Gedanken zum induzierten Widerstand an einem Tragflügel

Gedanken zum induzierten Widerstand an einem Tragflügel

Randumströmung und Auffingerung an technischen Modelltragflächen

Michael Dienst¹, Berlin im Sommer 2017

Abstract. Im Nachlauf der Kantenumströmung eines Auftrieb erzeugenden Tragflügels entsteht ein kompakter Wirbel. Dieser durch den Druckgradienten am Randbogen induzierte Randwirbel bindet einen erheblichen Anteil der zur Erzeugung der Auftriebskräfte des Systems aufgebrachten Energie. Mit der nach der Tragflügeltheorie Prandtls vorausgesetzten elliptischen Auftriebsverteilung kann die Zirkulation des Wirbels ermittelt werden, die die axial ausgetragene Verlustleistung quantifiziert. Eine experimentelle Optimierungskampagne am Windkanal und die Anwendung der Evolutionsstrategie führt auf eine Auffingerung der Randbogenkontur eines Modellflügels mit der Anmutung des biologischen Vogelflügels.

Abstract. In the wake of the edge flow of a lift-generating wing, a compact vortex is created. This edge vortex, which is induced by the pressure gradient, binds a considerable portion of the energy applied to generate the lifting forces of the system. With the elliptical buoyancy distribution presupposed by Prandtl's aerodynamic theory, the circulation of the vortex, which quantifies an axially dissipated power loss, can be determined. An experimental optimization campaign at the wind tunnel and the application of the evolution strategy leads to a edge contour of a model wing with the appearance of a biological bird wing.

RANDWIRBEL

Nach der Tragflügeltheorie hängt die Auftriebskraft einer umströmten Tragfläche alleine von der Zirkulation ab [Kutta-Jankowski]. Überlagern sich an einem Strömungskörper (bei einer zweidimensionalen Modellvorstellung in der Profilebene des Strömungskörpers) ein translatorisches und ein rotatorisches Strömungsfeld, kommt es infolge der Zirkulation um diesen Körper zu Verzögerung der Strömung auf der einen und zu einer Beschleunigung der Strömung auf der anderen Seite. Nach der Bernoulli'schen Gleichung führt die Beschleunigung zu einer Druckminderung, die Verzögerung zu einer Druckerhöhung, was im Falle eines Tragflügels als Auftriebskraft spürbar wird. Für einen angeströmten, endlichen Rechtecktragflügel sei die Auftriebskraft elliptisch über den Auftrieb erzeugenden Körper verteilt. Infolge des Druckgradienten kommt es am materiellen Ende der Tragfläche zu einer Umströmung der Tragflächenkante. Im Nachlauf der Kantenumströmung bildet sich nun ein kompakter Wirbel aus, der als durch den Druckgradienten induzierter Randwirbel in der Literatur beschrieben wird. Der induzierte Randwirbel bindet einen erheblichen Anteil der zur Erzeugung der Auftriebskräfte des Systems aufgebrachten Energie.

Ingo Rechenberg² ist Mitbegründer experimentellen und der nummerischen Evolutions­strategie und war ab 1972 Professor für Bionik und Evolutionstechnik an der Technischen Universität Berlin. In seinen Skripten zur Vorlesung Bionik I³, Kapitel 6 (Die Evolution aerodynamischer Tricks am Vogelflügel) schreibt Rechenberg:

Ein umströmter Flügel erzeugt auf seiner Oberseite Sog und an seiner Unterseite Druck. Es kommt (beim Rechteckflügel besonders deutlich) zu einer Druck-Sog-Randumströmung am Flügelende. Die Auftriebsentstehung lässt sich dann physikalisch auch so deuten: Es sind die zwei Wirbel am Ende eines Flügels, die hinter dem Flügel einen Abwind erzeugen, auf dem sich der Flügel abstützt.

Eine Zuspitzung des Flügels ändert die Situation nicht grundsätzlich. Die Wirbel verteilen sich lediglich in Längsrichtung.

