Kalkulation und Rechnungsgrundlagen in der Lebensversicherung. Erste Ausgabe: Stand 2002

Inhalt

0 Rechtfertigung

1 Etwas über das „Risiko“
1.1 Der Begriff des „Risikos“
1.2 Versicherbare Risiken in der Lebensversicherung
1.3 Deckung des Risikos und Produktgestaltung

2 Wer betreibt Versicherungsmathematik?
2.1 Vom Versicherungsmathematiker zum Aktuar
2.2 Der „Verantwortliche Aktuar“
2.3 Die Aufgaben des Versicherungsmathematikers

3 Rechnungsgrundlagen
3.1 Geschichtliche Entwicklung der mathematischen Grundlagen
3.2 Wahrscheinlichkeit und Zins Einführung
3.3 Einführungsbeispiele
3.4 Kosten
3.5 Die Ordnung von Rechnungsgrundlagen

4 Prämien und Deckungskapital
4.1 Das Äquivalenzprinzip
4.2 Barwerte
4.3 Prämienkalkulation mit Barwerten
4.4 Deckungskapital und Deckungsrückstellung
4.5 Wahrscheinlichkeit und Zins Fortführung
Exkurs: Über die BU/EU-Risiken

5 Gewinn und Überschuss
5.1 Garantiewerte
5.2 Gewinnentstehung
5.3 Gewinnverwendung

6 Besondere Themen
6.1 Preferred Lifes
6.2 Modellrechnungen (Leistungsdarstellung)
6.3 Über die "Rendite" eines Vertrages

7 Nachlese

Literaturverzeichnis

Index

Grundwerte Sterbetafel DAV 1994TM

Fragen und Lösungen

0 Rechtfertigung

„Schon wieder eines dieser unverständlichen Traktate über Versi­cherungsmathematik !“ werden Sie denken. Ganz so unrecht ist das sicher nicht, und zusätzlich wird das Thema meist als lästige Pflicht bei der Ausbildung angesehen, später in der Praxis sel­ten in der do­zierten Form benötigt und das praktische Rechnen durch den Compu­ter abgelöst. Wie oft ärgert man sich, daß dies und je­nes aus „aktuariellen Gründen“ nicht geht, müssen Tabellen so ak­zep­tiert werden, weil das „die Mathematik so vor­gegeben hat“, dau­ert das alles viel zu lange, weil noch etwas „nachgewiesen werden muß“ - und das, obwohl es „kein BAV mehr gibt“.

Es drängt sich der Verdacht auf, daß die Mathematiker in einem El­fenbeinturm leben und unverständliche Entscheidungen herbeifüh­ren, deren Richtigkeit sie akribisch und in ihrer eigenen Sprache be­weisen und begrün­den.

Aber halt - versuchen wir, der Sache Ge­rechtigkeit widerfahren zu lassen. Wie auch immer, der Händler auf dem Markt versucht, seine Eier mög­lichst gewinnbringend zu verkaufen - das ist in einer Markt­wirt­schaft eine Binsenweisheit. Genauso legitim ist es für eine Le­bensversicherung, ihre Produkte gewinnbringend und im Rah­men der gesetzlichen Möglichkeiten an die Frau oder den Mann zu bringen. Der Unterschied von Eiern zu Lebensversicherungen liegt unter an­derem darin, daß Lebensversicherung ein imaginä­res Pro­dukt ist, das erst im Leistungsfall konkret wird, und dessen Preis überdies noch mit statistischen Methoden und nicht aus Einkaufs­preislisten für Eier bestimmt werden muß. Zudem ist die Tatsache wohl bekannt, daß sich das Risiko (wir werden die­sen Begriff noch ausführlich behandeln) mit dem Abschluß einer Versicherung verän­dern kann - beim Eiereinkauf ändert sich der Appetit auf Eier eher selten.

Die damit zusammenhängenden Probleme versucht die Versiche­rungs­ma­thematik zu lösen. Welche Aufgaben die Mathematik in diesem Zu­sam­menhang hat -das soll hier dargestellt werden. Das juristische und betriebswirtschaftliche Umfeld möchten wir hierbei nicht ganz unerwähnt lassen. Dabei werden wir dem Leser viele lieb gewonnene Formeln und Definitionen - auf die die "klassischen" Versicherungsmathematiker soviel Wert legen - nicht ersparen können. Aber die Gründe wieso und weshalb gerade die Formel so und nicht anders istund teilweise auch diebetriebswirt­schaft­li­che n Hintergründe werdenausführlicher erläutert.

Sie werden solche Begriffe wie „Kommutationswert“, „Versicherungsbarwert“ und „Rentenbarwert“ kennenlernen - nicht ohne zu zeigen, daß es auch völlig ohne diese geht(!) Die Be­kanntschaft mit „diskontierten Lebenden“ und „diskontierten Toten“ müssen Sie - leider - machen. Au­ßerdem gehen wir auf das grund­le­gende „Äquivalenzprinzip“ und die "Überschüsse" ausführ­lich ein.

