Zinseszinsrechung und Abschreibung

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1. Zinseszinsrechnung
1.1 Einleitung
1.2 Einmalige Einzahlung mit Zinseszins
1.3 Regelmäßige Einzahlung mit Zinseszins
1.3.1 Einzahlungen am Anfang/Ende eines Jahres bei jährlicher Verzinsung
1.3.2 Unterjährige Einzahlungen bei jährlicher Verzinsung
1.3.3 Unterjährige Verzinsung bei regelmäßigen jährlichen Einzahlungen
1.3.4 Unterjährige Einzahlungen bei unterjährigen Verzinsungen
1.4 Schlussworte

2. Abschreibungen
2.1 Einleitung
2.2 Abschreibungsarten
2.3 Abschreibungsverfahren
2.3.1 Lineare Abschreibung
2.3.2 Degressive Abschreibung
2.3.3 Weitere Abschreibungsverfahren
2.3.4 Geometrisch-degressive zu arithmetisch-degressive Abschreibung
2.4 Effekte durch Abschreibungen
2.5 Schlussworte

Anhang
1. Beispiele zu der Zinseszinsrechnung
2. Beispiele zu den Abschreibungsverfahren

Literaturverzeichnis

Anmerkung: Die vorliegende Arbeit bezieht sich neben den anderen angegeben Quellen hauptsächlich auf: Finanzmathematik von Robert Bosch, erschienen im Oldenbourg Verlag.

Abbildungsverzeichnis

Abbildung I: Selbst erstellt

Abbildung II: Übernommen aus: Thommen, Jean-Paul/Achleitner, Ann-Kristin: Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, Seite 397

Abbildung III: Selbst erstellt nach: Thommen, Jean-Paul/Achleitner, Ann-Kristin: Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, Seite 400/401

Symbolverzeichnis

Die folgenden Bezeichnungen und Symbole werden in dieser Seminararbeit verwendet

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Zinseszinsrechnung

1.1 Einleitung

Die Zinseszinsrechnung ist eine der Grundlagen der Finanzmathematik. Obwohl in der Schule meist schon behandelt, findet die Zins- und Zinseszinsrechnung auch in der Betriebswirtschaftlehre – wenn auch in erweiterter Form – Anwendung. Auch im alltäglichen Leben trifft man häufig auf Zins- und Zinseszinsrechnung:

Ob es nun um eine einfache Überlegung über die Erträge eines Sparbuchs, oder um komplizierte Anlageberechnungen geht, erkennt man schnell: Schon bei einigen entsprechenden Parametern entwickelt sich die zu Anfangs meist sehr einfache Rechnung in Form der Zinsrechnung (wie viel Geld „erspart“ man, wenn 1000 € für 1 Jahr zu einem Zinssatz von 5% angelegt werden) zu wesentlich komplexeren Berechnungen, die nicht ohne Weiteres – und schon gar nicht im Kopf – zu lösen sind. Bei diesen Parametern handelt es sich allerdings nicht um sonderlich ausgefallene Gegebenheiten, sondern um alltägliche Dinge, wie die Einzahlung und Auszahlung während des Jahres, die Verzinsung der Zinsen und die Veränderung des Zinssatzes. Die folgenden Ausführungen sollen die verschiedenen Möglichkeiten der Zinseszinsrechnung aufzeigen, erläutern und an Hand von Beispielen anschaulich machen.

1.2 Einmalige Einzahlung mit Zinseszins

Diese einfachste Form der Zinseszinsrechnung ist elementarer Bestandteil des Schullehrstoffes. Hierbei wird das das Grundkapital und auch die auf das Grundkapital geleisteten Zinserträge der vergangenen Periode verzinst. Im Vergleich zur Zinsrechnung ohne Zinseszins kommt hier die Potenzrechnung zum Einsatz, um die Verzinsung des Zinses darzustellen. Bei der Zinseszinsrechnung wird mit dem Aufzinsungsfaktor q gerechnet, und es gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch die Verwendung von q in Verbindung mit der Potenzrechnung, also [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wird der Tatsache Rechnung getragen, dass bei der Zinseszinsrechnung das Ausgangskapital für n=2 Jahre nicht mit dem zweifachen Zinswert multipliziert darf, sondern mit[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gerechnet werden muss. (Für p = 5% muss also mit q=1,1025 anstatt mit 1,10 gerechnet werden. Hierbei wird die Differenz mit ansteigendem n immer größer.) Für dieses Beispiel ergibt sich folgende Formel^[1]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten²

Durch Auflösen von (2) nach[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]bzw.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist es bei der Zinseszinsrechnung möglich – vorausgesetzt die restlichen drei Größen sind gegeben – den Barwert, die Laufzeit und den Zinssatz auszurechnen.

