Die mathematischen Grundlagen harmonischer Schwingungen und die Fourierzerlegung


Hausarbeit, 2016
26 Seiten, Note: 1,7

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

1 Einleitung

2 Grundlagen
2.1 Harmonische Schwingungen
2.2 Fourier-Reihenentwicklung
2.3 Approximationseigenschaften

3 Bearbeitung der Themenstellung
3.1 Fourierzerlegung eines Rechtecksignals
3.2 Berechnung einer Dreieckfunktion aus dem Fourierkoeffizienten
3.3 Berechnung der Spektrallinien

4 Zusammenfassung

Literaturverzeichnis

Anhang

Abbildungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Darstellung einer harmonischen Schwingung;

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Idealtypische Abbildung der Rechteckfunktion gem. Formel (10)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Graphen gem. Formel (11) der Fourier-Zerlegung eines Rechtecksignals für unterschiedlich viele Summanden n mittels MATLAB (blau: n1 = 1; magenta: n2 = 5; schwarz: n3 = 100; alle anderen Werte sind die Default-Werte)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Graphen des Gibbs’schen Phänomens beim Rechtecksignal, indem unterschiedlich viele Summanden n in Formel (11) eingesetzt und von Formel (10) abgezogen werden mittels MATLAB; für blau: n1 = 1; magenta: n2 = 5; schwarz n3 = 100

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5: Idealtypischer Verlauf der Dreieckfunktion gem. Formel (13) zzgl. definierter Prämissen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 6: Graphen gem. Formel (14) der Fourier-Zerlegung eines Dreiecksignals für unterschiedlich viele Summanden n mittels MATLAB (blau: n1 = 1; magenta: n2 = 5; schwarz: n3 = 100)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 7: Überlagerung je 5 Harmonischer aus Rechtecksignal (Formel (11)) und Dreieckfunktion (Formel (14)) inkl. dazugehöriger Spektralanalyse in der unteren Hälfte der Graphik

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 8: Überlagerung je 5 Harmonischer aus Rechtecksignal (Formel (11)) und Dreieckfunktion (Formel (14)) zzgl. zufälligem Störrauschen inkl. dazugehöriger Spektralanalyse in der unteren Hälfte der Graphik

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 9: Überlagerung je 100 Harmonischer aus Rechtecksignal (Formel (11)) und Dreieckfunktion (Formel (14)) inkl. dazugehöriger Spektralanalyse in der unteren Hälfte der Graphik

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 10: Überlagerung je 100 Harmonischer aus Rechtecksignal (Formel (11)) und Dreieckfunktion (Formel (14)) zzgl. zufälligem Störrauschen inkl. dazugehöriger Spektralanalyse in der unteren Hälfte der Graphik

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

Schwingungen, vor allem mechanische Schwingungen sind im Alltag überall anzutreffen. Seien es Biegeschwingungen von Türmen oder Brücken, der Ultraschall in Festkörpern respektive Flüssigkeiten oder (un-)harmonische Schwingungen bzw. Klänge in der Musik. Meist werden Schwingungen nicht beachtet bzw. wahrgenommen, sondern «einfach» hingenommen. Aufregung herrscht meist, wenn «Explosionen» unter blauem Himmel wahrgenommen werden können: Der Überschallknall. Hörbare Schwingungen (Schallwellen) breiten sich beispielsweise im elastischen Medium Luft – abhängig von Temperatur, Druck, etc. – mit etwa 340 m/s aus und verbreiten sich normalerweise gleichmässig in alle Richtungen von der Lärmquelle ausgehend. Wenn nun ein Flugzeug die Schallmauer durchbricht, d.h. schneller fliegt als dass sich der Schall nach vorne ausbreiten kann, breiten sich die Schallwellen kegelförmig nach hinten vom Flugzeug ausgehend aus. Dieser auf dem Boden wahrgenommene Schall wird als Überschallknall wahrgenommen und bezeichnet. Die Schockwelle bzw. Druckwelle ist die hörbare Komponente beim Fliegen mit Überschallgeschwindigkeit.[1]

