Wie lassen sich Modellierungsaufgaben in den Schulunterricht integrieren? Chancen und Risiken des mathematischen Modellierens


Seminararbeit, 2012
21 Seiten, Note: 1

Leseprobe

Inhalt

I. Einführung

II. Definitionen

III. Ziele und Nutzen

IV. Der Modellierungskreislauf

V. Fehlvorstellungen und Barrieren

VI. Anwendung im Unterricht

VII. Schlussbetrachtung

Literatur

Anhang

I. Einführung

Obwohl in den Beschlüssen der Kultusministerkonferenz zu den Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife vom 18.10.2012 erneut die Bedeutung aller mathematischen Kompetenzen „als unverzichtbare Grundlage für die Arbeit in der Sekundarstufe II“ (KMK Bildungsstandards 2012, S.10) betont wird, führt das mathemati- sche Modellieren und die damit verbundenen Realitätsbezüge doch weiterhin „ein Schat- tendasein“ (Maas 2004, S. 10) im Mathematik-Unterricht der Sekundarstufe I. Nicht nur schülerbezogene Barrieren spielen hier eine große Rolle, auch die Lehrkräfte fühlen sich oftmals durch den erhöhten Zeit- und Planungsaufwand und die fehlende Präsenz von konkreten Anregungen zu Modellierungsaufgaben im Lehrplan überfordert. Zudem können Ängste vor Kontrollverlust, ob bei der Leistungsmessung oder in nicht bekannten Sach- kontexten, eine große Rolle bei der Entscheidung gegen Modellierungsaufgaben spielen. (Vgl. Blum 1996, S. 29-31)

Diese Arbeit soll sich jedoch nicht ausschließlich mit Grenzen und Barrieren befassen, die mit dieser Kompetenz einhergehen. Vielmehr sollen Anregungen gegeben werden, wie Modellierungsaufgaben in den Schulunterricht integriert werden können. Welche Ziele las- sen sich verfolgen? Welche Chancen ergeben sich durch die Integration von Modellie- rungskontexten? Daneben ist es unerlässlich die mit diesen Aufgaben und dem Modellie- rungsprozess verbundenen Fehlvorstellungen der Schülerinnen und Schüler zu analysie- ren, um diesen von Beginn an entgegenwirken zu können. Da die Vermittlung von me- takognitiven Modellierungskompetenzen für die Ausbildung dieser mathematischen Kom- petenz eine bedeutende Grundlage darstellt (Maas 2004, S.10), wird zudem der soge- nannte siebenschrittige Modellierungskreislauf nach Blum/Leiß (2005) sowie der verein- fachte Lösungsplan, der im Rahmen des DISUM-Projektes und speziell für die Sekundar- stufe I entwickelt wurde, Bestandteil dieser Arbeit sein. Anregungen, wie mathematisches Modellieren im Unterricht angewendet werden kann, werden im letzten Abschnitt vorge- stellt.

Schon seit Mitte der neunziger Jahre und nach den durchschnittlichen Ergebnissen deut- scher Schülerinnen und Schüler bei der TIMSS (1997) werden Forderungen nach einer grundsätzlichen Reformierung des Mathematikunterrichts und einer veränderten Schwer- punktsetzung immer lauter. Der Unterricht sei zu „stark auf die temporäre Einführung von Kalkülen und Verfahren hin orientiert“ (Blum 1998, S. 12). Gefordert wird die verstärkte Einbeziehung von Realitätsbezügen in den Unterricht. Dadurch soll nicht nur das allge- mein-gesellschaftlich sehr negativ gezeichnete Bild von Mathematik einen Wandel erfah- ren, sodass „Mathematik als nützliches, mitunter unentbehrliches Werkzeug zum Umwelt- verstehen, zur Lebensbewältigung und zur Erschließung vieler Berufs- und Studienfelder“ (Blum/Neubrand 1998, S. 13) wahrgenommen wird. Der Mathematikunterricht soll die Schülerinnen und Schüler daneben verstärkt zum eigenständigen Denken, zum Entwi- ckeln und Bewerten eigener Lösungsansätze erziehen, sie damit also zu mündigen Bür- gern unserer Gesellschaft formen.

