Mathematische Fähigkeiten von Schülern der Jahrgangsstufe 9 - Analyse eines Tests im Rahmen des Modellversuchs "SINUS-Transfer"

INHALTSVERZEICHNIS

EINLEITUNG

1 Der Modellversuch SINUS-Transfer
1.1 Der BLK-Modellversuch SINUS als Ausgangspunkt
1.1.1 TIMSS als Auslöser
1.1.2 Ziele von SINUS
1.1.3 Aufbau von SINUS
1.1.4 Ergebnisse von SINUS
1.2 Aufbau von SINUS-Transfer
1.3 Ziele von SINUS-Transfer
1.4 Evaluation bei SINUS-Transfer
1.5 Tests im Rahmen von SINUS-Transfer
1.5.1 Allgemeine Informationen
1.5.2 Konstruktionskriterien

2 Mathematische Grundbildung
2.1 Mathematische Grundbildung bei PISA
2.2 Mathematische Grundbildung im Modellversuch
2.3 Bestandteile mathematischer Grundbildung
2.3.1 Grundlegende mathematische Kenntnisse und Fertigkeiten
2.3.2 Mathematische Fähigkeiten
2.3.3 Adäquate Vorstellungen grundlegender mathematischer Inhalte
2.3.4 Mathematische Arbeitstechniken
2.3.5 Angemessenes Bild von Mathematik

3 Das Analyseschema für Aufgaben
3.1 Allgemeiner Aufbau des Analyseschemas
3.2 Spezielle Kategorien und deren Ausprägungen
3.2.1 Curriculare Wissensstufe
3.2.2 Typen mathematischen Arbeitens
3.2.3 Modellieren
3.2.4 Gebrauch von mathematischen Darstellungen
3.2.5 Grundvorstellungsintensität

4 Methodische Grundlagen
4.1 Vorbemerkung
4.2 Das zweikategorielle Raschmodell

5 Analysen und Befunde des Eingangstests: Globalergebnis
5.1 Leistungsverteilung innerhalb der Bildungsgänge
5.2 Kompetenzstufen von Schülern der Klasse 9
5.2.1 Verteilung auf Kompetenzstufen
5.2.2 Unterschiede bei SINUS-Transfer und PISA 2003
5.2.3 Unterschiede bei verschiedenen Typen mathematischen Arbeitens
5.2.4 Unterschiede zwischen Mädchen und Jungen
5.3 Elemente mathematischer Grundbildung als Schwierigkeitsindikatoren

6 Analyse ausgewählter Aufgaben
6.1 Analyse einer Aufgabe zum Proportionalitätsbegriff
6.2 Analyse einer Aufgabe zum Prozentbegriff

7 Fazit

8 Schluss
8.1 Zusammenfassung
8.2 Ausblick

Verzeichnisse

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Anhang

Kodierungsanweisungen zum Eingangstest des Modellversuchs “SINUS-Transfer”, Klasse 9

Leistungen der Schüler aller Klassen nach Bildungsgang

Eidesstattliche Erklärung

EINLEITUNG

"Welches sind die Ursachen für die unbefriedigenden Ergebnisse deutscher Schüler? Welche Konsequenzen sollten wir ziehen, d.h. was können wir tun, um die Qualität und Effektivität unseres Mathematikunterrichts zu steigern?“^[1]

Spätestens seit den Ergebnissen der dritten internationalen Mathematik- und Naturwissenschaftsstudie (TIMSS) aber auch im Zusammenhang mit den PISA-Ergebnissen werden diese Fragen seitens der Mathematikdidaktik, der Bildungsforschung und der Bildungspolitik diskutiert. Eine Antwort darauf ist die Forderung nach einem Unterricht, welcher sich stärker an mathematischer Grundbildung orientiert. Um dieser Forderung gerecht zu werden, wurde der Modellversuch zur Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts, kurz SINUS, ins Leben gerufen. Diesem folgt der derzeitige Modellversuch SINUS-Transfer.

Ziel dieser Arbeit ist es, im Rahmen des Eingangstests zum nordhessischen Modellversuch SINUS-Transfer, die Leistung von Schülern^[2] der neunten Jahrgangsstufe der Modellversuchsschulen bezüglich mathematischer Grundbildung zu beschreiben. Dabei ist die Arbeit zweigeteilt zu verstehen. Im ersten Teil, welcher die Abschnitte eins bis vier umfasst, werden die theoretischen Grundlagen dargestellt. Die Abschnitte fünf bis sieben bilden den zweiten Teil, in welchem die Testergebnisse der Schüler nach verschiedenen Betrachtungsweisen analysiert werden.

Einleitend werden die Ergebnisse der TIMS-Studie als Auslöser dargestellt sowie Ziele und Durchführung dieses und des vorangegangenen Modellversuchs. Weiterhin werden in diesem Abschnitt, Bezug nehmend auf den nordhessischen Modellversuch Mathematik, die teilnehmenden Schulen abgebildet und Kriterien zur Konstruktion des in dieser Arbeit analysierten Eingangstests (Auswahlkriterien und Zusammensetzung der Testaufgaben) veranschaulicht. Anschließend wird aufgrund der verstärkten Grundbildungsorientierung im Modellversuch der Begriff „mathematische Grundbildung“ analysiert. Dabei werden die unterschiedlichen Konzeptionen dieses Begriffs bei PISA und im Modellversuch gegenübergestellt. Im Anschluss an diese Bergriffserklärung werden die einzelnen Elemente dargestellt, anhand welcher die mathematische Leistung von Schülern beschrieben werden kann. Um in einem späteren Abschnitt Merkmale von Aufgaben (z.B. Modellieren oder Grundvorstellungen), als Elemente mathematischer Grundbildung, regressionsanalytisch dahingehend zu untersuchen, wie deren Intensität sich auf die Aufgabenschwierigkeit auswirkt, wird im dritten Abschnitt ein Analyseschema für Aufgaben vorgestellt. Es bildet die Grundlage für eine Kategorisierung der im Test eingesetzten Aufgaben nach ihren Merkmalsausprägungen. Im vierten Abschnitt werden die testtheoretischen Grundlagen des bei dieser Untersuchung verwendeten zweikategoriellen Raschmodells zur Berechnung der Fähigkeitswerte für Schüler und Schwierigkeitswerte für Aufgaben dargestellt, um einen Einblick in das Vorgehen bei solchen Testauswertungen zu geben.

Zu Beginn des fünften Abschnitts wird die Leistung der Schüler global anhand der erreichten Fähigkeitswerte dargestellt. Daran schließt sich einerseits die Formulierung von Kompetenzstufen an, um zu veranschaulichen, welche mathematische Kompetenz sich hinter den abstrakten Fähigkeitswerten verbirgt und andererseits die Verteilung der Schüler auf diese Stufen mathematischer Kompetenz. Außerdem erfolgt ein tendenzieller Vergleich der Schülerleistungen bei SINUS-Transfer mit denen von PISA. Weiterhin soll analysiert werden, ob bildungsgangspezifische Abweichungen bei verschiedenen Typen mathematischen Arbeitens vorliegen und sich eine heterogene Kompetenzverteilung zwischen Mädchen und Jungen bestätigt. Der Zusammenhang zwischen verschiedenen aufgabenanalytischen Kategorien und der empirischen Schwierigkeit der Testaufgaben bildet einen weiteren Untersuchungsgegenstand. Im sechsten Abschnitt werden Schülerlösungen zu zwei Aufgaben zum Proportionalitäts- und Prozentbegriff genauer analysiert, um zu untersuchen, welche Vorgehensweisen und Denkstrukturen aber auch Fehlvorstellungen zu diesen beiden zentralen Stoffinhalten der Sekundarstufe I vorrangig zu beobachten sind. Die Teilanalysen dieser beiden Abschnitte sollen somit der Beschreibung mathematischer Fähigkeiten von Schülern dienen, welche an diesem Leistungstest teilgenommen haben.

