Die vorliegende Arbeit thematisiert den strukturellen Aufbau und die mathematische Funktionsweise des Kalman Filters. Für eine verständliche Analyse des Kalman Filters werden zunächst mathematische Kenntnisse bereitgestellt. Diese beinhalten zum einen stochastische Grundlagen, wie zum Beispiel das Wissen über stochastische Verteilungen. Zum anderen wird knapp auf die Analysis eingegangen, in der die Zustandsraumdarstellung für spätere Beschreibungen erklärt wird. Darauf basierend folgt der Kern der Arbeit, worin die vollständige mathematische Herleitung besteht. Angefangen mit einer Zustands- und Messgleichung werden schrittweise auf die fünf Gleichungen des Kalman Filters geschlossen, deren Anwendung am Ende der Herleitung beispielhaft für ein Navigationsproblem eines Kraftfahrzeugs veranschaulich werden. Dadurch dass in der Realität viele Anwendungen von nichtlinearer Natur sind, wird der Kalman Filter so erweitert, dass das Extended Kalman Filter und das Unscented Kalman Filter erwähnt wird. Um auf bestimmte Schwachstellen des Filters zu reagieren, werden auf die adaptive Filterung sowie das duale Kalman Filter aufmerksam gemacht. Die Wichtigkeit der Thematik wird in einem Anwendungsbeispiel für die Ladezustandsbestimmung einer Batterie verdeutlicht.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Grundlagen
- Mathematisches Vorwissen
- Zufallsvariablen
- Die Gaußverteilung- bzw. Normalverteilung
- Kovarianz und Kovarianz Matrizen
- Systemdarstellung im Zustandsraum
- Lineare Systeme
- Nichtlineare Systeme
- Zeitdiskrete Darstellung
- Stochastische Störung
- Mathematisches Vorwissen
- Kalman Filter
- Herleitung
- Prädiktionsschritt
- Korrekturschritt
- Anschauliche Diskussion
- Algorithmus
- Beispielhafte Anwendung
- Eigenschaften
- Zusammenfassung
- Herleitung
- Erweiterungen für nichtlineare Systeme
- Das Extended Kalman Filter
- Algorithmus
- Zusammenfassung
- Nichtlineare Transformation
- Transformation des Erwartungswertes
- Transformation der Kovarianz
- Das Unscented Kalman Filter
- Verwendung der Unscented Transformation
- Algorithmus
- Zusammenfassung
- Theoretischer Vergleich EKF versus UKF
- Das Extended Kalman Filter
- Adaptive Filterung
- Interacting Multiple Model Filter
- Algorithmus
- Zusammenfassung
- Duales Kalman Filter
- Anwendungsgebiete des Kalman Filters
- Ladezustandsbestimmung von Batterien mithilfe von Kalman Filtern
- Modellierung einer Lithium-Ionen-Batterie
- Batterie SoC Bestimmung mit EKF und UKF
- Batterie SoC Bestimmung mit einem EKF
- Batterie SoC Bestimmung mit einem UKF
- Resultat
- Ladezustandsbestimmung von Batterien mithilfe von Kalman Filtern
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Arbeit setzt sich zum Ziel, den strukturellen Aufbau und die mathematische Funktionsweise des Kalman Filters detailliert zu erläutern. Dabei werden zunächst die notwendigen mathematischen Grundlagen, insbesondere im Bereich der Stochastik und der Systemtheorie, bereitgestellt. Anschließend wird die Herleitung des Kalman Filters Schritt für Schritt durchgeführt und anhand eines Beispiels für ein Navigationsproblem eines Kraftfahrzeugs veranschaulicht. Die Arbeit thematisiert auch Erweiterungen des Kalman Filters für nichtlineare Systeme, wie das Extended Kalman Filter und das Unscented Kalman Filter. Schließlich werden adaptive Filterung und das duale Kalman Filter als Ansätze zur Verbesserung der Robustheit des Filters vorgestellt.
- Mathematische Funktionsweise des Kalman Filters
- Erweiterungen des Kalman Filters für nichtlineare Systeme
- Adaptive Filterung und das duale Kalman Filter
- Anwendungsbeispiele des Kalman Filters, z. B. Ladezustandsbestimmung von Batterien
- Bedeutung des Kalman Filters in verschiedenen technischen Bereichen
Zusammenfassung der Kapitel
- Einleitung: Die Einleitung stellt die Thematik der Arbeit vor und gibt einen Überblick über die Ziele und den Aufbau der Arbeit.
- Grundlagen: Dieses Kapitel stellt die notwendigen mathematischen Grundlagen für das Verständnis des Kalman Filters bereit. Dazu gehören Themen wie Zufallsvariablen, die Gaußverteilung, Kovarianz und Kovarianzmatrizen sowie die Systemdarstellung im Zustandsraum.
- Kalman Filter: Dieses Kapitel erklärt die Herleitung des Kalman Filters Schritt für Schritt. Es werden die Prädiktionsschritte und die Korrekturschritte des Filters beschrieben und anhand eines Beispiels für ein Navigationsproblem eines Kraftfahrzeugs veranschaulicht. Außerdem werden die Eigenschaften und die Anwendung des Kalman Filters diskutiert.
- Erweiterungen für nichtlineare Systeme: Dieses Kapitel behandelt Erweiterungen des Kalman Filters für nichtlineare Systeme, wie das Extended Kalman Filter (EKF) und das Unscented Kalman Filter (UKF). Es werden die Algorithmen der Filter vorgestellt und ein Vergleich zwischen EKF und UKF durchgeführt.
- Adaptive Filterung: Dieses Kapitel stellt die Adaptive Filterung als eine Möglichkeit zur Verbesserung der Robustheit des Kalman Filters vor. Es werden verschiedene Ansätze der adaptiven Filterung vorgestellt, z. B. das Interacting Multiple Model Filter (IMM).
- Duales Kalman Filter: Dieses Kapitel behandelt das duale Kalman Filter als einen weiteren Ansatz zur Verbesserung der Robustheit des Filters.
- Anwendungsgebiete des Kalman Filters: Dieses Kapitel zeigt die Anwendung des Kalman Filters in verschiedenen technischen Bereichen auf. Es wird beispielsweise die Anwendung des Kalman Filters zur Ladezustandsbestimmung von Batterien diskutiert.
Schlüsselwörter
Die Arbeit befasst sich mit den Themen Kalman Filter, stochastische Prozesse, Systemtheorie, lineare und nichtlineare Systeme, adaptive Filterung, duale Kalman Filter, Ladezustandsbestimmung von Batterien und Anwendungen in der Fahrzeugtechnik.
- Arbeit zitieren
- Nawid Daniel Wahab (Autor:in), 2015, Die mathematische Funktionsweise des Kalman Filters und seine Erweiterungen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/385998