Erste Zuwächse im mathematischen Kompetenzerwerb der Schülerinnen und Schüler konnten in der PISA-Studie 2009 sichtbar gemacht werden. Begründet wird dies dadurch, „dass die in den vergangenen Jahren in Deutschland ergriffenen, umfangreichen Maß- nahmen zur Verbesserung des schulischen Kompetenzerwerbs im Fach Mathematik beginnen, Wirkung zu zeigen“ (Klime/Artelt 2010, S. 172). Hier wird unter anderem die Ein- führung bundesweiter Bildungsstandards als Grund aufgeführt, doch stellt dies nur einen von vielen Schritten dar, die umgesetzt werden müssen, um die gesteckten Ziele in den nächsten Jahren zu erreichen.

II. Definitionen

Nach den KMK-Bildungsstandards geht es bei der Kompetenz „Mathematisches Modellie- ren“ um „den Wechsel zwischen Realsituationen und mathematischen Begriffen, Resulta- ten oder Methoden. Hierzu gehört sowohl das Konstruieren passender mathematischer Modelle als auch das Verstehen oder Bewerten vorgegebener Modelle.“ (KMK, S. 17) Eine Modellierungsaufgabe ist daher immer eine realitätsbezogene Aufgabe mit substantiellen Übersetzungsanforderungen zwischen Realität und mathematischer Welt. Damit geht es vor allem um die Bildung von deskriptiven Modellen, also um Modelle, die die Realität be- schreiben oder erklären sollen, im Gegensatz zu den normativen Modellen, die die Realität gestalten oder vorhersagen können.

Nach Maaß umfassen Modellierungskompetenzen „die Fähigkeiten und Fertigkeiten, Mo- dellierungsprozesse zielgerichtet und angemessen durchführen zu können sowie die Be- reitschaft, diese Fähigkeiten und Fertigkeiten in Handlungen umzusetzen.“ (2004, S. 173- 74) Daneben werden des Weiteren Teilkompetenzen genannt, die unter anderem die Be- herrschung der Teilschritte des Modellierungskreislaufes umfassen und damit metakogni- tive Modellierungs-kompetenzen mit einschließen. Es wird deutlich, dass auch die Motiva- tion der Schülerinnen und Schüler eine wesentliche Rolle spielt und daher eine Änderung des doch überwiegend negativen Bildes des Faches Mathematik durch Modellierungspro- zesse erreicht werden soll. Mathematikunterricht soll also als sinnhaft und als Werkzeug, um Probleme des Alltags lösen zu können, erkannt werden. Somit soll durch den Modellie- rungsprozess keine wissenschaftlich-humanistische Richtung verfolgt werden, die ihren Schwerpunkt in der Vermittlung von beziehungshaltiger Mathematik sieht, sondern die pragmatische Richtung, die sich ganz außermathematischer Probleme widmet.

III. Ziele und Nutzen

Der Mathematikunterricht soll, wie bereits festgestellt, nicht dazu dienen, den Schülerinnen und Schülern lediglich Kompetenzen zum Lösen innermathematischer Probleme zu ver- mitteln, sodass der Unterricht ausschließlich auf dem Auswendiglernen von Lösungsver- fahren und deren Anwendung beruht. Vielmehr soll es darum gehen, „Schülern kompeten- tes Handeln in Alltagssituationen zu ermöglichen“ (Blum 1996, S. 16). Das heißt: „ [.] wirklich unentbehrlich für die Allgemeinbildung sind Anwendungen der Mathematik erst, wenn in Beispielen aus dem gelebten Leben erfahren wird, wie mathematische Modellbil- dung funktioniert und welche Art von Aufklärung durch sie zustande kommen kann“ (Win- ter 1995, S. 38).

Durch die Anwendung von Modellierungsaufgaben in den Unterricht lassen sich verschie- dene Ziele erfüllen, die dazu beitragen, den Lernenden ein angemessenes Bild von Ma- thematik zu vermitteln (Vgl. zu Zielen: Maas 2004, S. 26-27). Die Schülerinnen und Schü- ler sollen nicht nur die Bezüge zwischen Mathematik und der realen Welt ermitteln können, sondern auch Grenzen der Mathematisierbarkeit kennenlernen und dabei ebenfalls für den Missbrauch von Mathematik sensibilisiert werden. Sie sollen daher die allgemeine Wissenschaftsgläubigkeit ablegen und lernen, geschönte Statistiken und Prognosen ent- larven zu können.