Wenn Sie einen Überblick über die Tarifkalkulation in der Le­bens­versicherung und deren Grundlagen erhalten und es Ihnen vielleicht nach der Lektüre möglich ist, Verständnis für so manche „aktuarielle“ Entscheidung zu haben, ist das Ziel dieses Trak­ta­tes er­reicht.

Viel Erfolg !

Bemerkung: Wir verwenden die Begriffe "Versicherungsmathematiker" und "Aktuar" synonym, wohl wissend, daß es Unterschiede gibt. Das ehemalige Bundesaufsichtsamt für das Versicherungswesen wird mit BAV bezeichnet - soweit der sachliche Hintergrund historisch ihm zugerechnet wird. Ansonsten wird es mit BAFin (Bundesaufsichtsamt für das Finanzwesen) bezeichnet.

1 Etwas über das Risiko

1.1 Der Begriff des „Risikos“

„Menschliches Handeln und Entscheiden ist in aller Regel ziel­ge­richtet, ist zweckorientiert, selbst wenn Ziele und Zwecke häufig nicht bewußt oder gar rational ausgewählt werden.“ - so die Aussa­ge von Helten in [14]. Diese offensichtlich sehr norma­tive Fest­stellung über den Menschen wird als „Finalität der Zielorientie­rung“ bezeichnet. Als Voraussetzung bei der Defini­tion des Risi­kos vereinfacht sie den Mathematikern so manches versicherungs­techni­sche Grundlagenproblem (es gibt zum Beispiel keine „Sponties“).

Aufgrund der vielen fehlgeschlagenen allgemeinen Definitions­ver­su­chen von „Risiko“ beschränkt sich der Mathematiker eher auf ei­ne zweckorientierte und subjektive Definition. In diesem Sinne wird jedes menschliche Handeln und Entscheiden in zwei Kategorien un­terteilt, die da sind:

(1) deterministische Vorgänge und Entscheidungen

alle möglichen Ausgänge des Vorgangs und Folgerungen aus der Entscheidung können anhand der Voraussetzungen definiert, abgegrenzt, wohlunterschieden und aufgezählt werden; die Frage, welcher Endzustand zutrifft oder was aus der Entscheidung folgt, kann genau, eindeutig und ohne Zweifel vorausgesagt werden;

(2) stochastische Vorgänge und Entscheidungen

im Unterschied zu (1) ist der Endzustand des Handelns bzw. die aus der Entscheidung folgenden Tatsachen nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit voraussagbar; oft sind die Zustände nicht genau abzugrenzen.

Die meisten Vorgänge, Handlungen und Endscheidungen in unserem Le­ben sind eine Mischung aus deterministisch und stochastisch (und das macht das Leben erst interessant).

Beispiele

Rechne 1+1 in unserem Zahlensystem. Das deterministische Ergebnis ist 2. Dieses Ergebnis ist immer wieder erzeugbar, egal ob mit Computer, auf dem Papier mit dem Bleistift oder im Kopf, ob in Deutschland, Frankreich oder in China.

Werfen Sie einen Würfel. Welche Zahl liegt oben ? Die möglichen Ergebnisse des stochastischen Vorgangs sind 1...6.

Ein weniger triviales Beispiel für einen stochastischen Vorgang ist die Fahrt mit dem Auto von Mannheim nach Heidelberg. Ob Sie das Ziel erreichen, hängt von Ihren Fahrkünsten, dem Wetter, den anderen Fahrern und u. a. den Wegverhältnissen ab.

Gerade das letzte Beispiel verdeutlicht, woher stochastische Vor­gänge eigentlich kommen - aus einem Informationsdefizit, ei­ner ge­wissen Ungewißheit, Unbestimmtheit der äußeren Umstände und ei­ner Unsicherheit über die Menge der möglichen Einflußfak­toren.

Kurze Anmerkung aus der Sicht des Aktuars:

Ein versicherungsmathematisches Beispiel für einen deterministischen Vorgang ist bei einer Terme-Fix-Versicherung der feste Auszahlungszeitpunkt. Aber auch die Tatsache, daß ein Versicherungsnehmer die vereinbarte Prämie zu Beginn eines Jahres zahlen muß ist ein deterministischer Vorgang - ansonsten kommt "Versicherung" gar nicht zustande. Ein stochastischer Vorgang ist demgegenüber zum Beispiel die Leistung aufgrund von Tod bei einer Risikoversicherung.

