Stanja i reprezentacije C*-algebri

Thèse de Master , 2017 , 56 Pages , Note: 10

Mathématiques - Divers

In this paper basic concepts of C*-algebras are presented with accent on positive elements and approximate identities. After that, we investigate states of C*-algebras and representations of C*-algebras and prove theorems that illustrate their properties and mutual correspondences, among which are GNS construction and two Gelfand-Naimark theorems of special importance.

Sadr

zaj

1

Uvod

2

2

C*-algebre

4

2.1

Osnovni pojmovi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Spektralna analiza

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.3

Pozitivni elementi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.4

Aproksimativne jedinice i koli

cni

cke

algebre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3

Stanja C*-algebre

20

4

Reprezentacije C*-algebre

28

4.1

Pojam reprezentacije C*-algebre

. . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2

Konsturisanje reprezentacija C*-algebre

. . . . . . . . . . . . 36

4.3

Egzistencija reprezentacija C*-algebre

. . . . . . . . . . . . . 42

4.4

Reprezentacije komutativne C*-algebre

. . . . . . . . . . . . 44

5

Primene teorije C*-algebri

48

5.1

Klasi

cna mehanika

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2

Kvantna mehanika

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6

Zaklju

cak

53

Literatura

54

Biografija

55

1

---

Glava 1

Uvod

Temelje algebri operatora postavio je D

zon fon Nojman po

cetkom dva-

desetog veka kada su fizi

cari, vode´

ci se potrebom da objasne nepravilnosti

na koje su naisli u eksperimentima, po

celi da otkrivaju kvantnu mehaniku.

Ta nova grana fizike je u malom vremenskom periodu dovela do mnogih

zapanjuju´

cih teorija koje su neki nau

cnici smatrali skandaloznim. Zato se

javila potreba da se razvije matemati

cki alat koji bi omogu´

cio da kvantna

fizika, koja je tada bila skup nagadanja, postane nau

cna teorija. Fon Noj-

man je prou

cavao specijalan slu

caj C*-algebri, koje su danas, njemu u

cast, poznate kao fon Nojmanove algebre, a njegov rad su uopstili Mark

Naimark, Izrael Geljfand i Irving Sigal

cija imena nosi GNS konstrukcija,

jedan od glavnih rezultata C*-algebri koji opisuje na

cin konstruisanja re-

prezentacije C*-algebre. Dve najzna

canije teoreme ovog rada, nazavne po

Geljfandu i Naimarku, predstavljaju na

cin na koji stanja i reprezentacije

C*-algebri pru

zaju mogu´

cnost prelaska sa topoloskih na algebarske struk-

ture i koris´

cenja rezultata poznatih u algebri za dokazivanje tvrdenja za

koja topoloska struktura nije pogodna.

U prvoj glavi ovog rada uvedeni su osnovni pojmovi C*-algebri i teoreme

koje opisuju njihova svojstva. Ona predstavlja svojevrsno uvodno izlaganje

aparature potrebne za prou

cavanje stanja i reprezentacija C*-algebri, stoga

je ve´

cina teorema iskazana bez dokaza, delom zbog trivijalnosti, a delom

da se ne bi fokus ovog rada preobimnim uvodom skrenuo sa teme.

U drugoj glavi definisan je pojam pozitivnog linearnog funkcionala

C*-algebre i izvedena su neka njegova svojstva neophodna za dalji rad, kao

sto su veza izmedu pozitivnog linearnog funkcionala i aproksimativnih je-

dinica C*-algebre. Ova glava, takode, sadr

zi definicije stanja i

cistog stanja

i teoreme koje opisuju strukturu skupa svih stanja C*-algebre i njegovog

odnosa sa skupom svih

cistih stanja C*-algebre.

2

---

Tre´

ca glava sadr

zi definiciju pojma reprezentacije C*-algebre, na

cin

konstruisanja stanja polaze´

ci od reprezentacije i obratno, kao i dokaz da je

za svaku C*-algebru mogu´

ce konstruisati

cisto stanje i reprezentaciju. Do-

kazana je i teorema koja predstavlja uopstenje Han-Banahove teoreme sa

ograni

cenih linearnih funkcionala normiranog prostora na stanja C*-algebre,

kao i dve Geljfand-Naimarkove teoreme od kojih jedna uspostavlja vezu

izmedu proizvoljne C*-algebre i algebre ograni

cenih linearnih operatora na

Hilbertovom prostoru, a druga izmedu komutativne C*-algebre i algebre

svih kompleksnih neprekidnih funkcija koje is

cezavaju u beskona

cnosti, de-

finisanih na lokalno kompaktnom Hausdorfovom prostoru.

Poslednja glava opsiuje neke od mnogobrojnih primena rezultata izve-

denih u ovom radu i njihovih posledica.

Zahvaljujem svom mentoru dr Draganu Dordevi´

cu na podrsci prilikom

odabira teme, kao i na svim sugestijama i pomo´

ci prilikom izrade ovog

rada.

3

---

Glava 2

C*-algebre

2.1.

Osnovni pojmovi

Svi vektorski prostori bi´

ce definisani nad poljem kompleksnih brojeva

C, osim ukoliko je druga

cije naglaseno.

Definicija 2.1.1. Neka je

A vektorski prostor nad C takav da je (A, +, ·)

prsten i da va

zi:

(a, b

A)( C) (ab) = (a)b = a(b).

Tada je

A (kompleksna) algebra. Podskup B skupa A koji je i sam algebra

u odnosu na operacije definisane na

A, naziva se podalgebra algebre A. Ako

je

A komutativni prsten, onda je A komutativna (Abelova) algebra. Ako

postoji

1 A takav da vazi:

(a

A) 1 · a = a · 1 = a,

onda se element

1 naziva jedinica algebre, a A je tada algebra sa jedinicom.

Definicija 2.1.2. Neka je

A algebra. Ako je A normiran prostor sa nor-

mom

· , u kome vazi osobina submultiplikativnosti:

(a, b

A) ab a b ,

onda je

A normirana algebra. Ako je pri tom A Banahov prostor, onda

je

A Banahova algebra.

Norma na vektorskom prostoru indukuje topologiju i, ukoliko nije druga

cije

naglaseno, nadalje ´

ce se svi topoloski pojmovi odnositi na tu topologiju.

Definicija 2.1.3. Neka je

A algebra. Involucja u A je preslikavanje a a

,

a

A takvo da za sve a, b A i svako C vazi:

4

---

(1) a

= a;

(2) (a + b)

= a

+ b

;

(3) (ab)

= b

a

;

(4) (a)

= a

.

Ukoliko na

A postoji ovakvo preslikavanje onda je A algebra sa involucijom

ili *-algebra. Ako je

A pri tom i Banahova algebra onda se ona naziva

Banahova *-algebra.

Definicija 2.1.4. Podskup X *-algebre

A je samoadjungovan ako za svako

x X va

zi x

X.

Definicija 2.1.5. C*-algebra je Banahova *-algebra

A za koju vazi uslov:

(a

A) a

2

= a

a .

Ukoliko je podalgebra

B C*-algebre A i sama C*-algebra onda se B naziva

C*-podalgebra algebre

A.

Neka je

A C*-algebra i neka je aA\{0}. Na osnovu uslova iz prethodne

definicije i submultiplikativnosti sledi da je a

2

= a

a a

a , odakle

sledi a a

. Ako isti postupak primenimo na a

do´

ci ´

cemo do va

znog

zaklju

cka, koji ´

cemo

cesto koristiti bez eksplicitnog naglasavanja:

a = a

.

Primer 2.1.1. Skup kompleksnih brojeva C sa operacijama sabiranja i

mno

zenja kompleksnih brojeva, konjugacijom kao involucijom i modulom

kompleksnog broja kao normom,

cini C*-algebru.

Iako je prethodni primer najintuitivniji, motivacija za uvodenje pojma

C*-algebre je struktura Hilbertovih prostora, tj. skupa ograni

cenih linear-

nih operatora na njima. Izraz

"

C*-algebra" je prvi put upotrebio ameri

cki

matemati

car Irving Sigal 1946. godine u radu

"

Ireducibilne reprezentacije

algebri operatora" i to da opise algebru ograni

cenih linearnih operatora Hil-

bertovog prostora koja je zatvorena i samoadjungovana, sto i objasnjava

taj naziv-

"

C" ozna

cava zatvorenost (closed, eng.), a

"

*" samoadjungova-

nost. U slede´

cem primeru podseti´

cemo se ukratko pomenute strukture, a

zatim ´

cemo videti jos neke va

zne primere C*-algebri.

Primer 2.1.2. Operator A definisan na Hilbertovom prostoru H je ograni

cen

ako postoji M 0 takav da je:

(x H) Ax M x .

Normu na skupu svih ograni

cenih linearnih operatora na H mo

zemo defi-

nisati na slede´

ci na

cin:

A = sup{ Ax ; x H, x = 1}

5

---

Lako je dokazati jos jedan izuzetno va

zan rezultat, da za ograni

cen

linearan operator A na H va

zi:

(x H) Ax A

x .

Skup svih ograni

cenih linearnih operatora na H ozna

cavamo sa

B(H)

i ako na njemu definisemo operacije sabiranja i mno

zenja operatora na

uobi

cajen na

cin dobi´

cemo algebru, i to normiranu jer iz:

(x X) ABx = A(Bx) A

Bx A

B

x

sledi sup{ ABx ; x X, x

= 1}

A

B

pa zaklju

cujemo da va

zi

osobina submultiplikativnosti AB A

B . Zbog kompletnosti u od-

nosu na definisanu normu,

B(H) je Banahova algebra. Sa A

ozna

cavamo

adjungovan operator operatora A, koji je odreden sa:

(x, y H) (Ax, y) = (x, A

y).

Lako je dokazati da va

zi (A

)

= A, (A + B)

= A

+ B

, (BC)

= C

B

,

(A)

= A

, A

= A pa zaklju

cujemo da je adjungovanje operatora

involucija na H, tj.

B(H) je Banahova *-algebra. Dokazimo da je B(H)

C*-algebra:

A

2

= sup

x =1

Ax

2

= sup

x =1

(Ax, Ax) = sup

x =1

(x, A

Ax),

primenjuju´

ci nejednakost Kosi-

Svarca, po kojoj za proizvoljne elemente x, y

normiranog prostora X va

zi (x, y)

2

(x, x)(y, y), dobijamo:

A

2

sup

x =1

A

Ax

x = sup

x =1

A

Ax = A

A A

A = A

2

odakle zaklju

cujemo da va

zi:

A

2

= A

A = A

A .

Primer 2.1.3. Ako su X i Y normirani prostori i K : X Y linearno pre-

slikavanje onda je K kompaktan operator ako svaki ograni

cen podskup od X

preslikava u relativno kompaktan podskup od Y . Sa

K(X, Y ) oznacavamo

sve kompaktne operatore iz X u Y , tj. sa

K(X) ukoliko je Y = X. Za

Hilbertov prostor H,

K(H) je podprostor od B(H), pri tom je zatvoren

i samoadjungovan pa je

K(H) (sa uobicajenim operacijama sabiranja i

mno

zenja operatora, operatorskom normom i adjungovanjem operatora kao

involucijom) C*-algebra.

6

---

Primer 2.1.4. Neka je X lokalno kompaktan Hausdorfov prostor i neka je

C

0

(X) skup svih neprekidnih kompleksnih funkcija na X koje is

cezavaju u

beskona

cnosti, tj. za svako f iz ovog skupa i za svako > 0 postoji kompakt

K X takav da je (x X\K) |f (x)| < . Definisimo na C

0

(X) operacije

sabiranja vektora, mno

zenja vektora skalarom, mno

zenja vektora, normu i

involuciju, redom, sa:

(f + g)(x) = f (x) + g(x),

(f )(x) = f (x),

(f g)(x) = f (x)g(x),

f = sup

xX

|f (x)|,

f

(x) = f (x),

gde su f, g C

0

(X), x X i C proizvoljni. Lako je dokazati da je

C

0

(X), sa ovako definisanim operacijama, komutativna C*-algebra.

Ako je µ mera na prostoru X onda je H = L

2

(X; µ), tj. prostor svih

kompleksnih funkcija definisanih na X koje su kvadratno integrabilne u

odnosu na µ, Hilbertov prostor sa skalarnim proizvodom definisanim sa:

(f, g) =

X

f ¯

gdµ,

za proizvoljne funkcije f, g H. U ovom slu

caju C

0

(X) je C*-podalgebra

od

B(H) koja sadrzi multiplikativne operatore na H, u smislu da se svako

f C

0

(X) mo

ze poistovetiti sa operatorom M

f

: H H definisanim sa

(g H) M

f

g = f g.

Primer 2.1.5. Ukoliko je u prethodnom primeru X kompaktan skup onda

´

ce za svako > 0 postojati kompakt K = X takav da je (x X\K) |f (x)| <

pa ´

ce sve funkcije is

cezavati u beskona

cnosti, a C*-algebra C

0

(X) ´

ce se sve-

sti na C*-algebru C(X) svih neprekidnih kompleksnih funkcija definisanih

na X.

Primer 2.1.6. Prostor M

n

(C) svih kompleksnih n × n matrica (koje se

mogu posmatrati kao linearni operatori prostora C

n

u odnosu na stan-

dardnu ortonormiranu bazu), sa operacijama mno

zenja matrica skalarom

i sabiranja i mno

zenja matrica definisanim na uobi

cajen na

cin je nekomu-

tativna algebra. Za normu mo

zemo uzeti operatorsku normu, a involuciju

definisati sa A

= [a

ji

], za matricu A = [a

ij

], i do´

ci ´

cemo do zaklju

cka da

je M

n

(C), sa ovako definisanim operacijama, C*-algebra.

7

---

Ukoliko C*-algebra

A ima jedinicu onda je ona jedinstvena. Zaista, ako

pretpostavimo da su

1 i 1 jedinice algebre A onda je 1 = 11 = 1 . Takode

va

zi

1

=

1 jer je za proizvoljno a A:

a

1

= (

1a

)

= (a

)

= a,

1

a = (a

1)

= (a

)

= a.

Kako je

1 = 1

1 = 1

2

to mora biti

1 = 1 ili 1 = 0. U daljem

radu ´

ce se pretpostavljati da je

1 = 1 jer pretpostavka da vazi 1 = 0

vodi do trivijalne algebre zbog:

(a

A) a = 1a 1 a = 0.

Algebra ne mora sadr

zati jedinicu, npr. za algebru

B(H) jedinica je

identi

cko preslikavanje koje jeste ograni

cen linearan operator, ali je kom-

paktan ako i samo ako je H kona

cno dimenzionalan pa

B(H) sadrzi jedi-

nicu, ali

K(H) ima jedinicu ako i samo ako je Hilbertov prostor H konacno

dimenzionalan. Za algebru C

0

(X), jedinica je konstantno preslikavanje koje

sve elemente slika u 1 i ono ´

ce is

cezavati u beskona

cnosti na X ako i samo

ako je X kompaktan. Nepostojanje jedinice algebre mo

ze znatno ote

zati

analiziranje te algebre, ali se mnoge potesko´

ce mogu prevazi´

ci na relativno

lak na

cin- prosirivanjem algebre jedinicom.

Neka je

A C*-algebra bez jedinice. Oznacimo ~

A={(, a); C, aA} i

na ovom skupu definisimo operacije sabiranja i mno

zenja vektora, mno

zenja

vektora skalarom i involucije, redom sa:

(, a) + (, b) = ( + , a + b),

(, a)(, b) = (, b + a + ab),

(, a) = (, a),

(, a)

= ( ¯

, a

),

gde su (, a), (, b) ~

A i C proizvoljni. Lako je proveriti da je ~

A

*-algebra u odnosu na navedene operacije. Nula ove algebre je (0, 0), a

jedinica je (1, 0). Definisimo normu na ~

A sa:

(, a) = sup{ b + ab ; b

A, b = 1}.

Doka

zimo da ovako definisano preslikavanje jeste norma na ~

A. Za proi-

zvoljne (, a), (, b) ~

A i C je:

(, a) = sup

b =1

b + ab 0;

(, a) = (, a) = sup

b =1

b + ab = || (, a) ;

8

---

(, a) + (, b) = ( + , a + b) sup

c =1

( c + ac + c + bc )

sup

c =1

c + ac + sup

c =1

c + bc

= (, a) + (, b) .

Preostalo je jos da se poka

ze da je (, a) = 0 (, a) = (0, 0). Dokaz

jednog smera ove ekvivalencije je trivijalan, pa ´

cemo pokazati samo da va

zi

smer sa leva na desno. Kako je (0, a) = a to, za = 0, iz (, a) = 0

sledi da je a = 0. Ako = 0 i (, a) = 0 onda uo

cimo da je b + ab = 0 za

sve b

A, jer ´ce za elemente b = 0 za koje je b = 1 vaziti

1

b

(b + ab) = 0.

