Lösen linearer Gleichungssysteme mithilfe von Matrizen und Determinanten

Gliederung

1. Einleitung

2.1 Lineares Gleichungssystem
2.1.1 Definition
2.1.2 Die drei Lösungsverfahren linearer Gleichungssysteme
2.1.3 Der Gauß-Algorithmus
2.1.4 Homogene und inhomogene Gleichungssysteme
2.2 Matrix
2.2.1 Definition
2.2.2 Arten von Matrizen
2.2.3 Rechenoperationen mit Matrizen
2.3 Determinante
2.3.1 Definition
2.3.2 Berechnung von Determinanten
2.4 Die Cramersche Regel

3. Anwendung von Matrizen und Determinanten

4. Historische Entwicklung

5. Schluss

6. Literatur- und Bildquellenverzeichnis
6.1 Literaturverzeichnis
6.2 Internet-Quellenverzeichnis
6.3 Bildquellen

1. Einleitung

Meine Facharbeit beschäftigt sich mit den Themen Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten. Ich habe mich für dieses Thema entschieden, da mir Gleichungssysteme Spaß machen. Allerdings bin ich gegenüber den Matrizen und Determinanten ein wenig skeptisch, da das auch eine sehr umfangreiche und komplizierte Thematik ist. Der Schwerpunkt dieser Facharbeit wird sein, wie man mit Matrizen und Determinanten Gleichungssysteme lösen kann und ob das überhaupt sinnvoll ist. Ich glaube, dass man sich leichter verrechnen kann und man mehr Zeit für die Lösung benötigt. Ein Ziel dieser Arbeit ist es, dies zu überprüfen.

Ich werde nicht über Determinanten für dreireihige Matrizen hinausgehen, da das Thema Determinanten nicht den Schwerpunkt dieser Arbeit bildet. Ebenso werde ich mich nur mit den wesentlichsten Teilen der Matrizen beschäftigen, da ein tieferes Eindringen in dieses Thema nicht erforderlich ist.

Carl Friedrich Gauß ist ein Mathematiker, mit dem ich mich auch beschäftigen werde. Diese Anekdote, die auf die Erzählungen von Wolfgang Sartorius von Waltershausen^[1] zurückgeht, beschreibt das frühe mathematische Talent von Carl Friedrich Gauß:

Als Gauß sieben Jahre alt gewesen ist, sei er in die Volksschule gekommen. Der Lehrer habe ihm dort eine Aufgabe zur längeren Beschäftigung gestellt. Er solle die Zahlen von 1 bis 100 addieren.

Doch Gauß sei sehr schnell fertig gewesen. Er habe die Aufgabe so gelöst, indem er 50 Paare mit der Summe 101 gebildet hat (1+100; 2+99; 3+98;...;50+51). Damit komme er auf das Ergebnis 5050. Mit den Worten „Ligget se“ (Braunschweiger Plattdeutsch: „Hier liegt sie“) habe er die Antwort auf den Tisch des Lehrers gelegt.^[2]

Diese Methode ist durchaus simpel und unkompliziert und es ist bewundernswert, dass Gauß in diesem Alter schon solche Leistungen vollbringen konnte.

2. Erklärung der Begriffe

2.1 Lineares Gleichungssystem

2.1.1 Definition

Ein lineares Gleichungssystem bezeichnet die Zusammenstellung mehrerer linearer Gleichungen, die alle gleichzeitig erfüllt werden sollen.

Eine lineare Gleichung hat die Form a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = c .Dabei sind a1 ; a2 ; … ; an die Koeffizienten und x1 ; x2 ; … ; xn die Variablen. n ist die Anzahl der Variablen und c bezeichnet man als absolutes Glied.

Ein lineares Gleichungssystem hat die Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei gibt m die Anzahl der Gleichungen an während n die Anzahl der Variablen angibt. Der erste Index eines Koeffizienten gibt an, zu welcher Gleichung er gehört und der zweite zu welcher Variable. Zum Beispiel gehört der Koeffizient a74 zur siebten Gleichung und zur vierten Variable. Wird dagegen ein bestimmter Koeffizient gemeint, dessen Position aber noch unbekannt ist, heißt dieser aij.