In vielerlei Hinsicht ist es in der Technik wichtig auftretende Schwingungen messen zu können, um, falls Schwingungen als Störgrössen in einem System oder dynamischen Prozess auftreten, negative Auswirkungen mitigieren bis beseitigen zu können. Schwingungen werden sowohl in der Mechanik, Elektrotechnik, Biologie als auch in der Ökonomie untersucht, wobei die real auftretenden Signale meist nicht als harmonische Schwingung(en) auftreten.[2] Hauptziel dieser Arbeit ist ein Verständnis für die praktische Wichtigkeit der Schwingungsanalyse zu entwickeln, um der Fragestellung nachzugehen: Wie kann in einem ersten Schritt mittels MATLAB ein Skript zur Berechnung der Spektrallinien programmiert werden? In der Praxis ermöglicht beispielsweise die Schwingungsüberwachung von Maschinen eine stete Kontrolle, da sich einsetzende Schäden oftmals durch Veränderung des Schwingungsspektrums ankündigen. Auch kann in einer laufenden Produktion mittels Schwingungsanalyse eine Qualitätsprüfung vorgenommen werden (z.B. Klangprobe bei Gläsern oder Dachziegel). Modalziele dieses Assignments sind zunächst die Ausarbeitung der mathematischen Grundlagen harmonischer Schwingungen, der Fourierentwicklung sowie der Approximationseigenschaften. Anschliessend wird die Fourierzerlegung eines Rechtecksignals erörtert und die Berechnung einer Dreieckfunktion aus den Fourierkoeffizienten dargestellt werden, ehe mittels MATLAB allgemein auf die Spektralanalyse eines Signals eingegangen wird.

Eingangs werden im Kapitel 2 die grundlegenden Begriffe der harmonischen Schwingung, der Fourier-Entwicklung und die Approximationseigenschaften in den entsprechenden Unterkapiteln definiert und erläutert, wobei auf mathematische Definitionen zurückgegriffen wird. Erstens, harmonische Schwingungen sind ideal für die weitere mathematische Untersuchung, da sie durch den Verlauf phasenverschobener Cosinus- und Sinusfunktionen beschrieben werden können. Mithilfe der Theorie der Fourier-Reihen können (periodische) Signale bzw. Funktionen in eine unendliche Summe bzw. Reihe harmonischer Schwingungen zerlegt werden. Andererseits werden in diesem Zusammenhang ebenfalls die Eigenschaften mathematischer Approximation genauer beschrieben, da die Fourierreihe zunächst eine unendliche Summe darstellt, welche für die exakte Reproduktion des originären Signals benötigt wird.

Im Kapitel 3 werden die eigentlichen Aufgabenstellungen «Fourierzerlegung eines Rechtecksignals», «Berechnung einer Dreieckfunktion aus den Fourierkoeffizienten» und «Berechnung der Spektrallinien» mittels MATLAB®[3], da dieses global verbreitete Programmsystem bestens für Problemstellungen aus der System- und Signaltheorie geeignet ist, bearbeitet und anhand der Vorgaben ausgewertet und bewertet. Dabei werden zahlreiche graphische Auswertungen resultierend aus der Aufgabenstellung dargestellt, insbesondere wird das Hauptaugenmerk auf die Spektralanalyse gelegt, wobei eine (verrauschte) Funktion selbst neben Ihren Frequenzen graphisch dargestellt werden soll.

Im abschliessenden Kapitel 4 werden die gewonnenen Erkenntnisse zusammengefasst und kritisch reflektiert, um zeitgleich weitere Forschungsansätze auf diesem Gebiet liefern zu können.

2 Grundlagen

Zunächst werden die theoretischen Grundlagen der harmonischen Schwingungen, der Fourier-Entwicklung und der Approximationseigenschaften ausgearbeitet. Im Rahmen dieses Assignments kann keine vollumfängliche Betrachtung erfolgen, so wird bspw. nicht näher auf aperiodische Signale eingegangen, welche jedoch eine weitere wichtige Gruppe deterministischer Signale ist.

2.1 Harmonische Schwingungen

Bei periodischen Signalen wiederholt sich ein spezifischer Verlauf in gleichen Intervalle Abb. 1 zeigt den Verlauf einer harmonischen Schwingung, dargestellt durch die ungerade Sinusfunktion gem. Formel (1), wobei die jeweilige Elongation f(t) (de facto Funktionsverlauf in blau), die Amplitude A und die Periodendauer T eingezeichnet sind.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine harmonische Schwingung entsteht u.a. durch eine gleichförmige Kreisbewegung eines Punktes P (=mit konstanter Winkelgeschwindigkeit) um seinen Mittelpunkt mit Abstand in der x, y-Ebene, welche in ein separates kartesisches Koordinatensystem (Vgl. Abb. 1) projiziert wird.[4] Die relevante Periodendauer sei einfacherweise gewählt, da dies eine Periode von Sinus respektive Cosinus darstellt.[5] Somit gilt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Elongation f(t) gibt den Augenblicks- und die Amplitude A den Höchstwert der sich ändernden Variable t an. Mit Perioden- bzw. Schwingdauer T wird die Zeit definiert, welche benötigt wird, bis genau eine Schwingung durchlaufen ist (Vgl. Formel (2)). Ein periodisches Signal wiederholt sich identisch mit jeder Schwingung in T. Im Umkehrschluss definiert der Kehrwert der Periodendauer die Frequenz f, d.h. die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit ( ). Der Term der Sinusfunktion wird durch die Kreisfrequenz w (Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung, deren Projektion die harmonische Schwingung ergibt und wie folgt definiert ist: ) und die Phasenverschiebung j bestimmt. Kreisfrequenz und Phasenwinkel bestimmen den Schwingungszustand im Zeitpunkt t. Der Nullphasenwinkel zum Zeitpunkt bestimmt, mit welcher Elongation die harmonische Schwingung startet.[6] [7]

