Modelo matemático para calcular hidrogramas de crecientes asociados a diferentes periodos de retornos utilizando información hidrométrica

TABLA DE CONTENIDO

1.0 GENERALIDADES
1.1 INTRODUCCION.
1.2 ANTECEDENTES Y JUSTIFICACIÓN
1.3 DESCRIPCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.4 OBJETIVOS
1.4.1 GENERAL
1.4.2 ESPECÍFICOS.

2.0 MARCO TEORICO
2.1 Ajustes estadísticos:
2.1.1 Estimativos de crecientes:
2.1.2 Usos del programa Hyfi'an:
2.1.3 Distribuciones de probabilidad:
2.1.3.1 Distribución de Gambei:
2.1.3.2 Distribución Log-Pearson tipo 3:
2.2 MÉTODOS BASADOS EN LA RELACIÓN LL UVIA - ESCORRENTÍA
2.2.1 Método del hidrograma unitario:
2.3 MÉTODO BASADO EN INFORMACIONHIDROMETRICA
2.3.1 Método de mayoracion (M):
2.3.2 Estimación conjunta Bivariada (ECB):
2.3.3 Crecientes de probabilidad seleccionada (APS):
2.3.4 Crecientes mediante Clavas de reducción (CCR):
2.3.5 método Coronado y Triana - procedimiento para estimar hidrogramas de crecientes utilizando únicamente
información hidrométrica:
2.4 MÉTODOS DE SEPARACIÓN DEL FL UJO BASE
2.4.1 Método de ¡a línea recta:
2.4.2 Método de flujo base fijo:
2.4.3 Método de flujo base para cuencas pequeñas y alta vegetación:
2.4.4 Método de concave baseflow separation:
2.4.5 Método constant-slope baseflow separation:
2.4.6 Metodo master-depletion-cuive method:
2.4. 7 Nueva técnica de separación de flujo base método isotópico:
2.5 ERROR MEDIO CUADRÁTICO DE UN ESTIMADOR

3.0 IMPLEMENTÁCIÓN DE NUEVAS ECUACIONES DE FLUJO BASE AL MODELO MATEMATICO DE CORONADO-TRIANA CARTAGENA DE INDIAS
3.1 DEDUCCIÓN DEL PROCEDIMIENTO
3.2 ECUACIONES DEL PROCEDIMIENTO PARA MODELOS DE FLUJO BASE

4.0 CASO DE ESTUDIO
4.1 ANÁLISIS DE FRECUENCIA DE CA UDALESMÁXIMOS, VOL ÚMENESMÁXIMOS Y CA UDALES BASE
4.1.1 Ajaste para Calida¡ máximo, Calida¡ base y Volumen máximo, empleando ¡a distribución Gumbe¡:
4.1.2 Ajuste para Cauda! máximo, Cauda¡ base y Volumen máximo, con ¡as distribuciones Gumbe¡, WeibuH y Log-pearson
4.1.3 Ajuste para Cauda¡ máximo, Cauda¡ base y Volumen máximo, con (WeibuII-WeibuII-Normal):
4.1.4 Ajuste para Cauda¡ máximo, Cauda¡ base y Volumen máximo, con (Log-pearson-Gev-Log-pearson):
4.1.5 Ajuste para Cauda¡ máximo, Cauda¡ base y Volumen máximo, con (Gumbel-Gev-Log-pearson):
4.1.6 Ajuste para Cauda¡ máximo, Cauda¡ base y Volumen máximo, con (Log-pearson- Log-pearson-Log- pe arson):
4.1. 7 Ajuste para Cauda¡ máximo, Cauda¡ base y Volumen máximo, con (Gumbe¡-WeibuII-Normal):
4.2 CARACTERISTICAS DE LAS CRECIENTES UTILIZANDO LOS METODOS DE SEPARACION DE FLUJO BASE.
4.2.1 Características de ¡os parámetros de ¡as crecientes utilizada en cada una de ¡os métodos utilizados:
4.2.2 Aplicación de ¡os métodos de separación de flujo base a ¡a creciente de julio de 1996:
4.2.3 Aplicación de ¡os métodos de separación de flujo base a ¡a creciente de julio de 1997:
4.2.4 Aplicación de ¡os métodos de separación de flujo base a ¡a creciente de mayo de 1998:

5.0 ANALISIS Y RESULTADOS
5.1 APLICACIÓN DE DIFERENTES METODOS DE FLUJO BASE CON DIFERENTES COMBINACIONES DE AJUSTES ESTADISTICOS.
5.1.1 Cálculos método flujo base Une a recta:
5.1.1.1 Generación de hidrogramas método línea recta:
5.1.1.2 Validación del método flujo base línea recta
5.1.1.3 Envolventes de ¡as crecientes método flujo base línea recta
5.1.2 Cálculos método flujo base Constante:
5.1.2.1 Generación de hidrogramas método Constante:
5.1.2.2 Validación del método flujo base Constante
5.1.2.3 Envolventes de ¡as crecientes método flujo Constante
5.1.3 Cálculos método flujo base Para cuencas pequeñas
5.1.3.1 Generación de hidrogramas método Cuencas Pequeñas:
5.1.3.2 Validación del método flujo base Cuencas pequeñas
5.1.3.3 Envolventes de ¡as crecientes método flujo base Cuencas Pequeñas
5.1.4 Cálculos método Constant Slope:
5.1.4.1 Generación de hidrogramas método Constant Slope:
5.1.4.2 Validación del método flujo base Constant Slope
5.1.4.3 Envolventes de ¡as crecientes método flujo base Constant Slope
5.1.5 Calados método Concave Base Slope
5.1.5.1 Generación de hidrogramas método Concave Base Slope:
5.1.5.2 Validación del método flijo base Concave Base Slope:
5.1.5.3 Envolventes de ¡as crecientes método flijo base Concave Base Slope:
5.1.6 Cálcalos método Master Depletion:
5.1.6.1 Generación de hidrogramas método Master Depletion:
5.1.6.2 Validación del método flujo base Master Depletion Ill
5.1.6.3 Envolventes de ¡as crecientes método flujo base Master Depletion:
5.2 ANALISIS DE RESULTADOS

6.0 CONCLUSIONES!'RECOMENDACIONES.

7.0 REFERENCIAS

ANEXOS

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Método de los momentos

Figura 2 Ajuste de curvas típicas de reducción para cada sitio analizado

Figura 3,- Separación y superposición del flujo base

Figura 4 Métodos utilizados para la separación del flujo base

Figura 5. Variables y parámetros

Figura 6 Separación de flujo base

Figura 7 Generación de crecientes método lineal, combinación G-G-G

Figura 8 Generación de crecientes método lineal, combinación Gumbel-Logpearson-Weibull

Figura 9 Generación de crecientes método lineal, combinación Weibidl-Normal-Weibull

Figura 10 Validación del método con la creciente de 1997Metodo lineal Combinación Gumbel- Gumbel-Gumbel.

