Extrait
3
A) Einleitung und motivierendes Beispiel
Streiten sich zwei Funktionen. Sagt die Eine zur Anderen: ,,Lass´ mich jetzt in Ruhe,
sonst leite ich dich ab." Reaktion der Anderen: ,,Ha, ha, mach doch, ich bin die
e-Funktion!"
Dieser Mathematikerwitz sollte bei keinem in der Mathematik versierten Menschen
Verständnisprobleme hervorrufen. Die e-Funktion reproduziert sich beim Ableiten. Ne-
ben der Möglichkeit Witze über diesen Funktionstyp zu erzählen bieten Exponential-
funktionen jedoch noch weitaus interessantere Anwendungsmöglichkeiten. Eine Viel-
zahl von Vorgängen, wie zum Beispiel Wachstumsprozesse, lassen sich mithilfe einer
Exponentialfunktion beschreiben. Wie sagen Statistiker beispielsweise die Entwicklung
der Erdbevölkerung voraus?
Anfang 2016
lebten etwa 7,32 Milliarden Menschen auf der Welt. Der Datenreport der
Deutschen Stiftung Weltbevölkerung sagt für die Weltbevölkerung momentan einen
jährlichen Zuwachs um 1,2% voraus (vgl. weltbevoelkerung.de, Zuwachs der Weltbe-
völkerung). Das bedeutet, dass die Bevölkerungszahl von Jahr zu Jahr mit dem Faktor
1+1,2%, also mit dem Faktor 1,012 multipliziert werden muss. Wie viele Menschen
werden nach diesem Modell im Jahr 2030 auf der Erde leben?
Man modelliert nun das Wachstum mithilfe einer Exponentialfunktion. Die folgende
Funktion gibt die Anzahl der in Jahren auf der Welt lebenden Menschen in Milliarden
an.
= , ,
Um nun die Erdbevölkerung im Jahr 2030 zu berechnen setzt man für
= ein. Es
ergibt sich eine Gesamtbevölkerung von 8,65 Milliarden Menschen.
Neben dieser nun kurz beschriebenen Anwendung der Exponentialfunktion gibt es noch
eine Vielzahl weiterer Möglichkeiten sie zu nutzen. Im Folgenden wird auf zwei weitere
Anwendungsbeispiele näher eingegangen.
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B) Anwendungen der Exponentialfunktion
Bevor jedoch näher auf die Anwendung von Exponentialfunktionen eingegangen wird,
müssen für das zweite und das dritte Kapitel wichtige Grundlagen über Exponential-
funktionen und die Zahl e vermittelt werden.
1. Die Exponentialfunktion und die Eulersche Zahl
Exponentialfunktionen lassen sich in der Form
:
, > darstellen.
Gibt dabei die Variable x die Zeit an, so entspricht der Parameter b dem Bestand zum
Anfangszeitpunkt x = 0. Der Parameter a heißt Wachstumsfaktor.
Im Folgenden soll nun die Stärke des Wachstums von Funktionen der Form
x
a
b
x
f
:
, > untersucht werden. Ein Maß für die Stärke des Wachs-
tums einer Funktion ist die erste Ableitung. Da es sich bei b lediglich um einen konstan-
ten Faktor handelt, wird im Folgenden nur die Ableitung der Funktion
x
a
x
f
:
ermit-
telt: Mit Hilfe des Differentialquotienten, auch h-Methode genannt, erhält man die Ab-
leitung der Funktion f an der Stelle x.
h
a
a
h
a
a
h
a
a
h
x
f
h
x
f
x
f
h
h
x
h
x
h
x
h
x
h
h
1
lim
1
lim
lim
)
(
)
(
lim
)
´(
0
0
0
0
Da
lim
= ist, folgt: = , also = Konstante.
,,Bei der allgemeinen Exponentialfunktion ist die Ableitung
an der Stelle x di-
rekt proportional zum Funktionswert
, kurz:
= ." (Birner, S. 159)
Für den Wert der Basis a, für den
lim
= = gilt, wird die Ableitung der
Exponentialfunktion besonders einfach. Dann gilt nämlich:
= . Dieser spezi-
elle Wert von a soll nun ermittelt werden. Es soll also gelten:
lim
= .
