Die Arbeit behandelt im ersten Teil Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten im Allgemeinen und macht den (auch rechnerischen) Umgang mit ihnen verständlich. Im Hauptteil wird die Cramer'sche Regel, eine Lösungsmethode von linearen Gleichungssystemen jeglicher Größe, anhand eines Beispiels erläutert.
Im weiteren Verlauf werden Vor- und Nachteile der einzelnen vorgestellten Lösungsmethoden, darunter das Gauß'sche Eliminierungsverfahren sowie weitere Anwendungen der Matrizen und Determinanten und einige historische Aspekte beschrieben. Ein Schlussfazit schließt die Arbeit ab.
Gliederung
1. Einleitung
2.1 Lineares Gleichungssystem
2.1.1 Definition
2.1.2 Die drei Lösungsverfahren linearer Gleichungssysteme
2.1.3 Der Gauß-Algorithmus
2.1.4 Homogene und inhomogene Gleichungssysteme
2.2 Matrix
2.2.1 Definition
2.2.2 Arten von Matrizen
2.2.3 Rechenoperationen mit Matrizen
2.3 Determinante
2.3.1 Definition
2.3.2 Berechnung von Determinanten
2.4 Die Cramersche Regel
3. Anwendung von Matrizen und Determinanten
4. Historische Entwicklung
5. Schluss
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit untersucht die theoretischen Grundlagen und praktischen Anwendbarkeit von Matrizen und Determinanten bei der Lösung linearer Gleichungssysteme, um deren Effizienz und Nutzen im Vergleich zu klassischen Verfahren kritisch zu bewerten.
- Grundlegende Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
- Struktur und Rechenoperationen von Matrizen
- Eigenschaften und Berechnungsmethoden von Determinanten
- Anwendung der Cramerschen Regel
- Historische Entwicklung der Matrizen- und Determinantentheorie
Auszug aus dem Buch
2.3.2 Berechnung von Determinanten
Die Determinante einer zweireihigen Matrix berechnet man folgendermaßen: a11*a22 – a12*a21 . Man zieht also vom Produkt der Hauptdiagonalelemente das Produkt der Nebendiagonalelemente ab. Die Nebendiagonale verläuft von rechts oben nach links unten.
Die Sarrus'sche Regel kann nur bei Determinanten für dreireihige Matrizen angewendet werden. Sie funktioniert so: Man schreibt rechts neben die Darstellung der Determinante ihre beiden ersten Spalten noch einmal. Dann multipliziert man die Elemente aller drei Hauptdiagonalen (rot) und jeder Nebendiagonale (blau). Die Produkte der Nebendiagonalelemente zieht man anschließend von den Produkten der Hauptdiagonalelemente ab, wie in diesem Schema verdeutlicht wird:
Um Determinanten für mehr als dreireihige Matrizen auszurechnen, muss man den Laplace'schen Entwicklungssatz anwenden. Pierre-Simon Laplace, ein französischer Mathematiker, Physiker und Astronom entdeckte die Erzeugung von Unterdeterminanten. Die Methode beruht darauf, die Determinante nach einer bestimmten Reihe oder Spalte zu entwickeln. Das erkläre ich an einem Beispiel:
Es soll der Wert dieser vierreihigen Determinante ermittelt werden. Ich entwickle sie nach der dritten Zeile. Das spart wegen der hohen Anzahl an Nullen Rechenaufwand. Zuerst nehme ich die fünf. Dazu werden alle Elemente aus der Reihe der Fünf, also aus der Dritten und aus der Spalte der Fünf, also aus der Ersten gestrichen. Die nichtgestrichenen Elemente werden nun zu einer dreireihigen Determinante zusammengefasst: Der Wert dieser Determinante muss aber noch mit der Fünf und (-1)Zeile+Spalte der Zahl multipliziert werden.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Vorstellung des Themas und der Forschungsfrage, ob Matrizen und Determinanten eine sinnvolle Hilfe bei der Lösung linearer Gleichungssysteme darstellen.
