Mathematikdidaktik, ein Feld der Unordnung?

Inhaltsverzeichnis

Vorschläge zu einer Didaktik der Mathematik
I.1 Wechsel der Zielsetzungen von Mathematikunterricht
I.1.1 Bis 1965
I.1.2 Mengenlehre
I.1.3 Verbindliche Einführung elektronischer Werkzeuge
I.1.4 Kompetenzorientierung
I.2 Grundsätzliche Ziele des Mathematikunterrichts
I.2.1 Mathematik als Spiel des Geistes erleben
I.2.2 Die Schönheit der Mathematik wahrnehmbar machen
I.2.3 Das Wesen der Mathematik erkennbar machen
I.2.4 Mathematiktypische Handlungen
I.2.5 Mathematik als Teil der Allgemeinbildung
I.2.6 Mathematik als Teil der Berufs- und Studienvorbereitung
I.3 Das Wesen der Mathematik
I.3.1 Mathematik ist die Lehre von den Strukturen
I.3.2 Mathematik ist das Erkennen und Beschreiben von Mustern
I.3.3.Mathematik ist Darstellung und Repräsentationswechsel
I.3.4 Mathematik ist eine Sprache mit eigener Kurzschrift
I.3.5 Mathematik ist vergegenständlichende Abstraktion [5]
I.3.6 Mathematik ist das Beweisen des Wahrheitsgehaltes von Aussagen
I.4 Voraussetzungen dem MU folgen zu können
I.4.1 Warum das Lehren und Lernen von Mathematik schwierig ist
I.4.2 Zur Vermittlung von Mathematik erforderliche Tugenden
I.4.3 Neurologische Voraussetzungen
I.4.4 Das Erlebnis mathematischer Wissensbildung
I.4.5 Erst denken, dann rechnen
I.4.6. Beitrag der Semiotik zur Mathematikdidaktik

Fundamentale Ideen und Kompetenzen
II.1 Fundamentale Ideen
II.2 Kompetenzen

Weitere Perspektiven auf die vorgeschlagene Didaktik
III.1 Die Sinnfrage
III.2 Dyskalkulie
III.3 Jeder kann Mathematik lernen
III.4 Lernen durch Verstehen, gibt es eine Alternative?
III.5 Über Mathematik
III.6 Weg vom Kalkül, hin zum Prozess!
III.7 Wie wird mathematisches Wissen gewonnen?
III.8 Was Mathematikunterricht vermitteln sollte, aber nicht immer vermittelt
III.9 Wie alles beginnt
III.10 Herleiten als Nachweis für Verstehen
III.11 Begriffe
III.12 Geometrie
III.13 Aufbau des Zahlensystems

Schlusswort

Quellen

„Mathematikdidaktik bearbeitet ein Feld der Unordnung, ein Feld auf dem große Hoffnungen auf eine Erziehungswissenschaft von Komplexität erdrückt und in einem Meer konkurrierender Theorien ertränkt wurden.“

Lynn Arthur Steen (1941 – 2015), amerikanischer Mathematikprofessor

Teil I

Vorschläge zu einer Didaktik der Mathematik

I.1 Wechsel der Zielsetzungen von Mathematikunterricht

Schulunterricht im Allgemeinen und Mathematikunterricht im Besonderen sind gekennzeichnet von zahlreichen Reformen und Reformen der Reformen. Leistungskurse werden eingeführt und wieder abgeschafft. Neue Schulzweige werden aus der Taufe gehoben oder alte eingeschläfert. Die Aufzählung lässt sich ergänzen. Ursache für diese Ruhelosigkeit ist, dass die Politik über Schule, ihre Lehrinhalte und ihre Organisationsformen entscheidet und nicht die Wissenschaft. Als Berater der Politik bieten sich Lobbyisten ebenso an, wie die OECD. Das Ziel der Organisation für wirtschaftliche Zusammenarbeit und Entwicklung (Organisation for Economic Cooperation and Development, OECD) ist es, eine Politik zu befördern, die das Leben der Menschen weltweit in wirtschaftlicher und sozialer Hinsicht verbessert. Eine der Fragen, welche die OECD zu beantworten vorgibt, lautet: „Statten die Schulsysteme einzelner Länder unsere Kinder mit dem Wissen aus, das sie brauchen, um sich in modernen Gesellschaften zu behaupten?“[1]

Dabei lässt sich die OECD nicht etwa vom Humboldt’schen Bildungsideal leiten, sondern von wirtschaftlichen Interessen. Das Bildungsideal Wilhelm von Humboldts war über mehr als ein Jahrhundert der Garant für ein in Europa einzigartiges, in der Qualität überragendes deutsches Bildungssystem. Es war ein Bildungsideal, das nicht von politischen oder ökonomischen Nützlichkeits-erwägungen geprägt war, sondern von der Entfaltung des Individuums.