Figura 11 Validación del método con la creciente de 1997Metodo lineal Combinación Gumbel- Logpearson-Weibidl

Figura 12 Validación del método con la creciente de 1997Metodo lineal Combinación Weibidll- Normal-Weibull

Figura 13 Envolventes Metodo lineal Combinación Giimbel-Gumbel-Gumbel

Figura 14 Envolventes Metodo lineal Combinación Gumbel-Normal-Weibidl.

Para la generaciones de bandas existen ciertas diferencias en cuanto al ancho de las bandas de confianzas o envolventes, la di ferencia radica en las combinaciones para el cálculo de los hidrogramas, se observa la que mejor forma tiene es la Figura 28 Envolventes Método lineal Combinación Gumbel- Logpearson-Gumbel

Figura 16 Generación de crecientes método Constante, combinación G-G-G

Figura 17 Generación de crecientes método constante, combinación Gumbel-Logpearson-Weibull. 90 Figura 18 Validación del método con la creciente de 1997Metodo Constante Combinación Gumbel- Gumbel-Gumbel.

Figura 19 Envolventes Método Constante Combinación Giimbel-Gumbel-Gumbel

Figura 20 Generación de crecientes método Cuencas pequeñas, combinación G-G-G

Figura 21 Validación del método con la creciente de 1997Metodo cuencas pequeñas Combinación Giimbel-Gumbel-Gumbel

Figura 22 Validación del método con la creciente de 1997Metodo cuencas pequeñas Combinación Gumbel-Logpearson- Weibull

Figura 23 Envolventes Método Cuencas pequeñas Combinación Giimbel-Gumbel-Gumbel

Figura 24 Generación de crecientes método Constant Slope, combinación G-G-G

Figura 25 Validación del método con la creciente de 1997Metodo Constant Slope Combinación Giimbel-Gumbel-Gumbel

Figura 26 Envolventes Método Constant Slope Combinación Giimbel-Gumbel-Gumbel

Figura 27 Generación de crecientes método Concave Base Slope, combinación G-G-G

Figura 28 Validación del método con la creciente de 1997Metodo Concave Base Slope Combinación Giimbel-Gumbel-Gumbel

Figura 29 Envolventes Método Concave Base Slope Combinación Giimbel-Gumbel-Gumbel

Figura 30 Generación de crecientes método Master Depletion, combinación G-G-G

Figura 31 Generación de crecientes método Master Depletion, combinación Gnmbel-Logpearson- Weibnll ! lio

Figura 32 Validación del método con la creciente de 1997Metodo Master Depletion Combinación Giimbel-Giimbel-Giimbel

Figura 33 Envolventes Método Master Depletion Combinación Giimbel-Giimbel-Giimbel

LISTA DE TABLAS

Tabla 1 Parámetros estadísticos

Tabla 2 Funciones de probabilidad más utilizadas en hidrología

Tabla 3 Ajuste Gumbel de caudal máximo, caudal base y volúmenes máximos

Tabla 4 Ajuste Gumbel-Weibull-Log-pearson

Tabla 5 Ajuste Weibull-Weibull-Normal

Tabla 6 Ajuste Log-pearson-Gev-Log-pearson

Tabla 7 Ajuste Gumbel-Gev-Log-pearson

Tabla 8 Ajuste Log-pearson- Log-pearson-Log-pearson

Tabla 9 Ajuste Gumbel-Weibull-Normal

Tabla 10 Características físicas de los métodos

Tabla 11 Separación de flujo base método línea recta creciente jtdio de 1996

Tabla 12 Separación de flujo base método constante creciente julio de 1996

Tabla 13 Separación de flujo base método cuencas pequeñas creciente julio de 1996

Tabla 14 Separación de flujo base método Concave Base flow creciente jtdio de 1996

Tabla 15 Separación de flujo base método Constant slope creciente julio de 1996

Tabla 16 Separación de flujo base método Master depletion creciente julio de 1996

Tabla 17 Separación de flujo base método línea recta creciente julio de 1997

Tabla 18 Separación de flujo base método constante creciente julio de 1997

Tabla 19 Separación de flujo base método línea recta creciente mayo de 1998

Tabla 20 Separación de flujo base método constante creciente mayo de 1998

Tabla 21 Calado del EMC método flujo base Línea recta Combinación Gumbel-Gumbel-Gumbel

Tabla 22 Calado del EMC método flujo base Línea recta Combinación Gumbel-Log-pearson-Weibull

Tabla 23 Calado del EMC método flujo base Línea recta Combinación Giimbel-Normcd-Logpearson

Tabla 24 Calado del EMC método flujo base Constante Combinación Gumbel-Gumbel-Gumbel

Tabla 25 Calado del EMC método flujo base Cuencas pequeñas Combinación Gumbel-Gumbel- Gumbel

Tabla 26 Calado del EMC método flujo base Constant Slope Combinación Gumbel-Gumbel-Gumbel

Tabla 27 Calado del EMC método flujo base Concave Base Slope Combinación Gumbel-Gumbel- Gumbel

Tabla 28 Calado del EMC método flujo base Master Depletion Combinación Gumbel-Gumbel-Gumbel

Tabla 29 Resumen de los residtados EMC.

Tabla 30 Métodos con mejor EMC

Tabla 31 Resumen Validación de los métodos con la creciente 1997.

