Risiko an der Börse. Zwischen Ruin und Millionär

Inhalt

1. Kontrolliere deine Risiken

2. Mathematische Grundlagen
2.1. Risikotheorie
2.2. Folgen und Reihen
2.3. Bernoulli-Verteilung
2.3.1. Binomial-Verteilung
2.3.2. stochastische Unabhängigkeit
2.4. Martingal-Wahrscheinlichkeit

3. Risikoanalyse
3.1. Sensitivitätsparameter
3.2. Diversifikationen von Risiken
3.3. Hedging von Risiken
3.4. Value-at-risk

4. UBS Skandal

5. Zusammenfassung

6. Quellenverzeichnis
6.1. Literaturverzeichnis
6.2. Abbildungsverzeichnis

1. Kontrolliere deine Risiken

Risiko. Ein im Volksmund negativ behafteter Begriff. Die eigentliche Bedeutung ist „Wagnis oder Gefahr“ ([1] S.1). Risiko wird weitgehend als möglicher Eintritt eines negativen, nicht gewollten Ereignisses verstanden. Die meisten Risiken werden entweder ganz oder gar nicht eingegangen (vgl. [2] S. 16). Die wenigsten versuchen den negativen Ausgang so gering wie möglich zu halten. Hier kommt das Risikomanagement ins Spiel. Durch mathematische und gut durchdachte Methoden wird versucht den Ausgang des Wagnisses so kontrolliert wie möglich zu halten und den „worst case“, also den schlimmstmöglich eintretenden Fall zu unterbinden. Größere Unternehmen müssen Risikomanager direkt in die Unternehmensführung mit aufnehmen, um direkt in die Geschehnisse mit eingreifen zu können, auch wenn diese nicht so gerne gesehen werden (vgl. [2]S. 64).

Ein altes Sprichwort von Kaufmänner lautet: „Wer nicht wagt, der nicht gewinnt“ ([2] S. 24) und somit spart man sich in den meisten Unternehmen die Risikomanager, da diese doch nur versuchen, riskante Geschäfte zu unterbinden oder diese aus Sicht eines Geschäftsmanns durch unnötige Absicherungen nur in die Länge ziehen und dies dadurch nur am Ende den Kunden vertreiben könnte (vgl. [2]). Jedoch wird die Rolle eines Risikomanagers von Zeit zu Zeit wichtiger, da große Konzerne ihren Wert erkennen. In Deutschland gibt es seit 1990 eine hohe Anzahl an Insolvenzen und Unternehmerpleiten (vgl. [2] S.29), da diese Risiken nicht genau betrachten werden- mangels fachmännischer Meinungen in den entscheidungsfällenden Etagen.

Aktionäre und private Investoren werden oft als eigenes, kleines Unternehmen dargestellt. Da es, wenn auch nur vom “kleinen Mann“ aus gesehen, oft um größere Summen geht und größere Verluste schmerzhaft sein könnten ist ein eigenes Risikomanagement bei Investitionen viel Geld wert. Aktionäre müssen vor dem Kauf und auch vorm dem Verkauf einer Aktie genau wissen, welches Risiko sie eingehen oder welche Chancen sie verschwenden könnten. Denn das größte Risiko ist, Chancen überhaupt erst nicht zu ergreifen.

2. Mathematische Grundlagen

2.1. Risikotheorie

Risiko hat auch in der Mathematik eine feste Definition. Der Risikobegriff wird als Ausgang des unerwünschten Ereignisses (1) (vgl. [2] S.24) verstanden und wird in der Normalverteilung abgebildet. In einer Normalverteilung kann vieles anschaulich dargestellt werden. Sie zeigt den Durchschnitt und die abnehmenden Abweichungen deutlich auf. Die Formel der Normalverteilung laut:

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ist der Erwartungswert (vgl.[14]S. 77), also der eigentlich gewollte und erwartete Wert.[2] sind die Varianz und die Streuung vom Erwartungswert. Diese Abweichungen werden als die wie bei (1) genannten unerwünschten Ereignisse verstanden und werden somit Risiko genannt. Der Wurzelwert (3) ist bekannt als Standardabweichung. Man will also nur den Erwartungswert und nicht die möglichen nicht gewollten Ergebnisse.

Die bekannteste Verteilung nennt sich Standardnormalverteilung. Bei dieser Verteilung wird der Mittelwert = 0 genommen und die Standardabweichung von = 1. Die Standardnormalverteilung (0Ǣ 1) (4) wird genannt (vgl.[4]). Man setzt nun die Werte in die Normalverteilung ein.