Zato ´

ce za sve b

A biti

a

b + b = 0, tj. b = -

a

b odakle zaklju

cujemo

da je -

a

leva jedinica algebre

A, a ocigledno je da je tada (-

a

)

desna

jedinica u

A. Sada iz -

a

= -

a

(-

a

)

= (-

a

)

mo

zemo zaklju

citi da je

-

a

jedinica u

A sto je u suprotnosti sa polaznom pretpostavkom da A ne

sadr

zi jedinicu. Dakle, ukoliko va

zi (, a) = 0 onda mora biti = 0, a

ove dve jednakosti povla

ce i a = 0.

Submultiplikativnost sledi iz:

(, a)(, b) = (, b + a + ab)

= sup

c =1

c + (b + a + ab)c

= sup

c =1

(c + ac)(c + bc)

sup

c =1

c + ac

sup

c =1

c + bc

= (, a)

(, b)

Iz kompletnosti skupova

A i C sledi kompletnost skupa ~

A, sto je lako

dokazati. Dakle, ~

A je Banahova *-algebra.

Kako je za proizvoljno a

A:

(, a)

2

= sup

b =1

b + ab

2

= sup

b =1

(b + ab)

(b + ab)

= sup

b =1

b

(, a)

(, a)b

(, a)

(, a) (, a)

(, a)

to je

(, a) (, a)

. Primenjuju´

ci isti postupak na element (, a)

uo

ci´

cemo da va

zi i obrnuti smer nejednakosti, a samim tim va

zi i jednakost

(, a) = (, a)

pa mo

zemo zaklju

citi da je

A C*-algebra jer:

(, a)

2

(, a)

(, a) (, a)

(, a) = (, a)

2

.

9

---

Skup

A se moze poistovetiti sa podskupom {(0, a); a A} pa za-

klju

cujemo da je

A C*-podalgebra svog prosirenja jedinicom, ~

A. Elemente

dobijene algebre, umesto sa (, a), ozna

cava´

cemo sa

1+a, a samu algebru

sa ~

A = C1 + A.

Definicija 2.1.6. Podalgebra

I algebre A je levi ideal te algebre ako je

{ai; a

A, i I} = A · I I, a desni ideal ako je I · A I. I se naziva ideal

algebre

A ako je on njen levi ideal ili desni ideal, a ukoliko je istovremeno

levi i desni ideal onda se naziva dvostrani ideal.

Ukoliko je

A komutativna algebra svi ideali su dvostrani. Ukoliko je A

*-algebra i

I njen samoadjungovani ideal onda on mora biti dvostrani ideal.

Zaista, ako je

I levi ideal i i I onda je i

I pa je i i

a

I, za svako

a

A, odakle sledi ai = (i

a

)

I.

Primer 2.1.7. Algebra

K(H) je dvostrani ideal u algebri B(H) jer je

proizvod ograni

cenog i kompaktnog operatora kompaktan operator.

Primer 2.1.8. Neka je X lokalno kompaktan Hausdorfov prostor, Y njegov

zatvoren podskup i

A skup svih elemenata komutativne C*-algebre C

0

(X)

koji su jednaki nuli na Y . Tada je

A ocigledno zatvoren dvostrani ideal u

C

0

(X).

Primer 2.1.9. Ako je

A C*-algebra bez jedinice onda je ona zatvoren

dvostrani ideal svog prosirenja jedinicom ~

A.

10

---

2.2.

Spektralna analiza

Definicija 2.2.1. Neka je

A algebra sa jedinicom 1. Element a A je

invertibilan ako postoji a

-1

A takav da vazi

aa

-1

= a

-1

a =

1.

U tom slu

caju element a

-1

nazivamo inverz elementa a. Skup svih inver-

tibilnih elemenata algebre

A oznacava´cemo sa A

-1

.

Za proizvoljne elemente a, b

A

-1

lako se mo

ze dokazati da va

ze slede´

ca

tvrdenja:

(1) Inverz a

-1

elementa a je jedinstven.

(2) Element ab je invertibilan i (ab)

-1

= b

-1

a

-1

.

(3) Za C\{0} element a je invertibilan i (a)

-1

=

1

a

-1

.

(4) Ako je

A *-algebra onda je a

A

-1

i (a

)

-1

= (a

-1

)

.

Definicija 2.2.2. Neka je

A algebra sa jedinicom 1. Spektar elementa

a

A je skup:

A

(a) = { C; 1 - a /

A

-1

}.

Komplement ovog skupa naziva se rezolventni skup elementa a i ozna

cava

se sa

A

(a).

Ukoliko

A ne sadrzi jedinicu, spektar i rezolventni skup elementa se

definisu kao spektar i rezolventni skup tog elementa u algebri ~

A koja je

dobijena prosirivanjem

A jedinicom.

Primer 2.2.1. Za matricu A algebre M

n

(C) je spektar skup svih sopstve-

nih vrednosti te matrice, tj. svih C takvih da je det(I - A) = 0, gde

je I jedini

cna n × n matrica.

Teorema 2.2.1. U Banahovoj algebri

A sa jedinicom je, za svaki element

a

A, skup

A

(a) neprazan, kompaktan podskup skupa C.

Spektar elementa a je, kao kompakt, ograni

cen i to diskom u C sa

centrom u 0 i polupre

cnikom a , tj.

A

(a) D(0, a ).

Teorema 2.2.2. Neka je

A *-algebra sa jedinicom. Za svako a A i C

je:

(1)

A

(

1 - a) = -

A

(a);

(2)

A

(a

) = {;

A

(a)};

(3)

A

(a

-1

) = {

1

;

A

(a)}.

11

---

Definicija 2.2.3. Spektralni radijus elementa a algebre

A sa jedinicom je

r(a) = sup{||;

A

(a)}.

Teorema 2.2.3. Za element a Banahove algebre

A sa jedinicom je

r(a) = lim

n

a

n 1/n

= inf

nN

a

n 1/n

a .

Definicija 2.2.4. Element a *-algebre

A sa jedinicom je:

(1) normalan ako je a

a = aa

;

(2) samoadjungovan ako je a = a

;

(3) unitaran ako je a

a = aa

=

1.

Proizvoljan element a C*-algebre

A ima jedinstvenu dekompoziciju na

samoadjungovane elemente:

a = a

1

+ ia

2

, gde je a

1

=

a + a

2

, a

2

=

a - a

2i

.

Elementi a

1

i a

2

nazivaju se, redom, realni deo i imaginarni deo elementa

a. Dakle, za mnoge zaklju

cke je dovoljno analizirati svojstva samoadjungo-

vanih elemenata jer se, zbog ove dekompozicije, ona mogu prosiriti na sve

elemente algebre.

Teorema 2.2.4. Neka je

A C*-algebra sa jedinicom.

(1) Ako je a

A normalan ili samoadjungovan onda je r(a) = a .

(2) Ako je a

A unitaran onda je

A

(a) { C; || = 1}.

(3) Ako je a

A samoadjungovan onda je

A

(a) [- a , a ].

(4) Za a

A i polinom p je

A

(p(a)) = p(

A

(a)).

Spektar proizvoljnog elementa a

A zavisi samo od algebarske strukture

algebre

A, a na osnovu prethodne teoreme i cinjenice da je a

a samoadjun-

govan element va

zi a

2

= a

a = r(a

a), pa vidimo da norma na

A mora

biti jedinstvena, tj. da va

zi slede´

ca teorema.

Teorema 2.2.5. Ako je

A C*-algebra i ako su · i ·

1

dve norme defi-

nisane na

A onda je (a A) a = a

1

.

Ukoliko je

B podalgebra algebre A, spektar elementa a B u odnosu na

algebru

B i spektar istog elementa u odnosu na A ne moraju biti jednaki,

va

zi´

ce samo

A

(a)

B

(a). Medutim, u slu

caju C

-algebri va

zi slede´

ci

rezultat:

Teorema 2.2.6. Neka je

B C*-podalgebra C*-algebre A. Tada za svako

a

B vazi

B

(a) =

A

(a).

Nadalje ne´

cemo isticati u indeksu na koju se algebru odnosi spektar,

ukoliko se radi sa C

-algebrama i ukoliko nema opasnosti od zabune.

12

---

2.3.

Pozitivni elementi

Pozitivni elementi su zna

cajni jer nam omogu´

cavaju uvodenje relacije

poretka na algebri, a samim tim i kvantitativno uporedivanje njenih eleme-

nata.

Definicija 2.3.1. Samoadjungovani element a C*-algebre

A je pozitivan

ako je (a) [0, ). Skup svih pozitivnih elemenata algebre

A oznacava´cemo

sa

A

+

.

Lema 2.3.1. Ako je

A C*-algebra sa jedinicom i a A

+

onda za svako

a va

zi

1 - a .

Teorema 2.3.2. Neka je

A C*-algebra. Element a A je pozitivan ako i

samo ako je a = b

b, za neko b

A.

Teorema 2.3.3. Neka je

A C*-algebra. Samoadjungovan element a A

je pozitivan ako i samo ako postoji b

A za koji je a = b

2

.

Stavi

se, ako

je a pozitivan postoja´

ce jedinstven pozitivan element b koji zadovoljava taj

uslov.

Definicija 2.3.2. Neka je a pozitivan element C*-algebre

A. Element

b

A

+

za koji je a = b

2

nazivamo kvadratni koren elementa a i ozna

cavamo

sa

a ili a

1/2

. Ukoliko je a samoadjungovan onda se njegov modul definise

kao element |a| algebre

A za koji vazi |a| =

a

2

.

Teorema 2.3.4. Skup

A

+

je konveksan konus, tj. za proizvoljne a, b

A

+

i > 0 su a, a + b

A

+

, i va

zi

A

+

(-

A

+

) = {0}.

Ovaj rezultat je va

zan jer nam omogu´

cava da na skupu

A

S

svih sa-

moadjungovanih elemenata algebre

A uvedemo parcijalno uredenje na

slede´

ci na

cin:

a b a - b

A

+

,

a, b

A

S

.

Ukoliko je a b i a = b koristi se zapis a > b.

Teorema 2.3.5. Neka su a i b elementi C*-algebre

A. Tada vaze slede´ce

implikacije:

(1) a b 0 a b ;

(2) a 0 a a a

2

(3) a b 0 (c

A) c

ac c

bc 0;

(4) ako je

1 A i > 0 onda a b 0 (b + 1)

-1

(a +

1)

-1

.

Teorema 2.3.6. Ako je a samoadjungovan element C*-algebre

A onda su:

a

+

=

1

2

(|a| + a),

a

-

=

1

2

(|a| - a)

jedini elementi algebre

A za koje vazi: a

+

, a

-

A

+

, a = a

+

- a

-

, a

+

a

-

= 0.

13

---

Dakle, svaki samoadjungovani element algebre

A mogu´ce je predstaviti

kao razliku dva pozitivna elementa te algebre, sto mo

ze zna

cajno olaksati

dokazivanje nekih osobina samoadjungovanih elemenata. Slede´

ca teorema

je pogodna za dokazivanje osobina proizvoljnog elementa C*-algebre, uko-

liko je ve´

c dokazano da ta osobina va

zi za njene unitarne elemente.

Teorema 2.3.7. Neka je

A C*-algebra sa jedinicom. Za svako a A

postoje unitarni elemente u

1

, u

2

, u

3

, u

4

A takvi da je:

a =

1

u

1

+

2

u

2

+

3

u

3

+

4

u

4

,

pri

cemu

i

C zadovoljavaju uslove |

i

|

a

2

, i = 1, 4.

14

---

2.4.

Aproksimativne jedinice i koli

cni

cke

algebre

Prosirivanje algebre jedinicom je jedan na

cin prevazila

zenja potesko´

ca

koje nastaju pri razmatranju algebre koja ne sadr

zi jedinicu. Medutim, u

nekim situacijama ovaj metod nije odgovaraju´

ci, npr. ukoliko se posmatra

ideal koji ne sadr

zi jedinicu onda njegovo prosirenje jedinicom ne mora biti

ideal algebre

cak ni kada algebra sadr

zi jedinicu. Ponekad je korisnije uo

citi

elemente algebre koji ´

ce se na neki na

cin ponasati sli

cno jedinici algebre.

Zato je korisno dokazati da svaki ideal sadr

zi niz elemenata za koje se mo

ze

re´

ci da aproksimiraju jedinicu, u smislu da se u grani

cnom slu

caju ponasaju

kao jedinica algebre.

Skup U je usmeren ako na njemu postoji parcijalno uredenje za koje

va

zi da za svaki par , µ U postoji U takvo da je i µ .

Preslikavanje f : U X, gde je U usmeren skup, a X topoloski prostor,

naziva se mre

za u X. Mre

za je uopstenje pojma niza, pa se shodno tome

cesto ozna

cava sa (x

)

U

ili kra´

ce (x

)

ukoliko ne postoji opasnost od

zabune, pri

cemu se podrazumeva da je f () = x

.

Definicija 2.4.1. Ako je

I desni ideal C*-algebre A onda se moze defini-

sati aproksimativna jedinica ideala

I kao mreza (e

)

pozitivnih elemenata

ideala

I za koju vazi:

(1)

e

1;

(2) µ e

e

µ

;

(3) (a

I) lim

e

a - a = 0.

Ukoliko je

I levi ideal, aproksimativnu jedinicu definisemo na isti nacin

kao u slu

caju desnog ideala, s tim sto se umesto uslova (3) zahteva da va

zi

(a

I) lim

ae

- a = 0.

Teorema 2.4.1. Svaki desni ideal

I C*-algebre A sadrzi aproksimativnu

jedinicu.

Dokaz. Ukoliko

A nema jedinicu onda se posmatra ~

A. Neka je U familija

svih kona

cnih podskupova ideala

I, uredena relacijom skupovne inkluzije.

Za fiksirano = {a

1

, a

2

, ..., a

n

} U moze se definisati element algebre

A:

f

=

n

i=1

a

i

a

i

za koji je o

cigledno da je pozitivan. Zbog toga, -n /

(f

) odakle sledi da

postoji (

-1

n

1 - f

)

-1

, a onda postoji i (

1 + nf

)

-1

pa se mo

ze definisati:

e

= nf

(

1 + nf

)

-1

.

15

---

Nije tesko dokazati da je ovaj element samoadjungovan. Na osnovu:

1 - e

= (

1 + nf

)(

1 + nf

)

-1

- nf

(

1 + nf

)

-1

= (

1 + nf

- nf

)(

1 + nf

)

-1

= (

1 + nf

)

-1

i Teoreme

2.2.2

sledi da je 0 e

1, sto povlaci e

1, na osnovu

Teoreme

2.3.5

(1). Zbog na

cina na koji je definisan element e

, va

zi slede´

ce:

(e

a

i

- a

i

)(e

a

i

- a

i

)

n

i=1

(e

-

1)a

i

a

i

(e

-

1)

= (e

-

1)f

(e

-

1)

= (

1 + nf

)

-1

f

(

1 + nf

)

-1

= f

1/2

(

1 + nf

)

-2

f

1/2

.

Uo

cavaju´

ci da je (f

1/2

)

= f

1/2

i (

1 + nf

)

-2

(

1 + nf

)

-1

, primenom

Teoreme

2.3.5

(3) na prethodnu nejednakost zaklju

cuje se da je:

(e

a

i

- a

i

)(e

a

i

- a

i

)

f

1/2

(

1 + nf

)

-1

f

1/2

=

1

n

(

1 + nf

-

1)(1 + nf

)

-1

=

1

n

(

1 + nf

)(

1 + nf

)

-1

-

1

n

(

1 + nf

)

-1

=

1

n

(

1 - (1 + nf

)

-1

)

=

1

n

e

1

n

1.

Ponovnom primenom Teoreme

2.3.5

(1), dobija se:

e

a

i

- a

i

2

1

n

.

Zbog proizvoljnosti skupa iz prethodne nejednakosti sledi da za svako

a

I vazi lim

e

a - a = 0.

Za = {a

1

, a

2

, ..., a

n

} i µ = {b

1

, b

2

, ..., b

m

} iz U takve da je µ, tj.

{a

1

, a

2

, ..., a

n

} {b

1

, b

2

, ..., b

m

}, vazi nf

mf

µ

odakle, na osnovu Teoreme

2.3.5

(4), sledi (

1 + mf

µ

)

-1

(

1 + nf

)

-1

, sto povla

ci

1 - e

- (

1 - e

µ

) 0,

tj. e

µ

- e

0. Dakle, µ povlaci e

e

µ

.