Die Termumformungen zum Errechnen des Barwertes unterscheiden sich prinzipiell nicht von denen bei der „einfachen Zinsrechnung“, so dass sich folgende Formel ergibt^[3]:

Auffällig im Vergleich zur Zinsrechnung ohne Zinseszins sind hier natürlich die Potenzen. Diese sind es auch, die bei der Auflösung von (2) zur Errechnung der Laufzeit oder des Zinssatzes die Verwendung des Logarithmus^[4] bzw. des Wurzelziehens^[5] notwendig machen. Schließlich erhält man durch Umformung folgende Formeln:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

bzw.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch die Einführung des Zinseszinses ergeben sich allerdings nicht nur mathematische Veränderung, sondern es müssen auch völlig neue Dinge in Betracht gezogen werden. Bei der Zinseszinsrechnung kann es erhebliche Auswirkungen haben, je nach dem, wie oft das Gesamtkapital einschließlich inzwischen angefallener Zinsen pro Jahr verzinst wird, d.h., wie oft die Zinszahlungen erfolgen, auf die dann wieder Zinseszins gezahlt wird. Bei m gleichlangen Perioden, in die ein Jahr unterteilt wird, ergibt sich nach jeder Periode m eine anteilige Zinszahlung[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] . wird als konformer Zinssatz des nominellen Jahreszinssatzes p bezeichnet. Nach[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] des Jahres erhöht die erste Zinszahlung das angelegt Kapital. Dies hat zur Folge, dass nach Ablauf der nächsten[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]-ten Periode die Zinszahlung etwas höher ausfällt. Aufgrund des Zinseszinses ist klar, dass der Zinseszinseffekt mit steigendem m immer größer wird.

Folgendes Diagramm dient zur Veranschaulichung des Unterschiedes zwischen Anlagen ohne Zinseszins, mit Zinseszins und mit Zinseszins und unterjähriger Verzinsung:

Abbildung I^[6]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Zinseszinsrechnung mit unterjähriger Verzinsung ^[7] ergeben sich folgende Kapitalwerte nach k Perioden des in m Abschnitte eingeteilten Jahres, bzw. nach n Jahre:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nach Termumformung von (3) können bei drei gegebenen Variablen der Barwert, der Jahreszinssatz und auch die Laufzeit berechnet werden. Die sich ergebenden Formeln lauten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

bzw.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und

Ein Kapital, dass mit dem Zinssatz p nur einmal jährlich verzinst wird, liefert demzufolge einen geringeren Zinsertrag, als ein Kapital, dass mit dem m-ten Teil von p pro Jahr m-mal verzinst wird. Den Jahreszinssatz, der bei einmaliger Verzinsung zum gleichen Endwert führt wie eine m-malige Verzinsung mit dem konformen Zinssatz [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], nennt man effektiven Jahreszins.

Bei der Berechnung von[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] aus[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gilt, dass beide Endwerte gleich sein müssen^[8]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus ergibt sich für

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für den Fall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], nähert sich der Aufzinsungsfaktor[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]immer mehr der Zahl[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]an, im Sonderfall p = 100%, nähert sich die jährliche Verzinsung e an. Anstatt einer Verdoppelung pro Jahr, wäre also eine Ver- e -fachung (ungefähr 2,718) zu erzielen. Man spricht hier von stetiger Verzinsung^[9].