I.1.1 Bis 1965

Die OECD wurde Ende 1960 gegründet. In den ersten Jahren war sie noch zu sehr mit sich selbst beschäftigt, als dass sie sich mit Detailfragen schulischer Bildung befassen konnte. Vor 1965 vermittelte der Mathematikunterricht dem Schüler einer weiterführenden Schule neben Anwendungen der Mathematik auch einen Eindruck vom Wesen der Mathematik. Schüler, die sich darauf einlassen wollten, konnten die Mathematik nicht nur als nützliches Werkzeug zu Alltagsbewältigung erleben, sondern auch als grandioses Spiel des Geistes begreifen. Auch die Schönheit der Mathematik, wie sie sowohl in ihren Darstellungen als auch in ihrer Logik zum Ausdruck kommt, konnte ein Stück weit vom Schüler erahnt werden. Darin wird heute kein wirtschaftlicher Nutzen gesehen. Dieser Zweck des Mathematikunterrichtes wurde inzwischen als bedeutungslos eingestuft. Mathematikdidaktiker, welche dies bedauerten, wurden von der Politik nicht mit Forschungsaufträgen versorgt und von öffentlichen Fördertöpfen abgeschnitten.

Politische Entscheidungen müssen einerseits den Wählerwillen treffen und andererseits den Rahmen für eine gesunde Wirtschaft bieten. Und nicht wenige Politiker sind davon überzeugt, Schulen durch Reformen zur wirtschafts- und sozialpolitischen Wunderwaffe weiterentwickeln zu können. Da nicht immer im Voraus klar ist, ob bildungspolitische Maßnahmen diese Entscheidungskriterien erfüllen, werden Bildungsreformen gerne wieder aufgehoben. Exemplarisch für Neuorientierungen des Mathematikunterrichtes werden einige von ihnen hier geschildert.

I.1.2 Mengenlehre

Die letzte große Reform des Mathematikunterrichtes, für die noch ausschließlich fachdidaktische Gründe Pate gestanden hatten, war die Einführung der Mengenlehre in den Grundschulunterricht der 60ger Jahre. Die OECD hatte noch nicht begonnen, Einfluss auf die Bildungspolitik zu nehmen. Für die Reform sprachen verschiedene fachliche Gründe: Weite Teile der Mathematik lassen sich mit den Ausdrucksmitteln der Mengenlehre übersichtlich und prägnant darstellen. Der Zahlbegriff entsteht durch eine Abstraktionsleistung, welche Mengen ausschließlich unter der Eigenschaft ihrer Mächtigkeit betrachtet. Erste Operationen mit Zahlen haben eine anschauliche Entsprechung in ihrer Mengendarstellung. Trotz solider fachlicher Ansätze scheiterte die Einführung der Mengenlehre. Das Scheitern hätte der Politik angelastet werden müssen, aber es war fatal für fachdidaktische Ansätze. Die Zerstörung einer den gesamten Mathematikunterricht erfassenden Didaktik nahm ihren Lauf. Denn leider wurde die Einführung der Mengenlehre nicht sauber durchgeplant. Zu wenige Fortbildungsmaßnahmen für Lehrer wurden auf der Basis von Freiwilligkeit angeboten und von zu wenigen Lehrern wahrgenommen. Die Lehrer setzten die „Neue Mathematik“ halbherzig um. Den Eltern fehlte parallel dazu die Kohärenz im Mathematikunterricht. Fragen ihrer Kinder zu den Hausaufgaben konnten sie nicht beantworten. Breite Wählerschichten wurden unzufrieden und die Politik reagierte – wie in jedem dieser Fälle – mit Zurückrudern. Gleichzeitig hatte die Mathematikdidaktik so viel Reputation verspielt, dass sie sich gegen eine stärker werdende Einflussnahme wirtschaftlicher Interessen auf den Schulunterricht nicht durchsetzen konnte.

I.1.3 Verbindliche Einführung elektronischer Werkzeuge

Die Nutzung von Taschenrechnern im Mathematikunterricht wurde zunächst verboten, dann unter Auflagen erlaubt und schließlich verbindlich vorgeschrieben. Als in den 60-ger Jahren die Einführung des Taschenrechners verbindlich wurde, fehlte jegliches didaktische Konzept für den Einsatz elektronischer Werkzeuge im Mathematik-unterricht. Wieder ließen sowohl die Anzahl angebotener Fortbildungsveranstaltungen als auch die Neigung der Lehrerschaft, solche wahrzunehmen, zu wünschen übrig. Aber die Schüler liebten ihre neuen Werkzeuge. Frei von jeglichem Konzept rechneten sie auf Teufel-komm-raus alles aus, was Zahlen und Rechenzeichen enthielt. Zufriedene Schüler bedeuten zufriedene Eltern und Wähler. Anders als bei Einführung der Mengenlehre musste die Politik nicht zurückrudern, obwohl sie nicht umsichtiger geplant hatte.

