Einführung Addition Subtraktion

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung: Voraussetzungen für das mathematische Lernen

2 Hauptteil: Einführung der Addition und Subtraktion
2.1 Mathematisch-didaktische Prinzipien
2.1.1 Das operative Prinzip
2.1.2 Das Aufbauprinzip
2.1.3 Das dynamische Prinzip
2.1.4 Das Prinzip der Darstellungsformen
2.2 Rechnen
2.2.1 Begriffsklärungen
2.2.2 Mündliches Rechnen
2.2.2.1 Rechnen mit Primitivformen
2.2.2.2 Mechanisches Rechnen
2.2.2.3 Rechnen durch Zurückführen auf andere Aufgaben
2.2.3 Schriftliches Rechnen
2.3 Einführung der verschiedenen Aufgabentypen

3 Schluss: Ein Blick in die Praxis

4 Literaturverzeichnis

5 Anhang

1 Einleitung: Voraussetzungen für das mathematische Lernen

Für einen gelungenen, erfolgreichen Mathematikunterricht müssen drei Komponenten beachtet werden, die grundlegend wichtig sind. Diese drei sind die Fachwissenschaft Mathematik, gesellschaftlich-pädagogische Bedingungen und die persönlichen Lernvoraussetzungen der Schüler^[1]. Dabei ist darauf zu achten, dass immer alle drei Dimensionen berücksichtigt werden und ein Gleichgewicht zwischen ihnen herrscht. Überbetonung bzw. Vernachlässigung können Lernprozesse erschweren (vgl. Lauter 1991, S. 13).

In diesem Grundsatz wird bereits der Stellenwert psychologischer Untersuchungen und Erkenntnisse für mathematische Lernprozesse deutlich. Lernen ist immer von vielfältigen, inneren wie äußeren, Faktoren bestimmt. Je mehr der Lehrer, und auch der Schüler, darüber weiß, umso besser können Lernprozesse angeregt und arrangiert werden.

Mit der kognitiven Entwicklung des Kindes hat sich der Schweizer Kognitionspsychologe Jean Piaget stark beschäftigt. Er entwickelte zusammen mit seinen Mitarbeitern die sog. Stufentheorie. Sie besagt, dass die psychologische Entwicklung des Kindes in Stufen verläuft. Jede Stufe ist an typischen Merkmalen der inneren Organisation zu erkennen. Außerdem nahm Piaget an, dass alle Kinder diese Stadien in gleicher Reihenfolge durchlaufen. Der Übergang von einer Stufe zur nächsten sei durch eine Umorganisation der vorhandenen und durch Hinzufügen neuer Schemata gekennzeichnet (vgl. ebd., S. 15).

Seine berühmten Experimente führte Piaget in den 1950er und 60er Jahren durch, aus deren Ergebnissen er Stadien der kindlichen Entwicklung ableitete (vgl. Devlin 2002, S. 45).

So untersuchte er z.B. vierjährige Kinder im Hinblick auf die Entwicklung ihres Zahlensinns. Dazu baute er vor dem Kind zwei Reihen auf, eine Reihe mit Flaschen und eine mit Gläsern. Dabei lag eine eins-zu-eins-Zuordung vor, d.h. die Anordnung war so gewählt, dass jeder Flasche ein Glas zugeordnet war, die Anzahl der Elemente also identisch war. Dann wurden die Kinder gefragt, ob die beiden Reihen gleich viel seien. Die Kinder bestätigten dies. Im Anschluss daran, zog Piaget die Gegenstände der einen Reihe vor den Augen der Kinder auseinander und stellte die Frage erneut. Nun antworteten die Kinder, in der längeren Reihe seien mehr Gegenstände. Aus diesen und ähnlichen Beobachtungen schloss Piaget, dass bei vier- bis fünfjährigen Kindern noch kein Zahlensinn vorläge. In ihren Vorstellungen gäbe es noch keine Invarianz der Zahl, die Kinder seien noch nicht in der Lage eine Menge unabhängig von der Anordnung ihrer Elemente zu begreifen (vgl. Piaget/Szeminska 1969, S. 63/64).