Als „Risiko“ wollen wir im Sinne der oben zitierten Finalität des menschlichen Handelns eine mögliche negative Abweichung vom Ziel eines Menschen bezeichnen. Unmittelbar einsichtig ist da­mit, daß es bei deterministischen Vorgängen kein Risiko gibt, daß das Risi­ko erst mit einem Informationsdefizit entsteht und mit steigendem Informationsdefizit immer größer wird.

1.2 Versicherbare Risiken in der Lebensversicherung

Um ein Risiko zu beschreiben, haben sich in der Versicherungsbran­che die folgenden vier Dimensionen herauskristallisiert:

(1) Gefahr

damit ist in der Lebensversicherung z. B. der Tod, die

Heirat, die Berufsunfähigkeit gemeint;

(2) Objekt

damit ist in der Lebensversicherung immer eine Person

gemeint die versichert werden soll (bei KFZ z. B. ein

Auto);

(3) Schaden

damit ist der tatsächlich eingetretene Schadenfall gemeint

- bei der KFZ-Versicherung etwa die Reparaturkosten nach

einem Unfall, bei der Lebensversicherung ist das etwas

schwer zu bestimmen;

(4) Entschädigung

die Leistung, die ein Versicherungsunternehmen im

Schadenfall erbringt, bei der Lebensversicherung im

Todesfall etwa die Todesfallsumme.

Der Versicherungsmathematiker betrachtet nun "Versicherung" als einen Tausch des durch die Parameter beschriebenen (stochastischen) Risikos gegen die (deterministische) Prämie. Damit ist der Versicherungsnehmer zumindest von den finanziellen Folgen des Risikos entbunden. Er hat das Risiko an das Versicherungsunternehmen weitergegeben. Vordergründig ist damit zunächst nichts gewonnen. Das Versicherungsunternehmen allerdings hat - im Gegensatz zum einzelnen Versicherungsnehmer - die Möglichkeit und das Ziel viele gleichartige Risikenan sich zu binden und zu einem sogenannten Kollektivzusammenzufassen. "Gleichartig" wird hierbei an den 4 Dimensionen des Risikos gemessen (wir werden diesen Begriff noch genauer betrachten ...). Von jedem Kollektivmitglied wird eine Preis für sein Risiko verlangt (Risikoprämie), um im Schadenfall eine Leistung zahlen zu können. Wir spechen dann von einem homogenen Kollektiv.

Da­mit eine solche Kollektivbildung sinnvoll ist - ein Risiko ist dann versicherbar- ist es u. a. notwendig, daß ein Preis für jedes am Kollektiv beteiligte Risiko kalkuliert wer­den kann (d. h. die Schadeneintrittswahrscheinlichkeit muß be­kannt sein), und durch die Versicherungsnahme darf sich die tat­sächliche Schadenein­tritts­wahrscheinlichkeit (ohne entsprechen­den Aufpreis) nicht än­dern (moralisches Risiko). Um es nochmals klar zu sagen, „homogen“ heißt, daß zwei Risiken in einem Kollektiv entweder gleich sind (gemessen an den Punkten (1) - (4)), oder für die Unterschiede muß ein entsprechender Preis ver­langt werden (wenn sie in dem Kollektiv zusammengefaßt werden sollen).

Unter diesen Voraussetzungen benutzt das Versicherungsunternehmen das "Gesetz der Großen Zahl", um die Anzahl und die Höhe der voraussichtlichen Schäden zu schätzen. Damit kann es zwar das finanzielle Risiko des Einzelnen nicht verhindern, aber durch geeignete Zu- und Abschläge auf die Prämie sein eigenes Ruinrisiko minimieren. Durch diesen Vorgang erhält der Versicherungsnehmer den sogenannten "Risikoschutz".

Wichtig ist es also, die vier Risikodimensionen für den "Risikoschutz" zu kennen. Betrachten wir die vier Dimensionen aus Lebensversicherungs­sicht, so ist (2) und (1) relativ leicht festzulegen (selbst dann, wenn bei (1) sich i. a. viele Geister vor Gericht streiten). Bei (3) und (4) liegt eine etwas schwierigere Situation vor, da in der Le­bensversiche­rung der gesamte Schaden nicht in Geld gemessen wer­den kann (z. B. Imageverlust bei Berufunfähigkeitsversiche­rung) und damit die Entschädigungssumme nicht exakt definierbar ist. Grund­sätzlich gilt - wie in allen anderen Versicherungs­sparten auch, daß die Lebensversicherung nicht den Schaden an sich über­nimmt, sondern nur die finanziellen Auswirkungen des­selben zu mindern versucht. Dies führt auf die Begriffe des „subjektiven“ und des „objektiven“ Risikos. In der Lebensversi­cherung versucht man, durch das subjek­tive Risikozu beschreiben, wie groß der Ein­fluß der versicherten Person auf den Eintritt des Versiche­rungs­falls ist (z. B. je höher eine eingeschlossene Berufsunfä­hig­keits­rente ist, desto größer ist die Wahrschein­lichkeit für die Be­rufsunfä­higkeit). Objektives Ri­siko ist der Komplex der Scha­den­ursachen, der nicht beeinflußbar ist, also etwa Alter, Ge­schlecht, Körper­größe und u. E. Familien­stand.

