Diese Bachelorarbeit erläutert die discontinuous Galerkin Methode zur numerischen Lösung hyperbolischer Differentialgleichungen, wobei der Fokus auf den Eulergleichungen liegt. Aufbauend auf Hesthaven und Warburton wird dieses Verfahren für den eindimensionalen Fall hergeleitet und beschrieben sowie anhand verschiedener Beispiele wichtige Elemente dieses Verfahrens demonstriert.
Ziel dieser Arbeit ist es, die Bedeutung des Limiters für die Leistungsfähigkeit dieser Methode zu erläutern. Hierzu werden der TVD-Limiter sowie verschiedene TVB-Limiter demonstriert sowie der Positivitätslimiter nach Zhang und Shu implementiert und anschließend die Verbesserung der Genauigkeit des Verfahrens durch seine Anwendung untersucht. Es kann dabei gezeigt werden, dass das Ausführen dieses Limiters vor dem konventionellen TVB-Limiter eine qualitativ hochwertigere Lösung ermöglicht. Außerdem wird die Möglichkeit eröffnet, die Eulergleichungen in hoher Konvergenzordnung auch für solche Fälle zu lösen, bei denen durch die numerische Lösung unphysikalische Werte angenommen werden könnten. Letzteres würde ansonsten zum Zusammenbruch der Simulation führen.
Hierdurch ist man in der Lage, trotz des zusätzlichen Rechenaufwands für das Limiting in kürzerer Zeit genauerer Lösungen für die Eulergleichungen zu finden. Auch die Exaktheit bei der Berechnung von Problemen mit Unstetigkeitsstellen wird verbessert.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Grundlagen des discontinuous Galerkin Verfahrens
2.1 Kernelemente am Beispiel der skalaren Advektionsgleichung
2.2 Erweiterung auf den nichtlinearen, nichtskalaren Fall
2.3 Implementierung
2.4 Erste Anwendungen und Analyse
3 Modifikationen für den nichtlinearen Fall
3.1 Kurzer Exkurs zu Erhaltungsgleichungen
3.2 Das nichtlineare Schema
3.3 Einführung zum Limiting
3.4 Umsetzung für die eindimensionalen Eulergleichungen
3.5 Anwendung
4 Fortgeschrittenes Limiting
4.1 Limiting in charakteristischen Variablen
4.2 Positivitätslimiter
5 Schluss
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit befasst sich mit der numerischen Lösung hyperbolischer Differentialgleichungen, insbesondere der Eulergleichungen, mittels der discontinuous Galerkin Methode. Das Ziel ist es, durch den Einsatz verschiedener Limiter die Stabilität und Genauigkeit bei unstetigen Lösungen (Schocks) zu verbessern, ohne die Konvergenzordnung zu beeinträchtigen.
- Herleitung und Implementierung der discontinuous Galerkin Methode für den eindimensionalen Fall.
- Analyse und Modifikation für nichtlineare Systeme und Eulergleichungen.
- Vergleich und Optimierung verschiedener Limiter-Konzepte (TVD, TVB).
- Implementierung eines Positivitätslimiters zur Sicherstellung physikalischer Werte (Dichte und Druck).
Auszug aus dem Buch
3.1 Kurzer Exkurs zu Erhaltungsgleichungen
Wir betrachten nachfolgende Gleichung in Erhaltungsform ∂u ∂t + ∂f(u) ∂x = 0, x ∈ [L, R] = Ω, t ≥ 0, u(x, 0) = u0(x), wobei f(u) die als konvex angenommene Fluss-Funktion ist. Wie zuvor sollen die Randbedingungen an dem Bereich vorgegeben sein, wo der Fluss eintritt. Wir haben hiermit eine skalare Erhaltungsgleichung, da folgende Bedingung erfüllt ist d dt b a u(x)dx = f(u(a)) − f(u(b)). (3.1)
Diese Identität zwischen der zeitlichen Änderung des Raumintegrals und der Differenz zwischen eintretendem und austretendem Fluss ist von fundamentaler Bedeutung innerhalb der Physik. Zahlreiche Größen, wie Masse, Ladung, Wärme etc., können dadurch beschrieben werden. Auch unsere Eulergleichungen sind Erhaltungsgleichungen.
Bisher haben wir einen linearen Fluss f = au betrachtet. Für diesen lässt sich mittels der Methode der Charakteristiken zeigen, dass die Lösung dann glatt ist, wenn dies auch für die Anfangsbedingung der Fall ist (siehe auch [17]).
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Die Einleitung motiviert die Notwendigkeit numerischer Simulationen in der Physik und führt die Eulergleichungen als zentrale hyperbolische partielle Differentialgleichungen ein.
2 Grundlagen des discontinuous Galerkin Verfahrens: Dieses Kapitel erläutert die mathematische Struktur des DG-Verfahrens anhand der Advektionsgleichung und diskutiert die numerische Implementierung.
3 Modifikationen für den nichtlinearen Fall: Hier wird das Verfahren auf nichtlineare Probleme erweitert, wobei der Fokus auf dem Umgang mit Unstetigkeiten mittels Limiting-Techniken liegt.
4 Fortgeschrittenes Limiting: Dieses Kapitel vertieft das Thema Limiting durch die Einführung von charakteristischen Variablen und Positivitätslimitern zur Stabilisierung der Simulation.
5 Schluss: Das Schlusskapitel resümiert die Ergebnisse und gibt einen Ausblick auf potenzielle Erweiterungen, wie die Parallelisierung und höhere Dimensionen.
Schlüsselwörter
discontinuous Galerkin, Eulergleichungen, hyperbolische Differentialgleichungen, numerische Simulation, Limiting, TVD-Limiter, TVB-Limiter, Positivitätslimiter, Konvergenzordnung, Stabilität, Sod-Problem, Shu-Osher-Problem, Erhaltungsgleichungen, Charakteristische Variablen, Finite-Volumen-Verfahren
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die numerische Simulation von physikalischen Strömungsproblemen mittels der discontinuous Galerkin Methode.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der Stabilitätsanalyse, der Erhaltungseigenschaft, der Implementierung numerischer Flussfunktionen und der Anwendung spezieller Limiter bei Schockwellen.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist die Stabilisierung der numerischen DG-Lösung für nichtlineare Eulergleichungen unter Beibehaltung hoher Konvergenzordnung, besonders wenn Unstetigkeiten auftreten.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird die discontinuous Galerkin Methode (DG-Methode) verwendet, ergänzt durch verschiedene TVD-, TVB- und Positivitätslimiter sowie Runge-Kutta-Zeitintegration.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil umfasst die mathematische Herleitung des Verfahrens, die Implementierung in Matlab sowie die Analyse an Testbeispielen wie dem Sod-Problem und dem Shu-Osher-Problem.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit wird maßgeblich durch Begriffe wie discontinuous Galerkin, Eulergleichungen, Limiting, Stabilität und Konvergenzordnung geprägt.
Warum ist das Limiting für Eulergleichungen so kritisch?
Ohne Limiting führen Oszillationen bei Unstetigkeiten zu unphysikalischen Werten für Dichte oder Druck, was den Zusammenbruch der gesamten Simulation zur Folge haben kann.
Worin liegt der Vorteil des Positivitätslimiters?
Er garantiert, dass physikalische Größen wie Druck und Dichte stets positiv bleiben, was die Simulation von Fällen ermöglicht, in denen sonst durch numerische Fehler Instabilitäten auftreten würden.
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- Niklas Götz (Autor), 2017, Positivitätserhaltende Methoden hoher Konvergenzordnung für die eindimensionalen Eulergleichungen, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/378178