1 Der Modellversuch SINUS-Transfer

1.1 Der BLK-Modellversuch SINUS als Ausgangspunkt

Hinter dem Namen SINUS verbirgt sich das durch die Bund-Länder-Kommission für Bildungsforschung (BLK) initiierte bundesweite „Programm zur Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts“. Ziel des Programms war eine nachhaltige Verbesserung der Qualität von Unterricht und Lernen in Mathematik und den naturwissenschaftlichen Fächern, welches durch einzelne Modellversuche auf Schulebene für die Dauer von fünf Jahren verfolgt wurde. Ausgelöst wurde diese verstärkte bildungspolitische Diskussion erst durch die von TIMSS diagnostizierten alarmierenden Defizite deutscher Schüler in den Bereichen Mathematik und Naturwissenschaften.

1.1.1 TIMSS als Auslöser

Mit der Veröffentlichung der Ergebnisse von TIMSS (Third International Mathematics and Science Study) im Jahr 1997 wurde in der Öffentlichkeit wie in der Wissenschaft ein regelrechter Schock ausgelöst. Diese Studie, geleitet durch die IEA (International Association for the Evaluation of Education Achievement), untersuchte weltweit Unterricht in Mathematik und Naturwissenschaften, indem qualitative und quantitative Teilstudien zu einem Gesamtbild zusammengefasst wurden. Die einzelnen Teilstudien umfassten international vergleichende Analysen der Lehrpläne und Schulbücher, Leistungstests in den mathematisch-naturwissenschaftlichen Fächern in Verbindung mit Lehrer- und Schülerfragebögen, Videoaufnahmen von Unterrichtsstunden im Fach Mathematik und ethnografische Fallstudien in Deutschland, Japan und den USA.^[3]

Die Ergebnisse aus dieser Untersuchung, welche in 45 Ländern in drei Populationen (Altersjahrgängen) durchgeführt wurde, bescheinigten den deutschen Schülern im internationalen Vergleich anders als erwartet bestenfalls mittelmäßige Leistungen. Im Rahmen dieser Arbeit sollen vordergründig die Ergebnisse für das Fach Mathematik dargestellt werden. Prof. Dr. Jürgen Baumert fasst folgende Punkte als zentrale Ergebnisse zusammen:

- Deutsche Schüler der Jahrgangsstufe 8 erreichen zusammen mit 11 weiteren Ländern ein Leistungsniveau, auf welchem jahrgangstypische Routineaufgaben halbwegs sicher gelöst werden können.
- Deutsche und amerikanische Leistungsergebnisse unterscheiden sich nur darin, dass die deutschen Schüler dieses Leistungsniveau erst in einem höheren Lebensalter erreichen.
- Viele der nord-, ost- und westeuropäischen Teilnehmerstaaten sind deutschen Schülern bezüglich des Leistungsfortschritts durchschnittlich ein Jahr voraus.
- Die Schülerleistungen der Spitzengruppe, welche von den asiatischen Ländern gebildet wird, verdeutlichen ein höheres Niveau an mathematischem Verständnis. Deutsche Schüler sind im Bereich mathematischer Spitzenleistungen verhältnismäßig unterrepräsentiert.
- Die deskriptive Statistik, die Arithmetik und der Umgang mit Maßeinheiten zählen zu den Stärken deutscher Schüler. Relative Schwächen liegen dagegen in den Bereichen Algebra und Geometrie.^[4]

Weiterhin diagnostizierten die Ergebnisse deutschen Schülern vor allem Schwierigkeiten im Umgang mit Aufgabenstellungen, welche mehrschrittige Operationen, komplexes mathematisches Modellieren sowie selbstständiges fachliches Argumentieren verlangen. Die Bearbeitung mathematischer Routineaufgaben, welche durch bloßen Rückgriff auf Alltagswissen und ohne entsprechenden Fachunterricht gelöst werden können, bereitete dagegen weniger Probleme. Hieraus lässt sich erkennen, dass „zwischen den Lehrplänen, die konzeptuelles Verständnis, die Fähigkeit, elementare Operationen zu verknüpfen und den Transfer des Gelernten auf neue Zusammenhänge verlangen, und der Konkretisierung der Lehrplanvorschriften im Unterricht eine Lücke klafft.“^[5]

Entscheidende Ursachen sind in der Gestaltung des Unterrichtsablaufes in Verbindung mit unterschiedlichen Methoden und Techniken zu suchen. So lieferte die Videostudie interessante Erkenntnisse über den typischen Verlauf von Mathematikstunden in Deutschland, Japan und den USA. Während in Deutschland mathematischer Wissenserwerb durch das Einüben und Beherrschen von Verfahren und Routinen gekennzeichnet ist, orientiert man sich in Japan eher an konstruktivistischen Lerntheorien wobei individuelle und aktive Lern- und Verstehensprozesse im Vordergrund stehen.^[6]

Als Reaktion auf diese Ergebnisse wurden vor allem zwei Fragen diskutiert: „Welches sind die Ursachen für die unbefriedigenden Ergebnisse deutscher Schüler? Welche Konsequenzen sollten wir ziehen, d.h. was können wir tun, um die Qualität und Effektivität unseres Mathematikunterrichts zu steigern?“^[7]

Antworten auf die erste Frage gehen zum großen Teil bereits aus den Untersuchungsergebnissen hervor. Diese betreffen vor allem den charakteristischen Ablauf von Mathematikunterricht in Deutschland, welcher sich anscheinend routinemäßiges Lösen von Standardaufgaben zum Ziel gesetzt hat und meist im fragend-entwickelnden Unterrichtsgespräch stattfindet. Diese Art des Lernens hat im Gegensatz zu den seit langem geforderten konstruktivistischen Unterrichtskonzepten, wie selbstständigem oder handlungsorientiertem Lernen, welche durch lerntheoretische und –psychologische Erkenntnisse begründet werden, zur Folge, dass Schüler wenig aktiv am Geschehen teilnehmen, neues und vorhandenes Wissen nicht miteinander vernetzen, da Themenkomplexe getrennt voneinander behandelt werden und sich somit Wissen nicht kumulativ aufbauen kann. Hieraus ergaben sich Forderungen nach einem anderen Verständnis von Unterricht. Dazu gehören aus Sicht der Mathematikdidaktik vor allem „selbstständiges, aktives und mitverantwortliches Lernen und Betreiben von Mathematik durch [...] Schüler, Initiieren und bewertendes Vergleichen vielfältiger Ansätze und Wege beim Bearbeiten von Aufgaben, inhaltliches Argumentieren und Problemlösen, der Aufbau tragfähiger Grundvorstellungen sowie systematisches Wiederaufgreifen und Vernetzen von mathematischen Inhalten im Unterricht“^[8].

Dieser Forderungen nach einem qualitativ verbesserten Unterricht kam die BLK mit dem Modellversuchsprogramm SINUS nach. „Ziel des Programms ist es, zu einer möglichst breit wirksamen Sicherung und Verbesserung der Qualität des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts und langfristig der mathematisch-naturwissenschaftlichen Bildung beizutragen.“^[9] Aufbau, einzelne Ziele und Ergebnisse werden in den nächsten Abschnitten vertiefend dargestellt.