Im Rahmen einer Zulassung eines neuen Medikaments müssen insbe-sondere die Risiken und Nebenwirkungen zutreffend abgeschätzt werden. Bei der Zulassung digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht wurde auf eine derartige Abschätzung verzichtet. Bis heute ist die Überzeugung weit verbreitet, dass es derartige Risiken und Nebenwirkungen gar nicht gäbe. Lehrende mathematiknaher Fächer an Hochschulen beklagen seit einiger Zeit die mangelhafte Beherrschung des mathematischen Mittelstufenstoffes, insbesondere der Termumformung oder der Gleichungslehre. Dass die festgestellten Mängel eine Nebenwirkung der Einführung digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht seien, wird auf unterschiedlichen Ebenen vehement bestritten. Allen voran hat natürlich die mächtige Computerindustrie kein Interesse, Zusammenhänge zwischen Rechnereinsatz und Mangel an Übung im Kalkül aufzudecken. Bildungsbehörden verfügen politische Vorgaben, die nicht frei von Einflussnahme der Computerindustrie oder von allgemeinen ökonomischen Erwägungen erlassen werden. Mathematikdidaktiker benötigen Forschungsaufträge, die im Allgemeinen nicht für kritische Bewertungen des Computereinsatzes vergeben werden.

So kommt es, dass ein praktisch erprobtes, wissenschaftlich begründetes Konzept für die Verwendung digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht seit Jahrzehnten fehlt. Dabei ist das digitale Werkzeug durchaus geeignet, auf seinen didaktischen Mehrwert hin untersucht zu werden. Das wird auch in der modernen didaktischen Literatur immer wieder betont, allerdings ohne die möglichen Risiken und Nebenwirkungen zu erwähnen. Wichtig wäre es, Aufgaben zu sammeln, die sich besonders eignen, den Blick auf die Mathematik mittels neuer Werkzeuge zu erweitern ohne gleichzeitig die wichtigen mathematischen Begriffe hinter der erforderlichen Bedienungsfertigkeit verschwinden zu lassen.

Da Taschenrechner meist nicht symbolisch rechnen, werden irrationale Zahlen zu rationalen gerundet. Das kann zu erheblichen Fehlern führen. Aufgaben, die das verdeutlichen, sollten gesammelt und den Schülern zur Lösung gegeben werden. Es gibt aber auch eine Fülle von Aufgaben, bei denen der Computer hilft, den Zugang zu mathematischen Begriffen zu erleichtern. Und schließlich gibt es Aufgaben, die erst mittels digitalem Werkzeug überhaupt lösbar werden.

Grundlage eines didaktischen Konzepts für den Einsatz digitaler Werkzeug, müsste die Frage nach den Bildungszielen schulischen Mathematikunterrichtes sein. Aber die Beantwortung dieser Frage ist bisher nicht gelungen. Die Auffassung, dass schulischer Mathematik-unterricht auch das Wesen der Wissenschaft Mathematik erkennbar machen sollte, gilt als veraltet.

I.1.4 Kompetenzorientierung

Anfang des neuen Jahrtausends legten die sogenannten „PISA“-Tests in Politik und Öffentlichkeit den Eindruck nahe, dass das deutsche Bildungssystem im internationalen Vergleich nur mittelmäßig einzustufen sei. Unter dem Aspekt des Schülers als Humankapital und schulischer Bildung als Instrument ökonomischen Nutzens trifft das auch zu. Die politische Reaktion auf die Ergebnisse der PISA-Studie war Aufforderung an die Bildungsbehörden, sogenannte „Bildungspläne“ zu formulieren und bundeseinheitlich umzusetzen. Ziel war eine Qualitätsverbesserung und deren anschließende Sicherung. Dafür wurden Testinstrumente und ein Qualitätsmanagement entwickelt. Im Zuge dieser Maßnahmen kam es zu einer „Entrümplung“ der Lehrpläne und zu deren Abkehr von der Formulierung konkreter Inhalte. Wichtiger als die Vermittlung von Inhalten ist nach dieser Neuorientierung (nicht nur des Mathematikunterrichtes) die Vermittlung grundsätzlicher Fähigkeiten, Fertigkeiten und Bereitschaften. Diese, auch „Kompetenzorientierung“ genannte Wendung der Mathematik-didaktik wird sehr kontrovers diskutiert. Die Gegner der Neuorientierung sehen sich schon bald von Förderquellen abgeschnitten und richten wenig aus. Überdies konnten selbst die Mathematiker und Mathematikdidaktiker untereinander hier keine Einigung erzielen. Die turnusmäßig erscheinenden ‚Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung‘ bilden diese Zerrissenheit des eigenen Lagers deutlich ab.

