Die vorliegende Arbeit thematisiert den strukturellen Aufbau und die mathematische Funktionsweise des Kalman Filters. Für eine verständliche Analyse des Kalman Filters werden zunächst mathematische Kenntnisse bereitgestellt. Diese beinhalten zum einen stochastische Grundlagen, wie zum Beispiel das Wissen über stochastische Verteilungen. Zum anderen wird knapp auf die Analysis eingegangen, in der die Zustandsraumdarstellung für spätere Beschreibungen erklärt wird. Darauf basierend folgt der Kern der Arbeit, worin die vollständige mathematische Herleitung besteht. Angefangen mit einer Zustands- und Messgleichung werden schrittweise auf die fünf Gleichungen des Kalman Filters geschlossen, deren Anwendung am Ende der Herleitung beispielhaft für ein Navigationsproblem eines Kraftfahrzeugs veranschaulich werden. Dadurch dass in der Realität viele Anwendungen von nichtlinearer Natur sind, wird der Kalman Filter so erweitert, dass das Extended Kalman Filter und das Unscented Kalman Filter erwähnt wird. Um auf bestimmte Schwachstellen des Filters zu reagieren, werden auf die adaptive Filterung sowie das duale Kalman Filter aufmerksam gemacht. Die Wichtigkeit der Thematik wird in einem Anwendungsbeispiel für die Ladezustandsbestimmung einer Batterie verdeutlicht.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Grundlagen
2.1 Mathematisches Vorwissen
2.1.1 Zufallsvariablen
2.1.2 Die Gaußverteilung- bzw. Normalverteilung
2.1.3 Kovarianz und Kovarianz Matrizen
2.2 Systemdarstellung im Zustandsraum
2.2.1 Lineare Systeme
2.2.2 Nichtlineare Systeme
2.2.3 Zeitdiskrete Darstellung
2.2.4 Stochastische Störung
3 Kalman Filter
3.1 Herleitung
3.1.1 Prädiktionsschritt
3.1.2 Korrekturschritt
3.2 Anschauliche Diskussion
3.3 Algorithmus
3.4 Beispielhafte Anwendung
3.5 Eigenschaften
3.6 Zusammenfassung
4 Erweiterungen für nichtlineare Systeme
4.1 Das Extended Kalman Filter
4.1.1 Algorithmus
4.1.2 Zusammenfassung
4.2 Nichtlineare Transformation
4.2.1 Transformation des Erwartungswertes
4.2.2 Transformation der Kovarianz
4.3 Das Unscented Kalman Filter
4.3.1 Verwendung der Unscented Transformation
4.3.2 Algorithmus
4.3.3 Zusammenfassung
4.4 Theoretischer Vergleich EKF versus UKF
5 Adaptive Filterung
5.1 Interacting Multiple Model Filter
5.2 Algorithmus
5.3 Zusammenfassung
6 Duales Kalman Filter
7 Anwendungsgebiete des Kalman Filters
7.1 Ladezustandsbestimmung von Batterien mithilfe von Kalman Filtern
7.1.1 Modellierung einer Lithium-Ionen-Batterie
7.1.2 Batterie SoC Bestimmung mit EKF und UKF
7.1.2.1 Batterie SoC Bestimmung mit einem EKF
7.1.2.2 Batterie SoC Bestimmung mit einem UKF
7.1.3 Resultat
8 Zusammenfassung und Ausblick
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit verfolgt das Ziel, die grundlegende mathematische Funktionsweise des Kalman Filters sowie dessen Erweiterungen für nichtlineare Systeme und adaptive Ansätze zu erarbeiten und zu analysieren. Dabei steht die Untersuchung der Eignung dieser Filter zur Zustandsbestimmung, insbesondere bei der Ladezustandsschätzung von Lithium-Ionen-Batterien, im Fokus der Forschungsfrage.
- Mathematische Grundlagen der Stochastik und Zustandsraumdarstellung
- Herleitung und Implementierung des klassischen Kalman Filters
- Erweiterungen für nichtlineare Systeme (EKF und UKF)
- Adaptive Filterkonzepte und das duale Kalman Filter
- Praktische Anwendung zur Bestimmung des Ladezustands von Batterien
Auszug aus dem Buch
3.1 Herleitung
Ziel dieses Abschnittes ist es die mathematische Herkunft des diskreten Kalman Filters vorzustellen. Auf Basis der Beschreibung von stochastischen Prozessen und der Berechnung von Erwartungswerten, werden die Gleichungen schrittweise hergeleitet. Die Ausführungen basieren auf [7].