DEDICATORIA Y AGRADECIMIENTOS

Gracias a las personas que me han acompañado, en esta nueva etapa de mi vida, inicialmente a Dios le doy gracia por permitirme y guiarme por este sendero, gracias a mi director de tesis Ingeniero Oscar Enrique Coronado, con su amplio manejo en el tema, me apoyo y guio en la realización de esta investigación.

Le agradezco a mi esposa Leonor Fernanda Puello, a mi hijo Juan Femando Zúñiga y mi madre Marelvis Páez Herrera, por sus apoyo, amor y comprensión. Al igual se los retribuyo recordándoles que los amo.

1.0 GENERALIDADES

1.1 INTRODUCCION

Los proyectos para la construcción de nuevos embalses, duetos, vías, están aumentando a nivel mundial y local, como una forma de solucionar problemas de comunicación, abastecimiento y generación de energía, por tanto, las economías mundiales realizan esfuerzos en la construcción de estas mega estructuras, la cual son muy costosas, pero necesarias.

Para estos tipos de proyectos, actualmente se buscan soluciones de diseños óptimas, congruentes con las demandas solicitadas y con la capacidad instalada de cada país. En este orden podemos comentar que nuestro país no cuenta con un sistema desarrollado para la toma de datos de precipitación en toda su área geográfica, es necesario tener más herramientas que permitan calcular caudales máximos a diferentes periodos de retornos.

Por consiguiente, los registros y estudios de los caudales máximos anuales permiten determinar, bajo cierto supuesto, la probabilidad de ocurrencia del caudal en una cierta magnitud, se deben tener en cuenta que, los caudales son fenómenos originados por el carácter aleatorio de las descargas de los ríos. La ocurrencia de crecidas de los ríos se describe en términos probabilísticos, es decir, que cada caudal va asociado una probabilidad de ocurrencia.

1.2 ANTECEDENTES Y JUSTIFICACIÓN

El cálculo de crecientes se refiere básicamente al estimativo de caudales máximos con diferentes probabilidades de ocurrencia, mediante métodos estadísticos o a partir de métodos que relacionan la lluvia con la escorrentía.

Los métodos que relacionan la lluvia con la escorrentía dependen de las características de la cuenca tales como área de la cuenca, tipo de cobertura de suelo, tiempo de concentración, entre otras, de la distribución de la lluvia espacio-temporal y de la información registrada en las estaciones hidrométricas. La aplicación de estos métodos resulta muy compleja en países en los cuales no existe una cobertura suficiente de estaciones de lluvias y de caudales que logren relacionar de manera adecuada los procesos lluvia-escorrentía.

Los métodos basados únicamente en información hidrométrica suelen utilizarse cuando no se dispone de una cobertura suficiente de estaciones de lluvias y de caudales. Dentro de estos métodos se destacan: Mayoración, Estimación Conjunta Bivariada (Rivera & Escalante, 1999) y el método propuesto en el presente documento, estos métodos dependen de un sistema de información bien claro y preciso de las estaciones, además estos métodos son los más utilizados en países como los nuestros que no cuentan con una cobertura suficiente de estaciones e información detallada de las cuencas tales como tipo de cobertura de suelo, tipo de suelo y características de los afluentes entre otros.

1.3 DESCRIPCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Los hidrogramas de crecientes asociados a diferentes períodos de retomo son utilizados para el diseño de las estructuras hidráulicas con capacidad de atenuación, por lo cual es importante que estos sean representativos en términos de caudal pico, volumen total, caudal base, tiempo al pico, tiempo base y su forma.

Actualmente, los métodos para estimar hidrogramas de crecientes con diferentes periodos de retornos utilizando únicamente información hidrométrica, son muy simples y no consideran distintos aspectos de una creciente, como volumen total, caudal base y su forma.

Recientes investigaciones (Coronado y Triana, 2012) muestran procedimientos que involucran distintos parámetros en la estimación de crecientes con métodos basados con información hidrométrica. Este procedimiento considera los parámetros antes mencionados y para su cálculo emplea las ecuaciones de flujo base (lineal y constante).

De este procedimiento se plantea la siguiente pregunta: ¿Cómo es posible aumentar la confiabilidad en la estimación de hidrogramas de crecientes utilizando el método desarrollado por Coronado & Triana (2012) empleando nuevas ecuaciones de flujo base?

1.4 OBJETIVOS

1.4.1 GENERAL

- Implementar al método de estimación de hidrogramas de crecientes desarrollado por Coronado y Triana, ecuaciones de flujo base para mejorar la confiabilidad en las estimadónes de crecientes asociadas a diferentes periodos de retornos.

1.4.2 ESPECÍFICOS

- Incluir nuevas ecuaciones de flujo base, al modelo planteado por Coronado y Triana, con el fin de evaluar las bondades de ajuste de cada uno de ello.
- Comparar los resultados de bondad de ajuste del modelo utilizado diferentes ecuaciones de flujo base, para analizar la confiabilidad de cada uno de ellos.
- Realizar un análisis de sensibilidad del modelo empleando diferentes ecuaciones de flujo base, con el fin de determinar aquellos parámetros que tienen mayor influencia en la estimación de los hidrogramas de crecientes.

2.0 MARCO TEORICO

2.1 Ajustes estadísticos:

Los ajustes estadísticos son distribuciones de probabilidad que permiten determinar los caudales máximos asociados a diferentes períodos de retorno a partir de los caudales máximos instantáneos en una serie anual. Adicionalmente, también es posible determinar los volúmenes máximos asociados a diferentes períodos de retorno. Este método se utiliza cuando se tiene una estación hidrométrica que permita registrar los niveles máximos instantáneos en un río. Para estimar los caudales asociados a diferentes períodos de retomo se debe seguir el siguiente procedimiento:

- Determinar la función de probabilidad que mejor se ajuste a los datos.
- Determinar los caudales asociados a diferentes períodos de retorno mediante un análisis de frecuencia.