1.1.2 Ziele von SINUS

Als Reaktion auf die erschreckenden Befunde aus der TIMS-Studie beauftragte die BLK eine Expertengruppe unter Leitung von Prof. Dr. Jürgen Baumert (Max-Planck-Institut für Bildungsforschung in Berlin) mit der Erstellung eines Gutachtens, wie Maßnahmen zur Weiterentwicklung des mathematisch-natur-wissenschaftlichen Unterrichts angelegt sein können. Zu Beginn der sogenannten Baumert-Expertise werden zunächst die bildungspolitischen Annahmen umrissen und daran anschließend die verschiedenen Probleme und Prinzipien des Lehrens und Lernens sowie die Bedeutung der Motivation für Unterricht dargestellt. Darauf aufbauend arbeitete die Expertengruppe Aufgaben heraus, welche der Mathematikunterricht erfüllen soll. So war es das Ziel, dass Schüler zum Ende der Sekundarstufe I neben elementaren Rechentechniken unter anderem über folgende Fähigkeiten bzw. Vorstellungen verfügen sollten:

- Eine Vorstellung vom Zahlenbegriff
- Ein grundlegendes Verständnis von funktionaler Abhängigkeit
- Ein Verständnis vom Variablenbegriff
- Ein Verständnis geometrischer Formen der Ebene und des Raumes
- Graphische und tabellarische Darstellungen von Daten lesen und einordnen können
- Handlungswissen, wie es das sogenannte bürgerliche Rechnen bereitstellt
- Elementare heuristische Techniken, wie ein Problem in Teilprobleme aufgliedern, Verknüpfungen bilden und sich verschiedener Darstellungen bedienen^[10]

Zusammenfassend lassen sich diese Ziele als Elemente mathematischer Grundbildung^[11] umschreiben, welche von Seiten der Wissenschaft seit mehreren Jahren gefordert wird und als Teil der allgemeinen Bildung in den Lehrplänen der Sekundarstufe I verankert ist^[12]. Diese verstärkte Grundbildungsorientierung geht einher mit der Reduktion von Kalkülen und routiniertem Einüben von Verfahren, der Vernetzung von Inhalten und Fächern sowie einer Anbindung der Inhalte an reale Kontexte. Weiterhin erfordern die Erkenntnisse aus TIMSS und anderen Studien eine Veränderung der in Deutschland im Fach Mathematik gängigen Unterrichtspraxis bezüglich der Unterrichtsmethodik. Vielseitiges methodisches Vorgehen und die Trennung von Prüfungs- und Lernphasen sollen vor allem das Ziel verfolgen, Schüler zu mehr geistiger Aktivität anzuregen, aber auch die Chance zu vielfältigen Lösungsansätzen und Lösungswegen sowie deren Reflexion bieten^[13]. Um diesen Zielen und Anforderungen einer „Neuen Unterrichtskultur“ gerecht zu werden, erarbeitete die Expertengruppe in ihrem Gutachten ein Gesamtkonzept, welches in elf Arbeitsschwerpunkte (Module) gegliedert ist und den zentralen Bereich des Modellversuchs darstellt. Die Module sind im einzelnen:

1. Weiterentwicklung der Aufgabenkultur im mathematisch-natur-wissenschaftlichen Unterricht
2. Naturwissenschaftliches Arbeiten
3. Aus Fehlern lernen
4. Sicherung von Basiswissen - Verständnisvolles Lernen auf unterschiedlichen Niveaus
5. Zuwachs von Kompetenz erfahrbar machen: Kumulatives Lernen
6. Fächergrenzen erfahrbar machen: Fachübergreifendes und fächer-verbindendes Arbeiten
7. Förderung von Mädchen und Jungen
8. Entwicklung von Aufgaben für die Kooperation von Schülern
9. Verantwortung für das eigene Lernen stärken
10. Prüfen: Erfassen und Rückmelden von Kompetenzzuwachs
11. Qualitätssicherung innerhalb der Schule und Entwicklung schulüber-greifender Standards^[14]

Die Umsetzung der Module lehnte sich an folgenden Grundsatz an: „Prozesse der Qualitätssicherung und Optimierung von Lehren und Lernen in den mathematisch-naturwissenschaftlichen Fächern sollen auf der Ebene der Schule in Gang gesetzt und mit dem Ziel gestützt werden, diesen eine eigene Dynamik zu geben, die über den Modellversuch hinaus trägt. Diese Konzeption greift die Erkenntnis der Implementationsforschung auf, daß in professionellen Handlungszusammenhängen sich Veränderungen nur dann entwickeln und Bestand haben, wenn diese von den Lehrkräften subjektiv angenommen und erfolgreich in veränderte Handlungsroutinen eingebaut werden können.“^[15] Wie diese Umsetzung konkret stattfand, soll im folgenden Abschnitt näher erläutert werden.

1.1.3 Aufbau von SINUS

Die Projektkoordination übernahm das Ministerium für Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (MR Bernhard Brackhahn). Verantwortlich für die Realisierung des Modellversuchs SINUS war das Leibniz-Institut für die Pädagogik der Naturwissenschaften (IPN) in Kiel unter der Leitung von Professor Dr. Manfred Prenzel. Für den Bereich Mathematik wurde das Programm von dem Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung (ISB) in München in Zusammenarbeit mit dem Lehrstuhl für Mathematik einschließlich ihrer Didaktik (Professor Dr. Peter Baptist) an der Universität Bayreuth von fachlicher und fachdidaktischer Seite betreut und unterstützt. „Anders als bei früheren Modellversuchen geht es bei SINUS nicht um die Erprobung und anschließende Implementation neuer Unterrichtsansätze, sondern um eine Weiterentwicklung des Unterrichts durch die Lehrkräfte an der Basis und um eine dauerhafte Etablierung von Qualitätsentwicklungsverfahren in den Fachgruppen der Schulen.“^[16] An diesem auf fünf Jahre angelegten Programm, welches sich auf alle Schulformen der Sekundarstufe I gleichermaßen bezog und im Schuljahr 1998/1999 startete, beteiligten sich alle Bundesländer mit Ausnahme des Saarlandes. Dazu wählte jedes Bundesland einige aus den im letzten Abschnitt aufgezählten Modulen aus. Daraus ergaben sich insgesamt 30 Modellversuche, davon jeweils 15 in Mathematik und den Naturwissenschaften. Zur Umsetzung dieser Projekte wurden Schulsets aus jeweils sechs Schulen gebildet, von denen eine Pilotschule war. Somit nahmen bundesweit insgesamt 180 Schulen teil. In Hessen wurden zwei Modellversuche gebildet: „Gute UnterrichtsPraxis Mathematik“ und „Gute UnterrichtsPraxis Naturwissenschaften“, in welchen die Module 1, 2 und 6 realisiert wurden. Nach der Entscheidung für ein oder mehrere Module sollte an den Schulen der Optimierungsprozess anhand von kleineren Teilschritten erfolgen. Diese waren in drei Phasen gegliedert:

„Phase I: Optimierungsbedarf / Problem bestimmen
1 Optimierungsbedarf bzw. Probleme bewusst machen
2 Probleme akzeptieren
3 Probleme konkretisieren
4 Problem auswählen und sich vornehmen
5 Problem definieren: Ziel und Ausgangslage

Phase II: Lösungen erarbeiten
6 Teilprobleme unterscheiden
7 Ansprüche an Lösungen bestimmen
8 Hilfreiches Wissen suchen
9 Lösungen generieren
10 Realisierbarkeit und Anwendungsbedingungen prüfen

Phase III: Lösungen umsetzen und überprüfen
11 Handlungsschritte und Umsetzung durchspielen
12 Neue Lösung unter normalen Bedingungen umsetzen
13 Zielerreichung überprüfen
14 Lösungen unter variierenden Umständen erproben
15 Neuen Zugang routinisieren“^[17]

Zur Umsetzung dieser Teilschritte erhielten die Lehrkräfte unterstützende Materialien wie Handreichungen und Erläuterungen, sowie die Möglichkeit der Teilnahme an spezifischen Fortbildungen. Weiterhin bedurfte es während der fünfjährigen Laufzeit einer regelmäßigen professionellen Kooperation zwischen den Lehrkräften innerhalb der einzelnen Schulen und Schulsets sowie einem Austausch über die Erfahrungen auf überregionaler Ebene.

