Lange, fadenförmige, elastische Körper oder Stäbe treten in verschiedenen natürlichen Gegebenheiten auf. Sehr bekannte Beispiele stellen das menschliche Haar oder ein DNA-Strang dar. Im Großformat können Bäume oder Gräser ebenfalls mit Stäben verglichen werden; sie widerstreben der Gravitationskraft, ihre Biegesteifigkeit erhält ihre aufrechte Haltung. Auch in vielen technischen Anwendungen treten Stäbe, etwa in Form von Kabeln, Seilen oder textilen Fasern auf.
Die genannten Beispiele verdeutlichen die elementare Rolle von Faden- und Balkenmodellen. Die Untersuchung der Bewegung solcher stark deformierbarer Kontinua ist ein altbekanntes Teilgebiet der angewandten Mechanik und wurde bereits von den Mathematikern Jakob I. Bernoulli (1655-1705) und Leonard Euler (1707-1783) untersucht. Unterschiedliche Annahmen an das Kontinuum lassen die Herleitung verschiedener Modelle zu. So liefert uns die Vernachlässigung von Biege- und Torsionssteifigkeit das sogenannte Fadenmodell; unter der zusätzlichen Annahme einer unveränderlichen Länge der Längsachse des Körpers erhalten wir ein undehnbares Modell. Die Unterscheidung der Bezeichnung des Körpers als Balken, Stab oder Faden stammt von den jeweiligen Steifigkeitseigenschaften.
In dieser Arbeit wollen wir die partielle Differentialgleichung, welche die Bewegung eines undehnbaren, fadenförmigen Körpers beschreibt, untersuchen, verschiedene iterative Verfahren, welche die Bewegung der Kurve approximieren, analysieren und deren Konvergenzverhalten beschreiben. Besondere Bedeutung wird auf die Betrachtung der Bogenlängenparametrisierung gelegt. Da die numerische Approximation diese nur bedingt erhält, sind wir an dem Grad der Verletzung der Nebenbedingung interessiert.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Dynamik geometrisch nichtlinearer Stäbe und Dimensionsreduktion
- Herleitung der Bewegungsgleichungen
- Kinematik
- Kinetik
- Herleitung der Bewegungsgleichungen
- Herleitung und Analyse eines semidiskreten Zeitschrittverfahrens
- Problemformulierung
- Theoretische Analyse
- Existenz und Eindeutigkeit
- Stabilitätsabschätzungen
- Konvergenz
- Elastische Vibrationen undehnbarer Kurven
- Problemstellung und Herleitung des iterativen Verfahrens zur Berechnung stationärer Punkte
- Konvergenzanalyse
- Numerische Experimente
- Implementierung
- Abspulen einer Spiralkurve
- Erzwungene Wellenlinie
- Γ-Konvergenz und stationäre Konvergenzaussage
- Topologische Grundlagen der Γ-Konvergenz
- Direkte Methode der Variationsrechnung
- Definition und Hauptsatz der Γ-Konvergenz
- Γ-Konvergenz der Energiefunktionale
- Konvergenz der stationären Punkte
- Topologische Grundlagen der Γ-Konvergenz
- Anwendung: Zersplitterung von Spaghetti
- Experimentelle Beobachtungen und mathematische Begründung
- Untersuchung des numerischen Modells
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Masterarbeit untersucht die Bewegung elastischer, fadenförmiger und undehnbarer Körper. Ziel ist die Analyse verschiedener iterativer Verfahren zur Approximation der Bewegung und die Beschreibung deren Konvergenzverhalten, insbesondere unter Berücksichtigung der Bogenlängenparametrisierung. Die Arbeit legt Wert auf eine rigorose Herleitung der Bewegungsgleichungen und betrachtet die Auswirkungen der Verletzung der Nebenbedingung der Längenerhaltung.
- Herleitung und Analyse der Bewegungsgleichungen elastischer, fadenförmiger Körper
- Untersuchung von iterativen Verfahren zur Approximation der Körperbewegung
- Konvergenzanalyse der numerischen Verfahren
- Bedeutung der Bogenlängenparametrisierung und deren Verletzung
- Anwendung auf das Beispiel der Spaghetti-Zersplitterung
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung: Die Einleitung führt in die Thematik ein und beschreibt die Bedeutung der Modellierung elastischer, fadenförmiger Körper in verschiedenen Anwendungen. Sie stellt das Problem der Bewegung eines undehnbarer, fadenförmigen Körpers vor und skizziert die Zielsetzung der Arbeit. Die partielle Differentialgleichung, welche die Bewegung beschreibt, wird eingeführt und die Bedeutung der Bogenlängenparametrisierung hervorgehoben.
Dynamik geometrisch nichtlinearer Stäbe und Dimensionsreduktion: Dieses Kapitel beschreibt die Herleitung der Bewegungsgleichungen für elastische, fadenförmige und undehnbarer Körper. Durch die Betrachtung der Dimensionsreduktion und unter Verwendung fundamentaler physikalischer Eigenschaften und Erhaltungssätze werden die Gleichungen abgeleitet. Die Kinematik und Kinetik werden detailliert behandelt und bilden die Grundlage für die weiteren Kapitel.
Herleitung und Analyse eines semidiskreten Zeitschrittverfahrens: Dieses Kapitel widmet sich der Herleitung und der theoretischen Analyse eines semidiskreten Zeitschrittverfahrens zur Approximation der Bewegungsgleichungen. Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen sowie Stabilitätsabschätzungen werden untersucht. Der Fokus liegt auf der Konvergenzanalyse des Verfahrens.
