Lange, fadenförmige, elastische Körper oder Stäbe treten in verschiedenen natürlichen Gegebenheiten auf. Sehr bekannte Beispiele stellen das menschliche Haar oder ein DNA-Strang dar. Im Großformat können Bäume oder Gräser ebenfalls mit Stäben verglichen werden; sie widerstreben der Gravitationskraft, ihre Biegesteifigkeit erhält ihre aufrechte Haltung. Auch in vielen technischen Anwendungen treten Stäbe, etwa in Form von Kabeln, Seilen oder textilen Fasern auf.
Die genannten Beispiele verdeutlichen die elementare Rolle von Faden- und Balkenmodellen. Die Untersuchung der Bewegung solcher stark deformierbarer Kontinua ist ein altbekanntes Teilgebiet der angewandten Mechanik und wurde bereits von den Mathematikern Jakob I. Bernoulli (1655-1705) und Leonard Euler (1707-1783) untersucht. Unterschiedliche Annahmen an das Kontinuum lassen die Herleitung verschiedener Modelle zu. So liefert uns die Vernachlässigung von Biege- und Torsionssteifigkeit das sogenannte Fadenmodell; unter der zusätzlichen Annahme einer unveränderlichen Länge der Längsachse des Körpers erhalten wir ein undehnbares Modell. Die Unterscheidung der Bezeichnung des Körpers als Balken, Stab oder Faden stammt von den jeweiligen Steifigkeitseigenschaften.
In dieser Arbeit wollen wir die partielle Differentialgleichung, welche die Bewegung eines undehnbaren, fadenförmigen Körpers beschreibt, untersuchen, verschiedene iterative Verfahren, welche die Bewegung der Kurve approximieren, analysieren und deren Konvergenzverhalten beschreiben. Besondere Bedeutung wird auf die Betrachtung der Bogenlängenparametrisierung gelegt. Da die numerische Approximation diese nur bedingt erhält, sind wir an dem Grad der Verletzung der Nebenbedingung interessiert.
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1 Dynamik geometrisch nichtlinearer Stäbe und Dimensionsreduktion
1.1 Herleitung der Bewegungsgleichungen
1.1.1 Kinematik
1.1.2 Kinetik
1.1.3 Bewegungsgleichungen
2 Herleitung und Analyse eines semidiskreten Zeitschrittverfahrens
2.1 Problemformulierung
2.2 Theoretische Analyse
2.2.1 Existenz und Eindeutigkeit
2.2.2 Stabilitätsabschätzungen
2.2.3 Konvergenz
3 Elastische Vibrationen undehnbarer Kurven
3.1 Problemstellung und Herleitung des iterativen Verfahrens zur Berechnung stationärer Punkte
3.2 Konvergenzanalyse
3.3 Numerische Experimente
3.3.1 Implementierung
3.3.2 Abspulen einer Spiralkurve
3.3.3 Erzwungene Wellenlinie
4 Γ-Konvergenz und stationäre Konvergenzaussage
4.1 Topologische Grundlagen der Γ-Konvergenz
4.1.1 Direkte Methode der Variationsrechnung
4.1.2 Definition und Hauptsatz der Γ-Konvergenz
4.2 Γ-Konvergenz der Energiefunktionale
4.3 Konvergenz der stationären Punkte
5 Anwendung: Zersplitterung von Spaghetti
5.1 Experimentelle Beobachtungen und mathematische Begründung
5.2 Untersuchung des numerischen Modells
A Notationen und Kurzschreibweisen
B Hilfsaussagen zu Kapitel 4
C Analytische und numerische Grundlagen
C.1 Sobolev-Räume
C.2 Bochner- und Bochner-Sobolevräume
C.3 Eigenschaften der Interpolanten
C.4 Euler-Lagrange-Gleichungen
C.5 Finite-Elemente-Approximation
D Matlab-Codes
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Masterarbeit untersucht die mathematische Modellierung und numerische Simulation von fadenförmigen, elastischen und undehnbaren Körpern. Das primäre Ziel ist die Herleitung von Bewegungsgleichungen durch Dimensionsreduktion sowie die Entwicklung und Analyse numerischer Verfahren zur Approximation dieser Bewegungsabläufe, wobei insbesondere die Konvergenzeigenschaften und die Erhaltung der Undehnbarkeitsbedingung im Fokus stehen.
- Herleitung und mathematische Analyse von Bewegungsgleichungen für elastische Stäbe.
- Entwicklung semidiskreter und volldiskreter iterativer Verfahren zur Zeitdiskretisierung.
- Analytische Untersuchung mittels Γ-Konvergenz zur Dimensionsreduktion.
- Numerische Simulation der Zersplitterung von Spaghetti als physikalisches Anwendungsbeispiel.
- Stabilitätsanalysen und Konvergenznachweise für die numerischen Modelle.
Auszug aus dem Buch
Einleitung
Lange, fadenförmige, elastische Körper oder Stäbe treten in verschiedenen natürlichen Gegebenheiten auf. Sehr bekannte Beispiele stellen das menschliche Haar oder ein DNA-Strang dar. Im Großformat können Bäume oder Gräser ebenfalls mit Stäben verglichen werden; sie widerstreben der Gravitationskraft, ihre Biegesteifigkeit erhält ihre aufrechte Haltung. Auch in vielen technischen Anwendungen treten Stäbe, etwa in Form von Kabeln, Seilen oder textilen Fasern auf.