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems besteht aus n Zahlen, die in einer festen Reihenfolge angeordnet sind. Wenn man diese Zahlen für die entsprechenden xn einsetzt, erfüllen sie alle Gleichungen des Gleichungssystems. Diese n geordneten Zahlen bezeichnet man auch als n-Tupel.

2.1.2 Die drei Lösungsverfahren linearer Gleichungssysteme

Die drei Lösungsverfahren sind das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren. Diese drei Verfahren werden am häufigsten bei der Lösung zweigliedriger Gleichungssysteme genutzt. Mit zweigliedrig wird gemeint, dass im Gleichungssystem zwei verschiedene Variablen vorkommen und es zwei Gleichungen hat.

Das Gleichsetzungsverfahren beruht auf der Umformung des Gleichungssystems mit folgendem Ziel: Es soll bei beiden linearen Gleichungen die gleiche Variable auf einer Seite der jeweiligen Gleichung allein steht. Da diese beiden Variablen ja gleich sind, kann man die anderen beiden Teile der beiden Gleichungen dann also gleichsetzen. Die erhaltene Gleichung wird nach der in dieser Gleichung existierenden Variablen umgestellt. Dieser Wert wird dann in eine der beiden Anfangsgleichungen eingesetzt und damit die andere Variable ausgerechnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer beliebigen Variablen umgestellt und dann der Wert dieser Variablein die andere Gleichung eingesetzt. Die danach folgenden Schritte wurden schon in der Beschreibung des Gleichsetzungsverfahrens erklärt.

Beim Additionsverfahren wird die eine Gleichung zu der anderen addiert beziehungs-weise subtrahiert. Vorher müssen die beiden Gleichungen so umgestellt werden, dass der Wert des Koeffizienten einer Variable die Gegenzahl des

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wertes des Koeffizienten der selben Variable in der zweiten Gleichung ist. Zum Beispiel ist die Gegenzahl von 4 -4 und von -10 10. Durch Addition der Gleichungen fällt dann eine Variable weg. Man kann die Gleichungen auch voneinander subtrahieren, in diesem Fall müssen dann aber beide Koeffizienten gleich sein. Eine weitere Voraussetzung ist, dass Gleichheitszeichen unter Gleichheitszeichen, Variable 1 unter Variable 1 und Variable 2 unter Variable 2 stehen muss. Nachdem man diese Variable ausgerechnet hat, wird, wie auch in den anderen Verfahren erklärt, auf diese Art und Weise die andere Variable ausgerechnet.

2.1.3 Der Gauß-Algorithmus

Die Anwendung des Gauß-Algorithmus ist am sinnvollsten, wenn man ein Gleichungssystem mit mehr als drei Variablen lösen möchte. Nach Gauß muss das Gleichungssystem mithilfe zweier verschiedener Rechenoperationen umgeformt werden, sonst verfälscht sich das Ergebnis.

1. Vertauschen zweier Gleichungen des Systems
2. Addieren/Subtrahieren einer Gleichung oder eines Vielfachen dieser Gleichung zu/von einer anderen Gleichung.

Diese Rechenoperationen werden als minimalinvasiv bezeichnet. Das heißt, dass sie die Lösung/en des linearen Gleichungssystems und den Wert der Determinante (→ 2.3) nicht verändern.

Das Ziel der Kombination dieser Umformungen ist es, das Gleichungssystem in Dreiecksform zu bringen. Bei der Dreiecksform sind alle Elemente oberhalb/unterhalb der Hauptdiagonale, welche von links oben nach rechts unten verläuft, gleich null. Danach wird in der Gleichung, in der nur noch eine Variable übriggeblieben ist, diese Variable ausgerechnet. Jetzt dürfen auch andere Rechenoperationen als diese beiden durchgeführt werden. Der Wert dieser Variable wird dann in die zweite Gleichung eingesetzt und die nächste Variable berechnet. Diese beiden Variablen werden dann in die Nächste eingesetzt und so weiter, bis man alle Variablen ausgerechnet hat.

Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.1.4 Homogene und inhomogene Gleichungssysteme

Ein Gleichungssystem heißt homogen wenn alle Absolutglieder cm =0 sind. Sobald mindestens eins dieser Absolutglieder cm ≠ 0 ist, heißt das Gleichungssystem inhomogen.

