Das 20. Jahrhundert war Zeuge der Setzung eines Marksteins in der Geschichte der Logik und Mathematik durch eine Arbeit, über deren Autor mancher gar sagt, er sei der größte Logiker seit Aristoteles. Im Jahre 1931 veröffentlicht der junge Mathematiker Kurt Gödel überraschend diese relativ kurze Abhandlung mit dem Titel „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme“. Auch wenn die wissenschaftliche Gemeinschaft nicht sofort den gesamten Gehalt von Gödels Werk erkannte, so werden doch die von ihm gezogenen Schlüsse heutzutage weitgehend als revolutionierend und von grundlegender philosophischer Bedeutung angesehen (Nagel/Newman 2007).
Es ist das Ziel der vorliegenden Arbeit, durch eine Briefbemerkung Gödels angedeutete philosophische Implikationen seiner in jenem Fachartikel erbrachten (mathematischen) Hauptergebnisse, die sich in dem sogenannten Unvollständigkeitssatz manifestieren, aufzuzeigen und zu erläutern (Kap. 3). Dafür soll jedoch zunächst das Wesentliche respektive der allgemeine Charakter von Gödels Beweisführung herausgestellt werden (Kap. 2.1), damit nachvollzogen werden kann, auf welche geniale Weise er seine Erkenntnisse gewann, um darauf aufbauend zu einer Einschätzung und Würdigung seiner Arbeit zu gelangen (Kap. 2.2), die ein Kernproblem der Grundlagen der Mathematik in Angriff nimmt. In diesem Sinne wird knapp umrissen, inwieweit Gödels Argumentation und die daraus folgenden Unvollständigkeitssätze bahnbrechend für die Mathematik waren.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz
2.1. Darstellung des Kerns des Beweises
2.2. Bedeutung, Einordnung und kurze Bewertung des Theorems für die Mathematik
3. Die Unmöglichkeit einer mechanisierten Mathematik
3.1. „Die Eliminierung des Geistes und abstrakter Entitäten“
3.2. „Mechanisierung“
3.3. Zusammenführung, Gesamtbild und Implikation
4. Abschließende Bemerkungen und Ausblick
5. Literatur
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit zielt darauf ab, die von Kurt Gödel in einer Briefbemerkung angedeuteten philosophischen Implikationen seiner mathematischen Hauptergebnisse, insbesondere des Unvollständigkeitssatzes, zu untersuchen und zu erläutern. Die Arbeit fragt dabei primär, inwiefern die Mechanisierung der Mathematik – verstanden als die Eliminierung des Geistes und abstrakter Entitäten – für eine befriedigende Fundierung der Mathematik unmöglich ist und welche Schlussfolgerungen dies für die Philosophie des Geistes zulässt.
- Analyse der philosophischen Tragweite des Gödelschen Unvollständigkeitssatzes
- Untersuchung der Unmöglichkeit einer vollständig mechanisierten Mathematik
- Diskussion des Verhältnisses von menschlichem Geist und Turing-Maschinen
- Kritische Auseinandersetzung mit dem Computerfunktionalismus
Auszug aus dem Buch
3.1. „Die Eliminierung des Geistes und abstrakter Entitäten“
In diesem Abschnitt möchten wir eine weitere Komponente des Zitats bei Tieszen (2011) exzerpieren: „the elimination of the mind and of abstract entities“, um dies zufriedenstellend zu interpretieren und um damit den Weg hin zur Erschließung des Gesamtgehalts der Briefbemerkung zu ebnen. Zwar wird dieser Zitatausschnitt von Gödel als Zusatz und Erklärung für den Kernausdruck „the mechanization of mathematics“ gegeben, den wir separat im nächsten Kapitel betrachten wollen, doch scheint er selbst erklärungsbedürftig zu sein.
Ein erster Anhalts- und Ausgangspunkt zur Deutung von Gödels Einschub findet sich in Heft 6 seiner Philosophischen Bemerkungen. Dort führt er in der Bemerkung 416 zur Philosophie aus, worin der „Sinn“, d.h. das Wesen oder das Ergon des Menschen liege, worin das (einzig) ihn auszeichnende Charakteristikum bestehe: „[Der, C.H.] Sinn der Menschen [ist, C.H.] die Erkenntnis.“ Das Erkennen wiederum definiert Gödel in der philosophischen Bemerkung 399 als „Wahrnehmen auf [abstrakte] Sachverhalte bezogen“ und ergänzt weiter unten: „Erkennen = zum ersten Mal einen abstrakten Sachverhalt wahrnehmen.“ Dass Erkennen sich auf abstrakte Sachverhalte beziehe, heißt auch, dass nicht die Rede von einzelnen Sachverhalten ist. Denn da der Mensch über Erkenntnis- und nicht bloß Wahrnehmungsvermögen verfüge, könne er abstrakte Begriffe sowohl bilden als auch verstehen und besitze im Besonderen die Fähigkeit zu Verallgemeinerungen und Folgerungen.