Na sli

can na

cin se mo

ze dokazati da svaki levi ideal ima aproksimativnu

jedinicu.

Sada je lako videti da je svaki zatvoren dvostrani ideal

I C*-algebre A

samoadjungovan: za proizvoljno i

I je lim

i

e

- i

= lim

e

i - i = 0,

16

---

gde je (e

)

aproksimativna jedinica ideala

I. Kako je i

e

I i kako je I

zatvoren, to je i grani

cna vrednost i

sadr

zana u

I.

Od velike je koristi prou

citi koli

cni

cki prostor

A/I = {a + I; a A},

gde je

I zatvoren dvostrani ideal C*-algebre A. Elemente ovog prostora

´

cemo ozna

cavati sa ^

a = a +

I, za a A. Ako za proizvoljne ^a, ^b A/I i

C definisemo sabiranje vektora, mnozenje vektora skalarom, mnozenje

vektora i involuciju, redom, sa:

^

a + ^

b = a + b,

^

a = a,

^

a · ^

b = ab,

^

a

= a

,

vide´

cemo da to sto je

I dvostrani ideal, obezbeduje dobru definisanost

mno

zenja jer, za proizvoljne i

1

, i

2

I, je ai

2

, i

1

b, i

1

i

2

I odakle sledi:

(a + i

1

) · (b + i

2

) = ab + ai

2

+ i

1

b + i

1

i

2

ab +

I.

Lako je proveriti da je

A/I *-algebra, da je njena nula ^0 = 0 + I = I i da,

ukoliko

A sadrzi jedinicu 1, je ^1 = 1 + I jedinica algebre A/I. Prirodno,

A/I naziva se kolicnicka algebra.

Teorema 2.4.2. Neka je

A C*-algebre i neka je I njen zatvoren dvostrani

ideal. Tada je sa:

^

a = inf

i

I

a - i ,

a

A

definisana norma u odnosu na koju je

A/I normirana *-algebra.

Dokaz. Neka su a, b

A i C proizvoljni. Nenegativnost i apsolutnu

homogenost je lako dokazati:

^

a = inf

i

I

a - i 0,

^

a = a = inf

i

I

a - i = inf

i

I

|| a -

1

i = || inf

j

I

a - j = || ^

a .

Za doka

z nejednakosti trougla, primetimo da je za sve i, j

I:

^

a + ^

b = a + b a + b - (i + j) a - i + b - j ,

odakle sledi da nejednakost va

zi i za infimum po i, tj. po j:

^

a + ^

b inf

i

I

a - i + inf

j

I

b - j = ^

a + ^

b .

17

---

Dalje, ^

a = 0 ako i samo ako je inf

i

I

a - i = 0, tj. ako i samo ako je

rastojanje ta

cke a od skupa

I jednako nuli, a to vazi ako i samo ako je a

element zatvorenja,

I, skupa I. Kako je I po pretpostavci zatvoren skup to

se zaklju

cuje da je:

^

a = 0 a

I ^a = ^0.

Dakle, dokazano je da koli

cni

cka norma zaista jeste norma na

A/I, tako

da preostaje samo jos da se doka

ze da je

A/I normirana algebra, tj. da

va

zi submultiplikativnost. Iz definicije koli

cni

cke norme sledi da je za svako

> 0 mogu´

ce izabrati takve i, j

I da vazi:

a - i ^

a + ,

b - j ^

b + .

Kako su i, j

I to je ^i = ^j = ^0 pa na osnovu prethodnog sledi:

^

a^

b = (a - i) (b - j) = (a - i)(b - j)

(a - i)(b - j) (a - i)

(b - j)

( ^

a + )( ^

b + )

Prelaskom na grani

cnu vrednost kada

0 dobija se ^

a^

b = ^

a

^

b .

Lema 2.4.3. Neka je {e

}

aproksimativna jedinica zatvorenog dvostranog

ideala

I C*-algebre A. Tada je za svako ^a A/I:

^

a = lim

a - ae

.

Dokaz. Ukoliko

A nema jedinicu posmatra se njeno prosirenje jedinicom,

~

A. Neka je a A proizvoljno. Iz definicije norme kolicnickog prostora A/I

sledi da je a - ae

^

a . Za proizvoljno i

I je:

a - ae

= (a + i)(

1 - e

) + i(e

-

1) a + i 1 - e

+ ie

- i .

Kako su e

pozitivni elementi i e

1, to je prema Lemi

2.3.1

:

1 - e

1.

I je dvostrani ideal pa iz iI sledi lim

ie

-i = 0 sto, zajedno sa prethodne

dve nejednakosti, povla

ci:

lim

a - ae

a + i .

Za svako

> 0 mogu´

ce je izabrati i

I takvo da je ^a + a + i pa ´ce

za to i va

ziti:

lim

a - ae

- a + i - ^

a a - ae

.

Prelaskom na grani

cnu vrednost kada

0 dobija se trazeno.

18

---

Teorema 2.4.4. Ukoliko je

A C*-algebra i I njen zatvoren dvostrani ideal

onda je i

A/I C*-algebra.

Dokaz. Da doka

zemo da je

A/I kompletan skup u odnosu na kolicnicku

normu posmatrajmo proizvoljan Kosijev niz {^

a

n

}

n

iz

A/I. Kako iz ove

pretpostavke ne mora da sledi da je {a

n

}

n

Kosijev niz, to ´

cemo izabrati

podniz niza {^

a

n

}

n

za koji ´

ce pogodno izabrani elementi tih koseta formirati

Kosijev niz u

A. Za svako k N postoji n

k

N takav da je:

^

a

n

- ^

a

m

< 2

-k

,

za sve n, m n

k

i pri tom mo

zemo izabrati brojeve n

k

tako da va

zi n

1

< n

2

< ... . Podniz

koji ´

cemo izabrati je {^

a

n

k

}

k

i za njega ´

ce va

ziti:

^

a

n

k

- ^

a

n

k+1

< 2

-k

.

Sada mo

zemo izabrati b

k

^

a

n

k

takve da je:

b

k

- b

k+1

< 2

-k

pa ´

ce niz {b

k

}

k

biti Kosijev niz u

A. Kako je A C*-algebra to ovaj niz

konvergira ka nekom elementu b

A. Zato, imaju´ci u vidu da je ^a

n

k

= ^

b

k

,

za svako

> 0:

^

a

n

k

- ^b =

^

b

k

- ^b b

k

- b < .

Dakle, Kosijev niz {^

a

n

}

n

ima podniz {^

a

n

k

}

k

koji konvergira ka ^

b pa i sam

niz {^

a

n

}

n

konvergira ka ^

b. Na osnovu ovoga i Teoreme

2.4.2

sledi da je

A/I

Banahova *-algebra.

Preostalo je jos da doka

zemo osobinu

^

a

2

= ^

a^

a

, a

A. Neka je

(e

)

aproksimativna jedinica u

A. Koriste´ci Lemu

2.4.3

dobijamo slede´

ce:

^

a

2

= lim

a - e

a

2

= lim

(a - e

a)(a - e

a)

= lim

(

1 - e

)aa

(

1 - e

)

lim

1 - e

aa

(

1 - e

)

lim

aa

(

1 - e

)

= aa

= ^

a ^

a

^

a

^

a

^

a

2

.

19

---

Glava 3

Stanja C*-algebre

Funkcional algebre

A je preslikavanje iz A u C. Dualni prostor algebre

A, tj. skup svih neprekidnih linearnih funkcionala na A, oznacava´cemo sa

A

i na njemu ´

cemo definisati normu f = sup{|f (a)|; a

A, a = 1}.

Definicija 3.1. Funkcional C*-algebre

A je pozitivan ako je:

(a

A) (a

a) 0.

Pozitivan linearan funkcional C*-algebre

A je stanje ako je = 1.

Skup svih stanja algebre

A naziva se prostor stanja te algebre, a oznacava

se sa S(

A).

Dakle, pozitivni funkcionali slikaju pozitivne elemente algebre u pozi-

tivne realne brojeve. Primetimo da za pozitivnost funkcionala nije zahte-

vana neprekidnost. To je zato sto u C

-algebrama pozitivnost linearnog

funkcionala povla

ci njegovu neprekidnost, a samim tim i ograni

cenost, sto

´

ce biti i dokazano. Pre toga ´

cemo dokazati jednu osobinu vezanu za skup

D

+

= {a

A

+

;

a 1}.

Lema 3.1. Neka je linearan funkcional C*-algebre

A. Ako postoji M 0

za koji va

zi |(a)| M , za svako a D

+

, onda je ograni

cen.

Dokaz. Posmatrajmo prvo slu

caj kada je a

A

S

i

a 1. Na osnovu

Teoreme

2.3.6

, postoje pozitivni elementi a

+

, a

-

za koje va

zi

a

+

1,

a

-

1 i a = a

+

- a

-

odakle sledi:

|(a)| = |(a

+

) - (a

-

)| |(a

+

)| + |(a

-

)| 2M.

Za proizvoljno a

A za koje je a 1, postoji dekompozicija na

samoadjungovane elemente, tj. postoje a

1

, a

2

A

S

takvi da je a

1

1,

20

---

a

2

1 i a = a

1

+ ia

2

, pa se primenom prethodnog razmatranja na ove

elemente dobija:

|(a)| = |(a

1

) + i(a

2

)| |(a

1

)| + |(a

2

)| 4M.

Dakle, za ograni

cenost linearnog funkcionala dovoljno je dokazati da

je taj funkcional ograni

cen na skupu svih pozitivnih elemenata algebre

sadr

zanih u zatvorenoj jedini

cnoj kugli, tj. na skupu D

+

.

Teorema 3.2. Svaki pozitivan linearan funkcional C*-algebre je ograni

cen.

Dokaz. Neka je

A C*-algebra i pozitivan linearan funkcional na njoj.

Ukoliko pretpostavimo suprotno, da nije ograni

cen, na osnovu prethodne

leme sledi´

ce da je sup

aD

+

|(a)| = +. Tada postoji niz (a

n

)

n

iz D

+

takav

da je (n N) 2

n

(a

n

). Neka je a =

n=1

a

n

2

n

, tada je a

A

+

. Kako je

1 (

a

n

2

n

), to je za svako N N:

N

N

n=1

(

a

n

2

n

) = (

N

n=1

a

n

2

n

) (a).

Dosli smo do zaklju

cka da je (a) gornja granica skupa prirodnih brojeva,

sto nije mogu´

ce. Dakle, mora biti ograni

cen funkcional.

Primer 3.1. Prostor stanja C*-algebre C

0

(X), gde je X lokalno kompak-

tan Hausdorfov prostor, se sastoji od mera verovatno´

ca. Zaista, teorema

Ris-Markov-Kakutanija tvrdi da za svaki pozitivan linearan funkcional

definisan na prostoru C

0

(X), gde je X lokalno kompaktan Hausdorfov pro-

stor, postoji -algebra

R i jedinstvena regularna pozitivna mera µ na R za

koju je (f ) =

X

f dµ, za svako f C

0

(X). Dakle, na osnovu ove teoreme,

svako stanje se mo

ze poistovetiti sa regularnom pozitivnom merom, a

kako je = 1 to su u pitanju mere verovatno´

ce.

Lema 3.3. Ako je pozitivan funkcional C*-algebre

A onda je, za proi-

zvoljne a, b

A:

(1) (a

b) = (b

a);

(2) |(a

b)|

2

(a

a)(b

b) - nejednakost Ko

si-

Svarca.

Dokaz. (1): Za proizvoljne a, b

A i C pozitivnost funkcionala

povla

ci ((a + b)

(a + b)) 0 odakle sledi:

||

2

(a

a) + (a

b) + (b

a) + (b

b) 0.

21

---

Kako su (b

b)0 i ||

2

(a

a)0, iz prethodnog izborom = 1 dobijamo

Im (a

b) = -Im (b

a) , a za = i dobijamo Re (a

b) = Re (b

a) .

Dakle, (a

b) = (b

a).

(2): Za dokaz drugog dela tvrdenja primetimo da, zbog pozitivnosti

funkcionala , va

zi ((a - b)

(a - b)) 0, sto povla

ci:

||

2

(a

a) - (a

b) - (b

a) + (b

b) 0.

Ako za uzmemo vrednost

(a

b)

(a

a)

, koriste´

ci dokazani deo teoreme dobi´

cemo:

-

1

(a

a)

|(a

b)|

2

+ (b

b) 0,

odakle sledi Kosi-

Svarcova nejednakost.

Teorema 3.4. Neka je ograni

cen linearan funkcional na C*-algebri

A.

Slede´

ca tvrdenja su ekvivalentna:

(1) je pozitivan funkcional.

(2) Za svaku aproksimativnu jedinicu (e

) iz

A je = lim

(e

).

(3) Za neku aproksimativnu jedinicu (e

) iz

A je = lim

(e

).

Dokaz. Bez gubljenja opstosti mo

zemo pretpostaviti da je = 1.

(1) (2): Neka je pozitivan linearan funkcional na

A i neka je (e

)

proizvoljna aproksimativna jedinica u

A. Tada je ((e

))

rastu´

ca mre

za u

R pa ona konvergira ka svom supremumu, koji ne mo

ze biti ve´

ci od norme

funkcionala odakle sledi lim

(e

) 1.

Neka je a

A proizvoljan element za koji je a 1. Koriste´ci Lemu

3.3

mo

zemo zaklju

citi da je:

|(e

a)|

2

(e

e

)(a

a) (e

2

) (e

),

odakle sledi |(a)|

2

lim

(e

). Zbog proizvoljnosti elementa a sledi da je

2

lim

(e

), tj. 1 lim

(e

).

(2) (3): O

cigledno.

(3) (1): Neka je (e

)

aproksimativna jedinica algebre

A, takva da

va

zi 1 = = lim

(e

). Pretpostavimo da je a

A

S

takav da je a 1

i doka

zimo da je (a) R. Kako je funkcional, to postoje realni brojevi

x i y takvi da je (a) = x + iy. Pretpostavi´

cemo da je y 0 jer, ukoliko to

nije slu

caj, mo

zemo umesto a posmatrati -a. Za svako n N je:

a - ine

2

= (a + ine

)(a - ine

)

= a

2

+ n

2

e

2

- in(ae

- e

a)

1 + n

2

+ n ae

- e

a ,

22

---

odakle sledi |(a - ine

)|

2

2

a - ine

2

1 + n

2

+ n ae

- e

a .

Prelaskom na grani

cnu vrednost po u prethodnoj nejednakosti, na osnovu

slede´

ce dve jednakosti:

lim

(a - ine

) = (a) - in lim

(e

) = (a) - in

lim

ae

- e

a = lim

ae

- a - (e

a - a) = 0

sledi |x + iy - in|

2

= |(a) - in|

2

1 + n

2

. Dakle, x

2

+ y

2

- 2ny 1, za svako

n N, a kako je po pretpostavci y 0, to je ovo mogu´ce samo ukoliko je

y = 0.

Dokazali smo da, ukoliko je a samoadjungovan element norme ne ve´

ce

od 1, onda je (a) realan broj. Sada pretpostavimo da je a

A pozitivan

element za koji je

a 1 i doka

zimo da je (a) 0. Kako su e

- a

samoadjungovani elementi i e

- a 1 to je (e

- a)

e

- a 1

odakle sledi:

1 - (a) = lim

(e

) - (a) = lim

(e

- a) 1.

Dakle, (a) 0, za svako pozitivno a

A za koje je a 1.

Za proizvoljno pozitivno a

A je

a

a

pozitivan element jedini

cne norme

pa je

1

a

(a) 0 odakle sledi da je i (a) 0.

Posledica 3.5. Ako je (e

)

aproksimativna jedinica C*-algebre

A i ako je

pozitivan funkcional onda je = lim

(e

2

).

Dokaz. Za aproksimativnu jedinicu (e

)

je 0 e

2

e

1. Za µ je

e

e

µ

odakle sledi e

2

µ

-e

2

= (e

µ

-e

)e

µ

+ e

(e

µ

-e

) 0 pa je i e

2

e

2

µ

. Za

proizvoljno a

A je lim

ae

- a = 0, pa iz ae

2

- a = (ae

- a)e

+ (ae

- a)

sledi lim

ae

2

- a = 0. Na osnovu Teoreme

3.4

iz ovih zaklju

caka sledi

lim

(e

2

) = .

Posledica 3.6. Ukoliko je ograni

cen linearan funkcional definisan na

C*-algebri

A koja sadrzi jedinicu, onda je pozitivan ako i samo ako je

(

1) = .

Dokaz. Niz

ciji su svi elementi jednaki

1 je aproksimativna jedinica u A,

pa tvrdenje sledi direktnom primenom Teoreme

3.4

na taj niz.