Durch Realitätsbezüge können die Schülerinnen und Schüler lernen, Umweltsituationen eigenständig zu erschließen und Alltagsprobleme zu bewältigen. „Unter Umweltsituationen werden solche Situationen verstanden, die für die Lernenden in ihrem jetzigen oder zu- künftigen Leben relevant sind“ (Maas 2004, S. 26). Mathematisches Modellieren im Unter- richt kann weiter zum Verfestigen von heuristischen Strategien sowie beim Aneignen von Problemlöse- und Argumentationsfähigkeiten bei den Lernenden beitragen. Gerade auf lernpsychologischer Ebene können realistische Anwendungsbezüge helfen, die Schülerin- nen und Schüler zum Umgang mit Mathematik zu motivieren und das allgemein- gesellschaftliche negative Bild, welches dem Mathematikunterricht anhaftet, verbessern. Mathematik kann daher in der Welt der Lernenden einen sinnhaften Charakter annehmen. Somit lassen sich die genannten Ziele auch mit den drei Grunderfahrungen (Umwelter- schließung, Mathematik als deduktives System begreifen, Aufbau von Problemlösekompe- tenzen) nach Winter vereinbaren (1995, S. 37).

„Selbstständiges, aktives und mitverantwortliches Lernen und Betreiben von Mathematik durch Schülerinnen und Schüler“ (Blum/Neubrand 1998, S. 13) kann somit durch Anwen- dungsbezüge im Mathematikunterricht gefördert werden. Damit entsprechen die Ziele auch den von Blum nach der TIMSS (1997) geforderten „Veränderungen der Unterrichts- kultur“, um eine Verbesserung der Schülerleistungen im Fach Mathematik zu gewährleis- ten und die gestellten fachdidaktischen Anforderungen zu realisieren.

Durch die Anwendung von Realitätsbezügen im Unterricht können verschiedene „Kompe- tenzen zum Anwenden von Mathematik in einfachen und komplexen unbekannten Situati- onen“ (Maas 2004, S. 26) vermittelt werden. Wie anhand des Modellierungskreislaufes noch gezeigt werden soll, können wir daher durch die Einbindung von Modellierungsauf- gaben verschiedene mathematische Kompetenzen auf unterschiedlichen Anforderungs- ebenen ansprechen. Somit ist es möglich, den Lernenden ein ganzheitliches und ange- messenes Bild der Mathematik zu vermitteln. Interpretations- und Argumentationsfähigkei- ten sowie mathematisches Kommunizieren und Problemlösen stellen hier nur Beispiele für grundlegende Kompetenzen dar, die von den Schülerinnen und Schülern beim Modellie- ren weiterentwickelt werden können. In der Fachliteratur wird immer wieder die Bedeutung der Metakognition betont. Daher ist es wichtig die Schülerinnen und Schüler von Beginn an bei der Ausbildung dieser zu unterstützen und zu begleiten.

IV. Der Modellierungskreislauf

Modellieren kann als Ablauf einer Reihe von Teilschritten beim Lösen eines Problems de- finiert werden. Das Ablaufschema, in dem festgelegt ist, in welcher Reihenfolge diese schritt durchlaufen werden, wird Modellierungskreislauf oder Modellierungszyklus genannt. Er beschreibt somit den idealtypischen Lösungsprozess von Modellierungsaufgaben. In der Literatur lässt sich eine Reihe von verschiedenen Varianten des Kreislaufes finden. Diese unterscheiden sich in der Beschreibung und Definition, sowie der Anzahl der einzelnen Teilschritte. (Borromeo Ferri 2006, Borromeo Ferri/Kaiser 2006). Eine der am häufigs- ten verwendeten Varianten des Modellierungskreislaufes ist die von Blum/Leiß (2005). Dieser relativ komplexe Kreislauf besteht aus sechs Stadien, und sieben Übergangspro- zessen, den Modellierungsschritten, welche die Stadien miteinander verbinden.

