separation) interessieren, sind entsprechend fein auflösende Turbulenzmodelle zu wählen. An dieser Stelle soll nur sehr allgemein auf die Unterschiede und die (wechsel-) wirksame Physik hinter den Modellen eingegangen werden. Neben den rein laminaren Modellen die bei höheren Reynold Zahlen die Strömungswirklichkeit nicht abbilden finden verschiedene Wirbelviskositätsmodelle Anwendung.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Baldwin-Lomax-Modell verwendet keine Transportgleichungen, sondern nur ein algebraisches Ersatzmodell. Bei abgelösten Strömungen arbeitet dieses Verfahren ungenau. Das k-ε-Modell war lange Zeit Industriestandard. Hier werden zwei Transportgleichungen für die turbulente kinetische Energie k und die turbulente Dissipation ε. Auch hier wird die Ablösung an der Körperwand nachlässig - im Sinne von zu spät und eher „optimistisch" - behandelt. Beim k-ω-Modell ist in dieser Hinsicht die abgebildete Strömungswirklichkeit näher an der physikalischen Realität. Neben der turbulenten Dissipation ε wird in diesem Zwei-Gleichungs-Modell die turbulente Frequenz ω verwendet, die schon bei nicht allzu feiner Gitterdiskretisierung in Wandnähe gute Ergebnisse liefert. Aus den Erfahrungen in der Berechnungspraxis wurde das SST-Modell entwickelt. Es kombiniert das robuste k-ε-Modell mit den guten Eigenschaften des k-ω-Modells. Das Shaer-Stress-Modell (SST) liefert gute Berechnungsergebnisse hinsichtlich Transition und Separation in der Grenzschicht.

POTENTIALLÖSER

Die durch Potentiallöser erstellte Strömungswirklichkeit kann in ausgesuchten Fällen mit hoher Wahrscheinlichkeit an das reale Strömungsphänomen hinreichen. In der Potential­theorie werden, unter Berücksichtigung spezieller Randbedingungen, geschlossene (Potential-) Gleichungen aufgestellt und gelöst. Eingebettet in moderne Programm­umgebungen können potential-theoretische Berechnungen sehr schnell sein. Wir betrachten in diesem Handout nur ebene Strömungsfelder. Wegen der Linearität der Gleichungen gilt für Potentialströmungen das Superpositionsprinzip, das die Darstellung und Berechnung komplexer Lösungen aus der Überlagerung von einfachen Strömungen für die Elementarlösungen erlaubt. Bei Potentialströmungen ist die Zirkulation immer dann Null, wenn keine Singularitäten eingeschlossen werden. Mit der Zirkulation lassen sich Wirbelstärke und Auftriebskräfte an einem Tragflügel berechnen. Als Potential werden hierbei Skalarfunktionen verstanden, deren partielle Ableitung eine Größe mit physikalischer Bedeutung angibt. Ist eine Strömung wirbelfrei, so folgen aus dem Gradienten der Feld­funktion die Geschwindigkeitskomponenten der Strömung. Bei wirbelfreien Strömungen sind die Vektorkomponenten nicht mehr unabhängig voneinander sondern über das Potential verbunden. Nach dem Satz von Kutta-Joukowsky kann die auftriebsbehaftete Umströmung eines Profils als Kombination aus Parallel- und Zirkulationsströmung betrachtet werden, wenn die (Kutta'sche) Abflussbedingung erfüllt ist. Diese fordert ein glattes Abströmen des Fluids an der Hinterkante.

Programmsysteme wie JAVAFOIL, EPPLER PROFIL und XFOIL4 sind robuste, einfache Codes zur zweidimensionalen Strömungsberechnung nach der Potentialtheorie. Sie arbeiten jedoch mit einigen Einschränkungen. In diesem Handout betrachten wir das Programmsystem JAVAFOIL. Die Analyse des Strömungsgeschehens in der Grenzschicht einesTragflügels ist bei einem Potentiallöser direktional. Die Grenzschichtanalyse gibt also keine Rückmeldung an die potentialtheoretische Strömungslösung und enthält keine (zur Konvergenz führenden) Iterationsschleifen. Die Direktionalität schränkt damit die Aussagekraft der berechneten Strömungswirklichkeit des Potentiallösers über eine reale Strömung ein. Für das wandnahe Strömungsgeschehen berechnet JAVAFOIL keine laminaren Trennblasen und modelliert keine Strömungstrennung in derartigen Strömungsgebieten. Immer dann, wenn solche Effekte auftreten, werden die Berechnungsergebnisse ungenau. Eine Auftrennung der Strömung, wie sie bei Stall auftritt, wird nur bis zu einem gewissen Grad durch empirische modellierte Korrekturen beschrieben. Strömungstrennung und speziell Stall sind drei­dimensionale Strömungsgeschehen und auch schnittweise durch einen zweidimensionalen Strömungslöser nicht darstellbar. Für Strömungszustände, die jenseits des Stallpunktes liegen, liefert der (zweidimensionale) Potentiallöser ungenaue Ergebnisse. Eine genauere Analyse der Grenzschichtströmung würde ein anspruchsvolleres Verfahren zur Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen erfordern; dies ist (im Falle einer CFD-Rechnung) mit einer Steigerung der CPU-Zeit um den Faktor 1000 verbunden.