Teorema 3.7. Ako je pozitivan lineran funcional C*-algebre

A onda je

za svako a, b

A:

23

---

1. (a

) = (a);

2. |(a)|

2

(a

a) ;

3. |(a

ba)| (a

a) b ;

4.

= sup{(a

a); a

A, a = 1}.

Dokaz. (1): Primenom Leme

3.3

(1) na proizvoljno a

A i aproksimativnu

jedinicu (e

)

dobijamo:

(a

e

) = (e

a) = (e

a).

Prelaskom na grani

cnu vrednost po dobijamo tra

zeno.

(2): Na osnovu Leme

3.3

(2) je:

|(e

a)|

2

(e

2

)(a

a) (e

)(a

a)

za proizvoljno a

A i aproksimativnu jedinicu (e

)

. Prelaskom na grani

cnu

vrednost po dobijamo |(a)|

2

(a

a) .

(3): Iz a

b

ba b

2

a

a i pretpostavke da je pozitivan linearan funk-

cional sledi (a

b

ba) b

2

(a

a).

(4): Na osnovu (2) je

sup

a =1

(a

a) sup

a =1

|(a)|

2

=

2

, odakle

sledi sup

a =1

(a

a) . Sa druge strane, po definiciji norme funkcionala

je = sup

a =1

|(a)| sup

a =1

(a

a).

Teorema 3.8. Ako su

1

i

2

pozitivni linearni funkcionali C*-algebre

A

onda je to i

1

+

2

i pri tom ´

ce va

ziti:

1

+

2

=

1

+

2

.

Stanja algebre

A formiraju konveksan podskup dualnog prostora A

.

Dokaz. Pozitivnost

1

+

2

sledi iz:

(a

A) (

1

+

2

)(a

a) =

1

(a

a) +

2

(a

a) 0,

a prema Teoremi

3.4

je, za proizvoljnu aproksimativnu jedinicu (e

)

:

1

+

2

= lim

(

1

+

2

)(e

) = lim

1

(e

) + lim

2

(e

) =

1

+

2

.

Za konveksnost skupa S(

A), dokazimo da za proizvoljna stanja

1

i

2

va

zi

da je i =

1

+ (1 - )

2

stanje, za svako [0, 1]. O

cigledno je da je

pozitivan lineran funkcional, a na osnovu dokazanog dela tvrdenja je:

=

1

+ (1 - )

2

= + 1 - = 1.

24

---

Ako je

A C*-algebra bez jedinice i ako je A = C1 + A njeno prosirenje

jedinicom onda svaki funkcional

A

ima ekstenziju

A

definisanu

sa:

(

1 + a) = + (a), C, a A.

Ova ekstenzija se naziva kanoni

cka ekstenzija funkcionala .

Teorema 3.9. Ako je

A C*-algebra bez jedinice i ako je pozitivan funk-

cional na

A onda je njegova kanonicka ekstenzija takode pozitivan funk-

cional i = . Ukoliko su

1

i

2

dva pozitivna funkcionala i

1

i

2

njihove kanoni

cke ekstenzije, onda je

1

+

2

=

1

+

2

.

Dokaz. Neka su a

A i C proizvoljni. Na osnovu Teoreme

3.7

(2) je:

((

1 + a)

(

1 + a)) = (||

2

1 + a + a

+ a

a)

= ||

2

+ (a) + (a

) + (a

a)

= ||

2

+ (a) + (a) + (a

a)

||

2

- 2|||(a)| + (a

a)

||

2

- 2||

1/2

(a

a)

1/2

+ (a

a)

= (||

1/2

- (a

a)

1/2

)

2

0

odakle sledi pozitivnost funkcionala . Kako

A sadrzi jedinicu to je, prema

Posledici

3.6

, = (

1) = .

Kona

cno, na osnovu Teoreme

3.8

je:

1

+

2

(

1 + a) =

1

+

2

+ (

1

+

2

)(a)

= (

1

+

2

) +

1

(a) +

2

(a)

=

1

(

1 + a) +

2

(

1 + a).

Dakle, ukoliko je

A algebra bez jedinice onda pozitivnan linearan funk-

cional mo

zemo sa

A prosiriti na A, pri tom ´ce i to prosirenje biti

pozitivan linearan funkcional i va

zi´

ce (

1) = = . Uocimo da je po-

zitivan linearan funkcional stanje ako i samo ako je (

1) = 1 ako algebra

sadr

zi jedinicu, tj. (

1) = 1 ako je ne sadrzi.

Kao kod pozitivnih elemenata C*-algebre, na skupu svih pozitivnih

linearnih funkcionala definisanih na

A uvodimo uredenje:

1

2

ako i

samo ako je

2

-

1

pozitivan linearan funkcional, pri tom mo

zemo pisati

i

2

-

1

0. Ako je

1

2

i

1

=

2

onda pisemo

1

<

2

.

Ukoliko su

1

i

2

stanja na

A onda je i =

1

+ (1 - )

2

stanje na

A

za bilo koje [0, 1] i va

zi

1

i (1-)

2

. Na osnovu Teoreme

3.8

,

lako je uo

citi da ´

ce za

1

,

2

, ...,

n

S(

A) i

1

,

2

, ...,

n

[0, 1] funkcional

25

---

=

n

k=1

k

k

biti stanje ako je

n

k=1

k

= 1. Stanja koja se ne mogu predstaviti

na ovaj na

cin imaju va

znu ulogu kako u matematici, tako i u fizici, pa

postoji potreba da se uvede slede´

ca definicija.

Definicija 3.2. Stanje C*-algebre

A je cisto stanje ako za svaki pozitivan

linearan funkcional na

A iz sledi = , za neko [0, 1]. Skup

svih

cistih stanja na

A oznacava se sa P (A).

Definicija 3.3. Neka je X vektorski prostor i K njegov konveksan pod-

skup. Element x K je ekstremna ta

cka skupa K ako za njega va

zi da

x = y + (1 - )z, za (0, 1), y, z K, povla

ci x = y = z.

Na dualnom prostoru

A

mo

zemo posmatrati uobi

cajenu topologiju in-

dukovanu normom, koja je okarakterisana konvergencijom:

lim

= lim

- = 0.

Medutim, ponekad je korisnije posmatrati slabu*-topologiju koju karak-

terise slaba*-konvergencija:

lim

= (a

A) lim

(a) - (a) = 0,

jer je u tom slu

caju mogu´

ce dokazati interesantne rezultate, kao sto ´

cemo

videti nakon sto se podsetimo jedne teoreme potrebne za dalji rad.

Teorema 3.10 (Krein-Milman). Ako je X lokalno konveksan normiran

prostor i K njegov kompaktan, konveksan podskup onda postoji bar jedna

ekstremna ta

cka skupa K i K je zatvoren konveksan omota

c svojih ekstrem-

nih ta

caka.

Konveksan omota

c skupa E je najmanji konveksan skup koji sadr

zi E

i u normiranim prostorima zatvorenje konveksnog omota

ca je ekvivalen-

tan pojmu zatvorenog konveksnog omota

ca koji se definise kao presek svih

zatvorenih konveksnih skupova koji sadr

ze E. Pojam

"

skup ekstremnih

ta

caka" obi

cno navodi na misao o skupu koji nema mnogo elemenata, ako

ih uopste ima, medutim vidimo da kompaktan, konveksan skup K iz pret-

hodne teoreme, ne samo da ima ekstremne ta

cke, ve´

c one

cine skup koji je

relativno veliki u odnosu na K i koji zapravo generise skup K.

Teorema 3.11. Neka je

A C*-algebra i neka je F

1

skup svih linearnih

pozitivnih funkcionala na

A cija norma nije ve´ca od 1. Tada je F

1

kon-

veksan, slabo*-kompaktan podskup od

A

cije su jedine ekstremne ta

cke 0 i

cista stanja. F

1

je slabo*-zatvoren konveksan omota

c skupa svojih ekstrem-

nih ta

caka. Ukoliko

A sadrzi jedinicu, onda je skup S(A) svih stanja na

A slabo*-kompaktan skup cije su ekstremne tacke cista stanja i S(A) je

slabo*-zatvoren konveksan omota

c skupa P (

A).

26

---

Dokaz. Skup F

1

je o

cigledno konveksan, slabo*-zatvoren podskup skupa

A

1

= {

A

;

1}, a kako je skup

A

1

prema teoremi Banah-Alaoglu

slabo*-kompaktan, to je i F

1

slabo*-kompaktan.

Ukoliko pretpostavimo da je 0 =

1

+ (1 - )

2

za neke (0, 1),

1

,

2

F

1

onda je, za svako a

A, 0 =

1

(a

a) + (1 - )

2

(a

a) odakle

sledi 0 (1 - )

2

(a

a) = -

1

(a

a) 0. Dakle, za svako a

A je

1

(a

a) =

2

(a

a) = 0 odakle, primenom nejednakosti Kosi-

Svarca, dobijamo

1

=

2

= 0 odakle sledi da je 0 ekstremna ta

cka skupa F

1

.

Ako pretpostavimo da je P (

A) i da je =

1

+ (1 - )

2

za neke

(0, 1),

1

,

2

F

1

, onda iz

1

, (1 - )

2

sledi da postoje

, µ [0, 1] takvi da je

1

= i (1 - )

2

= µ. Kako je stanje

to je 1 = =

1

+ (1 - )

2

odakle sledi + µ = 1, sto povla

ci

=

1

1 i

1-

1-

=

2

1 pa zakljucujemo da je = , tj.

1

=

2

= .

Dakle, svako

cisto stanje je ekstremna ta

cka skupa F

1

.

Da doka

zemo da F

1

nema ekstremnih ta

caka koji nisu

cista stanja ili 0

pretpostavi´

cemo da je F

1

\{0} ekstremna tacka tog skupa i dokazati da

onda mora

cisto stanje. Pre svega mora biti = 1 jer bi u suprotnom

va

zilo =

+ (1 - )0, pri cemu su 0,

F

1

pa ne bi bio

ekstremna ta

cka. Ako je pozitivan linearan funkcional za koji je ,

pri

cemu mo

zemo bez gubljenja opstosti pretpostaviti da je 1, onda

je =

+ (1 - )

-

-

jer je - = 1 -

prema Teoremi

3.8

, pri

cemu su

,

-

-

F

1

. Medutim, onda je =

sto dokazuje

da je

cisto stanje.

Na osnovu Krein-Milmanove teoreme mo

zemo zaklju

citi da je F

1

slabo*-

zatvoren konveksan omota

c svojih ekstremnih ta

caka, tj. skupa P (

A){0}.

Pretpostavimo da

A sadrzi jedinicu 1. Na osnovu Teoreme

3.8

znamo da

je S(

A) konveksan skup. Neka je (

n

)

n

niz u S(

A) koji slabo*-konvergira

ka . O

cigledno je pozitivan linearan funkcional na

A, a na osnovu

Posledice

3.6

je = (

1) = lim

n

n

(

1) = 1 pa je stanje. Dakle, S(A) je

slabo*-zatvoren podskup slabo*-kompaktnog skupa

A

1

= {

A

;

1} pa je i sam slabo*-kompaktan. Na osnovu Krein-Milmanove teoreme

zaklju

cujemo da je S(

A) slabo*-zatvoren konveksan omotac skupa svojih

ekstremnih ta

caka. Kako je P (

A) S(A) F

1

i 0 /

S(

A), to sledi da je

P (

A) skup ekstremnih tacaka skupa S(A).

27

---

Glava 4

Reprezentacije C*-algebre

U prvoj glavi je dokazano da je prostor

B(H) svih linearnih ogranicenih

operatora Hilbertovog prostora H C*-algebra, a u ovoj glavi ´

ce biti doka-

zano tvrdenje koje se mo

ze smatrati obratom, a to je da je svaka C*-algebra

*-izomorfna sa nekom C*-podalgebrom od

B(H). Za dokaz ovog rezultata

neophodno je prou

citi reprezentacije C*-algebre i njihovu povezanost sa

stanjima C*-algebre.

4.1.

Pojam reprezentacije C*-algebre

Definicija 4.1.1. Neka su

A i B dve C*-algebre. Linearno preslikavanje

:

A B je *-homomorfizam ako:

(1) (a, b

A) (ab) = (a)(b);

(2) (a

A) (a

) = (a)

.

Bijektivni *-homomorfizam naziva se *-izomorfizam. Za dve C

-algebre

ka

zemo da su *-izomorfne ukoliko postoji *-izomorfizam izmedu njih.

Svaki *-homomorfizam izmedu dve C*-algebre

A i B je pozitivan jer

je za svako a

A:

(a

a) = (a

)(a) = (a)

(a) 0.

Teorema 4.1.1. Neka je

A Banahova *-algebra sa jedinicom, B C*-algebra

i *-homomorfizam iz

A u B. Tada je neprekidno preslikavanje i vazi:

(a

A) (a) a .

Dokaz. Prvo ´

cemo posmatrati slu

caj kada je a

A

S

. Tada je i (a)

A

S

:

(a)

= (a

) = (a),

28

---

odakle na osnovu Teoreme

2.2.4

(1) sledi:

(a) = r

B

((a)) = sup{||;

B

((a))}.

Ozna

cimo (

1

A

) = p. Tada je p

2

= (

1

A

·

1

A

) = (

1

A

) = p, tj. p je

projektor algebre

B. Oznacimo B

p

= p

Bp i primetimo da je projektor p

jedinica algebre

B

p

. Takode, va

zi (

A) B

p

jer:

(a) = (

1

A

a

1

A

) = (

1

A

)(a)(

1

A

) = p(a)p, za svako a

A.

Na osnovu ovog rezultata mo

zemo pokazati da je

B

p

((a))

A

(a), za

proizvoljno a

A. Zaista, kako je

B

p

((a))

1

B

p

- (a) /

B

-1

p

(

1

A

- a) /

B

-1

p

to ´

ce pretpostavka da /

A

(a) povla

citi egzistenciju inverza ( - a)

-1

A,

sto dalje povla

ci:

( - a)

-1

( - a) = ( - a)

-1

( - a) = p =

1

B

p

,

( - a) ( - a)

-1

= ( - a)( - a)

-1

= p =

1

B

p

,

odakle sledi da postoji ( - a)

-1

= ( - a)

-1

, sto je suprotno pretpo-

stavci da je

B

p

((a)).

Iz

B

p

((a))

A

(a), prema Teoremi

2.2.3

, sledi da je:

(a) sup{||;

A

(a)} a .

Ukoliko a nije samoadjungovan, prethodnu nejednakost mo

zemo prime-

niti na a

a jer ovaj element jeste samoadjungovan, pa imamo:

(a)

2

= (a)

(a) = (a

a) a

a a

2

.

Dakle, za svako a

A je (a) a , a ocigledno je da ovaj rezultat i

pretpostavka da je linearno preslikavanje povla

ce njegovu neprekidnost.

Teorema 4.1.2. Ako su

A i B C*-algebre i *-homomorfizam iz A u B

onda je (

A) C*-podalgebra od B.

Dokaz. Lako je proveriti da je (

A) normirana *-podalgebra algebre B, a

da bismo dokazali da je i C*-algebra moramo dokazati da je zatvorena.

Zbog osobina preslikavanja , njegovo jezgro ker = {a

A; (a) = 0}

je zatvoren dvostrani ideal pa je koli

cni

cka algebra

A/ ker C*-algebra,

prema Teoremi

2.4.4

. Definisimo preslikavanje ^

:

A/ ker (A) sa

^

(a + ker ) = (a).

29

---

O

cigledno je da je ovo preslikavanje *-homomorfizam i da njegovo jezgro

sadr

zi samo klasu 0 + ker , tj. samo nulu algebre

A/ ker . Zbog ovoga

je ^

*-izomorfizam iz

A/ ker u ^(A/ ker ) pa postoji njemu inverzno

preslikavanje ^

-1

: ^

(

A/ ker ) A/ ker koje je, takode, *-izomorfizam.

Primenimo prethodnu teoremu na ^

-1

i ^

i dobi´

cemo:

a + ker = ^

-1

(^

(a + ker )) ^

(a + ker ) a + ker

odakle sledi a + ker = ^

(a + ker ) = (a) .

Ukoliko je ((a

n

))

n

niz elemenata iz (

A) koji konvergira ka nekom

elementu b

B onda je taj niz Kosijev pa je i niz (a

n

+ ker )

n

Kosijev jer:

a

n

+ ker - (a

m

+ ker ) = (a

n

- a

m

) + ker

= (a

n

- a

m

)

= (a

n

) - (a

m

) .