I.2 Grundsätzliche Ziele des Mathematikunterrichts

Hier werden Ziele genannt, welche aus der Perspektive der OECD weitgehend gegenstandslos sind. Alle Didaktiker, welche den OECD-Standpunkt nicht teilen, werden nicht gehört, wenn sie Ziele des MU nennen. Die rein utilitaristische Perspektive führt dann dazu, dass Mathematik nicht als faszinierend empfunden wird. Der Autor vertritt allerdings die Ansicht, dass die Mathematik aus ihrem Wesen heraus motivieren kann. Als Begleiteffekt dieser Motivation wird auch die Bereitschaft zur Anwendung von Mathematik gesehen. Die moderne Didaktik fragt nicht: „Was ist Mathematik und was soll dann MU vermitteln?“ sondern: „Welche gesellschaftlichen und wirtschaftlichen Erfordernisse können mit Hilfe der Mathematik erfüllt werden und wie kann MU zu dieser Erfüllung beitragen?“ Die Konsequenzen dieser veränderten Fragestellung sind weitreichend und haben nach Auffassung des Autors dazu beigetragen, dass sich die Mathematikdidaktik nicht leicht ordnen lässt. Eine Motivation des Schülers oder der Schülerin nur über die Anwendbarkeit erreichen zu wollen, greift vermutlich zu kurz.

I.2.1 Mathematik als Spiel des Geistes erleben

Über Mathematik als (manchmal grandioses) Spiel des Geistes wurden Bücher geschrieben, die eine breite Leserschaft anzogen. Schon Grundschüler können Mathematik als Spiel des Geistes erleben. Zur Einübung von Rechenfertigkeit bieten sich bespielweise magische Quadrate an, in denen einige Felder bereits ausgefüllt sind und die Zeilen-, Spalten- und Diagonalensumme jeweils vorgegeben ist. Auch Würfelspiele sind geeignet, sich der Mathematik spielend zu nähern. In der Mittelstufe kann das Rechnen mit negativen Zahlen in einem Spiel mit roten und schwarzen Würfeln geübt werden. Älteren Schülern kann man beispielsweise folgendes Spiel „Türme bauen“ zusammen mit der Frage nach Mustern im Spielverlauf vorlegen:

Eine theoretisch unendliche Reihe von Türmen aus Spielsteinen, deren Höhen von links nach rechts die Folge der natürlichen Zahlen wiedergeben, wird folgendermaßen umgebaut: bei jedem Spielzug wird der Turm ganz links aufgenommen und Stein für Stein auf die nächstfolgenden Türme verteilt. Dazu lassen sich Fragen formulieren, auf die Schülerinnen und Schüler auch von sich aus stoßen können, während sie das Spiel spielen.

Die Verflechtungen mathematischer Inhalte kann unter anderem am Beispiel des Goldenen Schnittes erlebt werden. Dieser ist sowohl ein Merkmal der Fibonaccifolge als auch Eigenschaft eines Musters aus dem Spiel „Türme bauen“. Hier muss man nach einer Beziehung zwischen dem Goldenen Schnitt und der Folge der Anzahlen der jeweils aufgenommenen Spielsteine suchen.

I.2.2 Die Schönheit der Mathematik wahrnehmbar machen

„Mathematische Schönheit lässt sich wahrnehmen, aber nicht erklären“ (Arthur Cayley). Und die Schönheit der Mathematik wahrnehmen zu können, scheint schwieriger zu sein als die Empfindung von Schönheit in Malerei oder Musik, denn obwohl „die Mathematik, recht betrachtet,... nicht nur Wahrheit, sondern auch höchste Schönheit [besitzt]“, ist diese „... eine kalte und strenge Schönheit gleich einer Skulptur, ohne Anziehungskraft für irgendeine unserer schwächeren Seiten, ohne die prächtigen Anreize der Malerei oder der Musik, aber von erhabener Reinheit und einer strengen Vollendung, wie sie nur höchste Kunst aufweisen kann“ (Bertrand Russell). [2]

Messbare Proportionen werden in bestimmten Fällen als schön empfunden. Der Goldene Schnitt liefert hier viele Bespiele. Das gilt auch für die Schönheit des Goldenen Schnittes im Zusammenhang mit mathematischen Inhalten. Als ästhetisches Prinzip hat der Goldene Schnitt in der Kunst Anwendung gefunden. Über die Fibonacci-Folge lässt sich eine Brücke zu einigen Naturphänomenen herstellen und auch Gewinnstrategien einiger Brettspiele haben eine Verbindung zum Goldenen Schnitt. Als Suchwörter seien hier „Wythoff‘s Game“ und „Das Spiel Euklid“ nahegelegt.