Programmbegleitend wurden von wissenschaftlicher Seite Untersuchungen zur Akzeptanz und Implementation durchgeführt um Rückmeldungen zur Wahrnehmung des Programms zu erhalten. Darüber hinaus überprüfte man gezielt die Wirkung des Programms. Dazu wurden durch Tests und Befragungen die Bereiche mathematische bzw. naturwissenschaftliche Kompetenz, Motivation, Freizeitverhalten, Einstellung zur Schule bzw. zu bestimmten Fächern sowie Merkmale und Umfeld der Schule untersucht. Ein weiterer wichtiger Untersuchungspunkt war der Fortschritt der Lehrer-Professionalisierung und der Qualitätssicherung auf Schulebene.^[18] Auf zentrale Ergebnisse dieser Untersuchungen wird im folgenden Abschnitt näher eingegangen.

1.1.4 Ergebnisse von SINUS

Im BLK-Abschlussbericht zum Modellversuch und dessen Anlage befinden sich detaillierte Erläuterungen zu den Ergebnissen der einzelnen Bundesländer aus fünf Jahren erfolgreicher Modellversuchsarbeit. Da es den Rahmen dieser Arbeit sprengen würde, wird nur auf die wesentlichen Ergebnisse des hessischen Modellversuchs Mathematik und zentrale allgemeine Ergebnisse eingegangen. Im Bereich Mathematik war das Modul 1 „Weiterentwicklung der Aufgabenkultur“ insgesamt der am meisten gewählte Arbeitsschwerpunkt, so auch im hessischen Projekt „Gute UnterrichtsPraxis Mathematik“, verbunden mit dem Ziel der Vermittlung mathematischer Grundbildung. Diese „neuen Aufgaben“, welche mehr als bisher üblich anspruchsvoll, vernetzend, vorstellungsorientiert und schüleraktivierend gestaltet sind, förderten eine stärkere Schülerorientierung im Unterricht, wodurch ein durch Tests belegter Fortschritt aller Schüler zu beobachten war. Aus den Ergebnissen des Abschlusstests ging hervor, dass über 95 % der Gymnasiasten über ausreichende mathematische Grundbildung verfügen. Dies erreichten dagegen bei PISA 2000 etwa nur 84 % der deutschen Gymnasiasten.^[19] Weiterhin stellte sich heraus, dass Aufgaben zur Vermittlung mathematischer Grundbildung vor allem die folgenden Qualitätsmerkmale erfüllen sollten:

- „Schulung von Wissen und Fertigkeiten
- Entwicklung adäquater Grundvorstellungen und Förderung von Modellierungsfähigkeiten
- Stimulation von (geistigen) Schüleraktivitäten
- Förderung der Fähigkeiten zum Argumentieren und zum Verallgemeinern
- Aufgreifen zurückliegender Inhalte und vielfältige Vernetzungen
- Differenzierung und individuelle Förderungen innerhalb der Lerngruppe
- Förderung von Textverstehen und –produzieren“^[20]

Aus der Modellversuchsarbeit resultierte weiterhin eine verstärkte Kooperation und Kommunikation im Lehrerkollegium aber auch zwischen den einzelnen Schulen selbst bzw. mit der Universität, der Schulaufsicht, der Lehrerfortbildung und den Studienseminaren. Dagegen war die Öffnung des Klassenzimmers durch gegenseitige Hospitationen oder Erfahrungsberichte noch eher mit Zurückhaltung behaftet.^[21] Außerdem wurden Qualitätskriterien erarbeitet, die der Beurteilung von grundbildungsorientiertem Unterricht dienen. In einem solchen Unterricht sollten unter anderem Stoffinhalte miteinander vernetzt werden, Schüler zu geistiger Aktivität angeregt werden und mehr Verantwortung für ihr Lernen erhalten, Methoden variiert, das Vorgehen reflektiert sowie Lern- und Beurteilungsphasen voneinander getrennt werden.^[22] Unterrichtsbesuche zum Ende des Modellversuchs bestätigten eine substantielle Änderung der Unterrichtsskripts, wodurch sich auch folgender Befund erklären lässt. Entgegen der Ergebnisse aus der TIMS-Studie bestätigten die Resultate der Fallstudien des Modellversuchs einen problemlosen Umgang der Schüler mit offenen Fragestellungen und kognitiv anspruchsvollen Aufgaben.^[23] Begleitend zum eigentlichen Modellversuch wurde in Hessen die Qualitätsinitiative SINUS gegründet. Diese Initiative wird vom HeLP (Hessisches Landesinstitut für Pädagogik) in Kooperation mit den hessischen Modellversuchen SINUS, dem Zentrum für Mathematik e. V. und Fachdidaktiken hessischer Hochschulen seit 2001 betrieben. Sie ist ein Angebot an Fachgruppen, deren Arbeit durch Fortbildungsimpulse anzuregen und mit Fortbildungs- und Beratungsangeboten über einen begrenzten Zeitraum (6-10 Monate) zu begleiten.“^[24]

Allgemein lässt sich festhalten, dass es durch die kooperative projektinterne aber auch projektübergreifende Arbeit gelungen ist, ein neues Arbeitsklima in den Schulen zu entwickeln, welches durch Aufgeschlossenheit gegenüber Neuem, kritischer Selbsteinschätzen und einer stärkeren Problemorientierung gekennzeichnet ist. Gegenüber den Verfahren der Unterrichtsevaluation, wie Schülerbefragungen, Videoaufnahmen oder gegenseitigem Hospitieren zur Analyse von Unterricht, herrschte zum Ende des Modellversuchs eine deutlich höhere Aufgeschlossenheit. Diese positiven Effekte verdeutlichen die erfolgreiche Durchführung der Ideen zur Unterrichtsentwicklung, Qualitätssicherung und Professionalisierung an den Programmschulen.^[25]

Ein Beweis für die erfolgreiche Durchführung der einzelnen Programmpunkte und das Erkennen des hohen Stellenwertes des Programms an sich kann darin gesehen werden, dass sich alle an diesem Projekt beteiligten Bundesländer mit Ausnahme von Sachsen und Mecklenburg-Vorpommern am anschließenden Disseminationsprogramm^[26] „SINUS-Transfer“ beteiligen.

1.2 Aufbau von SINUS-Transfer

Nicht nur die erfolgsversprechenden Aussichten aus dem vorangegangenen Modellversuch sondern auch die mit TIMSS vergleichbaren Ergebnisse aus der PISA-Erhebung im Jahr 2000 forderten die Beteiligten des Modellversuchs dazu auf, sich nicht auf den errungenen Erfolgen auszuruhen. So entstand das SINUS-Transfer-Modell, welches auf den Leitideen und der Konzeption des Modellversuchs SINUS aufbaut und eine Laufzeit von zwei Jahren hat (Schuljahre 2003/2004 und 2004/2005). Eine zweite Welle ist für die Jahre 2005 bis 2007 geplant. Die Koordination übernimmt wieder das Land Schleswig-Holstein. Die Realisierung des von SINUS-Transfer erfolgt erneut durch das IPN in Kiel unter der Leitung von Professor Dr. Manfred Prenzel. Projektpartner, insbesondere für den Bereich Mathematik, ist das ISB in München in Zusammenarbeit mit dem Lehrstuhl für Mathematik einschließlich ihrer Didaktik an der Universität Bayreuth, vertreten durch Professor Dr. Peter Baptist.^[27] Die Umsetzung des Programms erfolgt wieder in Schulsets, jetzt aber mit bis zu zehn Schulen je Set, von denen eine beteiligte Schule (erfahrene) Referenzschule ist. Insgesamt nehmen an dieser ersten „Transferwelle“ bundesweit 734 Schulen aus dreizehn Bundesländern teil. In Hessen werden sechs Schulsets gebildet, davon vier in Mathematik mit insgesamt 34 Schulen und zwei in Naturwissenschaften mit 16 Schulen. Im Gegensatz zum vorangegangenen Projekt sind die Schulsets auf Nord-, Mittel- und Südhessen verteilt. Im Mittelpunkt steht der kontinuierliche Arbeitsprozess in den Fachgruppen.

Ergänzend zum SINUS-Projekt, welches sich lediglich auf die Schulformen der Sekundarstufe I bezieht, wird das Projekt „SINUS-Transfer Grundschule“ ins Leben gerufen, welches mit 130 Schulen (26 Schulsets) aus elf Bundesländern ein Jahr später im August 2004 startet.