Im allgemeinen Fall ist die DGL n -ter Ordnung erst durch n Anfangsbedingungen genau definiert. Speziell für Schwingungsgleichungen ist definiert, dass die zweite Ableitung die ursprüngliche Funktion selbst, allerdings mit negativem Vorzeichen darstellt, d.h. es muss nachfolgende Bedingung erfüllt sein: . Nachfolgend wird die Richtigkeit dieser Aussage durch zweimaliges Differenzieren der Formel (1)[8] nachgewiesen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Jede Ableitung verschiebt die Ursprungsfunktion um eine Viertelperiode (π/2 im Bogenmass = 90° im Gradmass) nach links, was bedeutet, dass bewiesen ist.[10] Dieselbe Überlegung gilt analog für die Cosinusfunktion, da diese nur eine phasenverschobene Sinusfunktion darstellt.[11]

2.2 Fourier-Reihenentwicklung

«Die Fourier-Transformierte gibt [...] an, aus welchen (komplexen) harmonischen Schwingungen mit welcher Frequenz [...], welcher (frequenzabhängigen) Amplitude [...] und welcher (frequenzabhängigen) Phasenlage [...] sich ein Signal [...] (zumindest theoretisch) synthetisieren lässt. Die Fourier-Transformation «misst» daher in einem gewissen Sinne den «Frequenzinhalt» eines Signals. Diesen «Frequenzinhalt» nennt man das Spektrum eines Signals.»[12] Die Fourierzerlegung nach dem französischen Mathematiker und Physiker Jean Baptiste Joseph Baptiste (1768-1830) nimmt in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurswissenschaften eine überragende Rolle wahr (z.B. Anwendungen in der Akustik, da akustische Schwingungen in der Regel anharmonisch sind), nachfolgend werden die wichtigsten theoretischen Grundlagen bearbeitet.[13] Gem. der Beobachtungen Fouriers kann jede Kurvenform einer anharmonischen Schwingung durch Addition harmonischer Schwingungen mit je geeigneter Amplitude, Phase und Frequenz dargestellt werden.[14] Das gegebene Intervall sei erneut , die Grundfrequenz ist folglich und die dazugehörige(n) Frequenz(en) lässt/lassen sich durch ganzzahlige Vielfache von n darstellen. Die reelle Fourier-Reihe[15] kann somit als trigonometrisches Polynom gem. Formel (5) beschrieben werden:

[...]


[1] Vgl. o.V. (2016a).

[2] Vgl. BEUCHER (2015a), S. 1-15.

[3] MATLAB® ist eingetragenes Warenzeichen von The MathWorks, Inc.

[4] Vgl. CHIPOT (2016), S. 229-231.

[5] sin (x) und cos (x) sind 2π-periodische Funktionen von ℝ nach ℝ, sin (x + 2π) = sin (x); cos (x + 2π) = cos (x)

[6] Vgl. OTTEN (2009), S. 233-238.

[7] Vgl. BEUCHER (2015a), S. 142f.

[8] Die Schwingungsfunktion gem. Formel (1) stellt die Auslenkung nach der Zeit dar, die erste Ableitung stellt die Geschwindigkeit v(t) und die zweite Ableitung die Beschleunigung a(t)

[9] Da

[10] Vgl. o.V. (2016b).

[11] Vgl. SPAENHAUER/STEINER-CURTIS (2015), S. 1-5.

[12] BEUCHER (2015a), S. 151.

[13] Vgl. OTTEN (2009), S. 261.

[14] Vgl. BEUCHER (2015), S. 7.

[15] Vgl. OTTEN (2009), S. 259-263.

Ende der Leseprobe aus 26 Seiten

Details

Titel
Die mathematischen Grundlagen harmonischer Schwingungen und die Fourierzerlegung
Hochschule
AKAD University, ehem. AKAD Fachhochschule Stuttgart
Veranstaltung
Mathematische und theoretische Grundlagen der Regelungstechnik
Note
1,7
Autor
Jahr
2016
Seiten
26
Katalognummer
V381266
ISBN (eBook)
9783668577145
ISBN (Buch)
9783668577152
Dateigröße
1295 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
grundlagen, schwingungen, fourierzerlegung
Arbeit zitieren
Philipp Stockinger (Autor), 2016, Die mathematischen Grundlagen harmonischer Schwingungen und die Fourierzerlegung, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/381266

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