Spielerisch gefundene Muster können mathematisch in Form von Hypothesen dargestellt werden und ihr Wahrheitsgehalt kann in einigen Fällen bewiesen werden. Das Beweisen führte in der Schulmathematik schon immer ein Schattendasein. Dazu wird später noch einiges zu ergänzen sein.

I.2.3 Das Wesen der Mathematik erkennbar machen

Dies kann natürlich nur ein Lernziel des MU sein, wenn das Vor-handensein eines solchen Wesens überhaupt Anerkennung findet. Die moderne Didaktik ist dazu offenbar nicht bereit. Auch hierzu wird später noch einiges gesagt. Das Wesen der Mathematik wird insbesondere dann erfahren, wenn der Mathematikunterricht mathematische Wissensbildung erlebbar macht. In diesem Zusammenhang müsste MU Abduktionen ermöglichen, d.h. Gelegenheit zu selbständigen Entdeckungen und Formulierung erster Hypothesen bereitstellen.

Das Wesen der Mathematik wird natürlich auch in ihrer Anwendung erkennbar. Das rechtfertigt die besondere Betonung, die das Model-lieren heute erfährt. Aber die Beschränkung des Modellierens auf Probleme aus der Alltagswelt deckt nicht alles ab, was die Mathe-matik zu bieten hat. Auch innermathematische Problemlösungen sollten im MU gefordert werden.

Darüber hinaus kann das Nachvollziehen der historischen Entwicklung der Wissenschaft Mathematik den Schüler oder die Schülerin dem Wesen der Mathematik näher bringen. So wird die Kenntnis historisch überlieferter Darstellungsformen mathematischer Inhalte und ihre ständige Vervollkommnung ebenso das Wesen der Mathematik beleuchten, wie das Wissen um die Entwicklung mathematiktypischer Konzepte (z.B. Konzepte der Variable und des funktionalen Zusammenhangs). Das Gesagte setzt allerdings voraus, dass die Frage „Was ist Mathematik?“ für beantwortbar gehalten wird. Der Autor ist – im Gegensatz zu den meisten zeitgenössischen Mathematikdidaktikern – der Meinung, dass sich diese Frage beantworten lässt. Immerhin kann die Mathematikgeschichte auf 4000 Jahre dokumentierte Mathematik zurückblicken, in denen die Mathematik zwar gewachsen ist, aber einmal gewonnene Wesenszüge nur ergänzt jedoch nie für überholt erklärt wurden. Bis heute haben sich Charakteristika herausgebildet, die im Folgenden umrissen werden.

I.2.4 Mathematiktypische Handlungen

Eine sehr typische mathematische Handlung ist das Zurückführen auf Bekanntes. Schon die alten Griechen haben das erkannt und genutzt. Die Zurückführung auf Bekanntes wird besonders erlebt im diagrammatischen Schließen [3]. Im Rahmen von Repräsentations-wechsel wird ein Muster entdeckt und dazu eine Hypothese formuliert, die dann durch weiteren Repräsentationswechsel und anschließende Schlüsse aus Diagrammen bewiesen wird. Diagramme in diesem Sinne sind alle mathematischen Darstellungen, seien sie als Graph, als Formel oder in sprachlicher Form gegeben. Ein Beispiel für Darstellung und für einen Perspektivwechsel liefern hier Entdeckung und Beweis des Satzes von Desargues:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gegeben sind die Geraden AA‘, BB’ und CC‘, die sich in einem Punkt Z schneiden. AC schneidet A’C‘ in U; BC schneidet B’C‘ in V und AB scheidet A’B‘ in W. Welche Besonderheit gilt für die Punkte UVW?

Eine oder mehrere Skizzen der obigen Art führen zu der Hypothese:

U, V und W liegen auf einer Geraden.

Wenn man nun den Satz von Desargues in der Zeichenebene betrachtet, wirkt das Ergebnis erstaunlich. Wenn man aber von der Vorstellung ausgeht, dass es sich um eine räumliche Darstellung handelt und A’B’C’Z ein Tetraeder ist, weicht das Erstaunen einer Beweisidee.