Die Randwirbel erzeugen den induzierten Widerstand Wi. Ludwig Prandtl konnte für den elliptischen Flügelumriss (mit über der Spannweite konstantem Abwind) für Wi eine Formel ableiten. Die Formel gilt auch mit guter Näherung für den Rechteckflügel.

Derinduzierte Widerstandeines Flügels nach Prandtl: Wi = (2Lz^pv2 b2) [N]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In den skizzenhaften Abbildungen bedeuten: Zirkulation Γ [m2 s"1] am Randbogen und Auftrieb eines Tragflügels Lift L [N], Dichte ρ [kg m"3] und Anströmgeschwindigkeit an der Tragflügelvorderkante v [ms"1] Tragflügellänge b[m] und Profiltiefe t [m], Der induzierte Widerstand eines Flügels ist die Summe der an den beiden Randbögen der Tragfläche induzierten Widerständen Wi = Σ(ΔWi ) = ( 2 L2/ π ρ v2 b2) [N], Die Randwirbel haben unterschiedliche Drehrichtungen, die Zirkulation ist vom Betrag gleich, Die Graphiken entsprechen sinngemäß der Originalschrift, verwenden aber die Nomenklatur dieses Aufsatzes, Folgen wir nun weiter der Argumentation Rechenbergs:

Was lässt sich machen, um den induzierten Widerstand zu minimieren ohne dabei den Auftrieb zu verringern?

Nachfolgend zwei Denkmodelle. Wir schneiden den Tragflügel in Längsrichtung auseinander und fügen die Teile neu zusammen. Der Gesamtauftrieb ändert sich durch diese Operation nicht. Wir können die Flügelschnitte nun anders positionieren.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein rechteckiger Tragflügel mit der Profiltiefe t, einer Spannweite b und einer Fläche A wird nun der Länge nach aufgetrennt derart, dass zwei profiltreue Tragflächen entstehen, Die Koeffizienten des Lifts und des Reibungs-, Form" und Druckwiderstands sollen von der Operation unabhängig sein, Auch hier folgt Rechenberg der Argumentation Prandtls; wir lesen:

Im Denkmodell 1 fügen wir die Flügelschnitte in Richtung der Spannweite wieder aneinander. Durch die Verdoppelung der Spannweite b wird der induzierte Widerstand geviertelt. Das ist die Lösung hochgezüchteter Segelflugzeuge. Extrem schmale Flügel, die ihre Fläche in der Spannweite unterbringen, garantieren einen sehr geringen induzierten Widerstand.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Denkmodell 2 ordnen wir die Flügelschnitte übereinander an. Jeder Flügel besitzt durch den halbierten Auftrieb nur noch ein Viertel des induzierten Widerstands. Beide Flügel zusammen haben nunmehr in der gestaffelten Konfiguration ihren induzierten Widerstand halbiert.

Das ist die Lösung des Doppeldeckers. Damit die Flügel sich nicht gegenseitig beeinflussen (z. B. den Auftrieb wegnehmen), müssen sie allerdings hinreichend weit auseinander positioniert werden. Diese Bedingung haben die klassischen Doppeldecker nicht erfüllt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Vögel, deren Lebensraum der grenzenlose Luftraum über der See ist, haben die Lösung der hohen Flügelstreckung verwirklicht. Paradebeispiel für diese optimale Lösung der Evolution ist der Albatros. Er gilt als der aerodynamisch am besten "durchgestylte" Flieger der Natur. Der Albatros kann durch seine hohe aerodynamische Güte ohne Flügelschlag über dem Meer fliegen. Die notwendige Energie bezieht er aus dem Scherprofil des Windes über der Meeresoberfläche. Der Albatros beherrscht die Kunst des dynamischen Segelfluges.

Vögel, die auf dem Lande zwischen Felsen, Bäumen und sonstigen Hindernissen manövrieren müssen, haben das gespreizte Flügelende entwickelt. Da sie überall anstoßen können, verbietet sich die Lösung der hohen Spannweite. Die gestaffelten Flügelfinger lassen sich als Ansätze zu einem Doppel- bzw. Vielfachdecker deuten. In Flügelmitte behält der Vogel den Eindecker bei. Erst am Flügelende, wo sich die Randwirbel bilden, wird zum Mehrdecker ''übergeblendet”. Die Winglets (Flügelohren) an den heutigen modernen Flugzeugen muss der Bioniker als Vorstufe des Vogel-Spreizflügels ansehen.