Der Ausgangspunkt des Modellierungskreislaufes ist eine Realsituation, in der eine kon- krete Problemstellung gegeben ist, für die man eine Lösung sucht. Diese kann z.B. dem Alltag entspringen oder in Form einer Textaufgabe vorliegen. Der erste Schritt besteht dann im Verstehen der Situation und Erfassen der Problemstellung. Es wird ein mentales Modell konstruiert. Dieses Situationsmodell enthält in der Regel noch eine Vielzahl unter- schiedlicher und für die Lösung irrelevanter Informationen. Durch Vereinfachen, Strukturie- ren und gegebenenfalls Idealisieren gelangt man dann zum sogenannten Realmodell, bei dem Klarheit darüber herrscht, was gegeben ist, welche Informationen gegebenenfalls noch beschafft werden müssen, und was gesucht wird. Beim anschließenden Mathemati- sieren werden diese Informationen in mathematische Symbole und Ausdrücke überführt, wodurch ein mathematisches Modell entsteht. Dieser Prozess kann dabei gleichbedeutend mit Modellieren im engeren Sinne aufgefasst werden, nämlich der Darstellung eines realen Sachverhaltes durch Zahlen, Operatoren, Tabellen, Graphiken, etc.. (Blum 1996 S. 19)In einigen Fällen kann es dabei vorkommen, dass eine klare Unterscheidung von Realmodell und mathematischem Modell nur schwer bis gar nicht vorgenommen werden kann, da die Verwendung von Zahlen oder geometrischen Formen direkt zum mathematischen Modell führt. (Maaß 2004 S. 289).Beim anschließenden Prozess des mathematischen Arbeitens, wird durch die Anwendung mathematischer Kenntnisse und heuristischer Verfahren nach einer Lösung gesucht. Am Ende dieses rein innermathematischen Prozesses steht das mathematische Resultat. Beim Vorgang des Interpretierens gilt es dann, diese mathemati- schen Ergebnisse wieder in reale Ergebnisse zu übersetzen, d.h. sie in einen Zusammen- hang mit der ursprünglichen Problemstellung zu bringen, womit man wieder in der realen Welt angelangt wäre. Das Interpretieren kann somit als spiegelbildlicher Prozess zum Ma- thematisieren gesehen werden. An dieser Stelle ist der Modellierungskreislauf allerdings noch nicht beendet, denn das reale Resultat muss noch hinsichtlich seiner Gültigkeit und Aussagekraft beurteilt werden. Dies geschieht beim anschließenden Validieren bzw. kriti- schen Reflektieren des realen Resultats. So wird z.B. hinterfragt, ob die angegebenen Größenordnungen plausibel oder die Genauigkeit des Ergebnisses ausreichend und sinn- voll ist, und ob somit die Ausgangsfrage des Situationsmodells hinreichend beantwortet werden konnte. Erscheint die gefundene Lösung als nicht angemessen, so muss der Kreislauf von dieser Stelle aus, also dem Situationsmodell, mit möglicherweise veränder- ten Annahmen oder anderen Lösungsverfahren erneut durchlaufen werden. Ist die Lö- sung plausibel, muss diese, gegebenenfalls um zusätzliche Informationen erweitert und ergänzt, dem Aufgabensteller noch verständlich dargelegt werden. Dieser Prozess des Darlegens repräsentiert den Übergang des Situationsmodells in die Realsituation, und stellt somit den Abschluss des Modellierungsprozesses dar. (IQB 2009 S. 78-81, Riebel 2010 S.17-23).

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Ende der Leseprobe aus 21 Seiten

Details

Titel
Wie lassen sich Modellierungsaufgaben in den Schulunterricht integrieren? Chancen und Risiken des mathematischen Modellierens
Hochschule
Christian-Albrechts-Universität Kiel  (IPN)
Note
1
Autor
Jahr
2012
Seiten
21
Katalognummer
V385668
ISBN (eBook)
9783668600676
ISBN (Buch)
9783668600683
Dateigröße
695 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
modellierungsaufgaben, schulunterricht, chancen, risiken, modellierens
Arbeit zitieren
Peter Reelmann (Autor), 2012, Wie lassen sich Modellierungsaufgaben in den Schulunterricht integrieren? Chancen und Risiken des mathematischen Modellierens, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/385668

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