Zur Steuerung der landesweiten Dissemination bestellt jedes Land einen Landeskoordinator, in dessen Aufgabenbereich u.a. die Zusammenarbeit mit anderen Ländern, die Sicherstellung des Austauschs und die Zusammenarbeit mit der zentralen Stelle für die wissenschaftliche Begleitung liegen.^[28] Ein weiteres wichtiges Instrument zur Kommunikation und Bereitstellung von Materialien ist der Server der Universität Bayreuth, auf welchem regionale wie allgemeine Informationen zur Verfügung gestellt werden. Setkoordinatoren, welche umfassend vom Programmträger geschult werden, betreuen regional die Schulnetze. Mit ihrer Hilfe soll eine feste Beziehung zu Landesinstituten, zur Schulaufsicht und zu Universitäten oder Forschungseinrichtungen aufgebaut werden. Weiterhin bringen sie die Erfahrungen aus dem vorangegangenen Modellversuch ein. Mit Hilfe dieser Informationen und einer Analyse der Ausgangssituation verabreden die Fachgruppen der einzelnen Schulen Ziele und Maßnahmen. Zur unterrichtlichen Umsetzung werden Teams gebildet, in denen gemeinsam Unterricht geplant und durchgeführt wird. Kollegiale Hospitationen sollen die Reflexion und Überarbeitung der Unterrichtskonzepte fördern. Die daraus entstandenen Erfahrungen und Ergebnisse der Teams sollen erst auf Schulebene und anschließend auf Schulsetebene ausgetauscht werden. Diese Prozesse werden begleitet von schulinternen aber auch schulübergreifenden Fortbildungen und regelmäßigen Treffen.

1.3 Ziele von SINUS-Transfer

In zwei Wellen (jeweils über zwei Jahre) sollen neue Schulnetze an die Sinus-Arbeit herangeführt werden. Zu Beginn des Schuljahres 2003/2004 startet die erste Phase an über 700 Schulen, womit das Ziel der Weiterentwicklung von Unterrichtsqualität in Mathematik bzw. in den Naturwissenschaften sowie die Verbreitung des Ansatzes einer kooperativen und unterrichtsbezogenen Qualitätsentwicklung verfolgt wird. Das darauf folgende Projekt soll dann mehrere tausend Schulen erreichen mit dem Ziel, den SINUS-Ansatz flächendeckend zu verbreiten.^[29] Damit ist jedoch nicht eine bloße Verteilung von Materialien und deren Umsetzung gemeint, sondern vielmehr das Ingangsetzen von Prozessen der Weiterentwicklung an den neu gewonnenen Schulen, welche von den dortigen Lehrkräften selbst gestaltet werden. Jeweils zwei Lehrkräfte aus den SINUS-Referenzschulen betreuen und begleiten als „Tandem“ eine Gruppe von neuen Kollegen. Durch diese Umsetzung des Programms soll keinesfalls ein gesamtes Unterrichtskonzept von Grund auf überarbeitet, sondern eher die Chance zum Ausprobieren oder Überdenken anderer, neuer Wege geboten werden, was im Idealfall einen dynamischen, über den Modellversuch hinausgehenden Prozess auslöst. So ist zum Beispiel angestrebt und wünschenswert, dass Lehrkräfte, welche nicht am Modellversuch beteiligt sind, sich bei Interesse Anregungen und Informationen aus involvierten Teams beschaffen oder auf Ergebnisse und Materialien des zentralen Servers zurückgreifen. Im Zentrum des Vorhabens stehen wieder die elf bekannten Module aus dem vorangegangenen Modellversuch mit dem Ziel einer stärkeren Grundbildungsorientierung im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht. Um eine Bilanz über die Wirksamkeit der Umsetzung zu erhalten, sind die einzelnen Prozesse und Arbeitsschritte auch immer mit einem Evaluationsauftrag verbunden. Wie dies geschehen kann, wird im nächsten Abschnitt näher beleuchtet.

1.4 Evaluation bei SINUS-Transfer

Untersuchungen, welche die Wirksamkeit des Modellversuchs überprüfen, werden programmbegleitend durchgeführt. Dabei wird zwischen reflexionsorientierter Evaluation und begleitender Evaluationsforschung unterschieden.

Ersteres meint eine auf der Schulebene stattfindende relativ eigenständige formative Evaluation anhand eines Portfolios. Darin sollen seitens der Fachgruppen Zielvereinbarungen, die Ausgangssituation als Auslöser, das Zwischenergebnis zu einem bestimmten Zeitpunkt sowie das damit verbundene weitere Vorgehen verbindlich enthalten sein. Zusätzlich soll dem Portfolio ein Schülerfragebogen beigefügt werden, wobei die Befragung zweimal, aber mit deutlichem Abstand durchgeführt werden sollte.^[30] Eine Anleitung zum Führen eines Portfolios sowie verschiedene Vordrucke erhalten die Fachgruppen auf dem Zentralserver. Diese Arbeit dient den damit verbundenen Zielen, dass einerseits die Schulen ihre Entwicklungsprozesse dokumentieren und reflektieren sowie andererseits die Portfolios bzw. Stichproben aus evaluationsrelevanter Sicht zu analysieren. Weiterhin kann dieses Evaluationsinstrument der Reflexion von und Kommunikation über Unterricht im Bereich der Fachgruppe aber auch auf Schulsetebene nutzen.^[31]

In der begleitenden Evaluationsforschung werden Fragebögen der Lehrer und Setkoordinatoren formativ ausgewertet, wobei der während des Programms erfahrenen Unterstützung, aufgetretenen Problemen und dem Verlauf von einzelnen Prozessen zentrale Bedeutung beigemessen wird. Zur summativen Evaluation, welche im Jahr 2006 stattfinden soll, wird eventuell auf PISA-Instrumente zurückgegriffen. Hierbei würde die Möglichkeit bestehen, „in einem Querschnitt das Kompetenz- und Interessenniveau an den Programmschulen mit repräsentativen PISA-Stichproben zu vergleichen. Im SINUS-Programm wurde dieses Verfahren gewählt. Allerdings muss aufgrund der Größe des BLK-Programms SINUS-Transfer (734 Schulen) geprüft werden, ob ein solches Vorgehen hier auch durchführbar ist.“^[32]

1.5 Tests im Rahmen von SINUS-Transfer

Wie bereits im Abschnitt „1.4 Evaluation bei SINUS-Transfer“ beschrieben, gibt es unterschiedliche Evaluationswerkzeuge, welche die Wirksamkeit des Modellversuchs untersuchen sollen. Eine wichtige Bedeutung haben unter diesem Gesichtspunkt auch Leistungstests. Dazu wird im Folgenden auf den nordhessischen Modellversuch Mathematik Bezug genommen.

1.5.1 Allgemeine Informationen

An dem Modellversuch SINUS-Transfer Mathematik Nordhessen nehmen insgesamt 9 Schulen aller Schulformen teil. Im einzelnen sind das:

- Söhre-Schule, Lohfelden
- Engelsburg-Gymnasium, Kassel
- Georg-Christoph-Lichtenberg-Schule, Kassel
- Elisabeth-Selbert-Schule, Zierenberg
- Gustav-Heinemann-Schule, Hofgeismar
- Anne-Frank-Schule, Fritzlar
- Heinrich-Grupe-Schule, Grebenstein
- Schule Hagelsberg, Kassel
- Carl-Schomburg-Schule, Kassel

Ziel des Modellversuchs ist ein stärker grundbildungsorientierter Unterricht. Zur Überprüfung, ob die Modellversuchsarbeit auch die gewünschte Wirkung erzielt, ist es notwendig, neben anderen Evaluationsinstrumenten Leistungstests durchzuführen. Dazu findet zu Beginn des Programms (Mai/Juni 2004) ein Eingangstest statt, welcher das Potential von Schülern der neunten Jahrgangsstufe der am Modellversuch teilnehmenden Schulen bezüglich mathematischer Grundbildung zentraler Stoffgebiete misst. Die Verteilung der insgesamt 913 Schüler nach Schulformen veranschaulicht folgende Tabelle.