Kako je

A/ ker C*-algebra to je niz (a

n

+ ker )

n

konvergentan i ako

ozna

cimo sa a + ker

A/ ker njegovu granicnu vrednost vidimo da niz

((a

n

))

n

konverigra ka (a) (

A) je:

(a

n

) - (a) = (a

n

- a) = a

n

+ ker - a + ker

odakle, na osnovu jedinstvenosti grani

cne vrednosti konvergentnog niza,

sledi da je b = (a). Dakle, b (

A), tj. (A) je zatvoren skup.

Definicija 4.1.2. Reprezentacija C*-algebre

A je ureden par (H, ), gde je

H Hilbertov prostor, a je *-homomorfizam iz

A u B(H). Reprezentacija

(H, ) je verna ako je *-izomorfizam izmedu

A i (A).

Svaka reprezentacija (H, ) C*-algebre

A definise vernu reprezentaciju

(H, ^

) koli

cni

cke algebre

A

=

A/ ker , sto se moze videti iz prethodnog

dokaza.

Teorema 4.1.3. Neka je (H, ) reprezentacija C*-algebre

A. Slede´ci uslovi

su ekvivalentni:

(1) Reprezentacija (H, ) je verna.

(2) ker = {0}

(3) (a

A) (a) = a

(4) (a

A) (a > 0 (a) > 0).

Dokaz. Pokaza´

cemo da je (1) (2) i da (2) (3) (4) (2).

(1) (2) : Iz pretpostavke da je reprezentacija (H, ) verna sledi da

je *-homomorfizam injektivan pa, kako zbog linearnosti preslikavanja

mora biti (0) = 0, sledi ker = {0}.

30

---

(2) (1) : Pretpostavimo da je ker = {0} i da nije injektivno

preslikavanje, tj. da postoje a, b

A takvi da je a = b i (a) = (b). Tada

je (a - b) = (a) - (b) = 0 odakle sledi da je a - b ker , tj. a = b sto

je suprotno pretpostavci. Dakle, mora biti injektivno preslikavanje.

(2) (3) : Pretpostavka da je ker = {0} nam omogu´

cava da definisemo

*-izomorfizam

-1

iz (

A) u A sa

-1

((a)) = a, za proizvoljno (a) (

A).

Primenjivanjem Teoreme

4.1.1

na

-1

, a zatim i na dobijamo da za

proizvoljno a

A vazi:

a =

-1

((a)) (a) a .

(3) (4) : Ukoliko za a

A vazi a > 0 onda sledi da je (a) = a > 0

odakle sledi (a) = 0. Kako je a pozitivan element to je a = b

b, za neko

b

A pa je (a) = (b

b) = (b)

(b) 0. Iz (a) 0 i (a) = 0 sledi

(a) > 0.

(4) (2) : Pretpostavimo suprotno, da postoji a ker takvo da je

a = 0. Tada je (a

a) = (a)

(a) = 0. Sa druge strane iz a

a = a

2

> 0

sledi da je a

a > 0 odakle, prema pretpostavci, sledi (a

a) > 0.

Definicija 4.1.3. Ako je

A C*-algebra i *-izomorfizam iz A u A onda

je *-automorfizam algebre

A.

Dakle, *-automorfizam je *-homomorfizam

ciji je rang jednak njegovom

domenu i

cije jezgro sad

zi samo nulu algebre. Posledica prethodne teoreme

je da *-automorfizam C*-algebre

cuva normu, tj. da za *-automorfizam

C*-algebre

A vazi (a A) (a) = a .

Definicija 4.1.4. Ako je (H, ) reprezentacija C*-algebre

A i ako je H

1

podprostor prostora H onda za H

1

ka

zemo da je invarijantan, ili stabilan,

u odnosu na ako za svako a

A vazi (a)H

1

H

1

.

Teorema 4.1.4. Neka je (H, ) reprezentacija C*-algebre

A i neka je H

1

zatvoren podprostor od H, a P

H

1

ortogonalni projektor H na H

1

. Tada je

H

1

invarijantan u odnosu na ako i samo ako P

H

1

komutira sa (a), za

svako a

A.

Dokaz. Neka je H

1

zatvoren podprostor od H invarijantan u odnosu na

i neka je a

A proizvoljno. Tada se proizvoljan element h H moze

predstaviti u obliku ortogonalne dekompozicije h = h

1

+ h

2

, gde su h

1

H

1

,

h

2

H \ H

1

odakle sledi:

(P

H

1

(a)P

H

1

)h = P

H

1

(a)h

1

= P

H

1

h

1

,

gde je h

1

= (a)h

1

H

1

zbog invarijantnosti, tako da dalje imamo:

(P

H

1

(a)P

H

1

)h = h

1

= (a)h

1

= ((a)P

H

1

)h.

31

---

Primenom ovog rezultata na a

dobijamo:

(a)P

H

1

= (P

H

1

(a)P

H

1

)

= (P

H

1

(a

)P

H

1

)

= ((a

)P

H

1

)

= P

H

1

(a).

Obratno, ukoliko P

H

1

komutira sa (a) za svako a

A vazi´ce:

(a)H

1

{((a)P

H

1

)h; h H} = {P

H

1

(a)h; h H} H

1

.

Dakle, u ovom slu

caju H

1

jeste invarijantan u odnosu na .

Ako je H

1

invarijantan u odnosu na i ako je

1

definisano sa:

1

(a) = P

H

1

(a)P

H

1

= (a)P

H

1

,

a

A

onda je (H

1

,

1

) reprezentacija algebre

A jer:

1

(a)

1

(b) = (P

H

1

(a)P

H

1

)(P

H

1

(b)P

H

1

) = P

H

1

(a)P

H

1

(b)P

H

1

= P

H

1

(a)(b)P

H

1

= P

H

1

(ab)P

H

1

=

1

(ab).

Reprezentacija konstruisana na ovaj na

cin naziva se podreprezentacija re-

prezentacije (H, ).

Ortogonalni komplement, H

1

, zatvorenog podprostora H

1

invarijant-

nog u odnosu na , ´

ce takode biti invarijantan u odnosu na . Zaista, za

proizvoljne h H

1

i h

1

H

1

iz invarijantnosti H

1

sledi (a

)h

1

H

1

sto

povla

ci:

(h

1

, (a)h) = ((a)

h

1

, h) = ((a

)h

1

, h) = 0.

Za izvodenje jednog interesantnog zaklju

cka iz prethodnog razmatranja

potrebno je uvesti pojam direktne sume reprezentacija. Ako su (H

i

, ·

i

),

i I, Hilbertovi prostori, onda se direktna suma ovih prostora definise na

slede´

ci na

cin:

iI

H

i

= {(h

i

)

iI

; (i I) h

i

H

i

,

iI

h

i

2

i

< }. Direktna

suma reprezentacija (H

i

,

i

), i I definise se kao reprezentacija (H, ),

gde je H =

iI

H

i

, a =

iI

i

:

A B(

iI

H

i

) preslikavanje definisano sa

(a)(h

i

)

i

= (

i

(a)h

i

)

i

.

Dakle, uz oznaku H

2

= H

1

, dosli smo do zaklju

cka da, ukoliko je H

1

zatvoren podprostor od H i invarijantan u odnosu na reprezentaciju (H, ),

imamo dve podreprezentacije (H

1

,

1

) i (H

2

,

2

), gde je

1

(a) = P

H

1

(a)P

H

1

,

2

(a) = P

H

2

(a)P

H

2

, za a

A. Pri tom je H direktna suma skupova H

1

i H

2

, tj. H = H

1

H

2

, i =

1

2

. Dakle, dobili smo dekompoziciju

polazne reprezentacije:

(H, ) = (H

1

,

1

) (H

2

,

2

).

32

---

Skup H

0

= {h H; (a

A) (a)h = 0} je invarijantan u odnosu na

i odgovaraju

ca podreprezentacija

0

= P

H

0

P

H

0

je nula funkcija. Zbog

toga sto i netrivijalne reprezentacije imaju ovu podreprezentaciju pa se

mo

ze desiti da se u prethodno opisanoj dekompoziciji nade netrivijalan

podprostor sa trivijalnim *-homomorfizmom, uvodi se slede´

ci pojam.

Definicija 4.1.5. Za reprezentaciju (H, ) ka

zemo da je nedegenerisana

ako je H

0

= {h H; (a

A) (a)h = 0} = {0}.

O

cigledno, (H, ) je nedegenerisana ako i samo ako za svaki nenula

vektor h H postoji neko a

A takvo da je (a)h = 0, tj. ako i samo ako

je skup (

A)H = {(a)h; a A, h H} gust u H.

Definicija 4.1.6. Vektor Hilbertovog prostora H je cikli

can u odnosu

na skup ograni

cenih operatora M ako je lineal nad skupom {A; A M }

gust u H.

Definicija 4.1.7. Reprezentacija (H, ) C*-algebre

A je ciklicna reprezen-

tacija ako H sadr

zi vektor koji je cikli

can u odnosu na skup (

A).

O

cigledno, reprezentacija (H, ) je cikli

cna ako i samo ako postoji vek-

tor h H takav da je {(a)h; a

A} = H, tj. kra´ce (A)h = H odakle

je lako videti da je svaka cikli

cna reprezentacija nedegenerisana. Obrat u

opstem slu

caju ne va

zi, ali ipak postoji jaka veza izmedu nedegenerisanih

i cikli

cnih reprezentacija, sto ilustruje slede´

ca teorema.

Teorema 4.1.5. Neka je (H, ) nedegenerisana reprezentacija C*-algebre

A. Tada je direktna suma familije ciklicnih podreprezentacija.

Dokaz. Posmatrajmo familiju skupova oblika {h

i

; i I}, gde su h

i

nenula

vektori prostora H za koje va

zi ((a)h

i

, (b)h

j

) = 0, za sve a, b

A i

i = j. Na ovoj familiji mo

zemo uvesti skupovnu inkluziju kao parcijalno

uredenje pa ´

ce, prema Zornovoj lemi, postojati njen maksimalni element

E = {h

i

; i I}. Definisemo vektorske prostore:

H

i

= {(a)h

i

; a

A}, i I,

za koje je o

cigledno da su Hilbertovi podprostori od H, kao i da su invari-

jantni u odnosu na . Dakle, mo

zemo definisati podreprezentacije (H

i

,

i

),

i I, gde je

i

(a) = P

H

i

(a)P

H

i

, za svako a

A. Ove reprezentacije su

cikli

cne jer je skup {

i

(a)h

i

; a

A} gust u H

i

, po definiciji prostora H

i

.

Ostaje jos da se doka

ze da je H =

iI

H

i

. Neka je h (

iI

H

i

)

pro-

izvoljan. Tada iz (a, b

A)(i I) ((a)h

i

, (b)h) = ((b

a)h

i

, h) = 0

sledi da je (b)h ortogonalan u odnosu na sve prostore H

i

odakle, zbog

33

---

maksimalnosti elementa E, sledi da je (b)h = 0 za svako b

A. Kako je

(H, ) nedegenerisana reprezentacija to mora biti h = 0. Dakle, zaista je

(H, ) =

iI

(H

i

,

i

).

Sada mo

zemo zaklju

citi da se diskusija o nedegenerisanim reprezenta-

cijama mo

ze svesti na diskusiju o cikli

cnim reprezentacijama, sto je od

izuzetnog zna

caja jer ´

cemo u slede´

cem poglavlju videti kako se, polaze´

ci od

stanja algebre, konstruise cikli

cna reprezentacija.

U prethodnom dokazu smo izvrsili dekompoziciju reprezentacije pomo´

cu

netrivijalnih zatvorenih invarijantnih podprostora, pa ukoliko takvi pod-

prostori ne postoje dekompozicija ne´

ce biti mogu´

ca, sto pokazuje potrebu

za uvodenjem slede´

ce definicije.

Definicija 4.1.8. Reprezentacija (H, ) C*-algebre

A je ireducibilna re-

prezentacija ako ne postoje netrivijalni zatvoreni podprostori od H invari-

jantni u odnosu na .

Kako je H

0

= {h H; (a

A) (a)h = 0} zatvoren invarijantan

podprostor od H to je ireducibilna reprezentacija nedegenerisana, osim u

slu

caju kada je = 0 koji ´

cemo, zbog trivijalnosti, u ovom radu zanemariti.

Definicija 4.1.9. Neka je H Hilbertov prostor i X

B(H). Komutant

skupa X je skup X svih elemenata iz

B(H) koji komutiraju sa svim ele-

mentima skupa X.

Teorema 4.1.6. Neka je

A C*-algebra i (H, ) njena reprezentacija. Slede´ca

tvrdenja su ekvivalentna:

(1) (H, ) je ireducibilna reprezentacija.

(2) Svaki nenula vektor iz H je cikli

can u odnosu na (

A).

(3) (

A) = CI, gde je I identicki operator definisan na H.

Dokaz. (1) (2): Pretpostavimo suprotno, da postoji nenula vektor h H

za koji je (

A)h = H. Tada ortogonalni komplement ((A)h)

sadr

zi bar

jedan nenula vektor i o

cigledno je invarijantan u odnosu na , sto je u

suprotnosti sa pretpostavkom o ireducibilnosti.

(2) (3): Neka su A, B (

A) takvi da je AB = 0 i A = 0. Tada

postoji h H za koji je Ah = 0 i ABh = 0. Medutim, onda je za svako a

A,

A(a)Bh = (a)ABh = 0, a kako je Bh cikli

can vektor to je (

A)Bh = H

pa mora biti A = 0. Dakle, za A, B (

A) za koje je AB = 0 mora

va

ziti A = 0 ili B = 0. Iz ovog rezultata sledi (

A) = CI, ali dokaz te

implikacije zahteva rad sa fon Nojmanovim algebrama koje nisu tema ovog

rada. Za pomenuti dokaz mo

ze se konsultovati knjiga

"

Banach Algebras

and the General Theory of *-Algebras, Volume II", Theodore W. Palmer.

34

---

(3) (1): Neka je H

1

zatvoren podprostor od H invarijantan u odnosu

na . Tada je, prema Teoremi

4.1.4

, P

H

1

(

A) pa je P

H

1

= I, za neko

C. Kako je P

2

H

1

= P

H

1

to mora biti = 0 ili = 1, a tada je H

1

= {0}

ili H

1

= H. Dakle, (H, ) jeste ireducibilna.

Neka je (H, ) nedegenerisana reprezentacija C*-algebre

A i neka je

h H proizvoljan nenula vektor jedini

cne norme. Definisimo preslikavanje:

h

(a) = ((a)h, h),

a

A

koje je linearni funkcional na

A, i to pozitivan jer je:

h

(a

a) = ((a

a)h, h) = ((a)h, (a)h) = (a)h

2

0.

Kako je, na osnovu Posledice

3.6

,

h

=

h

(

1) = h

2

= 1 to je

h

stanje

na

A (ukoliko A ne sadrzi jedinicu posmatra se njeno prosirenje jedinicom i

kanoni

cka ekstenzija funkcionala

h

i primenjuje se Teorema

3.9

). Ovakvo

stanje naziva se vektorsko stanje reprezentacije (H, ).

35

---

4.2.

Konsturisanje reprezentacija C*-algebre

Pokazano je kako se mo

ze konstruisati stanje na

A, polaze´ci od nede-

generisane reprezentacije (H, ) i proizvoljnog normiranog vektora iz H i

da se u tom slu

caju dobija vektorsko stanje. Sada ´

ce biti pokazan obrat:

kako se, polaze´

ci od proizvoljnog stanja , konstruise cikli

cna reprezenta-

cija (H

,

) algebre

A i vektor h

H

takav da se mo

ze poistovetiti

sa vektorskim stanjem

h

, tj. takav da va

zi (a) = (

(a)h

, h

) za svako

a

A.

Prvo ´

cemo kostruisati prostor reprezentacije, H

. Definisimo preslika-

vanje (·, ·) :

A × A C sa:

(a, b

A) (a, b) = (b

a).

Ovo preslikavanje je nenegativna seskvilinearna forma, tj. za proizvoljne

a, b, c

A, , C je:

(a, a) = (a

a) 0

jer je pozitivan,

(a + b, c) = (c

(a + b)) = (c

a) + (c

b) = (a, c) + (b, c)

(a, b) = (b

a) = (a

b) = (b, a)

pri

cemu je koris´

cena Teorema

3.7

(1). Dalje, posmatramo skup

I

= {a

A; (a

a) = 0}

koji je levi ideal algebre

A sto se lako dokazuje koris´cenjem Teoreme

3.7

(3).

Zaista, za proizvoljne i

I

i a

A je:

0 ((ai)

ai) = (i

a

ai) a

2

(i

i) = 0.