Im Potentiallöser JAVAFOIL ist eine klassische Panel-Methode implementiert, um das lineare Potential-Flow-Feld zu bestimmen. Wie bei den meisten Panel-Methoden erhöht sich die Lösungszeit für das lineare Gleichungssystem mit dem Quadrat der Anzahl der Unbekannten. Daher ist es ratsam, die Anzahl der Punkte auf Werte zwischen 50 und 150 zu begrenzen. Diese relativ kleine Zahl liefert bereits ausreichend Genauigkeit der Ergebnisse.

Für die Simulation der wandnahen (Grenzschicht-) Strömung wird eine Grenzschichtintegra­tion nach Eppler*5 durchgeführt. Solche ganzheitlichen Methoden basieren auf Differential­gleichungen, die das Wachstum der Grenzschichtparameter in Abhängigkeit von der lokalen Strömungsgeschwindigkeit ermitteln. Während genaue analytische Formulierungen für laminare Grenzschichten vorhanden sind, ist für den turbulenten Teil eine empirische Korrelationen erforderlich. Methoden zur Vorhersage des Übergangs von laminar zu turbulenter Strömung wurden seit den frühen Tagen der Prandtl'schen Grenzschichttheorie von vielen Autoren entwickelt. Grundsätzlich ist es möglich, die Stabilität einer Grenzschicht numerisch zu analysieren. Dennoch sind alle praktischen und schnellen Methoden mehr oder weniger auf empirische Beziehungen angewiesen, die meist aus Experimenten abgeleitet sind. Die lokalen Parameter an einem Punkt P auf der Kontur des Profils sind das Ergebnis einer Integration (der Strömungsgrößen um P) und enthalten und verarbeiten damit Informationen über die Geschichte der Strömung. Die Wirkung der Rauigkeit auf den Übergang von der laminaren in die turbulente Strömung ist komplex und kann mit einem Potentiallöser nicht genau simuliert werden. Auch moderne direkte numerische Simulationsmethoden haben Schwierigkeiten den Effekt zu simulieren. JAVAFOIL besitzt einen Friktionsansatz mit dem zwei Effekte der Oberflächenrauigkeit modelliert werden: (1)

[...]


1 Siekmann, H.E., Thamsen, P. U. (2008) Strömungslehre Grundlagen, Springer Verlag Berlin Heidelberg. Lecheler, S. (2014)Numerische Strömungsberechnung Springer Verlag Berlin Heidelberg. Schade, H. (2013) Strömungslehre. De Gruyter Verlag. Oertel jr., H., Böhle, M., Reviol, Th. (2011) Strömungsmechanik, Grundlagen. Springer Verlag Berlin Heidelberg.

2 Der NablaOperator V angewandtauf einSkalarfeldf: gradi [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Der NablaOperator V angewandtauf ein VektorfeldV: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

3 Die EULER-Gleichung für eine eindimensionale Strömung u(s) lautet: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] XFOIL wurde in den 1980er Jahren von Mark Drela als Entwicklungstool im Daedalus-Projekt beim Massachusetts Institute of Technology programmiert. XFOIL ist ein interaktives Programm zum Entwurf und zur Berechnung von Tragflächenprofilen im Unterschallbereich.

4 Das frei verfügbare Programm JavaFoil ist in der Programmiersprache Java geschrieben. The potential flow analysis is done with a higher order panel method (linear varying vorticity distribution). Taking a set ofairfoil coordinates, it calculates the local, inviscid flow velocity along the surface of the airfoil for any desired angle of attack. http://www.mh- aerotools.de/airfoils/iavafoil.htm The Eppler program PROFILfrom Public Domain Computer Programs for the Aeronautical Engineer containingthe original source code, the source code converted to modern Fortran, and several test cases, references for the Eppler program and a revision of Eppler models that includes a correction for compressibility in: http://www.pdas.com/epplerdownload.html

5 Siehe auch: Richard Eppler: Airfoil Design and Data. Springer, Berlin, New York 1990.

Ende der Leseprobe aus 27 Seiten

Details

Titel
Validierung einer potentialtheoretischen Berechnung mit einem 2D-CFD-Verfahren
Untertitel
Beitrag zur Ermittlung der Strömungswirklichkeit von Surfboardfinnen
Veranstaltung
Bionik
Autor
Jahr
2017
Seiten
27
Katalognummer
V367015
ISBN (eBook)
9783668447172
ISBN (Buch)
9783668447189
Dateigröße
1315 KB
Sprache
Deutsch
Anmerkungen
Bei der Erforschung der Fluidmechanik von Surfboardfinnen kommen neben messtech-nischen zunehmend numerische Verfahren der Strömungsanalyse zum Einsatz.
Schlagworte
validierung, berechnung, beitrag, ermittlung, strömungswirklichkeit, surfboardfinnen
Arbeit zitieren
Dipl.-Ing. Michael Dienst (Autor), 2017, Validierung einer potentialtheoretischen Berechnung mit einem 2D-CFD-Verfahren, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/367015

Kommentare

  • Noch keine Kommentare.
Im eBook lesen
Titel: Validierung einer potentialtheoretischen Berechnung mit einem 2D-CFD-Verfahren
ebook
Kostenlos herunterladen! (PDF)


Ihre Arbeit hochladen

Ihre Hausarbeit / Abschlussarbeit:

- Publikation als eBook und Buch
- Hohes Honorar auf die Verkäufe
- Für Sie komplett kostenlos – mit ISBN
- Es dauert nur 5 Minuten
- Jede Arbeit findet Leser

Kostenlos Autor werden