Das diagrammatische Schließen gibt Anlass zu der These: „Kein Denken ohne Zeichen.“ Das Denken erfordert geradezu, dass das Gedachte in unserem Gehirn irgendeine Darstellung besitzt. Selbst gedachte Begriffe sind in diesem Sinne bereits Zeichen und zwar einer höheren Qualität oder Stufe der Vergegenständlichung.

Mathematiktypische Handlungen sind also erstens der Wechsel zwischen Repräsentationen oder der Wechsel der Perspektive (hier der Wechsel aus der Ebene in den Raum) und zweitens das Denken in Zeichen (wobei auch Begriffe Zeichen sind).

I.2.5 Mathematik als Teil der Allgemeinbildung

Nach der gängigen Interpretation umfasst die Allgemeinbildung solche Teile der Bildung, die im Alltagsleben anwendbar sind. In der Mathematik gehört dazu das bürgerliche Rechnen (einschließlich Dreisatz, Bruchrechnen etc.). Aber damit ist nur ein geringer Teil der Mathematik abgedeckt. Darüber hinaus hat die Begegnung mit dem Reichtum der Disziplin Mathematik eine besondere Bedeutung für die Allgemeinbildung. Sie wird nur ermöglicht, wenn der Schüler Gelegenheit erfährt, die Mathematik als grandioses Spiel des Geistes, ihre immer wieder aufscheinende Ästhetik sowie die vielen Querverbindungen zwischen ihren Bestandteilen zu erleben. Eine rein auf Anwendbarkeit und Nützlichkeit ausgerichtete Mathematik bietet hier so gut wie keine Ansatzmöglichkeiten.

Zur Allgemeinbildung gehören auch die Themen „Geschichte der Mathematik“ und „Philosophie der Mathematik“. Die heute selbstverständlichen und das Mathematiktreiben erleichternden Errungenschaften, wie das Dezimalsystem, die Bruchdarstellung, das Konzept der Variable oder das Konzept des funktionalen Zusammenhangs mussten Mathematiker über Jahrhunderte und Jahrtausende überhaupt erst entwickeln. Die Frage, wie dennoch bereits früh Mathematik betrieben werden konnte, liefert Anlass zu interessanten Aufgaben, die über ihren geschichtlichen Bezug motivieren können. Die philosophische Frage nach dem Wahrheitsgehalt mathematischer Aussagen liefert einen Zugang zu den Axiomen und damit zum Aufbau der Mathematik, der seit den Griechen prinzipiell unverändert geblieben ist.

Damit ist ein Einstieg in eine Reflexion der für die Mathematik typischen Denk- und Arbeitsweisen eingeleitet und eine Klassifikation mathematischer Aussagen (Axiom, Definition, Satz) vorgezeichnet. Da gewonnene Sätze auf der Grundlage von Axiomen und definierter Begriffe bewiesen werden müssen, wird die Behandlung von Beweisverfahren und den Elementen der mathematischen Logik ebenso notwendig, wie die Bereitstellung einer geeigneten Heuristik. All dies braucht man bei bloßer Anwendung von Mathematik nur selten zu wissen, obgleich es als Teil einer soliden Allgemeinbildung einzuordnen ist.

I.2.6 Mathematik als Teil der Berufs- und Studienvorbereitung

Sowohl Hochschullehrer als auch die IHK beklagen mangelhafte Fertigkeiten und Kenntnisse in der Grundrechenarten bei ihren Studienanfängern bzw. Lehrlingen. So können etwa 50% der Studienanfänger keine Bruchrechnung. Die Berufsanfänger werden für die Grundrechenarten selbstverständlich den Taschenrechner einsetzen. Aber der Taschenrechner ist in einigen Fällen nicht das geeignete Werkzeug. Das hat verschiedene Gründe: Bei der Eingabe können Fehler passieren, sodass jede Ausgabe noch auf Plausibilität geprüft werden muss. Die Eingabe muss berücksichtigen, dass der TR die Reihenfolge der Eingabe abarbeitet. Daher müssen notwendige Klammern vom Nutzer selbst gesetzt und eingegeben werden. TR kennen nur rationale Zahlen, von denen sie auch nur eine begrenzte Anzahl gültiger Ziffern ausgeben. Kaum ein TR gibt Bruchstrichbrüche aus. Mit diesen kann in vielen Fällen eleganter – oft sogar im Kopf – gerechnet werden. Zwei Beispiele für Aufgaben, für deren Lösung der TR nicht das geeignete Werkzeug ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Lösung von a) kann man auf die Strategie des kleinen Gauß zurückgreifen. Es geht dabei letztlich um eine Anwendung von Rechengesetzen zum Zwecke der Rechenvereinfachung. Zur Lösung von b) ist es von Vorteil, gemischte Brüche in unechte umzuwandeln, um dann zu kürzen. Hier geht es also um Anwendung von Rechenregeln. In beiden Fällen ist eine geschickte händische Lösung einem Rechnereinsatz vorzuziehen.

