Diese Bachelorarbeit erläutert die discontinuous Galerkin Methode zur numerischen Lösung hyperbolischer Differentialgleichungen, wobei der Fokus auf den Eulergleichungen liegt. Aufbauend auf Hesthaven und Warburton wird dieses Verfahren für den eindimensionalen Fall hergeleitet und beschrieben sowie anhand verschiedener Beispiele wichtige Elemente dieses Verfahrens demonstriert.
Ziel dieser Arbeit ist es, die Bedeutung des Limiters für die Leistungsfähigkeit dieser Methode zu erläutern. Hierzu werden der TVD-Limiter sowie verschiedene TVB-Limiter demonstriert sowie der Positivitätslimiter nach Zhang und Shu implementiert und anschließend die Verbesserung der Genauigkeit des Verfahrens durch seine Anwendung untersucht. Es kann dabei gezeigt werden, dass das Ausführen dieses Limiters vor dem konventionellen TVB-Limiter eine qualitativ hochwertigere Lösung ermöglicht. Außerdem wird die Möglichkeit eröffnet, die Eulergleichungen in hoher Konvergenzordnung auch für solche Fälle zu lösen, bei denen durch die numerische Lösung unphysikalische Werte angenommen werden könnten. Letzteres würde ansonsten zum Zusammenbruch der Simulation führen.
Hierdurch ist man in der Lage, trotz des zusätzlichen Rechenaufwands für das Limiting in kürzerer Zeit genauerer Lösungen für die Eulergleichungen zu finden. Auch die Exaktheit bei der Berechnung von Problemen mit Unstetigkeitsstellen wird verbessert.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Grundlagen des discontinuous Galerkin Verfahrens
- Kernelemente am Beispiel der skalaren Advektionsgleichung
- Erweiterung auf den nichtlinearen, nichtskalaren Fall
- Implementierung
- Erste Anwendungen und Analyse
- Modifikationen für den nichtlinearen Fall
- Kurzer Exkurs zu Erhaltungsgleichungen.
- Das nichtlineare Schema
- Einführung zum Limiting
- Umsetzung für die eindimensionalen Eulergleichungen
- Anwendung
- Fortgeschrittenes Limiting
- Limiting in charakteristischen Variablen
- Positivitätslimiter.
- Schluss
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Bachelorarbeit befasst sich mit der discontinuous Galerkin Methode zur numerischen Lösung hyperbolischer Differentialgleichungen, insbesondere der Eulergleichungen. Der Schwerpunkt liegt auf der Analyse der Bedeutung des Limiters für die Leistungsfähigkeit dieser Methode.
- Herleitung und Beschreibung des discontinuous Galerkin Verfahrens für den eindimensionalen Fall
- Demonstration wichtiger Elemente des Verfahrens anhand von Beispielen
- Untersuchung der Verbesserung der Genauigkeit des Verfahrens durch Anwendung des Positivitätslimiters
- Vergleich verschiedener Limiter wie TVD und TVB
- Analyse der Auswirkungen des Limiters auf die Effizienz und Genauigkeit der Simulationen
Zusammenfassung der Kapitel
- Kapitel 1: Einleitung:
Dieses Kapitel führt in die Thematik der numerischen Simulationen in der Physik ein, insbesondere im Bereich der Astrophysik. Es erläutert die Bedeutung der Eulergleichungen als zentrale Gleichungen der Fluiddynamik und stellt deren Relevanz in der numerischen Simulation dar.
- Kapitel 2: Grundlagen des discontinuous Galerkin Verfahrens:
Dieses Kapitel beschreibt die discontinuous Galerkin Methode als ein leistungsstarkes numerisches Verfahren zur Lösung hyperbolischer Differentialgleichungen. Es behandelt die Kernelemente des Verfahrens am Beispiel der skalaren Advektionsgleichung und erläutert die Erweiterung auf den nichtlinearen, nichtskalaren Fall. Die Implementierung und erste Anwendungen werden ebenfalls behandelt.
- Kapitel 3: Modifikationen für den nichtlinearen Fall:
Dieses Kapitel befasst sich mit den Modifikationen des discontinuous Galerkin Verfahrens, die für den nichtlinearen Fall erforderlich sind. Es beinhaltet einen kurzen Exkurs zu Erhaltungsgleichungen, die Herleitung des nichtlinearen Schemas sowie die Einführung des Limiters als wichtigen Bestandteil der Methode.
- Kapitel 4: Fortgeschrittenes Limiting:
Dieses Kapitel behandelt verschiedene Limiter-Techniken, insbesondere das Limiting in charakteristischen Variablen. Der Fokus liegt auf dem Positivitätslimiter, der die numerische Lösung stabilisiert und die Genauigkeit erhöht.
Schlüsselwörter
Discontinuous Galerkin Methode, Eulergleichungen, numerische Simulation, hyperbolische Differentialgleichungen, Limiting, TVD-Limiter, TVB-Limiter, Positivitätslimiter, Erhaltungsgleichungen, Astrophysik.
- Quote paper
- Niklas Götz (Author), 2017, Positivitätserhaltende Methoden hoher Konvergenzordnung für die eindimensionalen Eulergleichungen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/378178