2.1.1 Estimativos de crecientes:

- Parámetros estadísticos: los parámetros estadísticos son características propias de una población. Un parámetro estadístico es el valor esperado de alguna función de una variable aleatoria (Chow, Maidment, & Mays, Hidrología aplicada, 1994). En la siguiente Tabla se presentan los parámetros estadísticos más usados:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabla 1 Parámetros estadísticos

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Tabla 2 Funciones de probabilidad más utilizadas en hidrología

- Ajustes de una distribución de probabilidad: Mediante el ajuste a una distribución de un conjunto de datos hidrológicos, una gran cantidad de información probabilistica en la muestra puede resumirse en forma compacta en la función y en los parámetros asociados. El ajuste de distribuciones puede llevarse a cabo por el método de los momentos o el método de la máxima verosimilitud (Chow, Maidment, & Mays, Hidrología aplicada, 1994).

- Método de los momentos: En 1902 Karl Pearson consideró que unos buenos estimativos de los parámetros de una función de densidad de probabilidad alrededor del origen son iguales a los momentos correspondientes de la información de la muestra. Tal como se muestra en la Figura 3-1, si a cada uno de los valores de la información se le asigna una “masa” hipotética igual a su frecuencia relativa de ocurrencia (1/n) y si se imagina que este sistema de masas rota alrededor del origen x=0, entonces el primer momento de cada observación xi alrededor del origen es el producto de su brazo de momento xi y de su masa 1/n, y la suma de estos momentos para toda la información es la media de la muestra (Chow, Maidment, & Mays, Hidrología aplicada, 1994).

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- Método de la máxima verosimilitud: este método fue desarrollado por R.A. Fisher (1922). El mejor valor de un parámetro de una distribución de probabilidad debería ser el valor que maximizara la verosimilitud o probabilidad conjunta de ocurrencia de la muestra observada. Supóngase que el espacio muestral se divide en intervalos de longitudes dx y se toma una muestra de observaciones independientes e idénticamente distribuidas xl, x2., xn. El valor de la densidad de probabilidad para X=xi es f(xi), y la probabilidad de que la variable aleatoria ocurra en el intervalo que incluye xi es f(xi) dx. Debido a que las observaciones son independientes, su probabilidad de ocurrencia conjunta está dada por la ecuación P(A ก B) = P(A)P(B) como el producto de f(xl)dxf(x2)dx ... f(xn)dx = [Π1-1 f(xi)dx]dxn, y puesto que el tamaño del intervalo dx es fijo, el maximizar la probabilidad conjunta de la muestra observada es equivalente a maximizar la función de verosimilitud (Chow, Maidment, & Mays, Hidrología aplicada, 1994):

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Esto es equivalente al centroide de un cuerpo. El centroide correspondiente de la función de probabilidad es (Chow, Maidment, & Mays, Hidrología aplicada, 1994):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dónde:

n: Número de intervalos

nfx(xi): Número de ocurrencias observadas en el intervalo i. np(xi) : Número esperado de ocurrencias en el intervalo i.

Para describir la prueba X2, debe definirse la distribución de probabilidad X2. Una distribución con V grados de libertad es la distribución para la suma de los cuadrados de V variables aleatorias normales estándar independientes zi; esta suma es la variable aleatoria (Chow, Maidment, & Mays, Hidrología aplicada, 1994):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

La función de distribución Xv depende de los grados de libertad (v=m-p-l), donde p es el número de parámetros utilizados en la distribución analizada y del grado de confianza seleccionado (1 — a). La hipótesis nula para la prueba es que la distribución de probabilidad propuesta ajuste adecuadamente a la información. Esta hipótesis se rechaza si el valor X[2].es mayor xį (Chow, Maidment, & Mays, Hidrología aplicada, 1994).

- Análisis de frecuencias: la ecuación propuesta para realizar el análisis de frecuencia que permitirá establecer los valores máximos asociados a diferentes períodos de retorno está dada por la siguiente expresión (Viessman & Lewis, 1995):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dónde:

x: Valor estimado para un período de retorno x: Media de la serie muestral s: Desviación estándar de la serie muestral

K: Factor de frecuencia que depende del tipo de distribución y del número de datos de la serie muestral.

2.1.2 Usos del programa Hyfran:

El programa Hyfran permite evaluar con gran facilidad las principales distribuciones de probabilidad utilizadas en el análisis de frecuencia hidrológico, seleccionar la función de probabilidad que mejor el ajuste a los datos registrados, y realizar el análisis de frecuencia para valores de una variable aleatoria asociada a diferentes períodos de retomo (Chaire en Hydrologie Statistique (CHS). Hyfran, 2002).

2.1.3 Distribuciones de probabilidad:

2.1.3.1 Distribución de Gumbel:

Sea Mi,..., Mn una serie de precipitaciones diarias, caudales o concentraciones de contaminantes, y sea la variable aleatoria [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] la máxima para el año. Si las variables aleatorias Mi son independientes e idénticamente distribuidas acotadas por encima, with an “exponential - like” upper tail (por ejemplo las distribuciones normal, Pearson tipo 3 y

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lognormal). Entonces para N muestras la variable X tiene una distribución de valores extremos tipo I, o distribución Gumbel. (Gumbel, 1958). Por ejemplo, las precipitaciones máximas anuales a menudo se describen por una distribución Gumbel.

Si se selecciona el máximo X de los n eventos de cada muestra, es posible demostrar que, a medida que n aumenta, la función de distribución de probabilidad de X tiende a:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.1.3.2 Distribución Log-Pearson tipo 3:

La distribución Log-Pearson tipo 3 describe una variable aleatoria cuyos logaritmos son descritos por una distribución Pearson tipo 3. Así:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Donde X tiene una distribución Pearson tipo 3 con parámetros de forma, escala y ubicacióna, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Por lo tanto la distribución de los logaritmos de X se describe por las ecuaciones.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

El parámetro [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] es un límite inferior de los logaritmos de la variable aleatoria si β es positivo, y es un límite superior si β es negativo. La forma de la distribución de inundación del espacio real es una función compleja de a y β. (Bobee, 1975) (Bobée & Ashkar, 1991).

2.2 MÉTODOS BASADOS EN LA RELACIÓN LLUVIA - ESCORRENTÍA

2.2.1 Método del hidrograma unitario:

Un hidrograma unitario se define como el hidrograma de escorrentía directa que resulta de una profundidad unitaria de lluvia efectiva producida por una tormenta de intensidad uniforme y duración específica (Pilgrim & Cordery, 1993).