Eng damit verknüpft ist das „moralische“ Risiko, durch das zum Ausdruck kommen soll, wie die Tatsache des Vertragsabschluß sich auf das versicherte Risiko selbst auswirkt. Lebt die versi­cherte Person leichtfertiger, wenn sie eine Lebensversicherung abge­schlossen hat? Wir werden auf den Begriff nochmals zurückkommen.

1.3 Deckung des Risikos und Produktgestaltung

In der Lebensversicherungsbranche hat sich bis heute die Dec­kung einiger weniger ausgewählter Risiken herauskristallisiert. Bei­spiel sind:

- Todesfallrisiko
- Erlebensfallrisiko
- Heiratsfallrisiko
- Unfalltodrisiko
- Berufsunfähigkeitsrisiko
- Erwerbsunfähigkeitsrisiko

usw.

Dem stehen eine mehr oder minder große Anzahl von Produkten ge­gen­über, die ein oder mehrere Risiken decken und so in entspre­chendem Rahmen sich dem tatsächlichen Versicherungsbedarf an­pas­sen lassen (Produktgestaltung). Wir beschränken unsere Auf­zählung auf die landläufigen Produkte (bzw. Tarife / Risiken).

Versicherungen ausschließlich auf den Todesfall

- reine Risikoversicherung

Im Falle des Todes innerhalb des Versicherungszeitraumes wird eine bestimmte Summe gezahlt;

- Sterbegeldversicherung

Eine Summe wird bei Tod gezahlt, wobei die Versicherungsdauer le­benslang ist.

Versicherungen auf den Todes- und Erlebensfall

- kapitalbildende Lebensversicherung

Das Lebensversicherungsunternehmen zahlt eine bestimmte Summe bei Tod und eine bestimmte Summe zu festgelegten Terminen, i. a. wenn der Ablauf erreicht wird.

Mögliche Varianten sind:

(1) Versicherung auf den Todes- und Erlebensfall 1 Leben
(2) Versicherung auf den Todes- und Erlebensfall 2 Leben
(3) Versicherung mit festem Auszahlungszeitpunkt (Term-Fix)
(4) Aussteuerversicherung - Zahlung im Heiratsfall und bei Er-

leben des Ablaufs / Beitragsfreistellung bei Tod des

Versorgers und Beitragsrückgewähr bei Tod des Kindes

(5) Versicherung auf den Todesfall mit mehreren Erlebensfallei-

stungen

Versicherungen auf den Unfalltod

Zahlung einer Summe bei Tod durch einen Unfall

Berufsunfähigkeitsversicherung

- als Hauptversicherung

Zahlung einer Rente im Berufsunfähigkeitsfall bis zu einem ver­ein­barten Alter oder bis zur Reaktivierung. Die Versicherung ist rechtlich selbständig.

- als Zusatzversicherung

Entweder als eigenständige Rente wie als Hauptversicherung, aber an eine zusätzliche Versicherung gekoppelt oder als Bei­tragsbe­freiung im Berufsunfähigkeitsfall für eine andere Versi­cherung.

Rentenversicherung

Zahlung einer Rente ab einem bestimmten Zeitpunkt bis zum Tod oder einem vereinbarten Termin (ggf. mit einer Ansparphase, Beitrags­rückgewähr im Todesfall, Rentengarantiezeit etc.). Hier wird das Risiko versichert, länger zu leben, als feste Erspar­nisse eine Rentenzahlung sichern könnten.

Auch als Zusatzversicherung zu einer anderen Versicherung, bei der die Zahlung einer Rente für eine zweite versicherte Person verein­bart wird, wenn die versicherte Person stirbt. Die Zah­lung der Hinterbliebenenrente kann sofort bei Tod der ersten versicherten Person beginnen oder erst ab einem vereinbarten Zeit­punkt erfol­gen.

Pflegerentenversicherung

Zahlung einer Rente im Pflegefall und ab einem gewissen er­reich­ten Alter.

Dread Disease

Zahlung einer vereinbarten Summe, wenn genau definierte Krank­heitsfälle (Herzinfarkt, Bypassoperation, Krebs etc.) eintreten.

In neuerer Zeit kommen auch die sogenannten Fondsprodukte (Kapital- / Rentenversicherung) oder die Riester-Rente verstärkt an den Markt.