Nun substituiert man und legt fest:
= . Es gilt:
lim
- =lim
-
Damit
lim
= ist, muss für sehr große n gelten: - = und damit
= + . Für große n muss also für die Basis a gelten: = + . Dass der
Grenzwert
lim
+ tatsächlich existiert wies erstmals der Schweizer Mathema-
tiker Leonhard Euler nach. Er zeigte auch, dass es sich dabei um eine irrationale Zahl
handelt. Er bezeichnete diese Zahl mit e. Die Zahl wurde später ihm zu Ehren Eu-ler
´sche Zahl genannt
(vgl. Götz S. 152f.).
5
Der Grenzwert
n
n
n
)
1
1
(
lim
existiert und ist eine irrationale Zahl. Diese heißt Euler'sche
Zahl und wird mit e bezeichnet. e=2,718281828... (vgl. Götz, S. 153).
Wählt man nun als Basis einer Exponentialfunktion die Zahl e, so hat man eine Funkti-
on gefunden, die die schöne Eigenschaft hat, dass die Funktion mit ihrer Ableitung
übereinstimmt. Für den Graphen der Funktion bedeutet dies, dass in jedem Punkt die
Steigung der Tangente gleich dem Funktionswert ist.
Die natürliche Exponentialfunktion (e-Funktion)
x
e
x
f
:
stimmt mit ihrer Ablei-
tung überein: Es gilt
.
)
(
)
´(
x
e
x
f
x
f
Im Folgenden werden die Eigenschaften und der Graph der e-Funktion angeführt.
Die Funktion f mit
x
e
x
f
)
(
hat den Definitionsbereich
.
IR
D
Sie verhält sich an den Grenzen des Definitionsbereiches wie folgt:
0
lim
x
x
e
und
.
lim
x
x
e
Die e- Funktion besitzt keine Nullstellen, der Graph der e-Funktion verläuft stets ober-
halb der x-Achse. Der Wertebereich ist
.
IR
W
Die y-Achse wird im Punkt (0|1) geschnitten, der Graph verläuft durch den Punkt (1|e).
Außerdem besitzt die e-Funktion ein sehr starkes Wachstum. Sie ,,nimmt für
x
viel stärker zu als jede Potenzfunktion" (Feuerlein, S.114).
Eine mögliche Stammfunktion ist
x
e
x
F
:
.
Da die Ableitung der Exponentialfunktion stets positive Werte annimmt, ist der Graph
der Funktion im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend. Die e- Funktion
ist somit umkehrbar, ihre Umkehrfunktion heißt natürliche Logarithmusfunktion.
Abbildung 1: Graph der e-Funktion
6
Zusammenfassend kann man sagen, dass mit der e-Funktion eine Funktion gefunden
wurde, die die überaus praktische Eigenschaft besitzt, dass sie mit ihrer Ableitung über-
einstimmt. Eine große Anwendung der Exponentialfunktion liegt darin, dass sich mit
ihrer Hilfe Wachstums- und Abklingprozesse sinnvoll modellieren lassen.
2. Die barometrische Höhenformel mit der Exponentialfunktion
Wie funktioniert ein Höhenmesser? Ein Höhenmesser, wie er beispielsweise von Berg-
steigern oder Fahrradfahrern benutzt wird, misst den Luftdruck p. Seine Funktionsweise
beruht darauf, dass die Höhe h abhängig ist vom Luftdruck p:
Unter gewissen Annahmen über die Abnahme des Luftdrucks in Abhängigkeit von
Temperatur und zunehmender Höhe kann man mit Hilfe der barometrischen Höhenfor-
mel aus den Luftdruckdaten p die erreichte Höhe h ermitteln.
Konkrete Problemstellung: Ein Bergsteiger geht an einem kühlen Morgen, die Tempera-
tur beträgt 0°C, in Garmisch-Partenkirchen (ca. 700 m ü. N.N.) los. Der Luftdruck be-
trägt zu diesem Zeitpunkt 1019 mbar (=
2
5
/
10
019
,1
m
N
). Am Mittag misst der
Höhenmesser des Bergsteigers einen Druck von 938 mbar (=
2
5
/
10
938
,
0
m
N
). In wel-
cher Höhe befindet sich der Bergsteiger inzwischen?