Tabelle 1: Verteilung der Schüler nach Schulform

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

An diesen Test anschließend erhalten die Lehrer der getesteten Klassen im Rahmen eines Modellversuchstreffens Rückmeldungen über die entsprechenden Ergebnisse. Diese enthalten u.a. die Boxplots jeder Klasse und die Verteilung auf Kompetenzklassen getrennt nach Bildungsgang. Diese Rückmeldung soll den Lehrern der Modellversuchsklassen Informationen über den derzeitigen Leistungsstand ihrer Schüler im Vergleich zu anderen Klassen ihres Bildungsganges geben. Zum Ende des Projektes (April/Mai 2005) wird ein zweiter Test bei den gleichen Schülern, welche sich dann in der zehnten Jahrgangsstufe befinden, durchgeführt. Dieser soll den Erfolg der Modellversuchsarbeit messen. Die Konstruktion und Auswertung der Tests findet an der Universität Kassel statt. Der Aufbau des Eingangstests soll Kern der folgenden Betrachtungen sein.

1.5.2 Konstruktionskriterien

Zur Durchführung des Eingangstests mit dem Ziel, mathematische Grundbildung zentraler Stoffgebiete der Sekundarstufe I zu erfassen, werden vier Testhefte konzipiert, deren Bearbeitung jeweils einem Umfang von 37,5 Minuten entspricht zuzüglich einer Einlesezeit von 2,5 Minuten. Die Testhefte sind nicht nach Bildungsgang differenziert. Vor allem veränderungssensitive Aufgaben und solche, welche eine Verbindung zu PISA oder den Bildungsstandards bilden sowie jahrgangstypische Items entsprechen den zentralen Auswahlkriterien. Jahrgangstypisch sind Aufgaben mit den folgenden Inhalten: Wurzeln, Potenzen und reelle Zahlen im Bereich der Arithmetik, quadratische Gleichungen und Funktionen in der Algebra sowie Pythagoras und Strahlensatz oder Ähnlichkeit in der Geometrie. Jahrgangstypische Items sind zu etwa 20% enthalten.

Insgesamt wird eine Auswahl an 41 Aufgaben getroffen, welche aus den Tests des vorangegangen Modellversuchs SINUS stammen, drei Aufgaben werden neu konstruiert. Zusätzlich sind zehn Aufgaben aus dem nationalen und weitere sechs aus dem internationalen PISA-Test entnommen. Zehn dieser insgesamt 60 Items sind für die 5. Jahrgangstufe typisch.

Die Verteilung der Items orientiert sich an den Tests zu PISA-Deutschland, jedoch mit einem stärkeren Curriculumbezug. Tabelle 2 macht die Verteilung der Aufgaben auf die einzelnen Stoffgebiete wie folgt deutlich: Arithmetik und Algebra jeweils mit etwa 35%, Geometrie mit etwa 20% und Stochastik mit knapp 10%.

Tabelle 2: Verteilung der Aufgaben auf Stoffgebiete

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 3: Verteilung der Aufgaben nach Art des mathematischen Arbeitens

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 3 veranschaulicht die starke Orientierung an begrifflichen und rechnerischen Modellierungsaufgaben, verdeutlicht aber auch die Berücksichtigung technischer Aufgaben im Umfang von etwa 20% aller Aufgaben.

Tabelle 4: Verteilung der Aufgaben nach Aufgabenformaten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus Tabelle 4 geht die Aufteilung der Aufgaben auf die verschiedenen Formate hervor. Bei Multiple-Choice-Aufgaben ist in der Regel aus gegebenen Antwortalternativen zu einer bestimmten Fragestellung die richtige auszuwählen. Geschlossene Aufgaben verlangen nur die Berechnung einer bzw. mehrerer Zahlen oder kurze Antwortsätze. Es gibt meist nur eine richtige Lösung. Offene Aufgaben dagegen erfordern oft eine mehrschrittige Argumentation, wobei es verschiedene Alternativen bezüglich der Lösungswege aber auch der Ergebnisse geben kann.

Eine weitere Berücksichtigung finden die fünf Kompetenzklassen aus SINUS mit jeweils 20% sowie die nationalen PISA-Kompetenzklassen (1A und 3 mit jeweils 15%, 1B und 2A mit jeweils 25% und 2B mit 20%). Die PISA-Kompetenzklassen fassen Aufgaben danach zusammen, welche qualitativ unterschiedlichen mathematischen Denkprozesse zum Lösen erforderlich sind. Danach werden die Aufgaben wie folgt untergliedert:

Klasse 1A: Technische Fertigkeiten

Klasse 1B: Einschrittige Modellierungsprozesse

Klasse 2A: Begriffliche Modellierung

Klasse 2B: Mehrschrittige Modellierung

Klasse 3: Strukturelle Verallgemeinerung

Anschließend werden die Items auf 12 Packen nach Stoffgebieten verteilt. Das sind jeweils vier Packen in den Gebieten Algebra und Arithmetik, drei in Geometrie und ein Packen für den Bereich Stochastik. Jeweils vier dieser Packen aus unterschiedlichen Stoffgebieten werden auf die Testhefte aufgeteilt. Die typischen Items der 5. Jahrgangsstufe werden auf zwei Packen verteilt. Diese bilden die sogenannten Ankeritems, welche zum einen neben den anderen Packen die einzelnen Testhefte untereinander verankern, zum anderen Vergleiche zu anderen Tests in den Klassen 5 und 7 ermöglichen. Damit ergibt sich folgende Verteilung der Packen auf die Testhefte:

Abbildung 1: Aufgabenverteilung auf Testhefte

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch den knapp 30-prozentigen Anteil an PISA-Items ist ein Vergleich der Testergebnisse mit denen aus PISA möglich. Welche methodischen Grundlagen für diese Vergleiche zusätzlich notwendig sind, wird im vierten Abschnitt dargestellt.

Zunächst soll jedoch der Begriff mathematische Grundbildung analysiert werden.

2 Mathematische Grundbildung

Die allgemeinbildende Schule hat die Aufgabe, wie der Name es bereits beinhaltet, Allgemeinbildung zu vermitteln. Diese Allgemeinbildung muss sich aber an den gegenwärtigen gesellschaftlichen Rahmenbedingungen orientieren, wie der Bedeutung von Schlüsselqualifikationen in der Arbeitswelt, der techno-logiebasierten Lebenswelt und dem ständigen Wachstum von Wissen durch neue wissenschaftliche Entwicklungen und Erkenntnisse. Stellt sich die Institution Schule diesen Anforderungen, kann Lehren und Lernen nicht als bloße Vermittlung bzw. Erwerb von Wissen verstanden werden, sondern eine Orientierung an Grundbildung als Teil der Allgemeinbildung muss im Mittelpunkt stehen. Was genau unter Grundbildung, insbesondere unter mathematischer Grundbildung, zu verstehen ist, soll Schwerpunkt dieses Abschnittes sein. Dazu sollen im Folgenden der Begriff mathematische Grundbildung im Modellversuch als auch bei PISA herausgearbeitet und im Anschluss die einzelnen Bestandteile mathematischer Grundbildung dargestellt werden.