Die Liste erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Letztlich ist die Produktgestaltung eine unternehmenspolitische Frage und ist deshalb auch im Zusammenhang mit den Möglichkeiten der EDV und des Marketings zu sehen. Vor allem bei der Kombination der ein­zel­nen Produktteile und bei den Kapitalanlagemöglichkeiten der Bei­träge sind mannigfaltige Variationen noch denkbar und längst nicht alle Bedürfnisse abgedeckt.

2 Wer betreibt Versicherungsmathematik ?

2.1 Vom Versicherungsmathematikerzum Aktuar

Um unfruchtbaren Grundsatzdiskussionen zu entgehen, wollen wir an dieser Stelle die Deutsche Aktuarvereinigung (DAV) sprechen las­sen. Der vorliegende Abschnitt ist im wesentlichen eine Zu­sammen­fassung des Artikels „Das Berufsbild des Aktuars“ von M. Helbig in [4].

Der Aktuar (frühere Bezeichnung für Gerichtsschreiber) wird im deutschen Sprachgebiet als „Versicherungsmathematiker“ bezeich­net. Deshalb werden die beiden Begriffe oft synonym verwendet, ob­wohl sie nicht ganz deckungsgleich sind. Am ehe­sten können wir einen Unterschied darin sehen, daß der Ver­siche­rungsmathematiker sich fast ausschließlich mit den mathe­matischen Teilen der Versi­cherung beschäftigt, während der Ak­tuar auch die Anwendung und die Verbin­dung zu den „vielen wirt­schaftlichen, steuerlichen und gesetzli­chen Vorschriften und Methoden“ kennen und anwenden muß. Sein Auf­gabenbereich geht also über die reine Technik weit hinaus.

Vom Aktuar wird erwartet, daß er Vor­gaben selbständig weiterver­ar­beitet und einer Lösung zuführt. Im Rahmen seines Aufgabengebie­tes hat er die Bewertung und Preisermittlung vorzunehmen sowie Progno­sen zu wirtschaftli­chen und demographi­schen Daten zu er­stellen. Im Sinne dieser Ausarbei­tung stellt der Aktuar also den Anwender der mathematischen Ergeb­nisse früherer Mathematikergene­rationen dar, und gleichzeitig ver­bindet er diese mit betriebs­wirtschaft­lichen Überlegungen und ge­setzlichen Vor­schriften zur Planung und Steuerung der Tarifent­wicklung im Le­bensversicherungs­unter­nehmen.

Der „Aktuar (DAV)“ ist ein Mitglied der Deutschen Aktuarverei­ni­gung, der Standesvereinigung der Aktuare mit Sitz in Bonn (ungef. 1 705 Mitglieder / Ende 2001). Aktuar (DAV) ist ein Titel und keine Berufsbezeichnung.

2.2 Der „Verantwortliche Aktuar“

Im Gegensatz zu den Bezeichnungen in Abschnitt 2.1 ist der „Verwortliche Aktuar“ (VA) ein gesetzlich festgelegter Begriff, formu­liert für Lebensversicherungsunter­nehmen in § 11 a VAG. Er muß zu­verlässig und fachlich geeignet sein. Er wird durch das Un­ter­neh­men bestellt und vor seiner Bestellung der Auf­sichts­behör­de be­nannt. „Fachlich geeignet“ heißt in diesem Zusam­menhang eine ma­thematische Ausbildung an einer Universi­tät, tech­nischen Hoch­schule oder technischen Fachhochschule, ausreichendes aktuari­el­les Grundwissen (z. B. nachgewiesen durch das Aufnahmever­fahren in die DAV), eine lückenlose einschlägige Praxis als Aktuar, wäh­rend der letzten drei Jahre und die Er­bringung des Nachweises, daß die bis­herige Tätigkeit die we­sentlichen aktuariellen Funk­tionen im ver­gleichbaren Umfang ab­gedeckt hat.

Neben den Standesregeln für die Mitglieder in der DAV sollte der VA die Grundsätze der „Group Consultativ“ befolgen (näheres hierzu in [5]).

Der VA hat

(1) sicherzustellen, daß bei der Berechnung der Prämien und der Deckungsrückstellungen die gesetzlichen Vorschriften und die dazu erlassenen Rechtsverordnungen eingehalten werden (wir wer­den auf diese noch genauer zurückkommen; vgl auch [30] und [31]),
(2) die Finanzlage des Unternehmens zu prüfen, ob die dauernde Er­füllbarkeit der sich aus den Versicherungen ergebenden Ver­pflich­tungen jederzeit gewährleistet ist,
(3) unter der Bilanz zu bestätigen, daß die Deckungsrückstel­lung gemäß den gesetzlichen Grundlagen und der dazu erlassenen Rechts­verordnungen gebildet ist,
(4) dem Vorstand Vorschläge für eine angemessene Überschußbe­tei­li­gung zu machen.