Die genannten Beispiele verdeutlichen die elementare Rolle von Faden- und Balkenmodellen. Die Untersuchung der Bewegung solcher stark deformierbarer Kontinua ist ein altbekanntes Teilgebiet der angewandten Mechanik und wurde bereits von den Mathematikern Jakob I. Bernoulli (1655-1705) und Leonard Euler (1707-1783) untersucht. Unterschiedliche Annahmen an das Kontinuum lassen die Herleitung verschiedener Modelle zu. So liefert uns die Vernachlässigung von Biege- und Torsionssteifigkeit das sogenannte Fadenmodell; unter der zusätzlichen Annahme einer unveränderlichen Länge der Längsachse des Körpers erhalten wir ein undehnbares Modell. Die Unterscheidung der Bezeichnung des Körpers als Balken, Stab oder Faden stammt von den jeweiligen Steifigkeitseigenschaften.
Die partielle Differentialgleichung, welche die Bewegung eines undehnbaren, fadenförmigen Körpers beschreibt, kann dann durch ∂2t z + z(4) = (λz')' mit der Nebenbedingung |z'|2 = 1 formuliert werden. Dabei beschreibt die Funktion z : [0, L] × [0, T] → R3 die Bewegung der Kurve im Raum in Abhängigkeit von der Zeit t und der Ortskoordinate s; die Funktion λ: [0, L]×[0, T] → R stellt den skalaren Lagrange-Multiplikator zur Nebenbedingung dar. In der vorliegenden Arbeit wollen wir diese partielle Differentialgleichung untersuchen, verschiedene iterative Verfahren, welche die Bewegung der Kurve approximieren, analysieren und deren Konvergenzverhalten beschreiben. Besondere Bedeutung wird auf die Betrachtung der Bogenlängenparametrisierung gelegt. Da die numerische Approximation diese nur bedingt erhält, sind wir an dem Grad der Verletzung der Nebenbedingung interessiert.
Zusammenfassung der Kapitel
Dynamik geometrisch nichtlinearer Stäbe und Dimensionsreduktion: Rigorose Herleitung der Bewegungsgleichungen für eindimensionale, fadenförmige Kontinua unter Annahme der Undehnbarkeit.
Herleitung und Analyse eines semidiskreten Zeitschrittverfahrens: Entwicklung einer zeitdiskreten Approximation der Bewegungsgleichungen, wobei die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung sowie Stabilitätsaussagen nachgewiesen werden.
Elastische Vibrationen undehnbarer Kurven: Einführung eines volldiskreten iterativen Schemas zur Simulation und Untersuchung der Stabilität und Konvergenz numerischer Experimente.
Γ-Konvergenz und stationäre Konvergenzaussage: Analytische Untersuchung der Dimensionsreduktion mittels Γ-Konvergenz und Nachweis der Konvergenz stationärer Punkte der Energiefunktionale.
Anwendung: Zersplitterung von Spaghetti: Anwendung des numerischen Modells auf das Phänomen der kaskadierenden Fraktur bei stark gekrümmten Spaghetti.
Schlüsselwörter
Dimensionsreduktion, Γ-Konvergenz, Euler-Bernoulli-Balken, undehnbare Kurven, Bewegungsgleichungen, numerische Simulation, Zeitschrittverfahren, Finite-Elemente-Methode, kaskadierende Fraktur, Variationsrechnung, Bogenlängenparametrisierung, Elastizitätstheorie, Lagrange-Multiplikator.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Herleitung und numerischen Approximation der Bewegungen von langen, schlanken und undehnbaren elastischen Körpern.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zu den Kerngebieten zählen die kontinuumsmechanische Modellierung, die mathematische Analysis von Differentialgleichungen, numerische Verfahren (Zeit- und Raumdiskretisierung) sowie die Anwendung der Γ-Konvergenz.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Es wird untersucht, wie die Dynamik solcher Körper mathematisch korrekt beschrieben und numerisch effizient sowie stabil approximiert werden kann, insbesondere unter Berücksichtigung der Nebenbedingung der Undehnbarkeit.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden Methoden aus der Variationsrechnung, der Theorie der Sobolevräume, der Finite-Elemente-Methode sowie analytische Techniken zur Stabilitäts- und Konvergenzanalyse verwendet.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil umfasst die Herleitung der Bewegungsgleichungen, die Analyse semidiskreter und volldiskreter numerischer Schemata, die Untersuchung der Γ-Konvergenz zur theoretischen Fundierung der Dimensionsreduktion sowie numerische Simulationen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit lässt sich durch Begriffe wie Dimensionsreduktion, Γ-Konvergenz, numerische Simulation und Elastizitätstheorie charakterisieren.
Wie wird die "kaskadierende Fraktur" physikalisch erklärt?
Das Phänomen beschreibt, dass eine stark gekrümmte Spaghetti beim Loslassen in mehrere Stücke bricht, da sich Biegewellen entlang des Stabes ausbreiten, die zu lokalen Krümmungsmaxima führen, welche die Bruchgrenze überschreiten.
Warum ist die Bogenlängenparametrisierung für das Modell so wichtig?
Sie erzwingt die lokale Undehnbarkeit des Körpers; da numerische Verfahren diese Bedingung oft nur näherungsweise erfüllen können, ist die Analyse des Fehlers bei der Verletzung dieser Bedingung ein zentraler Bestandteil der Arbeit.
- Citation du texte
- Julia Flach (Auteur), 2017, Dimensionsreduktion, Gamma-Konvergenz und Konvergenz numerischer Verfahren für elastische, fadenförmige und undehnbare Körper, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/367999