El método del hidrograma unitario fue desarrollado originalmente por Sherman en 1932 (Sherman, 1932), y está basado en las siguientes hipótesis:

- Tiempo base constante: Para una cuenca dada, la duración total de escurrimiento directo o tiempo base es la misma para todas las tormentas con la misma duración de lluvia efectiva, independientemente del volumen total escurrido. Todo hidrograma unitario está ligado a una duración de la lluvia en exceso.
- Linealidad o proporcionalidad: Las ordenadas de todos los hidrogramas de escurrimiento directo con el mismo tiempo base, son directamente proporcionales al volumen total de escurrimiento directo, es decir, al volumen total de lluvia efectiva. Como consecuencia, las ordenadas de dichos hidrogramas son proporcionales entre sí.
- Superposición de causas y efectos: El hidrograma que resulta de un periodo de lluvia dado puede superponerse a hidrogramas resultantes de periodos lluviosos precedentes (Aparicio, 2011).

El concepto del hidrograma unitario se puede aplicar de diversas formas, tales como: hidrograma unitario tradicional, curva s, hidrogramas unitarios sintéticos y métodos matriciales.

2.3 MÉTODO BASADO EN INFORMACION HIDROMETRICA

2.3.1 Método de mayoracion (M):

Este método es uno de los más populares y de mayor arraigo, debido a la rapidez y facilidad en su aplicación (Domínguez et al., 1980). A partir del análisis de los gastos medios diarios se determina la máxima crecientes registrada, la cual se puede considerar como la más adversa. El criterio para seleccionar dicha creciente puede tomar en cuenta el valor registrado más grande de Qp, Vt o una combinación de ambos. Una vez seleccionada, se deberá obtener un hidrograma adimensional, donde cada ordenada será Qo/Qp para 0=1 hasta la duración d (horas o días). Con el objetivo de estimar los eventos de diseño para diferentes periodos de retorno (QT), se deberá realizar un análisis de frecuencias a los gastos máximos anuales y, mediante un criterio de bondad de ajuste, seleccionar aquella distribución de probabilidad que mejor describa el comportamiento de la muestra analizada. Finalmente, para obtener la creciente de diseño solo se requiere multiplicar las ordenadas Qo/Qp del hidrograma adimensional por el valor estimado de QT, obteniendo así una creciente con las mismas características de la más adversa registrada, solo que más grande (mayorada). Una desventaja de este método es que en algunas ocasiones la creciente propuesta como más adversa es superada al año siguiente, por lo que se presentan dudas sobre los pronósticos realizados. (Coronado, 2010)

2.3.2 Estimación conjunta Bivariada (ECB):

Escalante propuso una técnica que consiste en estimar crecientes de diseño a través de la modelación conjunta de 4 variables que son obtenidas de los hidrogramas registrados: gasto de pico (Qp), volumen total (Vt), volumen acumulado previo al gasto de pico [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] y volumen acumulado después del gasto de pico ( Vd). Las relaciones [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] se modelan por una distribución de probabilidad Bivariada conocida como el modelo logístico (Gumbel, 1960):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Donde m es el parámetro de asociación, m - 1 y F(s) es la función de distribución marginal, la cual puede ser del tipo Gumbel, General de Valores Extremos o Gumbel para dos poblaciones y Θ representa el conjunto de parámetros a ser estimados (Raynal, 1985, Escalante 1998b). Elna vez que se estiman los parámetros para cada combinación Bivariada, se plantea un sistema no lineal de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas a través de la ecuación 4. La idea del método es suponer que las cuatro componentes analizadas ocurren conjuntamente con la misma probabilidad. Es decir, por ejemplo, en la técnica M con la finalidad de obtener un evento de diseño para cualquier periodo de retomo seleccionado se realiza un análisis de frecuencias de gastos máximos anuales y con el procedimiento ya descrito se constmye el hidrograma final, sin embargo, la probabilidad conjunta del gasto de pico y el volumen total generalmente no corresponde con el período de retomo buscado para la creciente de diseño, es por ello que en la técnica ECB se busca una combinación para la cual las cuatro variables ocurran conjuntamente. El sistema formado es no lineal, por lo que es necesario aplicar un método numérico para su solución, tal como el método de Newton-Raphson (Rivera, 1997). A continuación se hace una breve descripción del procedimiento de cálculo:

1. Se obtienen los estimadores univariados por máxima verosimilitud de los parámetros de las distribuciones ajustadas a las variables [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], los cuales servirán como valores iniciales dentro del proceso de cálculo de los estimadores de las distribuciones Bivariada.
2. Se obtienen los estimadores por máxima verosimilitud de los parámetros para cada una de las relaciones Bivariada [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], de acuerdo con procedimientos propuestos por Raynal (1985) o Raynal (1985) o Escalante (1998b) dependiendo del tipo de distribución marginal utilizada.
3. Se plantea el sistema de ecuaciones no lineales. El método seleccionado de solución requiere de valores iniciales de [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], los cuales pueden obtenerse, para una probabilidad o periodo de retorno seleccionado a través de las distribuciones ajustadas en el paso número 1. Estos valores se pueden designar como [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], y se resuelve el sistema planteado. Si la diferencia entre el valor izquierdo y derecho de la ecuación 4 es menor que cierta tolerancia, por ejemplo 1E-05, para las cuatro combinaciones Bivariada, entonces los valores [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] de esa etapa se consideran como las componentes de la avenida de diseño, en caso contrario, se ajustarán estos valores paso a paso hasta que se logre la tolerancia seleccionada.

4. Para darle forma al hidrograma se propone que el valor del tiempo de pico y el tiempo de vaciado (tiempo base menos tiempo de pico) se calculan regionalmente a través de una técnica de correlación y regresión múltiple. Las variables independientes serán las características fisiográficas y/o climatológicas de las cuencas que pertenecen a la misma región meteorológicamente homogénea.