2.1 Mathematische Grundbildung bei PISA

PISA steht für „Programme for International Student Assessment“. In diesem Programm untersucht die OECD (Organisation für wirtschaftliche Zusammenarbeit und Entwicklung) junge Menschen gegen Ende der Pflichtschulzeit bezüglich ihrer Leistungen in den Bereichen Lesen, Mathematik und Naturwissenschaften. Ziel ist es, den an dieser Untersuchung teilnehmenden Staaten einerseits einen Überblick über die Leistungsfähigkeit ihres Bildungssystems im internationalen Vergleich aufzuzeigen, andererseits durch Erhebungsrunden im Dreijahreszyklus (2000, 2003, 2006) eine Rückmeldung über die Wirksamkeit ergriffener Maßnahmen zu geben. Jede Erhebungsrunde widmet sich dabei schwerpunktmäßig einem anderen Bereich, bei PISA 2000 ist das die Lesekompetenz und bei PISA 2003 der Bereich Mathematik. International werden dazu bei fünfzehnjährigen Jugendlichen durch Leistungstests grundlegende Kompetenzen überprüft, welche nicht nur aus gesellschaftlicher, politischer und wirtschaftlicher Perspektive von großer Bedeutung sind, sondern auch entscheidende Indikatoren für individuelle Lernprozesse und eine zufriedenstellende Lebensbewältigung darstellen. In Deutschland schließt sich an den internationalen Test ein nationalen Ergänzungstest an. Ergänzt werden diese Tests durch Schüler- und Schulleiterfragebögen.^[33]

Im Zentrum der internationalen Tests steht nicht etwa die reine Überprüfung der curricular verorteten Wissensinhalte, sondern vielmehr „das Verstehen und die flexible, situationsgerechte Anwendung des Wissens“^[34]. In diesem Zusammenhang spricht man bei PISA von „literacy“, was mit Literalität bzw. Grundbildung übersetzt wird und als Werkzeug zum Messen der Lese-, der mathematischen und der naturwissenschaftlichen Kompetenz dient. „Mathematical Literacy“ wird bei PISA wie folgt definiert:

“Mathematical literacy is an individual´s capacity to identify and understand the role that mathematics plays in the world, to make well-founded judgements and to use and to engage with mathematics in ways that meet the needs of that individual´s life as a constructive, concerned and reflective citizen.”^[35]

Nach dieser Definition beschreibt “Mathematical Literacy” die Fähigkeit, die Rolle von Mathematik in der Welt zu erkennen und zu verstehen, begründet zu argumentieren und sich mit Mathematik so zu beschäftigen, dass man den individuellen Lebensanforderungen als kritischer, engagierter und reflektierender Bürger gerecht werden kann. Also besteht mathematische Kompetenz neben dem Beherrschen grundlegender mathematischer Inhalte und Verfahren vor allem „im verständnisvollen Umgang mit Mathematik und in der Fähigkeit mathematische Begriffe als „Werkzeuge“ in einer Vielzahl von Kontexten einzusetzen“^[36] sowie darin, Mathematik als bedeutendes Kulturgut anzusehen. Mit diesem Ansatz folgt die Testkonzeption dem didaktischen Ansatz von Mathematikunterricht Hans Freudenthals, welcher die Wirksamkeit realitätsbezogener Aufgaben in diesem Zusammenhang in den Vordergrund stellt. Weiterhin beschreibt die Literatur zu PISA, wie mathematische Begriffe als Werkzeug zur Lösung von Aufgaben dienen. Im Zentrum steht dabei vor allem die Bearbeitung außermathematischer Situationen oder Problemstellungen, welche sich in verschiedene Teilprozesse^[37], wie Mathematisieren, Interpretieren und Validieren gliedert. Fasst man diese Prozesse zu einem Begriff zusammen, spricht man von mathematischem Modellieren. Zusammengefasst unterscheidet das internationale PISA-Rahmenkonzept die folgenden zum Lösen von Aufgaben notwendigen mathematischen Kompetenzen:

1. Mathematisches Denken
2. Mathematisches Problemlösen
3. Mathematisches Modellieren
4. Mathematisches Argumentieren
5. Darstellungen verwenden
6. Mit Symbolen und Formalismen umgehen
7. Kommunizieren
8. Hilfsmittel verwenden^[38]

Je nachdem, welche Komplexität dieser Kompetenzen der Lösungsprozess erfordert, werden Aufgaben nach den folgenden Niveaus bzw. Kompetenzclustern unterschieden:

- „ Kompetenzcluster 1 Reproduktion („Reproduction“): Alle Kompetenzen werden nur auf niedrigem Niveau benötigt. Dazu zählt die Ausführung einfacher, unmittelbar auf der Hand liegender Standardtätigkeiten.
- Kompetenzcluster 2 Verbindungen („Connections“): Einige der Kompetenzen werden auf mittlerem (aber nicht auf hohem) Niveau benötigt. Hierzu zählen überschaubare Tätigkeiten, welche bereits mehrere Schritte oder die Verknüpfung mehrerer Aufgabenelemente erfordern.
- Kompetenzcluster 3 Reflexion („Reflexion“): Es gibt Kompetenzen, die auf hohem Niveau benötigt werden. Dabei sind komplexe Tätigkeiten, Verallgemeinerungen oder Reflexionen gefordert.“^[39]
Ein zusätzliches Merkmal der internationalen Rahmenkonzeption stellt die Unterscheidung mathematischer Inhalte in vier Leitideen („Overarching Ideas“) dar. Diese sind im einzelnen:
- „Quantität“ („Quantity“): Situationen anhand von Zahlen beschreiben und organisieren
- „Veränderung und Beziehungen“ („Change and Relationships“): relationale und funktionale Beziehungen zwischen mathematischen Gegenständen
- „Raum und Form“ („Shape and Space“): mit ebenen und räumlichen Figuren und ihren Abbildungen bzw. Anordnungen umgehen
- „Unsicherheit“ („Uncertainty“) Phänomene und Situationen, im Hinblick auf statistische Daten oder Zufälle^[40]

Der Begriff „Mathematical Literacy“ wird in der nationalen deutschen Diskussion als „mathematische Grundbildung“ in Anlehnung an Heinrich Winter breiter gefasst, wobei zusätzlich die Mathematik „als deduktiv^[41] geordnete Welt eigener Art“^[42] zu sehen ist. Weiterhin nimmt im nationalen PISA-Konzept das Verständnis innermathematischer Zusammenhänge eine wichtigere Position ein und rechnerische und begriffliche Aufgaben werden durch technische ergänzt, welche den Abruf von Faktenwissen und das Anwenden mathematischer Verfahren ohne realen Bezug verlangen. Diese technischen Fertigkeiten und Fähigkeiten werden hier als notwendige Voraussetzung mathematischer Grundbildung verstanden. Außerdem berücksichtigt das nationale Ergänzungskonzept den an Stoffgebieten orientierten deutschen Mathematikunterricht und ergänzt Aufgaben in der Weise, dass diese ausgewogen auf die Stoffgebiete Arithmetik, Algebra, Funktionen, Geometrie, Proportionalität und Prozentrechnung sowie Umgehen mit Daten und Stochastik verteilt sind.^[43]

Auf Grund der Übereinstimmung des Begriffs „mathematischer Grundbildung“ sowohl im Sinne der nationalen PISA-Konzeption als auch im Modellversuch SINUS-Transfer findet eine detaillierte Beschreibung der einzelnen Elemente im folgenden Abschnitt statt.

[...]

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^[1] Blum, Werner (1998): Ursachen der TIMSS-Ergebnisse und Ansätze für Veränderungen des Mathematikunterrichts. In: Blum, Werner / Neubrand, Michael: TIMMS und der Mathematikunterricht. Hannover, S. 12

^[2] Um die Lesbarkeit dieser Arbeit zu erhalten, verwende ich im Folgenden die männliche Form, wenn von Schülern, Lehrern etc. gesprochen wird. Es sind jedoch stets Männer und Frauen gemeint, außer es wird ausdrücklich darauf hingewiesen, wie etwa beim Leistungsvergleich zwischen Mädchen und Jungen.