2.1 Lineares Gleichungssystem: Einführung in Definitionen, grundlegende Lösungsverfahren sowie den Gauß-Algorithmus und die Unterscheidung zwischen homogenen und inhomogenen Systemen.
2.2 Matrix: Definition von Matrizen, Erläuterung verschiedener Matrix-Typen und Darstellung der mathematischen Rechenoperationen.
2.3 Determinante: Definition des Determinantenbegriffs sowie Erläuterung der Berechnungsmethoden für verschiedene Matrixgrößen.
2.4 Die Cramersche Regel: Erläuterung der Cramerschen Regel als alternatives Lösungsverfahren für Gleichungssysteme anhand eines konkreten Beispiels.
3. Anwendung von Matrizen und Determinanten: Diskussion der Einsatzgebiete in Mechanik, Elektrotechnik und Ökonomie sowie ein Beispiel zur Umwandlung von Binärzahlen.
4. Historische Entwicklung: Überblick über die mathematische Entdeckungsgeschichte von der Lösung von Gleichungssystemen bis zur Etablierung der Matrizentheorie.
5. Schluss: Zusammenfassende Beantwortung der Forschungsfrage und Reflexion über den Nutzen der untersuchten Methoden im Vergleich zum persönlichen Arbeitsaufwand.
Schlüsselwörter
Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten, Gauß-Algorithmus, Cramersche Regel, Laplace-Entwicklungssatz, Sarrus-Regel, Koeffizientenmatrix, lineare Algebra, homogene Gleichungssysteme, Invertierbarkeit, Unterdeterminanten, Carl Friedrich Gauß, mathematische Verfahren, Matrixrechnung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Facharbeit?
Die Arbeit befasst sich mit der Untersuchung, inwieweit Matrizen und Determinanten beim Lösen linearer Gleichungssysteme als Hilfsmittel dienen können.
Welche Themenfelder stehen im Zentrum?
Die zentralen Themenbereiche sind die Theorie linearer Gleichungssysteme, verschiedene Matrix-Typen, die Berechnung von Determinanten sowie die historische Entwicklung dieser mathematischen Konzepte.
Was ist die Forschungsfrage der Arbeit?
Das primäre Ziel ist es zu prüfen, ob die Nutzung von Matrizen und Determinanten im Vergleich zu klassischen Verfahren bei der Lösung von Gleichungssystemen tatsächlich effizienter und sinnvoller ist.
Welche wissenschaftlichen Methoden kommen zum Einsatz?
Der Autor vergleicht verschiedene Lösungsansätze wie den Gauß-Algorithmus, die Cramersche Regel und klassische algebraische Verfahren, um die Anwendbarkeit zu bewerten.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die methodische Einführung in Gleichungssysteme, die theoretische Definition und Anwendung von Matrizen und Determinanten sowie deren historische Herleitung.
Welche Begriffe charakterisieren die Arbeit am besten?
Die Arbeit lässt sich am besten durch Begriffe wie Lineare Algebra, Matrizenrechnung, Determinanten, Gleichungssysteme und methodische Lösungsverfahren beschreiben.
Wie bewertet der Autor die Cramersche Regel?
Der Autor stellt fest, dass die Cramersche Regel eine schnelle Lösungsmöglichkeit bietet, jedoch für komplexere Systeme eine anfällige Rechenweise darstellen kann.
Sind Matrizen im Alltag des Autors nützlich?
Der Autor kommt zu dem Schluss, dass Matrizen bei kleineren Gleichungssystemen komplizierter sein können, jedoch bei sehr großen und komplexen Aufgaben die Arbeit deutlich erleichtern können.
- Arbeit zitieren
- Hannes Kroke (Autor:in), 2013, Lösen linearer Gleichungssysteme mithilfe von Matrizen und Determinanten, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/377839