2.3.3 Crecientes de probabilidad seleccionada (APS):

Peagram y Deacon (1992) propusieron un método para la estimación conjunta de [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] que emplea la distribución de probabilidad Lognormal en su forma estandarizada. Las variables analizadas Qp y Vt se transforman mediante la aplicación de los logaritmos naturales y son llamadas por los autores como estandarizados. Fijando el valor de Qp, generaron una función de distribución condicional para Vt. El producto de este análisis es una tabla donde se representa la variación de Vt en función del valor de Qp para tres diferentes combinaciones probabilísticas condicionales seleccionadas para Vt (25%, 50% y 75%) y diferentes valores del coeficiente de correlación r entre las variables Qp y Vt (0.70, 0.75, 0.80, 0.85, 0.90 y 0.95) y los periodos de retomo T= 50, 100, 500, 1000, 5000 y 10000 años. La primera fase consiste en encontrar tres combinaciones (Qp y Vt )T para el periodo de retorno T (años) que le corresponde a la avenida registrada más adversa, bajo el criterio del Qp más grande. Los Hidrogramas se generan siguiendo la forma de la distribución Pearson tipo III (Hiemstra y Francis, 1979).

Dado que se requiere encontrar la combinación probabilistica condicional más adecuada entre Qp y Vt, los tres Hidrogramas se comparan con la avenida más adversa y se selecciona aquella que tenga la misma forma. Con la proporción definida entre Qp y Vt es posible estimar la avenida de diseño para un periodo de retorno seleccionado.

2.3.4 Crecientes mediante curvas de reducción (CCR):

El National Environment Research Council de Gran Bretaña (NERC, 1975) propuso un método para estimar avenidas, a través de la relación entre el promedio de los gastos medios máximos anuales con diferentes duraciones respecto al promedio de los gastos máximos anuales, ya sean instantáneos o diarios. Al dibujar la relación de los gastos, llamada tasa de reducción, contra la duración, se obtienen las curvas de reducción como se muestra en la Figura 1, a partir de las cuales es posible construir el hidrograma de la avenida de diseño al aplicar la formula siguiente:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Donde ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] es el valor estimado para un periodo retomo T, mediante el ajuste de la mejor distribución de probabilidad para cada sitio analizado. Q-i es el promedio de los gastos máximos registrados Qi · Qprom se estima al ajustar los Qi a las características fisiográficas y/o climatológicas de los sitios en la región en estudio; r(d) es la tasa de reducción que se obtiene de la Figura 1. En esta figura se aprecian ejemplos de curvas que corresponden a tres sitios diferentes dentro de una misma región hidrológica.

Para estimar el volumen total de la avenida de diseño se puede considerar que el hidrograma es del tipo triangular y los tiempos de pico (tp) y base (tb) son función del tiempo de concentración de la cuenca, el cual puede estimarse a través de la fórmula de Kirpich:

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Figura 2 Ajuste de curvas típicas de reducción para cada sitio analizado

Donde te es el tiempo de concentración (h), L longitud del cauce principal (km) y s es la pendiente del cauce principal (km/km).

2.3.5 método Coronado y Triana - procedimiento para estimar hidrogramas de crecientes utilizando únicamente información hidrométrica:

- Es un procedimiento matemático y no es un modelo físicamente basado que relaciona la dinámica lluvia-escorrentía.
- Existe un único hidrograma adimensional representativo para la cuenca, y por lo tanto un tiempo al pico. (Coronado, 2010).
- No necesita de registros de lluvia para su aplicación.
- Se basa en un balance de masa entre el volumen de escorrentía y el volumen del flujo base (Ingetec S.A, 2008).
- Para la separación del flujo base de los Hidrogramas registrados, se mencionan dos métodos (Chow y otros, 1994): constante y lineal.
- El volumen de los Hidrogramas para diferentes períodos de retomo, se determina a partir del análisis estadístico de la serie de volúmenes totales de los hidrogramas máximos anuales registrados. Cuando no es posible contar con el registro de la mayoría de las crecientes, la serie de volúmenes máximos anuales se puede determinar empleando el siguiente procedimiento: (i) se determinan los caudales medios diarios, (ii) se determinan volúmenes medios diario teniendo en cuenta la duración de las crecientes en la zona y (iii) se obtiene la serie de volúmenes máximos anuales. (Coronado, 2010)
- Por su definición es más aplicable a cuencas pequeñas y zonas hidroclimatológicas homogéneas. (Coronado, 2010).

2.4 MÉTODOS DE SEPARACIÓN DEL FLUJO BASE

Hay varias técnicas para separar el flujo base de la escorrentía directa, la más antigua es la curva de abatimiento normal descrita por Horton (1933). La curva de abatimiento normal, o curva maestra de recesión de flujo base, es una gráfica características de las recesiones que se observan en una corriente dada. Usualmente las curvas de recesión toman la forma del decaimiento exponencial:

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Figura 4 Métodos utilizados para la separación del flujo base.

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Donde Qo es el flujo en el tiempo to у к es la constante de decaimiento exponencial que tiene dimensiones de tiempo (Singh y Stall, 1971). La ecuación se linealiza al representar gráficamente el logaritmo de Q(t) contra el tiempo en una escala lineal. (Richard H. 1998,488)

2.4.1 Método de la línea recta:

Consiste en dibujar una línea horizontal desde el punto en el cual empieza la escorrentía directa superficial hasta la intersección con el segmento de recesión del hidrograma en el cual se reinicia el flujo base. (Richard H. 1998, 489)

Su ecuación es:

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Donde;

pn: Caudal base constante

m: Pendiente del caudal base.

t: Tiempo duración de la tormenta.

2.4.2 Método de flujo base fijo:

Es aquel en que el flujo base permanece constante a lo largo de la tormenta. (Richard H. 1998, 488)

Su ecuación para calcular el flujo base fijo es:

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Donde;

pn: Caudal base constante.

2.4.3 Método de flujo base para cuencas pequeñas y alta vegetación:

Este método se utiliza para cuencas pequeñas cubiertas por vegetación en regiones húmedas, propuesto por Hewlett y Hibbert (1967), sugirieron que pueden suponer que el flujo base dentro de una tormenta se incremente a una tasa de 0. 005 l/s*ha*h. (Richard H. 1998, 488)

Su ecuación para calcular el flujo base es:

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Donde;

pn: Caudal base constante m: Pendiente del caudal base. t: Tiempo duración de la tormenta

A = Area en hectáreas.

