Hauptziel dieser Arbeit ist, ein Verständnis für die praktische Wichtigkeit der Schwingungsanalyse zu entwickeln, um der Fragestellung nachzugehen: Wie kann in einem ersten Schritt mittels MATLAB ein Skript zur Berechnung der Spektrallinien programmiert werden?
In der Praxis ermöglicht beispielsweise die Schwingungsüberwachung von Maschinen eine stete Kontrolle, da sich einsetzende Schäden oftmals durch Veränderung des Schwingungsspektrums ankündigen. Auch kann in einer laufenden Produktion mittels Schwingungsanalyse eine Qualitätsprüfung vorgenommen werden. Modalziele dieses Assignments sind zunächst die Ausarbeitung der mathematischen Grundlagen harmonischer Schwingungen, der Fourierentwicklung sowie der Approximationseigenschaften.
Anschliessend wird die Fourierzerlegung eines Rechtecksignals erörtert und die Berechnung einer Dreieckfunktion aus den Fourierkoeffizienten dargestellt werden, ehe mittels MATLAB allgemein auf die Spektralanalyse eines Signals eingegangen wird.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Grundlagen
2.1 Harmonische Schwingungen
2.2 Fourier-Reihenentwicklung
2.3 Approximationseigenschaften
3 Bearbeitung der Themenstellung
3.1 Fourierzerlegung eines Rechtecksignals
3.2 Berechnung einer Dreieckfunktion aus dem Fourierkoeffizienten
3.3 Berechnung der Spektrallinien
4 Zusammenfassung
Zielsetzung & Themen
Das Hauptziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Verständnisses für die praktische Relevanz der Schwingungsanalyse. Dabei wird der Frage nachgegangen, wie mittels MATLAB ein Skript zur Berechnung von Spektrallinien programmiert werden kann, um Schwingungssignale in der Praxis zu analysieren und deren Qualität zu überwachen.
- Grundlagen harmonischer Schwingungen
- Fourier-Reihenentwicklung
- Approximationseigenschaften mathematischer Funktionen
- Praktische Implementierung in MATLAB
- Durchführung einer Spektralanalyse
Auszug aus dem Buch
2.1 Harmonische Schwingungen
Bei periodischen Signalen wiederholt sich ein spezifischer Verlauf in gleichen Intervalle Abb. 1 zeigt den Verlauf einer harmonischen Schwingung, dargestellt durch die ungerade Sinusfunktion gem. Formel (1), wobei die jeweilige Elongation f(t) (de facto Funktionsverlauf in blau), die Amplitude A und die Periodendauer T eingezeichnet sind.
Eine harmonische Schwingung entsteht u.a. durch eine gleichförmige Kreisbewegung eines Punktes P (=mit konstanter Winkelgeschwindigkeit) um seinen Mittelpunkt mit Abstand in der x, y-Ebene, welche in ein separates kartesisches Koordinatensystem (Vgl. Abb. 1) projiziert wird. Die relevante Periodendauer sei einfacherweise T = 2π/ω gewählt, da dies eine Periode von Sinus respektive Cosinus darstellt. Somit gilt f(t) dt = f(t) dt; a,t ∈ R.
Die Elongation f(t) gibt den Augenblicks- und die Amplitude A den Höchstwert der sich ändernden Variable t an. Mit Perioden- bzw. Schwingdauer T wird die Zeit definiert, welche benötigt wird, bis genau eine Schwingung durchlaufen ist. Ein periodisches Signal wiederholt sich identisch mit jeder Schwingung in T. Im Umkehrschluss definiert der Kehrwert der Periodendauer die Frequenz f, d.h. die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit. Der Term der Sinusfunktion wird durch die Kreisfrequenz (Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung, deren Projektion die harmonische Schwingung ergibt) und die Phasenverschiebung bestimmt. Kreisfrequenz und Phasenwinkel bestimmen den Schwingungszustand im Zeitpunkt t. Der Nullphasenwinkel zum Zeitpunkt t = 0 bestimmt, mit welcher Elongation die harmonische Schwingung startet.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung führt in die Bedeutung von Schwingungen im Alltag und der Technik ein und definiert das Ziel der Arbeit, die praktische Anwendung der Schwingungsanalyse mittels MATLAB zu erarbeiten.
2 Grundlagen: In diesem Kapitel werden die theoretischen Basisbegriffe der harmonischen Schwingungen, der Fourier-Reihenentwicklung und mathematischer Approximationseigenschaften für die weitere Untersuchung hergeleitet.
3 Bearbeitung der Themenstellung: Hier erfolgt die praktische Umsetzung mittels MATLAB, wobei Rechteck- und Dreiecksignale mittels Fourierzerlegung approximiert und anschließend eine Spektralanalyse durchgeführt wird.
4 Zusammenfassung: Das letzte Kapitel reflektiert kritisch die erzielten Ergebnisse, die Leistungsfähigkeit der entwickelten M-Files sowie aufgetretene Limitationen wie Schmier- und Leakage-Effekte.
Schlüsselwörter
Fourierzerlegung, Schwingungsanalyse, MATLAB, Harmonische Schwingung, Spektralanalyse, Rechtecksignal, Dreieckfunktion, Approximation, Gibbs’sches Phänomen, Frequenzinhalt, Fourier-Reihe, FFT, Systemtheorie, Signalverarbeitung, Periodizität
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der mathematischen und theoretischen Aufarbeitung von Schwingungen sowie deren praktischer Analyse mittels MATLAB-Skripten.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Zentral sind die Fourier-Reihenentwicklung, die Approximation von periodischen Funktionen und die Durchführung einer Spektralanalyse von Signalen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist es, ein Verständnis für die praktische Wichtigkeit der Schwingungsanalyse zu entwickeln und ein MATLAB-Skript zur Berechnung von Spektrallinien zu programmieren.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird ein kombinierter Ansatz aus theoretischer Herleitung mathematischer Grundlagen und deren computergestützter Implementierung (numerische Simulation) in MATLAB angewandt.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil umfasst die Fourierzerlegung eines Rechtecksignals, die Berechnung einer Dreieckfunktion aus Fourierkoeffizienten und die detaillierte Durchführung der Spektralanalyse.
Durch welche Schlüsselwörter lässt sich die Arbeit charakterisieren?
Wichtige Begriffe sind Fourierzerlegung, Schwingungsanalyse, Spektralanalyse, MATLAB, Approximation und Fourier-Reihe.
Was besagt das Gibbs’sche Phänomen im Kontext dieser Arbeit?
Es beschreibt das Auftreten von konstanten Über- oder Unterschwingungen an Sprungstellen einer Funktion, die auch bei einer hohen Anzahl an Fourier-Summengliedern nicht verschwinden.
Welche Limitationen der verwendeten MATLAB-Skripte werden diskutiert?
Es wird auf Probleme wie den Schmier- und Leakage-Effekt hingewiesen, die auftreten können, wenn die Idealbedingungen für die Spektralanalyse nicht erfüllt sind.
- Arbeit zitieren
- Philipp Stockinger (Autor:in), 2016, Die mathematischen Grundlagen harmonischer Schwingungen und die Fourierzerlegung, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/381266