1.3 Regelmäßige Einzahlung mit Zinseszins

1.3.1 Einzahlungen am Anfang/Ende eines Jahres bei jährlicher Verzinsung

Um das Modell weiter der Realität anzupassen, muss auch die Möglichkeit der regelmäßigen Einzahlung gegeben sein. Diese kann entweder vor- oder nachschüssig, also am Anfang oder am Ende einer Periode, oder unterjährig erfolgen. Um mit der einfachen Variante zu beginnen, soll hier zuerst die vor- oder nachschüssige Einzahlung erörtert werden. Es wird weiterhin angenommen, dass am Ende eines jeden Jahres das zu Beginn des Jahres vorhandene Kapital mit p% verzinst wird.

Das vorschüssig eingezahlte Kapital[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wird n-mal,[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (n-1)-mal verzinst, usw. Hieraus ergibt sich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für den Spezialfall, dass alle[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]gleich sind, ergeben[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eine geo- metrische Reihe^[10], so dass[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] auch als[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ausgedrückt werden kann^[11].

Wie zuvor können bei entsprechend gegebenen Variablen auch Einzahlungsbetrag (E) oder Laufzeit (n) berechnet werden. Nach Termumformung ergeben sich^[12]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei nachschüssigen Einzahlungen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] muss im Vergleich zu vorschüssigen Einzahlungen berücksichtigt werden, dass jeder Betrag einmal weniger verzinst wird; ansonsten ergibt sich keine Veränderung bei der Berechnung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für den Spezialfall der gleich bleibenden Einzahlungen ergibt sich unter erneuter zur Hilfennahme der Formel für geometrische Reihen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Für die Berechnung des gleich bleibenden Einzahlungsbetrages und der Laufzeit ergeben sich somit analog:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein gleich bleibender Einzahlungsbetrag, der zudem noch jährlich geleistet wird, oft sogar vorschüssig, ist eine Prämie für eine Kapitallebensversicherung. Mit Hilfe der oben angegebenen Formel kann man mit seiner statistischen Restlebenserwartung als n und einem angenommenen Zinsfaktor q = 1,05 (entspricht der ungefähren Verzinsung des Kapitals an den Märkten) seinen ganz persönlichen Auszahlungsbetrag berechnen. Die Differenz dessen mit dem von der Versicherung versprochenen ist die Gebühr des Unternehmens!

1.3.2 Unterjährige Einzahlungen bei jährlicher Verzinsung

Die in Punkt 1.3 bereits eingeführten unterjährigen Einzahlungen sollen an dieser Stelle nun auch mit den regelmäßigen Einzahlungen in Verbindung gebracht werden. So soll angenommen werden, dass jedes Jahr wiederum in m gleich lange Teile zerlegt wird und Einzahlungen jeweils zu Beginn oder zum Ende jeder dieser Perioden vorgenommen werden können. Weiterhin soll hier von immer gleich großen Einzahlungen E ausgegangen werden. Für vorschüssige Einzahlungen ergibt sich, dass das unterjährig eingezahlte Kapital mit[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten](k = 1,2,…,m) verzinst wird. Für die m-te Einzahlung erhält man letztendlich [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Für die letztendliche Berechnung eines Kontostandes[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] muss berücksichtigt werden, dass zu den Zinserträgen noch die eigentlichen Einzahlungsbeträge hinzuaddiert werden müssen, und dass in jedem Folgejahr[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]das gesamte Kapital[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] voll mit p% verzinst wird.

[...]

^[1] Siehe Beispiel 1.1 im Anhang

^[2] Bosch, Finanzmathematik, S.19

^[3] Siehe Beispiel 1.2 im Anhang

^[4] Vgl.: Mehler-Bicher, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, S. 36

^[5] Vgl.: Mehler-Bicher, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, S. 34

^[6] Der Verlauf des Diagramms von Jahr 1 – 5 wurde ausgeblendet, um die unterschiedlichen Verläufe der Graphen gegen Ende der Laufzeit besser aufzeigen zu können

^[7] Vgl.: Mehler-Bicher, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, S. 183

^[8] Siehe Beispiel 1.3 im Anhang

^[9] Mehler-Bicher, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, S.184

^[10] Bosch, Finanzmathematik, S. 29

^[11] Siehe Beispiel 1.4 im Anhang

^[12] Siehe Beispiel 1.5 im Anhang