Koli

cni

cki prostor

A/I

je vektorski prostor pa definisanjem skalarnog pro-

izvoda

(a +

I

, b +

I

) = (a, b) = (b

a),

a, b

A

dobijamo unitarni prostor. Ovako definisan skalarni proizvod ne zavisi od

izbora predstavnika klase. Zaista, za proizvoljne i

1

, i

2

I

je:

((b + i

1

)

(a + i

2

)) = (b

a) + (i

1

a) + (b

i

2

) + (i

1

i

2

)

= (b

a) + (a

i

1

) + (b

i

2

) + (i

1

i

2

)

= (b

a)

Unitaran prostor se uvek mo

ze prosiriti do kompletnog, tj. Hilbertovog

prostora tako da se o

cuva skalarni proizvod i da polazni prostor bude gust

u prosirenju. Takvo prosirenje prostora

A/I

obele

zi´

cemo sa H

i to ´

ce

biti tra

zeni prostor reprezentacije.

36

---

Sada je potrebno definisati reprezentaciju

na prostoru H

. Prvo

´

cemo je definisati na skupu

A/I

na slede´

ci na

cin:

(a)(b +

I

) = ab +

I

,

a

A, b + I

A/I

.

O

cigledno je da preslikavanje ne zavisi od izbora predstavnika klase. Za

svako a

A preslikavanje

(a) je linearno jer:

(a)((b +

I

) + (c +

I

)) =

(a)((b + c) +

I

)

= a(b + c) +

I

= (ab +

I

) + (ac +

I

)

=

(a)(b +

I

) +

(a)(c +

I

)

Koriste´

ci Teoremu

3.7

(4) dobijamo:

(a)(b +

I

)

2

= ab +

I

2

= (ab +

I

, ab +

I

)

= ((ab)

ab) = (b

a

ab)

a

2

(b

b) = a

2

(b +

I

, b +

I

)

= a

2

b +

I

2

odakle sledi da je

(a) ograni

cen, tj.

(a)

B(A/I

). Kako je pri tom

A/I

gust podprostor Hilbertovog prostora H

to

(a) ima ograni

cenu li-

nearnu ekstenziju na H

koju ´

cemo, takode, ozna

cavati sa

(a). Ispitajmo

jos da li je

*-homomorfizam iz

A u B(H

):

(a)

(b)(c +

I

) =

(a)(bc +

I

) = abc +

I

=

(ab)(c +

I

)

(

(a)(b +

I

), c +

I

) = (ab +

I

, c +

I

) = (c

ab)

= (b +

I

, a

c +

I

) = (b +

I

,

(a

)(c +

I

)).

Dakle, konstruisali smo reprezentaciju (H

,

) algebre

A. Ostaje jos

da odredimo vektor stanja h

za koji ´

ce va

ziti (

(a)h

, h

) = (a). Na

po

cetku konstrukcije smo napomenuli da ukoliko

A nema jedinicu, ovu

konstrukciju izvodimo na prosirenju ~

A algebre A jedinicom, pa mozemo

definisati h

=

1 + I

i uverimo se da je (a) vektor stanja:

(

(a)h

, h

) = (a +

I

,

1 + I

) = (a).

Ukoliko algebra

A sadrzi jedinicu, skup {

(a)h

; a

A} je zapravo

skup {a +

I

; a

A} koji je gust u H

pa je vektor h

cikli

can u odnosu

na reprezentaciju (H

,

).

Ako

A ne sadrzi jedinicu onda primenjivanjem prethodno opisane kon-

strukcije na prosirenje ~

A algebre A jedinicom, dobijamo reprezentacioni

37

---

prostor H

u kome je skup

( ~

A)h

= {

1 + a + I

; C, a A} gust.

Vektor h

je cikli

can ako je skup

(

A)h

= {a +

I

; a

A} gust u H

, a

to ´

ce va

ziti ukoliko je h

=

1 + I

sadr

zan u njegovom zatvorenju. Neka je

(e

)

aproksimativna jedinica u

A. Tada je:

(e

)h

- h

2

= (

(e

)h

- h

,

(e

)h

- h

)

= (

(e

e

)h

, h

) - (e

) - (e

) + h

2

= (e

2

) - 2(e

) + 1.

Koriste´

ci Teoremu

3.4

i njenu Posledicu

3.5

, zaklju

cujemo da je:

lim

(e

)h

- h

2

= 1 - = 0.

Dakle, vektor h

je u skupu

(

A)h

odakle sledi da je cikli

can vektor.

Da sumiramo, polaze´

ci od stanja konstruisali smo seskvilinearnu

formu (a, b) = (b

a), a zatim smo uo

cili da je

I

levi ideal da bismo defini-

sali skalarni proizvod (a+

I

, b+

I

) = (b

a) na

A/I

. Potom smo definisali

preslikavanje

(a)(b + I

) = ab +

I

na unitarnom prostoru

A/I

, koje smo

zatim prosirili do reprezentacije (H

,

) i dokazali da je ona cikli

cna jer je

vektor h

=

1 + I

cikli

can. Pri tom je (a) = (

(a)h

, h

), tj. je vek-

torsko stanje algebre

A. Ova konstrukcija ciklicne reprezentacije naziva se

Geljfand-Naimark-Sigal konstrukcija, ili kra´

ce GNS konstrukcija. Dobijena

reprezentacija ozna

cava se sa (H

,

, h

) da bi se istakao cikli

cni vektor

h

i naziva se kanoni

cka reprezentacija algebre

A pridruzena stanju .

Definicija 4.2.1. Dve reprezentacije (H

1

,

1

) i (H

2

,

2

) C*-algebre

A su

unitarno ekvivalentne ako postoji unitaran operator U iz H

1

na H

2

takav

da je:

(a

A) U

1

(a)U

=

2

(a).

Teorema 4.2.1. Neka je stanje C*-algebre

A. Ukoliko je (H, , h) ci-

kli

cna reprezentacija algebre

A takva da je h H vektor koji je ciklican

u odnosu na nju i da je (a) = ((a)h, h), za svako a

A, onda je ova

reprezentacija unitarno ekvivalentna kanoni

ckoj reprezentaciji (H

,

, h

)

algebre

A.

Dokaz. Definisimo operator U

0

iz

(

A)h

na (

A)h sa:

(a

A) U

0

(a)h

= (a)h.

On je dobro definisan i unitaran, sto sledi iz:

(U

0

(a)h

, U

0

(b)h

) = ((a)h, (b)h) = ((b

a)h, h)

= (b

a) = (

(a)h

,

(b)h

)

38

---

Kako su domen,

(

A)h

, i rang, (

A)h, ovog preslikavanja gusti skupovi

u, redom, H

i H to se ono mo

ze prosiriti do unitarnog operatora U iz H

na H. Za proizvoljne a, b

A ´ce tada vaziti:

(a)U

0

(b)h

= (a)(b)h = (ab)h

= U

0

(ab)h

= U

0

(a)

(b)h

,

odakle sledi (a)U = U

(a), tj. U

(a)U

= (a), za svako a

A.

Nakon uo

cavanja veze izmedu stanja i reprezentacija, mo

zemo tu vezu

produbiti uspostavljanjem korelacije izmedu

cistih stanja i ireducibilnih

reprezentacija, ali prvo ´

cemo se podsetiti Risove teoreme i dokazati lemu

neophodnu za dalji rad.

Teorema 4.2.2 (Ris). Ako je H Hilbertov prostor i H

onda postoji

jedinstven vektor x H za koji je (y) = (y, x), za svako y H.

Lema 4.2.3. Neka je H Hilbertov prostor i ograni

cena seskvilinearna

forma na njemu. Tada postoji jedinstven ograni

cen operator T na H za

koji je (x, y) = (x, T y), za sve x, y H.

Dokaz. Za fiksirano y H ozna

cimo

y

(x) = (x, y), za svako x H.

Preslikavanje x

y

(x) je ograni

cen linearan funkcional na H sto, prema

Risovoj teoremi, povla

ci egzistenciju jedinstvenog vektora h

y

takvog da je:

(x, y) =

y

(x) = (x, h

y

).

Na ovaj na

cin definisan je operator na H, T : y h

y

koji je ograni

cen jer:

T y

2

= h

y

2

= (h

y

, h

y

) =

y

(h

y

)

y .

Kako je (x, y) =

y

(x) = (x, T y), to je tvrdenje dokazano.

Teorema 4.2.4. Neka je stanje C*-algebre

A. Tada je njemu pridruzena

kanoni

cka reprezentacija (H

,

, h

) ireducibilna ako i samo ako je

cisto

stanje.

Dokaz. (): Pretpostavimo suprotno, da nije

cisto stanje, tj. da postoji

pozitivan funkcional algebre

A takav da je (a

a) (a

a), za svako

a

A, i = , 0 1. Koriste´ci nejednakost Kosi-Svarca dobijamo

da za proizvoljne a, b

A vazi:

|(b

a)|

2

(b

b)(a

a) (b

b)(a

a) =

(b)

2

(a)

2

.

Kako je sa (·, ·) : (

(a)h

,

(b)h

) (b

a) definisana ograni

cena seskvi-

linearna forma na skupu

(

A)h

×

(

A)h

koji je gust u H

× H

to,

prema prethodnoj lemi, postoji T

B(H

) takav da je:

(b

a) = (

(a)h

, T

(b)h

).

39

---

Kako za sve C vazi = , to mora vaziti i T = I, gde je I identicki

operator na H

, jer bi u suprotnom bilo:

(b

a) = ¯

(

(a)h

,

(b)h

) = ¯

(b

a).

Sa druge strane,

(

(a)h

, T

(b)

(c)h

) = ((bc)

a) = (c

(b

a))

= (

(b

a)h

, T

(c)h

)

= (

(a)h

,

(b)T

(c)h

),

odakle sledi da je T

(

A) , sto je u kontradikciji sa pretpostavkom da

je reprezentacija ireducibilna, prema Teoremi

4.1.6

.

(): Pretpostavimo da je

cisto stanje i da je X zatvoren invarijan-

tan podprostor od H

. Prema Teoremi

4.1.4

, ortogonalni projektor P

X

komutira sa (a), za svako a

A. Definisimo preslikavanje:

(a) = (

(a)P

X

h

, P

X

h

), a

A

i uo

cimo da je ono pozitivan funkcional na

A. Kako je, za proizvoljno a A:

(a

a) = (

(a

a)P

X

h

, P

X

h

) =

(a)P

X

h

2

= P

X

(a)h

2

P

X

2

(a)h

2

= (a

a)

to je pa, kako je

cisto stanje, mora postojati neko [0, 1] za koje

je = . Za proizvoljne a, b

A je tada:

(

(a)h

,

(b)h

) = (b

a) = (b

a)

= (

(b

a)P

X

h

, P

X

h

) = (

(a)P

X

h

,

(b)P

X

h

)

= (P

X

(a)h

, P

X

(b)h

) = (P

2

X

(a)h

,

(b)h

)

= (P

X

(a)h

,

(b)h

)

odakle sledi P

X

= I. Ukoliko je P

X

= 0 onda iz P

X

= I = 1 sledi = 1,

tj. P

X

= I. Dakle, ortogonalni projektor P

X

je ili nula-preslikavanje ili je

identi

cko preslikavanje sto povla

ci zaklju

cak da je X = {0} ili je X = H

,

cime je dokazana ireducibilnost reprezentacije (H

,

, h

).

Teorema 4.2.5. Neka je stanje C*-algebre

A koja nema jedinicu i neka

je ~

njegova kanoni

cka ekstenzija na algebru ~

A = C1 + A. Tada je cisto

stanje na

A ako i samo ako je ~ cisto stanje na ~

A.

Dokaz. Neka je (H

,

, h

) kanoni

cka reprezentacija algebre

A pridruzena

stanju i neka je

1

~

identi

cko preslikavanje na H

, tj. jedinica algebre

B(H

). Ako ozna

cimo H

~

= H

, h

~

= h

i

~

(

1 + a) = 1

~

+

(a), za

40

---

C i a A, onda je (H

~

,

~

, h

~

) cikli

cna reprezentacija na ~

A za koju je,

za proizvoljno a

A:

(

~

(a)h

~

, h

~

) = ((

1

~

+

(a))h

, h

)

= (h

, h

) + (

(a)h

, h

)

= h

+ (a)

= + (a) = ~

(a).

O

cigledno je da je (H

,

, h

) ireducibilna ako i samo ako je (H

~

,

~

, h

~

)

ireducibilna odakle, na osnovu prethodne teoreme, sledi da je

cisto stanje

algebre

A ako i samo ako je ~ cisto stanje algebre ~

A.

Teorema 4.2.6. Neka je stanje komutativne C*-algebre

A. Tada je

cisto stanje ako i samo ako je (ab) = (a)(b), za svako a, b

A.

Dokaz. (): Neka je

cisto stanje. Tada je njemu pridru

zena kanoni

cka

reprezentacija (H

,

, h

) ireducibilna pa je

(

A) = CI. Kako je A ko-

mutativna algebra to je

(

A)

(

A) = CI, tj. svi elementi skupa

(

A)

su multiplikativni operatori pa komutiraju sa svim ostalim operatorima iz

B(H

), tj.

B(H

) =

(

A) = CI. Dakle, za proizvoljne a, b A postoje

neki , C takvi da je

(a) = I i

(b) = I zbog

cega je:

(ab) = (

(ab)h

, h

) = (h

, h

) = (h

, h

)(h

, h

) = (a)(b),

pri

cemu je iskoris´

ceno (h

, h

) = h

2

= 1.

(): Neka je multiplikativno stanje na

A i neka je pozitivan linearan

funkcional na

A takav da je . Ako je a ker onda je (a

a)

(a

a) = (a

)(a) = 0 pa iz |(a)| (a

a)

1/2

sledi (a) = 0, pri

cemu

smo koristili nejednakost Kosi-

Svarca. Dakle, ker ker odakle sledi da

postoji C za koji je = . Neka je a A takav da je (a) = 1. Tada

je (a

a) = (a)

(a) = 1 odakle sledi (a

a) = (a

a) = , a kako je

0 (a

a) (a

a) = 1 to mora biti 0 1. Dakle, za proizvoljan

linearan pozitivan funkcional takav da je pronasli smo [0, 1] za

koji je = pa mo

zemo zaklju

citi da je

cisto stanje.

41

---

4.3.

Egzistencija reprezentacija C*-algebre

Na po

cetku ovog poglavlja podseti´

cemo se Han-Banahove teoreme koja

predstavlja jedan od najzna

cajnijih rezultata teorije operatora, a na kraju

poglavlja nalazi se uopstenje te teoreme na stanja C*-algebre.

Teorema 4.3.1 (Han-Banah). Neka je Y podprostor normiranog prostora

X i neka je f ograni

cen linearan funkcional na Y . Tada postoji ograni

cen

linearni funkcional F takav da je (y Y ) F (y) = f (y) i F

= f .

Teorema 4.3.2. Neka je

A C*-algebra i a A. Tada postoji cisto stanje

na

A takvo da je (a

a) = a

2

, a samim tim i ireducibilna reprezentacija

(H, , h) za koju je (a) = a .

Dokaz. Ukoliko

A nema jedinicu smatra´cemo da je prosirena njome. Na

podprostoru B = {

1+a

a; , C} od A definisimo linearni funkcional:

f (

1 + a

a) = + a

2

.

Primenom Teoreme

2.2.4

, imaju´

ci u vidu da je a

a samoadjungovan element

i da je

1 + a

a normalan, dobijamo:

| + a

2

| sup{| + |; (a

a)} =

1 + a

a ,

odakle sledi da je

f

1. Sa druge strane, iz f (

1) = 1 sledi f 1.

Dakle, f = 1 = f (

1), odakle na osnovu Posledice

3.6

sledi da je f stanje.

Prema Han-Banahovoj teoremi sledi da postoji ograni

cen linearan funk-

cional koji je ekstenzija funkcionala f na ~

A i za koji vazi

= f = 1 = f (

1) = (1),

odakle sledi da je stanje.

Pri tom je (a

a) = f (a

a) =

a

2

pa je

skup S

a

= { S(

A); (a

a) = a

2

} neprazan, a kako je i konveksan,

slabo*-zatvoren podskup jedini

cne kugle

A

1

prostora

A

, to je S

a

konveksan

slabo*-kompaktan skup u

A

.

Prema Krein-Milmanovoj teoremi, skup

S

a

ima bar jednu ekstremnu ta

cku koju ´

cemo ozna

citi sa . Doka

zimo

da je tada ekstremna ta

cka skupa S(

A). Pretpostavimo da, za neke

1

,

2

S(

A) i (0, 1), vazi =

1

+(1-)

2

. Tada je |

1

(a

a)| a

2

,

|

2

(a

a)| a

2

i a

2

= (a

a) =

1

(a

a) + (1 - )

2

(a

a), sto je mogu´

ce

samo ukoliko je

1

(a

a) =

2

(a

a) =

a

2

, tj.

ukoliko je

1

,

2

S

a

.