2.4.4 Método de concave baseflow separation:

Para este método, los puntos de inicio y fin para la separación de línea de flujo de base y la escorrentía directa son las mismas que para el método de pendiente constante. Sin embargo, para el método cóncava, caudal base continua decreciendo hasta el momento de la descarga pico del hidrograma de tormenta.

En ese momento, la línea de separación es recta entre ese punto y el punto de inflexión de la recesión. Mientras que el método cóncava puede requerir un poco más de esfuerzo de definir que los otros dos métodos, es probable que sea una representación más realista de la separación real de flujo según lo determinado por los procesos físicos que el flujo de control durante las tormentas. Matemáticamente, (Richard H. 1998, 488), la función del flujo de base es:

Donde las variables se definen en la Figura 4. La distribución de la escorrentía directa, qd, es igual a la diferencia entre el caudal total, q, y el caudal base, qb. (Richard H. 1998, 488)

2.4.5 Método constant-slope baseflow separation:

Si el proceso de escorrentía se conceptualiza de una manera que el flujo de los acuíferos de agua subterránea empieza en la recesión hidrograma antes del punto utilizado para el método constante de descarga, a continuación, sólo es necesario para seleccionar el punto de la curva de recesión donde termina la escorrentía directa. Se han propuesto varios métodos para la identificación de este punto. La conceptualización más común utiliza el punto de inflexión en la recesión hidrograma; el punto de inflexión es el punto donde el hidrograma pasa de ser cóncava a convexa (es decir, la pendiente es mayor que 1 para la pendiente es menor que 1). Un segundo método utiliza una fórmula empírica, como por ejemplo la siguiente ecuación que se ha propuesto para muy grandes cuencas:

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En la que N es el número de días desde el tiempo hasta el pico del hidrograma de escorrentía medido hasta el final de la escorrentía directa y A es el área de drenaje en millas cuadradas. Un tercer método se llama el método de la curva maestra agotamiento, que se discute a continuación. Mientras que estas tres opciones son bastante objetivo, el punto se selecciona a menudo subjetivamente usando un gráfico de la hidrograma de escorrentía. Una vez que el tiempo en el que se ha identificado extremos escorrentía directa, escorrentía directa del flujo de base y se separan mediante la conexión de una línea recta que se extiende desde el punto de la velocidad de descarga más bajo en el inicio de la descarga de la inundación hasta el punto en la recesión. El método de constante-pendiente también se muestra en la Figura 9-2. El flujo de base depende del tiempo (ts) y de descarga (qs,) en el punto de la función de descarga (qr), y el tiempo (t) y de descarga (qs) en el punto de inflexión bajo. (Richard H. 1998, 488), Matemáticamente, la función del flujo de base es:

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La distribución de la escorrentía directa, q, es igual a la diferencia entre el caudal total, q, y el caudal base, qb.

2.4.6 Metodo master-depletion-curve method:

El metodo maestro-agotamiento de la curva se utiliza para proporcionar un modelo de flujo de almacenamiento de agua del suelo. En base a esto, se puede utilizar para identificar un punto de la recesión donde termina la escorrentía directa y caudal base comienza, sin embargo, sino que también proporciona un modelo de la extremidad recesión. El procedimiento requiere Hidrogramas de tormentas medidos para un buen número de tormentas que cubren una amplia gama de volúmenes y de las diferentes estaciones del año (Richard H. 1998, 488). El procedimiento es el siguiente:

1. El uso de papel semi-log, log q en función del tiempo, trazar las curvas de recesión para cada evento de tormenta en hojas separadas de papel de calcar.
2. En una hoja principal con una q contra el sistema tiempo-eje de registro (papel semi-log), trazar la recesión para el evento de tormenta que tiene los valores más pequeños de log q.
3. Ehilizando la curva de recesión, con los siguientes valores mínimos de registro de valores de q, coloque el papel vegetal de tal manera que la curva parece extenderse a lo largo de una línea que coincide con la recesión del primer evento planeado.
4. Continúe este proceso con cada vez más grandes de magnitud LOG q recesiones hasta que se representan todos los eventos de tormenta.
5. Construir una curva de agotamiento del principal que se extiende a través de las recesiones de las tormentas observadas. A continuación, ajustar un modelo matemático para la curva de agotamiento maestro; la siguiente forma funcional a menudo proporciona un ajuste razonable para los datos:

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En la que q, es la descarga en el tiempo t, qo es la descarga en el tiempo t = о, у к es un coeficiente de ajuste. El valor de к se puede determinar utilizando cualquiera de los dos puntos de la curva de agotamiento principal. Dejar que un punto sea q, y luego hacer una transformación natural logaritmo de la ecuación 9-5 y despejando rendimientos K.

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Donde t es el tiempo en el que la descarga q, se registra. Si suficiente dispersión es evidente en la línea de recesión, a continuación, mínimos cuadrados se pueden utilizar para estimar K. Si se establece el valor de q, entonces el estimador de mínimos cuadrados de K es.

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En la que n es el número de pares de (q, ti) puntos de la recesión:

2.4.7 Nueva técnica de separación de flujo base método isotópico:

Recientemente se ha propuesto y aplicado un procedimiento para estimar la parte del flujo base de un río, teniendo en cuenta las variaciones en la composición química de dicho caudal. La ecuación de conservación de masa en un punto del río es la siguiente:

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En esta ecuación se puede hallar OBnft) o Os, conociendo los demás valores. El valor de caudal total se mide directamente, la concentración de la escorrentía subterránea, Co, se obtiene al analizar el agua del río en periodos prolongados de ausencia de lluvias (caudal base) y la concentración de la escorrentía superficial se toma en periodos de lluvias fuertes.