Elastische Vibrationen undehnbarer Kurven: In diesem Kapitel wird ein iteratives Verfahren zur Berechnung stationärer Punkte für die Bewegung elastischer, undehnbarer Kurven vorgestellt und analysiert. Die Konvergenz des Verfahrens wird untersucht und durch numerische Experimente, wie das Abspulen einer Spiralkurve und die Simulation einer erzwungenen Wellenlinie, verifiziert. Die Implementierung des Verfahrens wird ebenfalls beschrieben.
Γ-Konvergenz und stationäre Konvergenzaussage: Dieses Kapitel befasst sich mit der Γ-Konvergenz der Energiefunktionale und der Konvergenz der stationären Punkte. Es werden dazu zunächst topologische Grundlagen der Γ-Konvergenz gelegt, bevor die Konvergenzaussagen bewiesen werden. Die Bedeutung der Γ-Konvergenz für die Untersuchung der Konvergenz der numerischen Verfahren wird erläutert.
Anwendung: Zersplitterung von Spaghetti: Das Kapitel beschreibt die Anwendung der entwickelten Modelle und Methoden auf das Phänomen der Spaghetti-Zersplitterung. Experimentelle Beobachtungen werden mit den mathematischen Ergebnissen verglichen und das numerische Modell wird untersucht. Die Übereinstimmung zwischen Theorie und Experiment wird diskutiert.
Schlüsselwörter
Dimensionsreduktion, T-Konvergenz, Konvergenz numerischer Verfahren, elastische Körper, fadenförmige Körper, undehnbarer Körper, Bewegungsgleichungen, Bogenlängenparametrisierung, iterative Verfahren, Stabilität, Konvergenzanalyse, Spaghetti-Zersplitterung.
Häufig gestellte Fragen zur Masterarbeit: Bewegung elastischer, fadenförmiger Körper
Was ist das Thema der Masterarbeit?
Die Masterarbeit befasst sich mit der Modellierung und der numerischen Approximation der Bewegung elastischer, fadenförmiger und insbesondere undehnbarer Körper. Ein Schwerpunkt liegt auf der Analyse verschiedener iterativer Verfahren und deren Konvergenzverhalten, unter Berücksichtigung der Bogenlängenparametrisierung.
Welche Methoden werden in der Arbeit verwendet?
Die Arbeit verwendet Methoden der Dimensionsreduktion zur Herleitung der Bewegungsgleichungen. Zur Approximation der Bewegung werden semidiskrete Zeitschrittverfahren und iterative Verfahren zur Berechnung stationärer Punkte eingesetzt. Die Konvergenzanalyse dieser Verfahren stützt sich auf die Theorie der Γ-Konvergenz.
Welche Gleichungen werden hergeleitet und analysiert?
Die Arbeit leitet die Bewegungsgleichungen für elastische, fadenförmige und undehnbare Körper her. Es wird ein semidiskretes Zeitschrittverfahren zur Approximation dieser Gleichungen entwickelt und dessen Existenz, Eindeutigkeit, Stabilität und Konvergenz untersucht. Weiterhin wird ein iteratives Verfahren zur Berechnung stationärer Punkte analysiert.
Welche Rolle spielt die Bogenlängenparametrisierung?
Die Bogenlängenparametrisierung spielt eine zentrale Rolle in der Modellierung und Analyse. Die Arbeit untersucht die Auswirkungen der Verletzung der Nebenbedingung der Längenerhaltung.
Was ist die Bedeutung der Γ-Konvergenz?
Die Γ-Konvergenz wird verwendet, um die Konvergenz der Energiefunktionale und der stationären Punkte der numerischen Verfahren zu untersuchen. Die Arbeit stellt die topologischen Grundlagen der Γ-Konvergenz dar und beweist entsprechende Konvergenzaussagen.
Welche Anwendung wird betrachtet?
Die entwickelten Modelle und Methoden werden auf das Phänomen der Spaghetti-Zersplitterung angewendet. Experimentelle Beobachtungen werden mit den mathematischen Ergebnissen verglichen und das numerische Modell wird auf seine Übereinstimmung mit dem Experiment untersucht.
Welche Kapitel umfasst die Arbeit?
Die Arbeit gliedert sich in folgende Kapitel: Einleitung, Dynamik geometrisch nichtlinearer Stäbe und Dimensionsreduktion, Herleitung und Analyse eines semidiskreten Zeitschrittverfahrens, Elastische Vibrationen undehnbarer Kurven, Γ-Konvergenz und stationäre Konvergenzaussage, Anwendung: Zersplitterung von Spaghetti.
Welche Schlüsselwörter beschreiben die Arbeit?
Schlüsselwörter sind: Dimensionsreduktion, Γ-Konvergenz, Konvergenz numerischer Verfahren, elastische Körper, fadenförmige Körper, undehnbarer Körper, Bewegungsgleichungen, Bogenlängenparametrisierung, iterative Verfahren, Stabilität, Konvergenzanalyse, Spaghetti-Zersplitterung.
Was ist das Ziel der Arbeit?
Ziel der Arbeit ist die Analyse verschiedener iterativer Verfahren zur Approximation der Bewegung elastischer, fadenförmiger Körper und die Beschreibung deren Konvergenzverhalten, insbesondere unter Berücksichtigung der Bogenlängenparametrisierung. Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf der rigorosen Herleitung der Bewegungsgleichungen und der Betrachtung der Auswirkungen der Verletzung der Nebenbedingung der Längenerhaltung.
- Citation du texte
- Julia Flach (Auteur), 2017, Dimensionsreduktion, Gamma-Konvergenz und Konvergenz numerischer Verfahren für elastische, fadenförmige und undehnbare Körper, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/367999