In der praktischen Anwendung von Rechnerergebnissen müssen diese sinnvoll gerundet werden. Manchmal (insbesondere in Überschlagsrechnungen) ist eine Bruchzahl mit Bruchstrich als Angabe eines Ergebnisses sinnvoll. Vor allem Lehrlinge sollten über einige rechnerfreie Fertigkeiten verfügen, wie Runden und elementare Bruchrechnung. Für Studienanfänger stellt sich die Frage nach der Notwendigkeit der rechnerfreien Beherrschung des Kalküls etwas anders dar. Ihnen könnte man – zwecks Hinführung zu einer Einsicht in die Notwendigkeit des rechnerfreien Kalküls – die beiden folgenden Aufgaben vorlegen:

1. Berechnen Sie folgenden Term zunächst mit dem Taschenrechner ohne vorherige algebraische Bearbeitung: . Wenden Sie dann die 3. binomische Formel an und berechnen Sie den so gewonnenen Term mit dem Taschenrechner. Vergleichen Sie die Ergebnisse.
2. Berechnen Sie folgenden Term zunächst mit dem Taschenrechner ohne vorherige Bearbeitung: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Zeigen Sie dann zunächst [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]und bestimmen Sie a und b für den Fall der vorliegenden Aufgabe. Beurteilen Sie, ob der Taschenrechner das richtige Ergebnis angegeben hat. Hätten Sie dem Ergebnis des Taschenrechners auch ohne Zusatzüberlegungen vertraut? Begründen Sie Ihre Antwort.

Die erste Aufgabe wird wohl von den meisten heute genutzten TR mit zwei verschiedenen Ergebnissen beantwortet, weil bei einer Eingabe der Aufgabe ohne Vorbereitung die Taschenrechnerzahlen verlassen und Rundungsfehler in die weitere Rechnung übernommen werden. Der zutreffenden TR-Ausgabe zur zweiten Aufgabe kann man danach erst dann vertrauen, wenn man die vorgeschlagenen Zusatz-überlegungen durchgeführt hat.

Die Tatsache, dass in der Universität der Taschenrechner eine andere Rolle spielt, als in der Schule hat aber tiefere Gründe. In der Universität wird deutlich unterschieden zwischen der Rolle des elektronischen Werkzeugs im Rahmen einer Anwendungsaufgabe und der Bedeutung des Kalküls als Teil der Mathematik. Der elementare Kalkül, wie ihn der Grundschüler erlebt, ist „Mathématique en miniature“. Das entkräftet auch den Einwand, man hätte für obige Aufgaben besser ein Computer-Algebra-System eingesetzt.

I.3 Das Wesen der Mathematik

I.3.1 Mathematik ist die Lehre von den Strukturen

Eine mathematische Struktur oder ein formales System ist eine Menge von zunächst nicht näher definierten Elementen mit bestimmten Eigenschaften. Diese Eigenschaften sind genau genommen Beziehungen zwischen den Elementen, die in einigen Fällen überhaupt erst durch ihre Eigenschaften Gestalt erhalten. Man kann die Elemente einer Struktur auch exemplarisch beschreiben als Objekte, die sich aus ganz bestimmten - später der Mathematik zuzuordnenden - Fragestellungen ergaben. Die Eigenschaften werden durch Axiome festgelegt. Von alldem weiß ein Schüler nichts und das mit gutem Grund. Aber ein Lehrer sollte das wissen (Begründung an geeigneter Stelle).

Dem Schüler begegnet eine erste Struktur, nachdem er den Zahlbegriff erfasst hat und anfängt, mit Zahlen zu operieren. Um den Zahlbegriff zu erfassen und noch mehr, um mit Zahlen operieren zu können, muss ein Kind zählen können. Das Zählen lernen beginnt für mitteleuropäische Kinder mit dem verbalen Zählen. Die Zahlwortreihe ist am Anfang noch nicht strukturiert, sie wird wie ein Gedicht aufgesagt und kann zunächst noch nicht zum Zählen eingesetzt werden. Das Aufzählen der Folge natürlicher Zahlen macht Kindern im allgemeinen Spaß, auch weil sie dafür gelobt werden. Zur Förderung der Kinder kann man das Zählen auch in ein Gedicht einbauen:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Wo ist denn mein Schaf geblieben?