Piagets Erkenntnisse fanden großen Anklang und galten als wissenschaftliche Durchbrüche. Seine Einflüsse prägten stark die Vorstellungen darüber wie Kinder lernen und bestimmten wichtige didaktische Prinzipien für den Unterricht (besonders für die Primarstufe) (vgl. Devlin 2002, S. 13). So wird seit Piaget der Handlungsaspekt im Mathematikunterricht besonders betont, weil man davon ausgeht, dass man aus konkreten Handlungen leichter Operationen ableiten kann (s. das operative Prinizip, S. 5).

Heute ist die Interpretation dieser Ergebnisse umstritten. Die Folgerung Piagets scheint auf den ersten Blick einsichtig, allerdings können die Ergebnisse auch durch andere Faktoren als den fehlenden Zahlensinn begründet sein. Eine Erklärung wäre, dass vier- bis fünfjährige Kinder sich darüber bewusst sind, dass Erwachsene mehr wissen als sie selbst, sie erkennen Erwachsene als Autoritäten an. Stellt der Testleiter dem Kind nun die gleiche Frage mehrmals, schließt das Kind daraus, dass seine erste Antwort, nämlich dass beide Reihen gleich viele Elemente enthalten, falsch sein muss. Wäre sie richtig gewesen, würde die Frage nicht erneut gestellt werden. Daher gibt das Kind nun eine andere, falsche Antwort (vgl. Devlin 2002, S. 47/48).

So könnte man aus Piagets Experimenten den Schluss ziehen, dass Kinder dieses Alters sich Gedanken über Motive und Erwartungen Erwachsener machen. Es ist aber nicht möglich, damit sicher auf einen fehlenden Zahlensinn zu schließen.

2 Hauptteil: Einführung der Addition und Subtraktion

Zum Einstieg möchte ich auf eine grundlegende Fragestellung hinweisen, die sich bei jeder Einführung in eine neue Rechenart ergibt. Die Lehrperson muss sich entscheiden, ob er zur Einführung ein Normalverfahren verwendet oder den Schülern die Freiheit gibt, eigene Lösungswege zu entdecken.

Diese notwendige Entscheidung war schon immer ein Streitpunkt wie sich in einem historischen Rückblick feststellen lässt. Die beiden Positionen lassen sich gut anhand der folgenden Zitate gegenüber stellen.

Für das Normalverfahren plädierte Büttner 1910 mit folgenden Worten:

„Es gibt bei jeder Rechnungsart ein Verfahren, das immer zum Ziel führt, ganz unabhängig von der zufälligen Beschaffenheit der Zahlen. Wir nennen es das Normalverfahren. Auch wo dem Lehrer verschiedene Wege gangbar erscheinen, muss er sich für einen derselben entscheiden. Es wäre verkehrt bei der ersten Einführung in eine neue Rechenart gleich die ersten Aufgaben auf möglichst verschiedene Weise lösen zu lassen. (…) Wenn die Schüler zur Sicherheit im Normalverfahren gelangt sind, dann können wir sie auf einer späteren Stufe auch auf andere Wege verweisen“ (zit. nach Lauter 1991)

Büttner ist also der Auffassung, der richtige Weg sei es, dem Schülern ein Verfahren zu vermitteln, das sicher zum Erfolg führt. Wenn der Schüler dieses Normalverfahren beherrscht, kann der Lehrer ihn auf andere Lösungswege als Alternativen hinweisen. Damit will Büttner sicherstellen, dass jeder Schüler das Handwerkszeug besitzt, eine Aufgabe richtig zu lösen.

Demgegenüber steht die Möglichkeit der eigenen Lösungswege, die 1919 von Kühnel vertreten wurde. „Wir wollen kein Normalverfahren den Kindern aufnötigen. Nicht darauf kommt es an, dass das Kind einen bestimmten Weg gehen lernt (…), sondern dass es seinen Weg allein zu suchen und zu finden weiß. (…) Selbstverständlich ist damit nicht gesagt, dass man die Kinder sich gewöhnen lassen soll an Umwege, im Gegenteil, sie werden nur so lange Umwege gehen dürfen, bis ihnen ein starkes Gefühl für die Annehmlichkeit des kürzeren Weges möglich ist“ (zit. nach Lauter 1991).