En este caso se utiliza el deuterio y oxigeno 18, que son los isótopos estables del agua, y cuyas desviaciones isotópicas permiten expresar la anterior ecuación asi:

QBnW = <?*(££) [36]

Las desviaciones isotópicas requeridas por la ecuación anterior (1) (őt = desviación isotópica de la escorrentía total; Ő0 = desviación isotópica del flujo base, compuesta por el agua subterránea y el agua sub superficial y ŐS = desviación isotópica de la escorrentía superficial), demandan la realización de muéstreos que permitan la caracterización de los tres componentes involucrados. (Gomez. 2006, p.23)

2.5 ERROR MEDIO CUADRÁTICO DE UN ESTIMADOR

El error medio cuadrático (EMC) de un estimador Θ y de un parámetro Θ es la función de Θ definida por [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], y esta es denotada como EMCg. Esta también se llama función de

riesgo de un estimador, con (θ — θ)[2] llamada la función de pérdida cuadrática. La expectativa es con respecto a las variables aleatorias XI,..., Xn ya que son los únicos componentes aleatorios en la expresión. (DeGroot, M., & Schervish, M, 2010).

Observe que el error medio cuadrático mide el promedio de los cuadrados de la diferencia entre el estimador Θ y el parámetro Θ, una medida algo razonable de rendimiento para un estimador. En general, cualquier función creciente de la distancia absoluta [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sirve para medir la bondad de un estimador, el error medio absoluto, Ε(\θ — 0|), es una alternativa razonable. Pero el EMC tiene al menos dos ventajas sobre otras medidas de distancia: En primer lugar, es analíticamente tratable y, en segundo lugar, tiene la interpretación, (DeGroot, M., & Schervish, M, 2010).

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El sesgo de un estimador Θ y de un parámetro Θ es la diferencia entre el valor esperado de 0, y 0; es decir, 5tas(0) = [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Ein estimador cuyo sesgo es idénticamente igual a o se llama estimador imparcial y satisface [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] = Θ para todo Θ. Por lo tanto, el EMC tiene dos componentes: uno mide la variabilidad del estimador (precisión) y las otras medidas la de su sesgo (precisión). Un estimador que tiene buenas propiedades de EMC tiene una pequeña varianza y un sesgo combinado. Para encontrar un estimador con buenas propiedades de EMC, tenemos que encontrar estimadores que controlan tanto la varianza como el sesgo. Para un estimador imparcial 0, tenemos, (DeGroot, M., & Schervish, M, 2010).

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Y así, si un estimador es imparcial, su EMC es igual a su varianza.

3.0 IMPLEMENTÁCIÓN DE NUEVAS ECUACIONES DE FLUJO BASE AL MODELO MATEMATICO DE CORONADO-TRIANA

En este capítulo se deducen y se amplían las ecuaciones de separación de flujo base del modelo matemático propuesto por Coronado, Tiiana y Coronado. El procedimiento se deduce a partir de un balance de masa entre los volúmenes de escorrentía, volúmenes de flujo base y el volumen total.

3.1 DEDUCCIÓN DEL PROCEDIMIENTO

El procedimiento se deduce a partir de un balance de masa, teniendo en cuenta las variables y parámetros presentados en la Figura 5. La Figura se encuentra divida en las siguientes partes: (a) Hidrogramas máximos registrados; (b) el hidrograma adimensional en caudal y tiempo, el cual se determina dividiendo cada una de las abscisas por el tiempo al pico registrado (tp- registrado) y las ordenadas por el caudal máximos registrado (QPi), y promediando los hidrogramas adimensionales registrados; (c) hidrograma con caudal adimensional de la cuenca; (d) hidrograma determinado para un período de retorno. (Coronado, 2010, p.27)

QEí: Caudal de escorrentía directa del hidrograma registrado.

QPí: Caudal máximo instantáneo de hidrograma registrado.

QBí: Caudal de flujo base del hidrograma registrado.

i: Hidrograma de creciente registrado.

tp-registrado : Tiempo al pico del hidrograma registrado.

q(ť'): Hidrograma adimensional obtenido de los hidrogramas registrados. Este hidrograma se obtiene promediando los hidrogramas registrados adimensionales en caudal y tiempo (véase Figura 3 (b)).

QEn: Caudal proveniente de la escorrentía directa para un período de retorno.

QPn: Caudal máximo instantáneo de los hidrogramas de diseño para un período de retorno. QBn: Caudal proveniente del flujo base para un período de retorno.

q(t): Hidrograma adimensional en caudal de los hidrogramas asociados a diferentes períodos de retomo [q(t) = q(t 'xtp)].

tp: Tiempo al pico de los hidrogramas asociados a un período de retomo estimado.

VMn: Volumen estimado total de la creciente para un período de retorno.

VEn: Volumen de escorrentía para un período de retorno.

VBn: Volumen del flujo base para un período de retorno, n: Hidrograma de creciente asociada a un período de retorno analizado, t: Intervalo de tiempo de la duración de la creciente.

El volumen de la creciente asociado a un período de retorno de interés se determinó de la siguiente manera:

VMn=VEn+VBn

Por definición, el volumen se puede expresar como:

y = (fľ0TC(t)dt) 40

Luego:

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Donde;

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Para determinar el volumen total de una creciente se utiliza la siguiente expresión:

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La ecuación anterior se puede resolver por medio de intervalo, tal como se presenta a continuación:

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Con este procedimiento y las ecuaciones del flujo base antes descritas, se procede a calcular los volúmenes modelados de cada ecuación. (Coronado, 2010, p.29)

La ecuación para el volumen modelado es:

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3.1.1 Hipótesis del método:

Las hipótesis que se tuvieron en cuenta para el método de estimación de hidrogramas de diseño propuesto se encuentran en el caudal base y en el volumen máximo de la creciente. A continuación se describen estas hipótesis. (Coronado, 2010, p.29)

Flujo base (QBn):

El flujo base representa la interacción entre el acuífero y el río. El caudal base para diferentes períodos de retorno se puede aproximar a partir del ajuste estadístico de la serie de caudales medios mensuales para el mes más húmedo (INGETEC S.A, SIMCO LTDA & CIMILEC INGENIEROS LTDA, 1997). Existen diferentes métodos para separar el flujo base (Chow, Maidment, & Mays, Hidrología aplicada, 1994) de las crecientes máximas registradas, los cuales serán utilizados para la generación de las crecientes asociadas a un período de retorno, los métodos de separación de caudal base, son: flujo base constante, flujo base línea normal, flujo base para cuencas pequeñas y alta vegetación, flujo base concave baseflow separation, flujo base constant-slope baseflow separation, flujo base master-depletion-curve method y flujo base método isotópico. (Coronado, 2010, p.29)

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