Gestern waren’s doch noch 8.

Ach so, ich hab es ja kaputtgemacht.

Im Alter von etwa 5 Jahren wissen die Kinder, dass sie beim Zählen mit der Eins anfangen müssen, dass jedes Objekt nur einmal gezählt wird und dass die letztgenannte Zahl die Anzahl der Objekte angibt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Alter von 5 ½ bis 6 Jahren gehen Kinder dann zum abkürzenden Zählen über. Die Kinder erfassen ein Zahlenbild wie z. B. das der Fünf (wie auf einem Würfel, siehe rechts). Sie können von einer vorgegebenen Zahl an aufwärts zählen, sie können in Zweierschritten und auch rückwärts zählen.

Der Zahlbegriff wird spätestens in diesem Alter als „vergegenständlichende Abstraktion“ im Bewusstsein des Kindes angelegt. Das heißt z.B.: der Begriff „5“ wird als Gegenstand des Denkens aufgefasst, der dann in weitergehende Gedanken eingebaut wird. In dieser Phase können die meisten Kinder bereits einfache Rechnungen ausführen. Sie öffnen damit die Pforte zu einem formalen System.

In der ersten Phase des Rechnens bewältigen Sechsjährige die Addition durch Weiterzählen und die Subtraktion durch rückwärts Zählen. Später kommen noch Pfeilmodelle und Mengendiagramme als Modelle für die Strichrechnungen der Grundrechenarten hinzu. Die Multiplikation wird auch ohne die zusätzlichen Modelle möglich, wenn die vergegenständlichende Abstraktion des Zahlbegriffes erfolgt ist. Die Multiplikation ergibt sich als Kurzschreibweise der Addition gleicher Summanden. Ein kluges Kind merkt sich einige Additionsergebnisse sowie Multiplikationsergebnisse und führt die Konstruktion anderer darauf zurück. Dieses „auf etwas Zurückführen“ ist die erste mathematiktypische Denkweise, die dem Kind begegnet und wird später in immer komplexeren Zusammenhängen weiter vertieft. Schon die klassische griechische Mathematik hatte erkannt, dass man die Gültigkeit neuer Sätze auf bekannte und bewiesene Sätze zurückführen kann.

Rechengesetze lernen die Kinder zwar erst mit ca. 10 Jahren kennen, ahnen sie aber bereits vorher schon. Ein begabtes Kind wird die Vertauschungsgesetze der Addition und der Multiplikation intuitiv nutzen, um die Anzahl der im Gedächtnis zu speichernden Ergebnisse zu reduzieren. Ein Lehrer sollte im gegebenen Falle derartige Erkenntnisse von Schülern der Klasse vortragen lassen, damit auch weniger Begabte das Vertauschen nutzen können. Entsprechendes gilt für das Distributivgesetz. In der zweiten Hälfte der Grundschulzeit sollte ein Mathematiklehrer 11×12 im Kopf berechnen lassen und so den Begabten Gelegenheit geben 10×12+1×12 zu rechnen und damit letztlich das Distributivgesetz zu entdecken.

I.3.2 Mathematik ist das Erkennen und Beschreiben von Mustern

Mit „Muster“ kann das gemeint sein, was man als geometrisches Muster im umgangssprachlichen Sinne bezeichnet. Zum Beispiel dieses (Abb. rechts):

Es kann aber auch die Gesetzmäßigkeit einer Folge von Zahlen, Gleichungen, Termen oder anderer Zeichen gemeint sein. Als Beispiel die Zahlenfolge: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, …

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine Kombination aus beidem ist die folgende Aufgabe (Darstellung für Grundschüler):

Man kann leicht eine Aufgabe für Mittelstufenschüler daraus entwickeln.

Unsere Welt steckt voller Muster. Auch da sind es vor allem wieder geometrische Muster. Z.B. eine Blüte (siehe rechts). Darüber hinaus zeigt jeder periodische Ablauf ein (ständig wiederkehrendes) Muster. Dem Verhalten eines Lebewesens kann man nicht selten ein Muster ansehen. Und insbesondere mathematische Objekte weisen Muster auf – vor allem dann, wenn ihnen ein Gesetz oder eine Regel innewohnt. Zum Finden von Mustern sind Erfahrung und Wissen unerlässliche Voraus-setzungen. Das Muster der Zahlenfolge 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … wird nur erkannt, wenn die ersten Kubikzahlen bereits bekannt sind. Man kann nur wiedererkennen, was man kennt.

[...]