Zu Beginn wird das lineare System aus Abschnitt 2.2.4 betrachtet
xk = Ak-1xk-1 + Bk-1uk-1 + wk-1
yk = Ckxk + vk
Die beiden Störungen w und v repräsentieren das Prozessrauschen und das Messrauschen. Bisher wurden die beiden Rauschprozesse durch keine Eigenschaften eingeschränkt. Nun wird allerdings angenommen, dass das Rauschen weiß und mittelwertfrei ist. Außerdem seien beide Rauschprozesse untereinander unkorreliert und die Signalamplituden seien gaußverteilt.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Die Arbeit gibt einen Überblick über die Bedeutung des Kalman Filters als optimaler Schätzer und definiert das Ziel, dessen mathematische Funktionsweise sowie Erweiterungen für nichtlineare Systeme zu untersuchen.
2 Grundlagen: Es werden die notwendigen mathematischen und stochastischen Vorkenntnisse sowie die Darstellung von Systemen im Zustandsraum für das weitere Verständnis bereitgestellt.
3 Kalman Filter: Dieses Kapitel widmet sich der schrittweisen Herleitung des klassischen, diskreten Kalman Filters für lineare Systeme und stellt dessen Eigenschaften sowie eine beispielhafte Anwendung vor.
4 Erweiterungen für nichtlineare Systeme: Es werden Verfahren wie das Extended Kalman Filter (EKF) und das Unscented Kalman Filter (UKF) präsentiert, um Schätzaufgaben bei nichtlinearen Systemmodellen zu lösen.
5 Adaptive Filterung: Der Fokus liegt hier auf Methoden wie dem Interacting Multiple Model (IMM) Filter, die bei unbekannten oder zeitlich variierenden Parametern die Performanz der Zustandsschätzung verbessern.
6 Duales Kalman Filter: Dieses Kapitel führt das Konzept des dualen Kalman Filters ein, welches zwei Filter kombiniert, um simultan Systemzustände und Modellparameter zu schätzen.
7 Anwendungsgebiete des Kalman Filters: Anhand des praktischen Anwendungsbeispiels der Ladezustandsbestimmung (SoC) von Lithium-Ionen-Batterien wird die Leistungsfähigkeit von EKF und UKF verglichen.
8 Zusammenfassung und Ausblick: Die wesentlichen Ergebnisse der Arbeit werden zusammengefasst und Ansätze für zukünftige Verbesserungen der Zustandsschätzung diskutiert.
Schlüsselwörter
Kalman Filter, Zustandsschätzung, Stochastik, Extended Kalman Filter, Unscented Kalman Filter, Adaptive Filterung, Duales Kalman Filter, Zustandsraumdarstellung, Batteriemanagement, Ladezustandsschätzung, SoC, Signalverarbeitung, Regelungstechnik, Fehlerkovarianz, Systemmodellierung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die mathematischen Grundlagen, die Herleitung und die praktische Anwendung von Kalman Filtern und deren Erweiterungen zur Schätzung von Systemzuständen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen umfassen die Theorie linearer Kalman Filter, die Anpassung an nichtlineare Systeme (EKF, UKF), adaptive Filterstrategien sowie die Anwendung dieser Verfahren auf die Batteriesystemtechnik.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Hauptziel ist es, die mathematische Funktionsweise des Kalman Filters sowie seiner Erweiterungen transparent zu machen, um die Eignung dieser Techniken für diverse technische Anwendungen zu evaluieren.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Es werden mathematische Herleitungen auf Basis der Stochastik und Zustandsraummodelle genutzt sowie simulationsbasierte Vergleiche durchgeführt, um die Genauigkeit und Konvergenz der verschiedenen Filteralgorithmen zu bewerten.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil deckt die schrittweise Herleitung der Filtergleichungen, die Erläuterung der verschiedenen Algorithmen (EKF, UKF, IMM, Duales Filter) und deren theoretischen Vergleich ab.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zustandsschätzung, Kalman Filter, Nichtlineare Systeme, Ladezustandsbestimmung, EKF, UKF und stochastische Prozesse.
Warum sind nichtlineare Erweiterungen wie das UKF notwendig?
Da reale physikalische Systeme oft nicht-linear sind und das klassische Kalman Filter nur für lineare Zusammenhänge konzipiert wurde, sind Erweiterungen wie das UKF erforderlich, um eine genauere Approximation der Wahrscheinlichkeitsdichte bei nicht-linearen Transformationen zu ermöglichen.
Welche Rolle spielt das Anwendungsbeispiel der Batterie-SoC-Schätzung?
Dieses Beispiel dient dazu, die theoretisch erläuterten Filter, insbesondere EKF und UKF, in einem realen, komplexen Szenario zu vergleichen, wobei Aspekte wie Konvergenzgeschwindigkeit und Genauigkeit bei der Bestimmung des Ladezustands von Lithium-Ionen-Batterien quantifiziert werden.
- Arbeit zitieren
- Nawid Daniel Wahab (Autor:in), 2015, Die mathematische Funktionsweise des Kalman Filters und seine Erweiterungen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/385998