ZIRKULATION, WIDERSTAND und VERLUSTLEISTUNG

Nach dem Satz von Kutta-Joukowsky kann die auftriebsbehaftete Umströmung eines Profils als Kombination aus Parallel- und Zirkulationsströmung betrachtet werden, sofern die Kutta'sche Abflussbedingung erfüllt ist. Diese fordert ein glattes Abströmen des Fluids an der Hinterkante. In der Tragflügeltheorie wird der Lift einer endlichen Tragfläche über die Zirkulation Γ am Randbogen des Flügels beschrieben. Evaluation und Identität der Auftriebsformel führt auf eine Form Γ= F(cL,t,v) nach Prandtl:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Zirkulation ist nach der Prandtl-Gleichung sowohl von der Konturtiefe t [m] eines Profils (mit dem Liftbeiwert cL) als auch von der in dieser Ebene herrschenden Strömungs­geschwindigkeit v [m/s] linear abhängig sowie definitorisch vom Schlankheitsgrad λ= Aa/b2 alsoλ= t/b eines rechteckigen „Vergleichsflügels". Diese Vergleichsgeometrie in Verbindung mit einer von Prandtl vorausgesetzten elliptischen Auftriebsverteilung, bereitet in einer verallgemeinernden Argumentation natürlich Sorge. Die Einheit der Zirkulation Γ [m2s-1] erscheint insofern seltsam, solange wir uns nicht vergegenwärtigen, dass der Tragflügel an seinem Randbogen eine Umformleistung am Fluid vollbringt. Die Zirkulation darf als treibendes Element in einem strömungsdynamischen Produktionsterm angesehen werden. Von einer fluiddynamisch wirksamen Tragfläche wird produziert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der kumulierten Widerstandsleistung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] kommt dem induzierten Widerstand die Hauptrolle zu. Der induzierte Widerstand und der Koeffizient des induzierten Widerstands sind wie oben gezeigt herleitbar als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

¹ Der Autor war 1981 als Student und von 1988 bis 1999 Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fachgebiet Bionik und Evolutionstechnik der Technischen Universität Berlin. Die in dieser Zeit herrschende Lehrmeinung und das verwendete Bildmaterial nach Darstellungen am Fachgebiet, ist Gegenstand des Aufsatzes und wird im Text KURSIV dargestellt. Das Fachgebiet B&E wurde im April/Mai dieses Jahres (2017) aufgelöst.

² Ingo Rechenberg (* 20.11.1934 in Berlin) ist einer der Mitbegründer des Einsatzes von evolutionsbiologischen Algorithmen in den Ingenieurwissenschaften. Er war ab 1972 Professor für Bionik an der Technischen Universität Berlin und dann kommissarischer Leiter des Lehrstuhls für Bionik und Evolutionstechnik an der TU Berlin. Die Spinnenart Cebrennus rechenbergi wurde nach ihm benannt. 1982 wird seine Konzentrator-Windturbine BERWIAN (Berliner Windkraft-Anlage) zum Patent angemeldet. BERWIAN kopiert das Prinzip der Strömungsbeschleunigung an einem gespreizten Vogelflügelende. Ehrungen: Lifetime Achievement Award of the Evolutionary ProgrammingSociety/USA(1995), Evolutionary Computation Pioneer Award of the IEEE Neural Networks Society/USA (2002), Senior Fellow of the International Society for Genetic and Evolutionary Computation/USA (2003), Visiting Fellow of the Shanghai Institute for Advanced Studies, Chinese Academy of Sciences (2005)

³ Zur 6. Vorlesung Bionik I: Evolution aerodynamischer Tricks am Vogelflügel. Bildmaterial in Anlehnung an das Skript:, http://www.bionik.tu-berlin.de/institut/skript/vorlb1.htm