Unter der Wahrnehmung eines Begriffes φ (statt eines Sachverhalts) versteht Gödel weiter „die Realisierung des Sachverhalts (∃x) φ (x)“ (Bemerkung zur Philosophie 393). Die Rolle der begrifflichen Wahrnehmung wird auch an anderer Stelle herausgehoben:
Freilich ist unsere Begabung zum Erlernen und zur Bildung von neuen Begriffen eine sehr bemerkenswerte und freilich bedeutet etwas als etwas wahrnehmen nicht bloß eine Reduktion auf einen reinen Reiz-Reaktions-Ablauf; aber wie genau hängen all die herangezogenen Philosophischen Bemerkungen mit unserem Zitat(-ausschnitt) zusammen?
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Diese Einleitung führt in das Thema ein, skizziert die historische Bedeutung von Gödels Arbeit von 1931 und legt das Ziel fest, die philosophischen Implikationen des Unvollständigkeitssatzes zu untersuchen.
2. Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz: Dieses Kapitel erläutert den Kern von Gödels Beweisführung mathematisch-technisch und bewertet die Bedeutung des Theorems für das Grundlagenproblem der Mathematik.
3. Die Unmöglichkeit einer mechanisierten Mathematik: Dieses Kapitel steht im Zentrum der Arbeit; es analysiert Gödels Briefbemerkung zur Mechanisierung der Mathematik, diskutiert die Eliminierung des Geistes und untersucht die Rolle von Turing-Maschinen in diesem Kontext.
4. Abschließende Bemerkungen und Ausblick: Dieses Kapitel resümiert die gewonnenen Erkenntnisse über das Verhältnis von Geist und Maschine und formuliert fünf kritische Fragen für eine fortgesetzte Debatte.
5. Literatur: Dieses Kapitel listet die verwendeten Quellen und Referenzen der vorliegenden Untersuchung auf.
Schlüsselwörter
Gödelscher Unvollständigkeitssatz, Mechanisierung der Mathematik, Philosophie des Geistes, Computerfunktionalismus, Turing-Maschine, abstrakte Entitäten, Erkenntnisvermögen, mathematische Wahrheit, formale Systeme, Grundlagenforschung, Logik, Geist-Maschine-Debatte, Axiomensystem, Unentscheidbarkeit, Formalismus.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit den philosophischen Implikationen von Kurt Gödels Unvollständigkeitssatz, speziell im Hinblick auf die Frage, ob die Mathematik vollständig mechanisiert werden kann.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themenfelder sind die Philosophie der Mathematik, die Philosophie des Geistes, formale Systeme und die künstliche Intelligenzforschung bzw. der Computerfunktionalismus.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist die Erläuterung und kritische Analyse einer Briefbemerkung Gödels, in der er die Unmöglichkeit der Mechanisierung der Mathematik im Sinne einer Eliminierung von Geist und abstrakten Entitäten postuliert.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es handelt sich um eine philosophische Analyse, die Gödels mathematische Ergebnisse als Basis nutzt und diese mittels seiner „Philosophischen Bemerkungen“ sowie existierender Rezeptionen (z.B. von Lucas, Wang oder Tieszen) interpretiert.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in eine mathematische Darstellung des Unvollständigkeitssatzes und eine detaillierte philosophische Untersuchung des Begriffs der „Mechanisierung“ unter Einbeziehung des Konzepts der Turing-Maschine.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zu den prägenden Schlüsselwörtern gehören Gödelscher Unvollständigkeitssatz, Mechanisierung der Mathematik, Computerfunktionalismus, Geist-Maschine-Debatte und Unentscheidbarkeit.
Inwiefern beeinflusst Gödels Theorem die Sicht auf den menschlichen Geist?
Gödel favorisiert eine Philosophie, nach der der menschliche Geist in seiner Struktur und Leistungsfähigkeit die Möglichkeiten einer Turing-Maschine übertrifft.
Was versteht Gödel unter „Mechanisierung der Mathematik“?
Er versteht darunter die Reduktion mathematischen Denkens auf rein physikalische Abläufe oder formale Algorithmen, was einer Eliminierung des Geistes und abstrakter Entitäten gleichkommt.
Ist der Computerfunktionalismus durch Gödels Arbeit widerlegt?
Die Arbeit stellt fest, dass der Computerfunktionalismus durch Gödels Theorem nicht formell widerlegt ist, aber von Gödel als Position abgelehnt wird, die den menschlichen Geist nicht adäquat beschreiben kann.
- Citation du texte
- Christian Hugo Hoffmann (Auteur), 2011, Über die Unmöglichkeit der Mechanisierung der Mathematik. Gödels Unvollständigkeitssatz und philosophische Implikationen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/371871