^[3] vgl. Baumert, Jürgen et al. (1997): TIMSS – Mathematisch-naturwissenschaftlicher Unterricht im internationalen Vergleich. Opladen, S. 44

^[4] vgl. Baumert, Jürgen et al. (1997): TIMSS – Mathematisch-naturwissenschaftlicher Unterricht im internationalen Vergleich. Opladen, S. 56f

^[5] Baumert, Jürgen et al. (2000): TIMSS/III – Band 1: Mathematische und naturwissenschaftliche Grundbildung am Ende der Pflichtschulzeit. Opladen, S. 187

^[6] vgl. Baumert, Jürgen et al. (1997): TIMSS – Mathematisch-naturwissenschaftlicher Unterricht im internationalen Vergleich. Opladen, S. 44

^[7] Blum, Werner (1998): Ursachen der TIMSS-Ergebnisse und Ansätze für Veränderungen des Mathematikunterrichts. In: Blum, Werner / Neubrand, Michael (Hrsg.): TIMSS und der Mathematikunterricht. Hannover, S. 12

^[8] Blum, Werner (1998): Ursachen der TIMSS-Ergebnisse und Ansätze für Veränderungen des Mathematikunterrichts. In: Blum, Werner / Neubrand, Michael (Hrsg.): TIMSS und der Mathematikunterricht. Hannover, S. 13f

^[9] BLK (1997): Heft 60 - Gutachten zur Vorbereitung des Programms "Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts". Bonn, S. 7

^[10] vgl. BLK (1997): Heft 60 - Gutachten zur Vorbereitung des Programms "Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts". Bonn, S. 42f

^[11] Der Begriff Grundbildung, insbesondere mathematische Grundbildung wird im Abschnitt 2 detailliert erläutert

^[12] vgl. Hessisches Kultusministerium: Lehrplan Mathematik – Bildungsgang Realschule. S. 3

^[13] vgl. Blum, Werner (2000): Was wollen wir? Was haben wir bisher erreicht? In: Pro Schule Heft 3/2000, Hamburg, S.6

^[14] Eine genaue Beschreibung der einzelnen Module ist im BLK-Heft 60 auf den Seiten 88ff zu finden.

^[15] http://blk.mat.uni-bayreuth.de/programm/konzeption.html, Stand: 25.11.2004

^[16] vgl. BLK (2003): Abschlussbericht BLK – Modellversuchsprogramm “Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts”. S. 6, http://www.blk-bonn.de/papers/ abschluss_sinus_programmtraeger.pdf, Stand: 08.11.2004

^[17] http://blk.mat.uni-bayreuth.de/programm/konzeption.html, Stand: 05.12.2004

^[18] vgl. BLK (2003): Abschlussbericht BLK – Modellversuchsprogramm “Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts”. S. 9ff, http://www.blk-bonn.de/ papers/abschluss_sinus_programmtraeger.pdf, Stand: 08.11.2004

^[19] Ausführliche Erläuterungen zur Gestaltung der Tests und deren Ergebnisse sind in folgenden Artikeln zu finden: Jordan, Alexander et al. (2000): Tests als Hilfe zur Selbstevaluation. In: Mathematik Lehren, Heft 107; Blum, Werner / Jordan, Alexander (2003): Kompetenzstufen bei Gymnasiasten am Ende von Klasse 10 - Ergebnisse aus dem hessischen BLK-Modellversuch Mathematik. In Hefendehl-Hebeker, L et al. (2003): Mathematikdidaktik zwischen Fachorientierung und Empirie. Festschrift für Norbert Knoche.

^[20] Biermann, M. et al. (2003): Nicht „irgendwie“ sondern zielgerichtet – Aufgaben verändern. In: Aufgaben: Lernen fördern – Selbstständigkeit entwickeln. Jahresheft 2003, S. 32

^[21] Blum, Werner (2000): Was wollen wir? Was haben wir bisher erreicht? In: Pro Schule Heft 3/2000, Hamburg, S.8

^[22] vgl. BLK (2003): Anlage zum Abschlussbericht BLK – Modellversuchsprogramm “Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts”. S. 210, http://www.blk-bonn.de/ papers/abschluss_sinus_programmtraeger.pdf, Stand: 08.11.2004

^[23] vgl. BLK (2003): Anlage zum Abschlussbericht BLK – Modellversuchsprogramm “Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts”. S. 210, http://www.blk-bonn.de/ papers/abschluss_sinus_programmtraeger.pdf, Stand: 08.11.2004

^[24] vgl. http://sinus-transfer.uni-bayreuth.de/index.php?id=568, Stand: 05.12.2004

^[25] vgl. BLK (2003): Abschlussbericht BLK – Modellversuchsprogramm “Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts”. S. 12f, http://www.blk-bonn.de/ papers/abschluss_sinus_programmtraeger.pdf

^[26] dissemination: engl., Ausstreuung, Verbreitung

^[27] vgl. http://sinus-transfer.uni-bayreuth.de/index.php?id=37, Stand: 05.12.2004

^[28] vgl. http://www.blk-bonn.de/modellversuche/sinus-transfer-modell.htm, Stand 05.12.2004

^[29] vgl. http://sinus-transfer.uni-bayreuth.de/index.php?id=35, Stand: 05.12.2004

^[30] vgl. http://sinus-transfer.uni-bayreuth.de/uploads/media/Portfolio-Leitfaden.pdf, Stand: 05.12.2004

^[31] vgl. http://www.ipn.uni-kiel.de/foplan04/ab6.pdf, Stand: 05.12.2004

^[32] http://www.ipn.uni-kiel.de/foplan04/ab6.pdf, Stand: 05.12.2004

^[33] vgl. Klieme, Eckhard et al. (2001): Mathematische Grundbildung: Testkonzeption und Ergebnisse. In: Deutsches PISA-Konsortium (Hrsg.): PISA 2000 - Basiskompetenzen von Schülerinnen und Schülern im internationalen Vergleich. Opladen, S.15f.

^[34] Prenzel, Manfred et al. (2004): PISA 2003. Ergebnisse des zweiten internationalen Vergleichs, Zusammenfassung. http://pisa.ipn.uni-kiel.de/Ergebnisse_PISA_2003.pdf, S.3, Stand: 22.12.2004

^[35] OECD (2003): The PISA 2003 Assessment Framework. http://www.pisa.ipn.uni-kiel.de/ pisa2003/PISA2003Frameworks1.pdf, S. 24, Stand: 08.12.2004

^[36] Klieme, Eckhard et al. (2001): Mathematische Grundbildung: Testkonzeption und Ergebnisse. In: Deutsches PISA-Konsortium (Hrsg.): PISA 2000 - Basiskompetenzen von Schülerinnen und Schülern im internationalen Vergleich. Opladen, S.141

^[37] Diese Teilprozesse werden in Abschnitt 1.2.3.2 näher erläutert.

^[38] vgl. Blum, Werner et al. (2004): Mathematische Kompetenz. In: PISA-Konsortium Deutschland (Hrsg.): PISA 2003. Der Bildungsstand der Jugendlichen in Deutschland - Ergebnisse des zweiten internationalen Vergleichs. Münster/ New York - München/ Berlin, S. 204

^[39] ebenda, S. 204

^[40] vgl. Blum, Werner et al. (2004): Mathematische Kompetenz. In: PISA-Konsortium Deutschland (Hrsg.): PISA 2003. Der Bildungsstand der Jugendlichen in Deutschland - Ergebnisse des zweiten internationalen Vergleichs. Münster/ New York - München/ Berlin, S. 203

^[41] deduktiv: vom Allgemeinen ausgehend

^[42] Klieme, Eckhard et al. (2001): Mathematische Grundbildung: Testkonzeption und Ergebnisse. In: Deutsches PISA-Konsortium (Hrsg.): PISA 2000 - Basiskompetenzen von Schülerinnen und Schülern im internationalen Vergleich. Opladen, S.150 (zitiert nach Winter, Heinrich (1995): Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. Mitteilung der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik.)

^[43] vgl. Klieme, Eckhard et al. (2001): Mathematische Grundbildung: Testkonzeption und Ergebnisse. Deutsches PISA-Konsortium (Hrsg.): PISA 2000 - Basiskompetenzen von Schülerinnen und Schülern im internationalen Vergleich. Opladen, S. 150