Medutim, tada je

1

=

2

= jer je ekstremna ta

cka skupa S

a

. Dakle,

je ekstremna ta

cka skupa S(

A), a na osnovu Teoreme

3.11

sledi da je

cisto stanje.

Prema Teoremi

4.2.4

, kanoni

cka reprezentacija (H

,

, h

) je ireduci-

bilna, a prema Teoremi

4.1.1

je:

a

2

= (a

a) =

(a)h

2

(a) a

2

.

42

---

Teorema 4.3.3 (Geljfand-Naimark). Svaka C*-algebra je izometri

cki

*-izomorfna sa C*-podalgebrom od

B(H), gde je H neki Hilbertov prostor.

Dokaz. Za svako stanje algebre

A konstruisimo odgovaraju´cu kanonicku

reprezentaciju (H

,

, h

) i formirajmo direktnu sumu ovih reprezentacija:

H =

S(

A)

H

,

=

S(

A)

.

Zatim primetimo da za svako a

A, prema prethodnoj teoremi, postoji

stanje

a

takvo da je

a

(a)

=

a

pa je

(a)

a

(a)

=

a .

Sa druge strane, prema Teoremi

4.1.1

je

(a) a . Dakle, za svako

a

A vazi jednakost (a) = a . Kako iz izometricnosti *-homomorfizma

sledi njegova injektivnost to dobijamo da je *-izomorfizam iz

A na

(

A) B(H). Na osnovu Teoreme

4.1.2

, (

A) je C*-algebra.

Teorema 4.3.4. Neka je

B C*-podalgebra C*-algebre A i neka je stanje

na

B. Tada postoji stanje ^ na A koje je ekstenzija stanja . Ako je

cisto stanje onda se ^

mo

ze izabrati tako da bude

cisto stanje na

A.

Dokaz. Bez gubljenja opstosti mo

zemo pretpostaviti da

A i B imaju za-

jedni

cku jedinicu

1, jer se mogu posmatrati prosirenja ovih algebri ukoliko

je potrebno, s tim sto bi se u tom slu

caju posmatrala kanoni

cka ekstenzija

stanja i pozivali bismo se na Teoremu

4.2.5

.

Prema Han-Banahovoj teoremi, postoji ograni

cena linearna ekstenzija

~

stanja na

A za koju je ~ = = 1. Kako je pri tom i ~(1) = (1) = 1

to je ~

stanje, prema Teoremi

3.6

. Ako sa S

ozna

cimo skup svih stanja

na

A koja su ekstenzije stanja onda je S

konveksan slabo*-zatvoren

podskup od S(

A) pa je i slabo*-kompaktan. Prema Krein-Milmanovoj

teoremi, skup S

ima bar jednu ekstremnu ta

cku ^

. Pretpostavimo da

je

cisto stanje i doka

zimo da je tada ^

ekstremna ta

cka skupa S(

A), a

samim tim i

cisto stanje. Neka su ^

1

, ^

2

S(

A) i (0, 1) takvi da je

^

= ^

1

+ (1 - )^

2

. Restrikcije

1

i

2

stanja ^

1

i ^

2

, redom, na

B su

stanja na

B i za njih vazi =

1

+ (1 - )

2

. Kako je

cisto stanje to je

=

1

=

2

odakle sledi ^

1

, ^

2

S

pa je ^

= ^

1

= ^

2

jer je ^

ekstremna

ta

cka skupa S

.

43

---

4.4.

Reprezentacije komutativne C*-algebre

Definicija 4.4.1. Neka je

A komutativna C*-algebra. Linearno nenula

preslikavanje :

A C za koje vazi osobina multiplikativnosti:

(ab) = (a)(b), za svako a, b

A

naziva se karakter u

A. Skup svih karaktera algebre A naziva se spektar

algebre

A i oznacava se sa (A).

Dakle, karakteri su nenula homomorfizmi iz

A u C i kao takvi, oni su

neprekidna preslikavanja.

Lema 4.4.1. Ako je

A C*-algebra bez jedinice i karakter u njoj onda je

i njegova kanoni

cka ekstenzija ~

karakter na ~

A.

Dokaz. Za proizvoljne , C, a, b A je:

~

((

1 + a)(1 + b)) = ~(1 + b + a + ab)

= + (b) + (a) + (a)(b)

= ( + (a))( + (b))

= ~

( + a)~

( + b).

Lema 4.4.2. Ako je karakter komutativne C*-algebre

A onda je

(a

A) (a) (a). Takode, za svako a A je (a) a i (a

a) 0.

Dokaz. Na osnovu prethodne leme, bez gubljenja opstosti mo

zemo pret-

postaviti da

A sadrzi jedinicu, jer bismo u suprotnom posmatrali njeno

prosirenje jedinicom, ~

A, i kanonicku ekstenziju karaktera .

Pod uslovom da je = 0 va

zi´

ce (

1) = 1 jer je za proizvoljno a A:

(

1)(a) = (1a) = (a).

Neka je a

A i neka je C takav da je / (a). Tada postoji b A

takav da je (

1 - a)b = 1 odakle sledi:

( - (a))(b) = (

1 - a)(b) = (1) = 1,

pa mora va

ziti (a) = . Dakle, za svako /

(a) vazi (a) = , sto povlaci

(a) (a). Zato je |(a)| r(a) a . Kako je (a

a) (a

a) [0, )

to mora biti (a

a) 0.

Dakle, svaki karakter je ograni

cen linearan funkcional norme ne ve´

ce od

1, tj. spektar (

A) je podskup jedinicne kugle u dualnom prostoru A

.

44

---

Teorema 4.4.3. Neka je nenula linearan funkcional komutativne

C*-algebre

A. Tada je cisto stanje ako i samo ako je karakter, tj.

(

A) = P (A).

Dokaz. Na osnovu Teoreme

4.2.6

, stanje je

cisto ako i samo ako je multipli-

kativno, tako da preostaje jos samo da se doka

ze da je norma karaktera

jednaka 1. Neka je (e

)

aproksimativna jedinica u

A. Iz multiplikativnosti

karaktera i Teorema

3.4

i

3.5

sledi:

= lim

(e

2

) = lim

(e

)(e

) = (lim

(e

))

2

=

2

odakle zaklju

cujemo da je = 1.

Primer 4.4.1. Neka je X lokalno kompaktan Hausdorfov prostor. Stanje

C*-algebre C

0

(X) je

cisto ako i samo ako va

zi:

(x X)(f C(X)) (f ) = f (x).

Pretpostavimo da je

cisto stanje, ozna

cimo sa µ meru za koju je

(f C

0

(X))(f ) =

X

f dµ i doka

zimo da za svaka dva neprazna, disjunktna

skupa X

1

, X

2

X mora vaziti µ(X

1

) = 0 ili µ(X

2

) = 0. Iz disjunktnosti

ovih skupova sledi da mo

zemo konstruisati pozitivne funkcije f

1

, f

2

C

0

(X)

takve da za nosa

ce ovih funkcija va

zi: X

1

supp f

1

= {x X; f

1

(x) = 0},

X

2

supp f

2

= {x X; f

2

(x) = 0} i supp f

1

supp f

2

= , odakle sledi da

je f

1

f

2

= 0. Kao

cisto stanje, je karakter, sto povla

ci:

(0) = (f

1

f

2

) = (f

1

)(f

2

).

Dakle, mora va

ziti 0 = (f

1

) =

X

f

1

dµ ili 0 = (f

2

) =

X

f

2

dµ odakle sledi da je

µ(X

1

) µ(supp f

1

) = 0 ili µ(X

2

) µ(supp f

2

) = 0. Na osnovu ovog zaklju

cka

sledi da je, za neko x X, supp µ = {x}, sto povla

ci (f ) =

X

f dµ = f (x).

Sa druge strane, ako postoji x X takvo da je (f C

0

(X))(f ) = f (x),

onda je za proizvoljne f, g C

0

(X):

(f g)(y) = (f g)(y) = f (y)g(y) = (f )(y),

y X,

tj. je karakter.

Teorema 4.4.4 (Stoun-Vajerstras). Neka je X lokalno kopaktan Hausdor-

fov prostor i neka je F podalgebra od C

0

(X). Skup F je gust u C

0

(X) ako

i samo ako va

zi (x X)(f F ) f (x) = 0 i F razdvaja ta

cke u X, tj.

(x, y F )(x = y (f F )f (x) = f (y)).

45

---

Teorema 4.4.5 (Geljfand-Naimark). Ako je

A komutativna C*-algebra

onda je njen spektar (

A) lokalno kompaktan Hausdorfov prostor u od-

nosu na slabu*-topologiju duala

A

. Pri tom,

A je *-izomorfna sa alge-

brom C

0

((

A)) svih neprekidnih funkcija na (A) koje iscezavaju u bes-

kona

cnosti. (

A) je slabo*-kompaktan ako i samo ako A sadrzi jedinicu.

Dokaz. Da doka

zemo da je (

A) lokalno kompaktan u slaboj*-topologiji

posmatrajmo (

A) i dokazimo da postoji okolina K

(

A) ove tacke

cije je zatvorenje slabo*-kompaktan skup. Mogu´

ce je izabrati a

A

+

ta-

kav da je (a) > 0 pa se, bez gubljenja opstosti, mo

ze pretpostaviti da

je (a) > 1. Skup K

= { (

A); (a) > 1} je, ocigledno, otvoren

i sadr

zan je u jedini

cnoj kugli

A

1

jer je (

A) sadrzan u njoj. Ako je

(

n

)

n

niz u K

= { (

A); (a) 1} koji tezi ka onda je (A)

i (a) = lim

n

n

(a) 1. Dokazali smo da je K

slabo*-zatvoren podskup

slabo*-kompaktne jedini

cne kugle, pa je i sam slabo*-kompaktan. Dakle,

K

je okolina ta

cke takva da je K

slabo*-kompaktan skup pa, zbog pro-

izvoljnosti ta

cke (

A) sledi da je (A) lokalno kompaktan prostor. Ovo

nas navodi na posmatranje prostora C

0

((

A)) pa definisemo preslikavanje

G : a ^

a sa:

( (

A)) ^a() = (a), a A.

Vidimo da su ^

a neprekidne funkcije iz (

A) u C, a pri tom za proizvoljne

a, b

A i (A) vazi:

G(ab)() = ^

ab() = (ab) = (a)(b) = ^

a()^

b() = G(a)()G(b)(),

G(a

)() = (a

) = (a) = G(a),

odakle sledi da je G *-homomorfizam. Kako su elementi skupa (

A) stanja

to su njihove norme jedini

cne, odakle sledi:

^

a = sup

(

A)

|(a)| a .

Sa druge strane, prema Teoremi

4.3.2

za proizvoljno a

A postoji karakter

a

za koji je (a

a) = a

2

na osnovu

cega je:

^

a

2

= sup

(

A)

|^

a()|

2

= sup

(

A)

|(a)|

2

= sup

(

A)

|(a

a)|

a

(a

a) = a

2

.

Dakle, G je izometri

cni *-homomorfizam, odakle sledi da je *-izomorfizam

iz

A na G(A).

Za svako > 0 skup K = { (

A); |(a)| } je slabo*-kompaktan, sto

se mo

ze dokazati sli

cno prvom delu ovog dokaza. Dakle, ^

a is

cezava u bes-

kona

cnosti, tj. preslikavanje G je *-izomorfizam iz

A na G(A) C

0

((

A)).

Medutim, kako za

1

,

2

(

A) iz

1

=

2

sledi da postoji neki a

A

46

---

za koji je ^

a(

1

) =

1

(a) =

2

(a) = ^

a(

2

), to sledi da G(

A) razdvaja svoje

ta

cke. Na osnovu Stoun-Vajerstrasove teoreme, G(

A) = C

0

((

A)).

Ukoliko

A sadrzi jedinicu, onda je K

1

= { (

A); (21) 1} = (A) pa

se, rasudivanjem primenjenim na K

u prvom delu dokaza, mo

ze zaklju

citi

da je (

A) kompaktan skup. Obratno, ako je (A) kompaktan skup onda

C

0

((

A)) = C((A)) sadrzi konstantne funkcije, odakle sledi da A mora

sadr

zati jedinicu zbog izometri

cnosti.

U primeru

2.1.4

smo videli da je, za lokalno kompaktan Hausdorfov

prostor X, C

0

(X) komutativna C*-algebra, a sada smo dokazali i neki

vid obrata- da je svaka komutativna C*-algebra izometri

cki izomorfna sa

C

0

(X), za X = (

A). U pomenutom primeru smo zakljucili i da je C

0

(X)

C*-podalgebra od

B(L

2

(X; µ)) pa je u tom smislu G reprezentacija algebre

A i naziva se Geljfandova reprezentacija.

47

---

Glava 5

Primene teorije C*-algebri

Upotreba C*-algebri mo

ze olaksati rad u mnogim oblastima matema-

tike, kao sto su numeri

cka analiza, nekomutativna geometrija i teorija re-

prezentacija, ali i u raznim oblastima fizike, na primer u klasi

cnoj mehanici,

kvantnoj mehanici, teoriji kvantnih polja, statisti

ckoj fizici. Rezultati doka-

zani u ovom radu najzna

caniji su za fiziku, prvenstveno kvantnu mehaniku,

jer je ona bila motivacija za njihovo otkrivanje, dok je za razmatranje pri-

mene C*-algebri u matematici potrebno njihovo dublje razumevanje. Stoga

´

ce ukratko biti opisano samo kako se C*-algebre mogu primeniti u fizici.

5.1.

Klasi

cna mehanika

Klasi

cna mehanika je deterministi

cki zasnovana, sto zna

ci da ukoliko

zelimo da analiziramo ponasanje neke

cestice i ukoliko su nam poznati

po

cetni uslovi problema, tj. polo

zaj i impuls te

cestice u po

cetnom trenutku

vremena, onda mo

zemo ta

cno odrediti putanju kretanja te

cestice. Stanja

jedno

cesti

cnog sistema su ta

cke (r, p) faznog prostora, gde r = (x, y, z)

predstavlja vektor polo

zaja

cestice, a p = (p

x

, p

y

, p

z

) njen impuls. Obser-

vable, tj. dinami

cke varijable koje se mogu meriti (npr. polo

zaj

cestice,

njen impuls, brzina, kineti

cka energija), su neprekidne funkcije koje zavise

od polo

zaja i impulsa

cestice. Kako njihove vrednosti mo

zemo izmeriti

to one moraju biti realne funkcije. Dakle, u klasi

cnoj fizici observable su

neprekidne realne funkcije definisane na faznom prostoru M , a stanja se

mogu poistovetiti sa pozitivnim linearnim funkcionalima na ovoj algebri

koja svakoj observabli pridu

zuju njenu vrednost u tom stanju, tj. uko-

liko je sistem u stanju S = (r, p) onda se ovo stanje mo

ze posmatrati kao

funkcional definisan sa:

S

(f ) = f (S),

f C(M ).

48

---

U slu

caju sistema sa n

cestica, fazni prostor M ´

ce biti 6n-dimenzionalan,

stanja ´

ce biti njegove ta

cke (r

1

, r

2

, . . . , r

n

, p

1

, p

2

, . . . , p

n

), a observable ne-

prekidne realne funkcije definisane na njemu.

Kako je fazni prostor lokalno kompaktan Hausdorfov prostor, to mo

zemo

zaklju

citi da su observable samoadjungovani elementi C*-algebre C(M ),

sto je od izuzetnog zna

caja jer to zna

ci da svi fizi

cki sistemi, koji se

mogu medusobno drasti

cno razlikovati, dele sve osobine C*-algebri. Sa

druge strane, na osnovu komutativne verzije Geljfand-Naimarkove teo-

reme, poznavanje C*-algebre observabli nam omogu´

cava odredivanje fa-

znog prostora kao spektra te algebre, sto nam daje informacije o mogu´

cim

polo

zajima

cestice.

Kod sistema sa

cinjenih od velikog broja

cestica (preciznije reda veli

cine

Avogadrovog broja koja je pribli

zno 6·10

23

) ovakav pristup postaje zna

cajno

komplikovaniji pa se rad upros´

cava prelaskom na statisti

cku mehaniku

koja ima probabilisti

cki pristup. Umesto izra

cunavanja vrednosti obser-

vable pomo´

cu informacija o polo

zajima i impulsima velikog broja

cestica,

mo

zemo ponoviti N puta eksperiment u kome merimo vrednost te observa-

ble, pri

cemu je sistem pri svakom ponavljanju u istom stanju. Intuitivno

je da se za vrednost observable u tom stanju uzme srednja vrednost rezul-

tata dobijenih u N merenja. Drugim re

cima, observable posmatramo kao

slu

cajne promenljive, a stanja sistema kao raspodele verovatno´

ca, odnosno

kao funkcije koje svakoj promenljivoj pridru

zuju njenu o

cekivanu vrednost

u tom stanju. Ovakvo uopstenje stanja je u skladu sa Primerom

3.1

, iz

koga se vidi da se stanja C*-algebre C(M ) mogu poistovetiti sa merom

verovatno´

ce, i Primerom

4.4.1

, na osnovu koga se mo

ze zaklju

citi da su sva

stanja u klasi

cnoj mehanici

cista.