Dieses Problem kann näherungsweise mit Hilfe der barometrischen Höhenformel gelöst
werden.
2.1 Vereinfachende Annahmen, physikalische Gesetze und mathematische
Formeln zur Herleitung der barometrischen Höhenformel
Der Druck der uns umgebenden Luft wird durch das Gewicht der Erdatmosphäre verur-
sacht. Da Gase im Gegensatz zu Flüssigkeiten kompressibel sind, nimmt der Druck
beim Aufsteigen nicht linear ab. Um den Druckverlauf p(h) berechnen zu können, muss
man einige vereinfachende Annahmen machen:
Annahme 1: Die Lufthülle der Erde hat überall die gleiche Zusammensetzung. Auf-
grund der guten Durchmischung der Atmosphäre kann man davon ausgehen, dass diese
Annahme annähernd stimmt (vgl. lernhelfer.de, 2. Abschnitt).
Annahme 2: Die Temperatur ändert sich nicht mit zunehmender Höhe. Diese Annahme
ist sehr grob und stimmt nicht. ,,Um höhere Genauigkeit zu erreichen, muß man die
Temperaturverteilung mit messen und die barometrische Höhenformel immer nur auf
hinreichend dünne Schichten der Atmosphäre [...] mit zugehöriger Temperatur anwen-
den." (Gerthsen, S.105)
Ohne diese Vereinfachungen sind aber die später folgenden Rechnungen nicht möglich.
Annahme 3: Für die Teilchen der Atmosphäre gilt die Zustandsgleichung des idealen
Gases:
T
V
p
konst. Dabei ist p der Druck und T die Temperatur des im Volumen V
eingeschlossenen Gases.
7
Außerdem benötigt man folgende Formeln, um den Druckverlauf p(h) ermitteln zu kön-
nen:
Man berechnet den hydrostatischen Druck p bei konstanter Dichte:
p
gh
[1]
ist die Dichte der Atmosphäre, g die Fallbeschleunigung und h die Höhe der Luftsäu-
le über dem Messpunkt.
Da im Unterschied zu Flüssigkeiten die Dichte eines Gases
nicht konstant ist, gilt die Formel nur für eine dünne, infinitesimale Luftschicht der
Höhe dh, innerhalb der die Dichte als konstant angesehen werden kann (vgl. Gerthsen,
S.105). Außerdem gilt für :
V
m
[2]
ist die hierbei Dichte eines Gase, m dessen Masse und V sein Volumen. Des Weiteren
gilt:
p
1
konstant. [3]
Man leitet [3] aus Annahme 2 und Annahme 3 her:
Bei konstanter Temperatur gilt: pV = konstant. Bei einer als konstant anzunehmenden
Masse m und mit [2] gilt dann: p
1
konstant. Bei konstanter Temperatur ist die
Dichte somit proportional zum Druck.
2.2 Herleitung der barometrischen Höhenformel
p
0
und
0
sind Druck bzw. Dichte der Atmosphäre
an einem bestimmten Ort, z.B. am Erdboden (h =
0). h ist die Höhe über dem Erdboden; p(h) und
(h) sind Druck bzw. Dichte der Atmosphäre in
der Höhe h. Analog: p(h+dh) und
(h+dh).
Ist h die Höhe über dem Erdboden, so nimmt bei
weiterem Anstieg um dh der Schweredruck um dp
ab. Mit [1] erhält man für die Druckänderung:
dh
g
h
p
dh
h
p
dp
)
(
)
(
[4]
Zu beachten ist, dass der Ausdruck aufgrund der Druckabnahme negativ ist.
Da wegen [3] gilt:
p
konstant, also
0
0
p
p
, folgt:
0
0
p
p
.
Abbildung 2: Ausgangssituation
(vgl. Gertsen, S. 104)
Fin de l'extrait de 18 pages
- Citation du texte
- Tim Emmert (Auteur), 2016, Die Anwendung der Exponentialfunktion in Natur und Technik, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/372859
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