Der VA kann ein Vorstandsmitglied sein oder auch eine externe Per­son. Er muß eine natürliche Person sein. Einen Stellvertreter gibt es nicht. Das BAFin wünscht, daß der Bestellung des VA's der Auf­sichtsrat zustimmt.

Für ein tieferes Studium des VA's verweisen wir auf [5].

2.3 Die Aufgaben des Versicherungsmathematikers

Entsprechend dem in Abschnitt 2.1 gesagten können wir die Aufgaben des Versicherungsmathematikers wie folgt zusammenfassen:

- mathematische Beschreibung des Risikos (Formelwerk);
- Ableitung der statistischen Grundlagen;
- Tarifierung und Prämienkalkulation (d.h. welches Risiko wird wie gedeckt und zu welcher Prämie);
- alles was mit "Überschüssen" zu tun hat;
- Bilanzierung, externe / interne Statistik und Beitragszerlegung;
- Rückstellungsberechnung;
- Risikosteuerung und Kapitalanlagen;
- Absprachen mit der EDV;
- Rückversicherung;
- Beratung für Fachabteilungen, Marketing, Rechtsabteilung (AVB!!) usw...

Die Aufzählung erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit.

Vor der Deregulierung waren die Aufgaben etwas leichter. Es gab die Vorabtarifgenehmigung durch das BAV (jetzt BAFin). Die Tarifgestaltung beschränkte sich auf die Gestaltung der Überschußbeteiligung. Auch für diese war weitgehend vom BAV der Rahmen vorgegeben. Niederge­legt war der Willen des BAV in soge­nannten Mustergeschäftsplänen. Be­vor ein neuer Tarif eingeführt werden konnte, mußte vom Versi­che­rungs­unternehmen ein Geschäfts­plan konstruiert und zur Geneh­mi­gung dem BAV vorgelegt werden. Ab­wei­chungen zum Musterge­schäft­plan waren zu begründen. Eine Inno­va­tion, wie wir sie etwa aus der Automobil­branche kennen, konnte damit nicht stattfinden. Ins­be­sondere waren die einzurechnenden Kosten weitgehend vom BAV vor­gegeben und das Ver­sicherungsunternehmen von dahingehenden Überle­gungen entbunden. Die Regulierung ging soweit, daß alle Un­terneh­men mit den glei­chen Tafeln und Zinssätzen für verkaufsof­fene Ta­rife kalkulier­ten. Im ein­zelnen enthielt ein Geschäfts­plan die Angaben:

- Einführungszeitpunkt und welche Tarife ersetzt wurden
- Tarifformen und versicherte Leistungen
- Beitragszahlungsmöglichkeiten
- Zulässigkeit von Eintrittsaltern
- Zulässigkeit von Versicherungsdauern, Beitragszahlungsdauern,

Versicherungssummen und Beiträgen

- wann eine Gesundheitsprüfung zu erfolgen hatte
- Zulässigkeit von Zusatzversicherungen
- Versicherungsbedingungen
- welche Gebühren erhoben wurden
- Anpassung von Beiträgen und Versicherungsleistungen
- Ausscheideordnungen
- Rechnungszins
- Kostenzuschläge
- Behandlung von Mehrfachversicherungen
- Ratenzuschläge
- Formeln für Tarifbeiträge, Erhöhungssummen, Zuzahlungen,

Deckungskapital, Rückvergütungen, beitragsfreien

Versicherungssummen, Bilanzdeckungsrückstellung

- wie die Versicherungsnehmer unterrichtet wurden
- wie die Verträge am Überschuß beteiligt sind
- Besonderheiten

In der Anlage (möglich bzw. teilweise zwingend):

- sämtliche sonstige Formeln und Tabellen
- Beispiel zu jeder möglichen Rechnung und jeder Formel
- sämtliche Allgemeinen Versicherungsbedingungen,

Muster des Antrags, der Police, eines Policennachtrages

- besondere Nachweise und Beweise (mathematisch)

Für Verträge, die bis zur Deregulierung abgeschlossen wurden, gel­ten die Geschäftspläne und auch die gesamte Versicherungsaufsicht in vollem Umfang weiter (§ 11 c VAG). Diese werden als „Altbestand“ bezeichnet und sind in Artikel 16 § 2 3. Abs. Durchfüh­rungsgesetz EWG als „die bis zum 31. Dezember 1994 unter Verwen­dung vor dem 29. Ju­li 1994 genehmigter allge­meinen Versicherungs­bedingungen abge­schlossene Lebensversiche­rungsverträge“ defi­niert. Auf diese sind die zugehörigen geneh­migten Geschäftspläne anzuwen­den.

Für die nach der Deregulierung abgeschlossenen Versicherungen (Neubestand) muß sich der Versicherungsmathematiker selbst auf die Suche nach den geeigneten Formeln und Rechnungsgrundlagen begeben.