Jedes homogenes Gleichungssystem hat mindestens eine Lösung, und zwar alle xn=0 . Das nennt man auch die triviale Lösung des Gleichungssystems. In seltenen Fällen gibt es keine weiteren Lösungen. Das ist aber nur möglich, wenn die Determinante ( → 2.3 ) des homogenen Gleichungssystems ungleich null ist. Ansonsten gibt es immer mindestens eine nichttriviale Lösung.

2.2 Matrix

2.2.1 Definition

Eine Matrix ( Pl.: Matrizen ) ist eine aus m Zeilen und n Spalten bestehende rechteckige Anordnung von Elementen. Sie werden unter anderem zur Lösung und Darstellung linearer Gleichungssysteme verwendet. Die Elemente einer Koeffizientenmatrix sind die Koeffizienten der Variablen des linearen Gleichungssystems. Diese Anordnung wird von einer großen Klammer umschlossen. Die Matrix wird mit einem Großbuchstaben, meist fett und kursiv geschrieben, bezeichnet, um sie von anderen Zahlengrößen zu unterscheiden. In dieser Arbeit wird ausschließlich mit reellen Matrizen gearbeitet. Das heißt, dass alle Elemente der Matrizen Elemente der reellen Zahlen sind.

Die Indexbezeichnung entspricht der der linearen Gleichungssysteme. Die allgemeine Form einer Matrix sieht so aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2.2 Arten von Matrizen

Es gibt viele verschiedene, spezielle Arten von Matrizen. Die wichtigsten davon werden hier aufgelistet und kurz erklärt:

1. Die Zeilen- Spalten- und die quadratische Matrix

Eine Zeilenmatrix hat nur eine Zeile und n Spalten. Eine Spaltenmatrix im Gegensatz dazu hat eine Spalte und m Zeilen. Das könnte zum Beispiel so aussehen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei einer quadratischen Matrix ist die Zeilenanzahl gleich der Spaltenanzahl. Es gilt: m=n.

2. Obere und untere Dreiecksmatrix

Eine Matrix heißt obere/untere Dreiecksmatrix, wenn alle Elemente unterhalb/oberhalb der Hauptdiagonale gleich null sind.

3. Diagonalmatrix

Sind alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale gleich null, spricht man von einer Diagonalmatrix. Sie ist durch den Buchstaben D gekennzeichnet.

4. Die Einheitsmatrix

Sie ist eine spezielle Form der Diagonalmatrix. Alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale sind null, alle Elemente auf der Hauptdiagonale sind 1. Die Einheitsmatrix wird meist mit dem Buchstaben E geschrieben. Selten ist sie durch ein I gekennzeichnet.

5. Die Nullmatrix

Alle Elemente der Nullmatrix sind 0. Sie ist durch die Zahl 0 gekennzeichnet.

6. Reguläre, singuläre, symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen

Eine Matrix ist symmetrisch, wenn gilt: aij = aji . Wenn man also eine symmetrische Matrix an der Hauptdiagonale spiegeln würde, würde man die gleiche Matrix erhalten. Im Gegensatz dazu heißt eine Matrix schiefsymmetrisch, wenn gilt: aij = - aji . Alle Elemente auf der Hauptdiagonale einer (schief-)symmetrischen Matrix müssen null sein!

Eine Matrix ist regulär, wenn ihre Determinante (→ 2.3 ) det A ≠ 0 ist. Reguläre Matrizen sind invertierbar . Dagegen ist eine Matrix singulär, wenn ihre Determinante det A = 0 ist.

7. Die erweiterte Koeffizientenmatrix

Die erweiterte Koeffizientenmatrix sieht so aus wie die Koeffizientenmatrix, nur dass die rechte Klammer durch einen senkrechten Strich ersetzt wird und rechts davon die Absolutglieder stehen, so wie sie im Gleichungssystem angeordnet sind. Dann erst folgt die Klammer ganz rechts.

[...]

^[1] Von Waltershausen, Wolfgang Sartorius. Seite 12. 1856.

^[2] http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauß#Eltern.2C_Kindheit_und_Jugend