49

---

5.2.

Kvantna mehanika

Po

cetkom 20. veka fizi

cari su u vise eksperimenata otkrili izvesne ne-

pravilnosti koje su dovele do otkrivanja kvantne mehanike koja, za razliku

od klasi

cne fizike, nije deterministi

cka, tj. nije mogu´

ce odrediti putanju

kretanja

cestice na osnovu po

cetnih uslova. Zapravo, u kvantnoj fizici tra-

jektorije ne postoje, ve´

c observable uzimaju diskretne vrednosti pa samim

tim i polo

zaj

cestice ne´

ce biti neprekidna funkcija. Iako nije mogu´

ce predvi-

deti ponasanje

cestice, mogu´

ce je izvrsiti eksperiment u kome ´

ce se izmeriti

vrednost

zeljene observable u odredenom stanju sistema. Ukoliko ponovimo

takav eksperiment veliki broj puta mo

zemo odrediti u

cestanost svakog od

mogu´

cih rezultata merenja. Na taj na

cin se dobijaju verovatno´

ce da u

odredenom stanju sistema posmatrana observabla ima svaku od mogu´

cih

vrednosti. Prirodno je uzeti srednju vrednost izmerenih rezultata kao vred-

nost observable u tom stanju, odnosno o

cekivanu vrednost slu

cajne promen-

ljive

cija je raspodela dobijena na osnovu u

cestanosti izmerenih rezultata u

n ponovljenih identi

cnih, nezavisnih eksperimenata. Dakle, mo

zemo sma-

trati da je sistem pre merenja u superpoziciji, odnosno konveksnoj kombi-

naciji takozvanih stacionarnih stanja u kojima je ta

cno odredena vrednost

observable, i da se tek u trenutku merenja sistem

"

opredeljuje" za odredenu

vrednost observable, tj. odredeno stacionarno stanje. Funkcija koja opi-

suje verovatno´

ce da sistem pri merenju

"

izabere" svako od stacionarnih

stanja, naziva se talasna funkcija, stanje sistema ili vektor stanja. U tre-

nutku neposredno nakon sto je izmerena vrednosti observable, verovatno´

ca

da ta observabla ima izmerenu vrednost jednaka je jedinici, a verovatno´

ce

svih ostalih mogu´

cih vrednosti observable jednake su nuli, zbog

cega tala-

sna funkcija vise nije superpozicija stacionarnih stanja, ve´

c opisuje samo

jedno od njih- ono stacionarno stanje u kome posmatrana observabla ima

izmerenu vrednost. Ovaj

cin promene talasne funkcije iz superpozicije u

stacionarno stanje koje se desava pri merenju observable, naziva se ko-

lapsom talasne funkcije. Pre nego sto se doslo do ovih zaklju

caka mnogi

nau

cnici su pokusali da formulisu kvantnu mehaniku na, manje ili vise,

strog na

cin i pri tom su se izdovjile dve formulacije- matri

cna mehanika

Vernera Hajzenberga i talasna mehanika Ervina

Sredingera.

U slu

caju sistema sa n

cestica mase m, Hajzenberg je vektore polo

zaja

i impulse

cestica poistovetio sa operatorima q

i

i p

j

, i, j = 1, n, koji su

definisanim na Hilbertovom prostoru H i zadovoljavaju kanoni

cke relacije

komutacije:

[p

i

, p

j

] = [q

i

, q

j

] = 0,

[p

i

, q

j

] = -i

ij

,

50

---

gde je

1, 05 · 10

-34

J · s redukovana Plankova konstanta,

ij

=

0

i = j

1

i = j

Kronekerova delta funkcija, a izraz [A, B] komutator operatora A i B koji

je jednak nuli ukoliko ovi operatori komutiraju jer se definise na slede´

ci

na

cin:

[A, B] = AB - BA.

Observable se, u opstem slu

caju, menjaju sa protokom vremena, a tu pro-

menu operatora koji zadovoljavaju prethodne uslove je Hajzenberg opisao

jedna

cinom:

A

t

t

=

i

[H, A

t

],

gde je H =

n

i=1

p

2

i

2m

+ V (r

1

, r

2

, . . . , r

n

) Hamiltonijan sistema,

ciji prvi sabirak

predstavlja ukupnu kineti

cku energiju sistema, a drugi potencijalnu ener-

giju, tj. energiju medusobne interakcije

cestica. Maks Born je uvideo da su

operatori koje je Hajzenberg uveo zapravo matrice, zbog

cega je ta teorija

postala poznata kao matri

cna mehanika i zbog

cega je Hajzenberg dosao do

zaklju

cka da observable u opstem slu

caju ne komutiraju. Ukoliko dve ob-

servable komutiraju, i njima pridru

zene matrice ´

ce komutirati pa je mogu´

ce

dijagonalizovati ih obe i odrediti njihove sopstvene vrednosti. Hajzenberg

u svojoj teoriji nije pominjao rezultate merenja, ali je D

zon fon Nojman

kasnije uvideo da precizno merenje vrednosti observable mora biti neka od

sopstvenih vrednosti matrice pridru

zene toj observabli, a danas je ovaj za-

klju

cak jedna od aksioma kvantne mehanike. Pri tom ´

ce nastupiti kolaps

vektora stanja i on ´

ce uzeti vrednost odgovaraju´

ceg sopstvenog vektora te

matrice.

Ervin

Sredinger je kvantnu mehaniku zasnovao na kompleksnoj funk-

ciji

t

(r

1

, r

2

, . . . r

n

) koja zavisi od polo

zaja

cestica i vremena, i koja di-

namiku sistema (sa

cinjenog od n

cestica masa m

cija je medusobna in-

terakcija opisana potencijalnom energijom V ) opisuje vremenski zavisnom

Sredingerovom jedna

cinom:

i

t

t

(r

1

, r

2

, . . . r

n

) =

-

2

2m

n

i=1

i

+ V (r

1

, r

2

, . . . , r

n

)

t

(r

1

, r

2

, . . . , r

n

),

gde je

i

Laplasov operator i-te

cestice, tj.

i

=

x

i

+

y

i

+

z

i

, pri

cemu su x

i

, y

i

i z

i

koordinate vektora polo

zaja i-te

cestice. Fizi

cki, funkcija

t

(r

1

, r

2

, . . . , r

n

) = |

t

(r

1

, r

2

, . . . , r

n

)|

2

se tuma

ci kao gustina verovatno´

ce, u

smislu da veli

cina |

t

(r

1

, r

2

, . . . , r

n

)|

2

dr

1

dr

2

· · · dr

n

predstavlja verovatno´

cu

da se u trenutku vremena t, za svako i = 1, n, i-ta

cestica sistema nade

u okolini ta

cke r

i

. Da bi funkcija

t

, koja se naziva talasna funkcija, zai-

sta definisala gustinu verovatno´

ce na prethodno opisan na

cin, mora va

ziti

51

---

R

3n

|

t

(r

1

, r

2

, . . . , r

n

)|

2

dr

1

dr

2

· · · dr

n

= 1 pa se zahteva da

t

bude normiran

element Hilbertovog prostora L

2

(R

3n

) svih kvadratno integrabilnih kom-

pleksnih funkcija definisanih na prostoru R

3n

. U ovako zasnovanoj teoriji

observablama se pridru

zuju operatori definisani na skupu svih mogu´

cih sta-

nja sistema, npr. vektoru polo

zaja i-te

cestice sistema pridru

zuje se multi-

plikativni operator q

i

= r

i

, dok se njenom impulsu pridru

zuje operator

p

i

= -

i

i

.

U Hajzenbergovoj reprezentaciji kvantne mehanike operatori (odno-

sno matrice) pridru

zeni observablama zavise od vremena, dok stanja si-

stema opisuju sopstveni vektori tih operatora i oni ne zavise od vremena.

Kod

Sredingerove reprezentacije situacija je obrnuta, stanje sistema opi-

suje funkcija koja je vremenski zavisna, dok operatori pridru

zeni vektoru

polo

zaja i impulsu ne zavise od vremena. Ne mo

ze se re´

ci da je neka od ove

dve reprezentacije pogodnija za rad jer to zavisi isklju

civo od konkretnog

problema koji je potrebno resiti i upravo zbog toga bi mogu´

cnost biranja

u kojoj ´

ce se reprezentaciji resavati zadati problem bila izuzetno korisna.

Upravo tu mogu´

cnost pru

zio je D

zon fon Nojman 1932. godine kada je do-

kazao ekvivalentnost ovih reprezentacija koriste´

ci teoriju C*-algebri. Tada

je postalo o

cigledno da su observable samoadjungovani operatori Hilber-

tovog prostora, a stanja normirani vektori tog prostora ili, ekvivalentno,

observable su samoadjungovani elementi nekomutativne C*-algebre koja

sadr

zi jedinicu, a stanja sistema su

cista stanja te algebre.

GNS kon-

strukcija predstavlja vezu izmedu predstavljanja sistema pomo´

cu Hilber-

tovog prostora i algebarskog predstavaljanja sistema pomo´

cu C*-algebre

generisane observablama. Sigal je uo

cio da, kako se za svako

cisto stanje

sistema mo

ze konstruisati ireducibilna kanoni

cka reprezentacija, to je za

prou

cavanje sistema dovoljno posmatrati samo ireducibilne reprezentacije

odgovaraju´

ce C*-algebre, a zbog unitarne jedinstvenosti kanoni

cke repre-

zentacije mogu´

ce je izabrati u kojoj ´

ce se reprezentaciji problem resavati

da bi se rad sto je vise mogu´

ce olaksao.

52

---

Glava 6

Zaklju

cak

U ovom radu je prikazano nekoliko interesantnih korelacija. Pre svega,

postoji povezanost izmedu samih stanja i reprezentacija, koju opisuje GNS

konstrukcija. Zatim, kao posledica GNS konstrukcije, Geljfand-Naimarkova

teorema ilustruje relaciju izmedu dva naizgled sasvim nepovezana pojma-

komutativnih C*-algebri i njihovih *-homomorfizama sa topoloskim prosto-

rima i njihovim neprekidnim funkcijama. Na kraju, razvoj teorije C*-algebri

oslikava neraskidivu uzajamnu vezu izmedu matematike i fizike: matema-

tika obezbeduje formalnost fizici, stroge temelje za izvodenje zaklju

caka i

odgovore na mnoga pitanja, ali fizika uzvra´

ca stalnim otkrivanjem nepo-

znatog, postavljanjem novih pitanja i motivacijom za pronala

zenje metoda

neophodnih za razumevanje i opisivanje sveta oko nas matemati

ckim jezi-

kom.

Dalji rad bi mogao obuhvatiti izu

cavanje Hilbertovih C*-modula, koji

predstavljaju uopstenje Hilbertovih prostora, i fon Nojmanovih algebri,

koje su specijalan slu

caj C*-algebri, kao i Tomita-Takesaki teoriju, koja

se bavi automorfizmima fon Nojmanovih algebri, i primenu u kvantnoj

mehanici i statisti

ckoj fizici.

53

---

Literatura

[1] Ola Bratteli, Derek W. Robinson, Operator Algebras and Quantum Sta-

tistical Mechanics 1, Springer, Berlin-Heidelberg, 2002.

[2] Dragan S. Dordevi´

c, Algebras and Modules in Functional Analysis,

Faculty of Sciences and Mathematics, University of Nis, 2015.

[3] N. P. Landsman, Lecture notes on C-algebras and quantum mechanics,

Draft 8 April 1998.

[4] B. Blackadar, Operator algebras: theory of C-algebras and von Neu-

mann algebras, Springer, Berlin - Heidelberg - New York, 2006.

[5] M. Takesaki, Theory of operator algebras I, Second printing, Springer-

Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 2002.

[6] Gerard J. Murphy, C*-algebras and operator theory, Academic Press,

Inc., San Diego, 1990.

[7] I.E.Segal, Irreducible Representations of Operator Algebras, Bull. Amer.

Math. Soc. 53, 1947

[8] Theodore W. Palmer, Banach Algebras and The General Theory of *-

Algebras, Volume II: *-Algebras, Cambridge University Press, 1994.

[9] Jonathan James Gleason, The C*-algebraic formalism of quantum

mechanics, 2009.

http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2009/

REUPapers/Gleason.pdf

54

---

Biografija

Nevena Stankovi´

c je rodena 20.08.1990. u Nisu. Zavrsila je osnovnu

skolu

"

Dositej Obradovi´

c" u Nisu kao nosilac Vukove diplome. Gimnaziju

"

Svetozar Markovi´

c"u Nisu, upisala je 2005. godine i zavrsila 2009. godine.

Tokom skolovanja u

cestvovala je na mnogobrojnim takmi

cenjima iz mate-

matike, fizike, srpskog i engleskog jezika. Osnovne studije matematike na

Prirodno-matemati

ckom fakultetu upisala je 2009. godine i zavrsila 2014.

Iste godine upisuje master studije na smeru Matemati

cki modeli u fizici

koje zavrsava 2017. godine sa prosekom 8.5, ne ra

cunaju´

ci ocenu master

rada.

55

Često postavljana pitanja

Šta je tema ovog dokumenta?

Ovaj dokument je sveobuhvatni pregled jezika sa naslovom "Sadrzaj", tablicom sadržaja, ciljevima i ključnim temama, sažecima poglavlja i ključnim rečima, namenjen za akademsku upotrebu, analizirajući teme na strukturiran i profesionalan način.

Šta je obuhvaćeno u prvom poglavlju?

Prvo poglavlje, "Uvod", uvodi osnove algebri operatora, sa temeljima koje je postavio Džon fon Nojman. Naglašava potrebu za matematičkim alatima koji bi omogućili da kvantna fizika postane naučna teorija, sa osvrtom na rad Marka Naimarka, Izraela Geljfanda i Irvinga Sigala, kao i na GNS konstrukciju.

Šta sadrži drugo poglavlje?

Drugo poglavlje, "C*-algebre", definiše osnovne pojmove C*-algebri, uključujući algebre sa involucijom, *-algebre, Banahove *-algebre, i C*-algebre. Daju se primeri i osnovne teoreme.

Šta se razmatra u trećem poglavlju?

Treće poglavlje, "Stanja C*-algebre", sadrži definiciju pozitivnog linearnog funkcionala, kao i teoreme koje opisuju strukturu skupa svih stanja C*-algebre i njegov odnos sa skupom svih čistih stanja C*-algebre.

Šta je tema četvrtog poglavlja?

Četvrto poglavlje, "Reprezentacije C*-algebre", definiše pojam reprezentacije C*-algebre, metode konstrukcije reprezentacija, као и егзистенцију репрезентација, kao i reprezentacije komutativne C*-algebre.

Šta se proučava u petom poglavlju?

Peto poglavlje, "Primene teorije C*-algebri", opisuje primene rezultata dobijenih u radu, posebno u klasičnoj i kvantnoj mehanici.

Šta je zaključak ovog rada?

U zaključku se naglašava povezanost izmedu stanja i reprezentacija C*-algebri, veza izmedu komutativnih C*-algebri i topoloških prostora, и узјамна веза математике и физике.

Šta se nalazi u odeljku "Literatura"?

Odeljak "Literatura" sadrži spisak referenci korišćenih u ovom radu, uključujući knjige i naučne radove koji se bave tematikom C*-algebri i njihovih primena.

Šta se nalazi u odeljku "Biografija"?

Odeljak "Biografija" sadrži kratku biografiju Nevene Stanković, autora ovog rada, sa detaljima o njenom obrazovanju i učešću на такмичењима.

• Université: University of Niš- Serbia (Prirodno-matematički fakultet)
• Note: 10
• Auteur: Nevena Stankovic (Auteur)
• Année de publication: 2017
• Pages: 56
• N° de catalogue: V386904
• ISBN (ebook): 9783668608757
• ISBN (Livre): 9783668608764
• Langue: serbe
• mots-clé: Algebra, C*-algebra, Involucija, Stanje, Reprezentacija, Samoadjungovan element, Ideal, Pozitivan element, Aproksimativna jedinica, Pozitivan funkcional, Cisto stanje, GNS, Geljfand-Naimark-Sigal konstrukcija, Geljfand, Naimark, Sigal, fon Nojman, Kvantna mehanika, Ireducibilna reprezentacija