Die Vertreter dieses Weges sind der Meinung, dass man den Bedürfnissen, den Lernvoraussetzungen und den individuellen Denkweisen der Schüler nicht gerecht wird, indem man jedem von ihnen das gleiche Verfahren versucht zu vermitteln. Stattdessen treten sie dafür ein, dass der Lehrer den Schülern die Chance bietet, sich auf ihren eigenen Wegen mit dem Lernstoff und dem Problem auseinander zu setzen. So sollen die Schüler zu einer zu ihnen passenden Einsicht in die Strukturen und Lösungsmöglichkeiten gelangen. Hat der Lerner schließlich das Problem erkannt und seinen Aufbau entschlüsselt, erst dann stellt der Lehrer das Normalverfahren zur Verfügung. Zu diesem Zeitpunkt sind die Schüler so weit, dass sie dieses Verfahren verstehen und seine Vorteile gegenüber ihren eigenen gewählten Lösungswegen erkennen können. Nach Kühnel werden die Schüler auf Grund dieses Einsehens dann das Normalverfahren von sich anwenden und als Lösungsstrategie verwenden.

2.1 Mathematisch-didaktische Prinzipien

Im Folgenden werde ich nun einige Prinzipien für den Mathematikunterricht anführen. Dabei besteht weder Anspruch auf Vollständigkeit noch auf Allgemeingültigkeit. Sie sollen eine exemplarische Auswahl von Regeln zur Gestaltung von Unterricht sein. Welches Prinzip die Lehrkraft wann, in welcher Klasse und zu welchem Thema anwendet, bleibt im konkreten Fall natürlich immer noch ihr selbst überlassen.

2.1.1 Das operative Prinzip

Die Grundlage dieses Prinzips stellt die Psychologie Piagets dar. Im Laufe der Zeit wurden Piagets Gedanken weiterentwickelt und verändert.

Der zentrale Begriff der Operation bedeutet in diesem Kontext „verinnerlichte Handlung“. Nicht die Handlung selbst ist eine Operation, sondern deren „Abkömmlinge“, wie Piaget es nannte, also die Strukturen, die die Handlung im Kopf repräsentieren. Operationen entstehen aus Handlungen, indem sie innerlich ablaufen können und somit nicht an den konkreten Vollzug der Handlung gebunden sind (vgl. Lauter 1991, S. 61).

Operationen lassen sich an drei charakteristischen Eigenschaften erkennen:

1. Kompositionsfähigkeit: Operationen können zu Gruppen zusammengesetzt werden und Operationssysteme bilden
2. Assoziativität: bei der Zusammensetzung der einzelnen Operationen zu Systemen spielt die Reihenfolge keine Rolle
3. Reversibilität: die Reversibilität ist das Merkmal, an dem sich eine Operation am leichtesten erkennen lässt. Sie bedeutet, dass eine Operation umkehrbar ist (so sind z.B. Addition und Subtraktion eindeutig Operationen, da sie sich gegenseitig umkehren, also rückgängig machen).

Auf dieser Grundlage hat Aebli Regeln zur Organisation schulischer Lernprozesse formuliert. Danach gehen Lernprozesse, die nach dem operativen Prinzip organisiert sind von konkreten Handlungen und Situationen aus. Diese werden schrittweise verinnerlicht, wobei die Sprache als Hilfsmittel dient. Anschließend findet eine Abstraktion der Handlungen zu Operationen statt, die dann mit begrifflichen Mitteln des Schülers rekonstruiert werden. Danach werden die Operationen durchgearbeitet und schließlich wieder im konkreten Bereich angewendet (vgl. Lauter 1991, S. 61).

Das folgende Beispiel soll das operative Prinzip verdeutlichen.

Entscheidet die Lehrkraft sich für das operative Prinzip, um die Addition und Subtraktion einzuführen, so werden die Rechenarten nicht als getrennt voneinander gesehen, sondern als gegenseitige Umkehrung. Addition und Subtraktion werden also gleichzeitig eingeführt, um dieses Verhältnis der beiden Operationen zueinander zu zeigen.

[...]

^[1] In dieser Arbeit ist immer die männliche als auch die weibliche Form gemeint (ebenso bei „Lehrer“ u.ä.)