3 Rechnungsgrundlagen

3.1 Die Entwicklung der mathematischen Grundlagen

Mit gutem Gewissen kann gesagt werden, daß es Versicherungsma­the­matik vor dem 15. Jahrhundert nicht gab. Die mathematischen Wis­senschaften existierten zwar schon, aber sie waren nicht soweit ent­wickelt, daß sie im Bereich „Versicherung“ angewendet werden konn­ten. Die wissenschaftliche Forschung war ohnehin in Europa zwischen der Zeit des römischen Reiches und dem ausge­henden Mit­telalter auf die Klöster konzentriert - die im Großen und Ganzen lediglich die Ergebnisse der alten Griechen konser­vierten, so gut sie konnten.

Erst im 15. Jahrhundert (mit der Aufklä­rung) nahm die Mathematik einen großen Aufschwung und mit ihr die Teile der Mathematik, die direkt mit Versicherung verbunden sind. Ausgehend von konkreten Problemen mit Spielen entwickelte sich der Wahrscheinlichkeitsbe­griff. Das öfters in mathemati­schen Werken zitierte Problem des Chevalier de Méré bezüglich eines Glücksspiels mit Würfeln und der daraus folgende Briefwechsel zwischen Pascal (1623-1662) und Fer­mat (1601-1665) gilt als die Geburtsstunde der Wahrscheinlich­keitsrech­nung wie wir sie heute kennen. Der Begriff der „Wahrscheinlichkeit“ wurde aber von Jakob Bernoulli (1645-1705) formu­liert und erst im 19. Jahrhundert in seiner endgül­tigen Form de­fi­niert. Die hier verwendete Wahrscheinlichkeits­definition stammt von Laplace (1749-1827). Die viel gebrauchte Sterbetafel wurde erstmalig von Hayley (1656-1742) in einer brauchbaren Form er­zeugt. Er gewann sie durch Aus­wer­tung von Geburten- und Ster­be­re­gistern der Stadt Breslau, die von dem Pastor C. Neumann in den Jahren 1687-1691 ausgewertet wur­den.

Systematische Zinseszinsrechnung wurde erstmalig von Stevin (1548-1620) durchgeführt. Er veröffentlichte die ersten Zin­seszins­ta­bel­len und gab die dazu notwendigen Berechnungsfor­meln an.

In Deutschland bemühten sich besonders Süßmilch (1707-1767 / erste systematische Sterblichkeitsstatistik) und Gauß (1777-1855 / erste „Barwerte“ und die „Normalverteilung“) um die Weiterentwicklung einer Lebensversicherungsmathematik.

Die ersten in Deutschland im 18. und 19. Jahrhundert gegründeten Lebensversicherungsunterneh­men hatten längeren Bestand als vergleichbare Unternehmen in England, da das Konzessionswesen sehr stark verbreitet war und die Unternehmen über eine große Kapi­taldecke verfügen mußten. Aufgrund der Um­stellung des Außen­dienstes von ne­benberuflichen Vermittlern auf hauptberufliche Vermittler er­folgte ein Wechsel von laufender Provision zur einmaligen Provisi­onszah­lung Mitte des 19. Jahrhunderts - und ein starker Aufschwung der Branche. Die sich dar­aus ergebenden finan­ziellen Probleme bei stark wach­senden Be­ständen wurden von Zill­mer (das sog. Zillmerverfahren von 1863) aufge­griffen und zumin­dest bi­lanz­technisch gelöst. Nach seinem Vor­schlag werden die Abschluß­kosten der Deckungs­rückstellung des Kollektivs entnommen und wäh­rend der Laufzeit durch die Bei­tragszahlung getilgt. Die letzten hundert Jahre bis zur Deregulierung waren geprägt durch das Bundesaufsichtsamt für das Versicherungswesen (BAV) und seine Vorläufer (seit 1901). Diese legte die Rechnungsgrundlagen und Formeln verbindlich für die gesamte Branche fest.

Seit der Deregulierung muss sich der Aktuar selbst auf den steinigen Weg machen, die Kalkulationsgrundlagen für seine Tarife zu finden. Die Formelzusammenstellung ist noch der einfachste Teil der ganzen Datensuche, denn hier­über haben sich viele Mathematiker schon Ge­danken gemacht. Die ge­setzlichen Grundlagen hierfür sind im we­sentlichen im HGB [7], dem VAG [3], dem VVG [3] und den dazu er­lassenen Rechtsverordnungen [8], [30] gegeben.