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Abb. 1: Eine Standardnormalverteilung

In Abb. 1 sieht man gut den bereits erwähnten Mittelwert und die abnehmende Häufigkeit der Abweichung. Diese Abweichungen links und rechts des Maximums sind die unerwünschten Ereignisse (1) und dessen Wahrscheinlichkeit (bzw. die Gegenwahrscheinlichkeit des Maximums) ist das Risiko, nicht das geplante Ergebnis zu erlangen.

2.2. Folgen und Reihen

In der Mathematik können Berechnungen lange und damit unübersichtlich werden. Folgen und Reihen bringen durch einfache Logik Ordnung und eine klare Struktur in die Rechnung. Somit können vor allem Leichtsinns- und grobe Fehler minimiert werden.

Folgen sind schon seit den ersten Jahrgangsstufen in der Schule bekannt. Die Logik dahinter ist demensprechend sehr einfach. () = 1, 2, … , ist die simpelste aller Folgen͘ „Die einzelnen Werte der Folgen heißen Folgeglieder und werden mit Indizes durchnummeriert“[3]. Für n kann man nun eine beliebige ganze Zahl( ∈ ℕ) einsetzen und man erhält „eine endliche Folge mit dem Anfangsglied 1 und dem Endglied “[3].

„Die Summe der Glieder einer Folge [ () ΁ wird als Reihe bezeichnet“[3]. Mathematisch wird die Summe aller Glieder durch das Summenzeichen ∑ abgekürzt (vgl.[3]). Der ganze Operator sieht wie folgt aus:

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Hier ist der Anfang und das Ende der Summe angegeben. n ist hier wie bei den Folgen der Endwert bzw. das letzte Glied der Folge. Der Startwert k gibt an bei welcher Zahl die Summe anfängt hoch zu zählen. Bei i=1 und n=4 fängt die

Summenfolge zum Beispiel bei 1 an und geht bis 4 hoch (1+2+3+4). ist hier die Funktion die jedes Mal um i+1 erhöht wird bis i=n.

Somit werden alle Ergebnisse der Funktion zusammenaddiert.

2.3. Bernoulli-Verteilung

Die Bernoulli-Kette, auch bekannt unter dem Namen „Null-Eins-Verteilung“ (vgl. (4)) [5], ist eine Verteilung mit einzelnen Binomial-Verteilungen. Die einzelnen Experimente haben zwei mögliche Ausgänge. Darunter sind Erfolg (kurz p) (6) und Misserfolg (kurz q) (7) (vgl. [6] S.86). Ein gutes Beispiel ist der Münzwurf (vgl. [6] S. 86], bei der die zwei möglichen Ausgänge Kopf oder Zahl sind. Dies ist ein Zufallsexperiment „mit Zurücklegen“([6] S. 87 und [14] S. 87), sprich falls ein Ereignis eintritt ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses erneut eintritt genauso hoch wie davor und es handelt sich somit um ein stochastisch unabhängiges Experiment.

Eine Bernoulli-Kette mit der Länge n besteht aus n Binomial-Verteilungen (vgl.[14]S.83).

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Abb. 2: Mehrperioden-Binomialmodell

In Abb. 2 erkennt man nun sehr gut, was man unter der Bernoulli-Verteilung versteht. Ein Gitter aus mehreren Binomial-Verteilungen. Jede Teilung beinhaltet zwei Möglichkeiten, Erfolg (6) und Misserfolg (7).

2.3.1. Binomial-Verteilung

Die Binomial-Verteilung ist ein Experiment, bei dem man nur das Ereignis betrachtet und beobachtet, ob Ereignis A (Erfolg) (6) eingetreten ist oder nicht (Misserfolg) (7) (vgl.[6]). X zeigt die verschiedenen Möglichkeiten der potenziellen Eintritte auf und kann folgende Werte annehmen

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und beobachtet das Ergebnis bei n=1 Versuchen. So würde die Wahrscheinlichkeitsfunktion P (X = 1) = p und die Gegenwahrscheinlichkeit

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Die reine Binomialformel lautet

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mit q= 1-p und {1Ǣ 2Ǣ … Ǣ ሽ. Z ist hier die Zufallsgröße die meistens als X bezeichnet wird.

Der Binomialkoeffizient wird definiert durch

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Wenn man die Wahrscheinlichkeit bei dem genau k-ten Treffer wissen will, lautet die Formel nach (9) und (10) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Benötigt man allerdings die Gesamtwahrscheinlichkeit bei dem k-ten Treffer lautet die Formel [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Die Binomial- Verteilung zeigt also die Wahrscheinlichkeit des Erfolges (6) bzw.

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