Autoregressive bedingt heteroskedastische Modelle (G)ARCH bilden eine Modellklasse, mit der stochastische Prozesse beschrieben werden können, deren Volatilität nicht konstant bleibt, sondern sich im Zeitverlauf verändert. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit dem Modelltyp GARCH(1,1), der in der Praxis oft zur Beschreibung von Finanzzeitreihen eingesetzt wird.
Zuerst werden Kriterien für die Stationarität und für die Existenz und Endlichkeit von Momenten eines GARCH(1,1)-Prozesses erläutert. Danach werden einige in der Literatur vorgeschlagene Erweiterungen des Standardmodells vorgestellt und hinsichtlich der Existenz der stationären Lösungen und Momente untersucht. Anschließend wird im Rahmen der Change-Point-Analyse ein sequentieller Test zum Erkennen von Parameteränderungen eines stationären GARCH(1,1)-Prozesses detailliert beschrieben. Dazu wird das asymptotische Verhalten der entsprechenden Teststatistik untersucht und die Grenzverteilung der zugehörigen Stoppzeit bestimmt.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 GARCH(1,1) - Modell
2.1 Struktur
2.2 Momente
3 Erweiterte GARCH(1,1) - Modelle
3.1 Struktur
3.2 Momente
4 GARCH(1,1) - Modell: Sequentielle Change-Point-Analyse
4.1 Motivation
4.2 Parameterschätzung für GARCH(1,1) - Modell
4.2.1 Darstellungen für GARCH(1,1) - Modell
4.2.2 Die Quasi-Maximum-Likelihood-Schätzung
4.2.3 Einige Hilfsresultate
4.3 Test
4.3.1 Teststatistik unter H0
4.3.2 Teststatistik unter HA
4.3.3 Beweis von Proposition 4.1
4.3.4 Beweis von Satz 4.5
4.3.5 Beweis von Satz 4.6
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit untersucht das GARCH(1,1)-Modell von Bollerslev zur Beschreibung von Finanzzeitreihen und befasst sich primär mit der Frage, wie Strukturbrüche in Form von Parameteränderungen mittels einer sequentiellen Change-Point-Analyse zuverlässig erkannt werden können.
- Stationaritätseigenschaften des GARCH(1,1)-Modells
- Existenz und Endlichkeit von Momenten
- Erweiterte GARCH-Modelle und deren statistische Eigenschaften
- Sequentielle Change-Point-Analyse zur Überwachung der Modellkonstanz
- Quasi-Maximum-Likelihood-Schätzung der Modellparameter
Auszug aus dem Buch
1 Einleitung
Bei finanzökonometrischen Zeitreihen wie Renditen von Aktien- oder Wechselkursen ist häufig beobachtet worden, dass die Renditen selbst zwar unkorreliert sind, ihre quadrierten Werte weisen dagegen seriell eine hohe positive Korrelation auf. Diese Besonderheit hängt damit zusammen, dass die Volatilität, d.h. die bedingte Streuung dieser Zeitreihen nicht konstant ist, sondern im Zeitablauf schwankt. Man bezeichnet diese Eigenschaft als bedingte Heteroskedastizität der Zeitreihe. Als Konsequenz bilden sich Volatilitätscluster: Phasen hoher Volatilität wechseln sich ab mit Phasen geringer Volatilität.
Zur Modellierung von Kapitalmarktdaten wird die Klasse der autoregressiven bedingt heteroskedastischen Prozesse (ARCH-Prozesse) eingesetzt. In diesem stochastischen Modell wird die bedingte Varianz als lineare Funktion von vergangenen quadrierten Werten der Zeitreihe dargestellt. Dadurch können die beschriebenen Charakteristika von Renditen gut abbilden werden. Eine weite Anwendung in der Finanzökonometrie findet insbesondere das verallgemeinerte ARCH - Modell (GARCH - Modell). Hier hängt die bedingte Varianz nicht nur von den vergangenen quadrierten Realisationen der Reihe, sondern zusätzlich von den bedingten Varianzen der Vorperioden ab.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Einführung in die Problematik bedingt heteroskedastischer Zeitreihen und Formulierung des Zieles, sequentielle Tests auf Strukturbrüche für GARCH-Modelle zu untersuchen.
2 GARCH(1,1) - Modell: Mathematische Definition des GARCH(1,1)-Prozesses sowie Herleitung von Bedingungen für dessen Stationarität und die Existenz von Momenten.
3 Erweiterte GARCH(1,1) - Modelle: Vorstellung verschiedener Modifikationen (wie NGARCH, EGARCH oder TGARCH) zur Abbildung asymmetrischer Volatilitätseffekte und Untersuchung derer stationärer Lösungen.
4 GARCH(1,1) - Modell: Sequentielle Change-Point-Analyse: Detaillierte Analyse eines sequentiellen Tests zur Detektion von Parameteränderungen, einschließlich Parameterschätzung und asymptotischer Verteilung der Teststatistik.
Schlüsselwörter
GARCH(1,1), bedingte Heteroskedastizität, Volatilität, Finanzzeitreihen, Change-Point-Analyse, Stationarität, Strukturbruch, Quasi-Maximum-Likelihood-Schätzung, Teststatistik, Stoppzeit, Autoregressive Modelle, Renditen, Volatilitätscluster, Ergodizität, asymptotische Normalverteilung
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Diplomarbeit grundlegend?
Die Arbeit analysiert stochastische Prozesse mit nicht konstanter Volatilität, sogenannte GARCH-Modelle, und entwickelt Methoden, um Veränderungen in deren Struktur über die Zeit statistisch nachzuweisen.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Die zentralen Themen sind die theoretischen Eigenschaften von GARCH(1,1)-Modellen (Stationarität, Momente), Erweiterungen dieser Modelle sowie die Anwendung sequentieller statistischer Tests zur Identifikation von Strukturbrüchen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Hauptziel ist es, einen sequentiellen Test für GARCH(1,1)-Prozesse zu spezifizieren, der es erlaubt, abrupte Änderungen der Modellparameter zeitnah zu erkennen.
Welche wissenschaftlichen Methoden kommen zum Einsatz?
Es werden finanzökonometrische Modellierung, Methoden der Stochastik sowie asymptotische Testtheorie und Quasi-Maximum-Likelihood-Schätzverfahren verwendet.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Fundierung des GARCH(1,1)-Modells, die Diskussion verschiedener Modellerweiterungen zur Abbildung von Leverage-Effekten sowie die formale Herleitung und Untersuchung des sequentiellen Change-Point-Tests.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind GARCH(1,1), bedingte Heteroskedastizität, Volatilität, Change-Point-Analyse, Stationarität und asymptotische Normalverteilung.
Warum ist das klassische GARCH-Modell für manche Anwendungen unzureichend?
Das Standardmodell nimmt einen symmetrischen Effekt von Schocks auf die Volatilität an. In der Praxis beobachtet man jedoch oft, dass negative Nachrichten (z.B. Kursverluste) die Volatilität stärker beeinflussen als positive (Leverage-Effekt).
Wie funktioniert der sequentielle Change-Point-Test?
Bei Ankunft neuer Daten wird fortlaufend geprüft, ob die Teststatistik einen vordefinierten Schwellenwert überschreitet. Ist dies der Fall, wird auf einen Strukturwechsel entschieden und die Prozedur gestoppt.
- Quote paper
- Natalie Kulenko (Author), 2005, Zur Strukturanalyse von bedingt heteroskedastischen Zeitreihen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/40826