Die beiden zentralen Begriffe der gesetzlichen Grundlagen sind die Prämieund die Deckungsrückstellung. In § 11 VAG ist die Berech­nung der Prämie geregelt. Insbesondere wird festgestellt, daß bei der Berechnung der voraussichtlichen Leistungen angemessene Si­cherheitszuschläge verwendet werden müssen, die Verwaltungskosten ausreichend zu berücksichtigen sind und daß beim Zins nicht belie­big hoch gegangen werden kann. Vor allem wird geregelt, daß alle Leistungen auf Dauer aus Prämienzahlungen bestritten werden müs­sen. In Absatz 2 ist der sogenannte „Gleich­behandlungsgrundsatz“ bei gleichen Voraussetzungen festgeschrieben. Er besagt im wesent­lichen, daß innerhalb eines homogenen Kollektivs Prämien und Lei­stungen (incl. Überschußbetei­ligung) nicht so berechnet werden dürfen, daß Teile bevorzugt oder benachteiligt werden. „Quersubventionen“ sind also verboten. Unter „gleichen Vorausset­zungen“ versteht man in diesem Zusammenhang:

1. gleiches Risiko, d. h. Todesfallrisiko, Erlebensfallrisiko, Invalidisierungsrisiko;
2. gleiche objektive Unterscheidungsmerkmale, d. h. etwa Alter, Ge­schlecht, Raucher / Nichtraucher usw.;
3. objektive Kollektivzugehörigkeit, d. h. Einzelversicherung oder Kollektivversicherung mit/ohne eigene Vertragsabrechnung;
4. gleiche Methode der Risikoeinschätzung, d. h. etwa gleiche Risiko­prüfung / Gesundheitsfragen;
5. gleiche Form der Kapitalanlage;
6. Zeitpunkt des Vertragsbeginns, d. h. bis zu einem bestimmten Termin wird die Versicherungsform verkauft.

Dem Aktuar obliegt es klarzustellen, wann gleiche Voraussetzungen bei einem Kollektiv vorliegen.

In § 11 VAG taucht auch schon der Begriff „Deckungsrückstellung“ auf. „Spare in der Zeit, so hast du in der Not“ lautet das Sprich­wort. Genau diesem wird in § 341f des HGB Rechnung getragen und in § 11 VAG zurückgegriffen. Was hat es damit auf sich? Der Eierver­käufer ganz zu Beginn dieser Ausarbeitung weiß, daß er nicht alle Eier verkaufen kann. Eine gewisse Anzahl geht kaputt, ist qualita­tiv zu schlecht oder sei es auch nur, daß die Verkaufszahlen von Tag zu Tag schwanken. Es ist deshalb durchaus legitim, einen Zu­schlag auf den Verkaufspreis zu erheben, der zurückgelegt wird und aus dem sowohl Einnahmeschwankungen ausgeglichen werden als auch Leistungen an Lieferanten und Kunden zu erbringen sind - soweit sie nicht aus dem Verkaufspreis gedeckt werden können. Genau das tut ein Lebensversicherungsunternehmen auch in Form der Deckungs­rückstellung - nur in einem relativ großen Umfang, da das Hauptge­schäft auf Leistungszusagen für die Zukunft beruht. In § 341f HGB ist nur die Verpflichtung zur Stel­lung einer Deckungsrückstellung festgelegt. In § 11 VAG wird ange­ordnet, daß die dazu notwendigen Mittel aus Prämienzahlungen stam­men müssen.

Zunächst ist die Berechnung der Deckungsrückstellung völlig unab­hängig von der Prämienberechnung (ein in der Lebensversicherung gewöhnungsbedürftiger Umstand). Der Höchstzinssatz zur Berechnung wird in § 65 VAG (mit Verordnung) festgelegt. Hier befinden sich auch weitere Fest­legungen, auf die wir in den folgenden Abschnitten zu sprechen kommen.

Übrigens: Der Begriff "Deckungsrückstellung" ist in § 341f HGB definiert und macht nur zu einem bestimmten Bilanzzeitpunkt für einen Bestand (oder auch Teilbestand) Sinn. Das "Deckungskapital" ist grundsätzlich einzelvertraglich, zu einem beliebigen Zeitpunkt innerhalb der Versicherungsdauer und bestimmt mit den Formeln und Grundwerten die für den Aktuar zu diesem Zeitpunkt zwingend sind. Die beiden Begriffe haben also einen ganz verschiedenen Hintergrund, obwohl es - zufällig - sein kann, daß das einzelvertragliche Deckungskapital per 31.12. gleich der Deckungsrückstellung für einen Bestand ist, der gerade aus diesem einen Vertag besteht (vgl. hierzu [15]).

Die berechnete notwendige Deckungsrückstellung zur Deckung der zu­künftigen Leistungsverpflichtungen muß natürlich mit einem ent­sprechenden Gegenwert bedeckt werden. Diese Kapitalmenge nennt man den Deckungsstock. Welche Kapitalanlageformen dazu verwendet wer­den dürfen und wie dabei zu verfahren ist, regelt § 66 VAG.

[...]