Das Schulbuch nimmt eine zentrale Stellung im Mathematikunterricht ein. Es trägt zu einem großen Teil methodisch und didaktisch zu einem verständlichen Mathematikunterricht bei. Aus diesen Gründen werden in der vorliegenden Bachelorarbeit aktuelle Schulbücher im Hinblick auf die Einführung des Ableitungsbegriffes untersucht. Dabei wird unter anderem überprüft, ob die Grunderfahrungen Winters, die allgemeinbildenden Mathematikunterricht ermöglichen, Gehalt finden. Der Schulbuchanalyse geht eine fachdidaktische Analyse des Ableitungsbegriffes voraus, die damit das Fundament für den eigentlichen Teil der Arbeit bildet.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Fachdidaktischer Hintergrund
2.1 Grunderfahrungen nach Heinrich Winter
2.1.1 Grunderfahrung 1 – Der Weltbezug
2.1.2 Grunderfahrung 2 – Die innere Welt der Mathematik
2.1.3 Die dritte Grunderfahrung – Heuristische Fähigkeiten und „Mathematik als Schule des Denkens“
2.2 Der Ableitungsbegriff
2.2.1 Das Grundverständnis des Ableitungsbegriffes als Änderungsrate
2.2.2 Die Geometrie des Differenzenquotienten
2.2.3 Eine Zusammenfassung der Grundvorstellung und ein Ausblick
2.2.4 Das Grundverständnis der Linearen Approximation
2.2.5 Vertiefende Grundverständnisse und eine Zusammenfassung
2.3 Zugänge zum Ableitungsbegriff
2.3.1 Das Tangentenproblem als klassischer Zugang der Differentialrechnung
2.3.2 Das Geschwindigkeitsmodell als Alternativzugang
2.3.3 Zurück zu den Zugängen des Ableitungsbegriffes
3. Erarbeitung des Kriterienkataloges
3.1 Die erste Oberkategorie: Heinrich Winters Grunderfahrungen
3.2 Die zweite Oberkategorie: geschlossene und offene Aufgabentypen sowie Beispielaufgaben
3.3 Die dritte Oberkategorie: Der Kontext der Aufgabe
3.4 Beispielzuordnungen aus dem Buch Mathematik – Analysis
3.4.1 Beispielaufgabe 1
3.4.2 Beispielaufgabe 2
3.4.3 Beispielaufgabe 3
3.4.4 Beispielaufgabe 4
4. Die Ergebnisse der Schulbuchanalyse
4.1. Elemente der Mathematik I
4.1.1 Eine Kurzportrait des Buches
4.1.2 Eine Beispielaufgabe
4.1.3 Die Einordnung der Beispielaufgabe
4.1.4 Die Gesamtergebnisse der Untersuchung
4.2 Elemente der Mathematik II
4.2.1 Ein Kurzportrait des Buches
4.2.2 Eine Beispielaufgabe
4.2.3 Die Einordnung der Aufgabe
4.2.4 Die Gesamtergebnisse der Untersuchung
4.3 Elemente der Mathematik III
4.3.1 Ein Kurzportrait des Buches
4.3.2 Eine Beispielaufgabe
4.3.3 Die Einordnung der Beispielaufgabe
4.3.4 Die Gesamtergebnisse der Untersuchung
4.4 Neue Wege I
4.4.1 Ein Kurzportrait des Buches
4.4.2 Eine Beispielaufgabe
4.4.3 Die Einordnung der Beispielaufgabe
4.4.4 Die Gesamtergebnisse der Untersuchung
4.5 Neue Wege II
4.5.1 Ein Kurzportrait des Buches
4.5.2 Eine Beispielaufgabe
4.5.3 Die Einordnung der Beispielaufgabe
4.5.4 Die Gesamtergebnisse der Untersuchung
4.6 Der Lambacher Schweizer I
4.6.1 Ein Kurzportrait des Buches
4.6.2 Eine Beispielaufgabe
4.6.3 Die Einordnung der Beispielaufgabe
4.6.4 Die Gesamtergebnisse der Untersuchung
4.7 Der Lambacher Schweizer II
4.7.1 Ein Kurzportrait des Buches
4.7.2 Eine Beispielaufgabe
4.7.3 Die Einordnung der Aufgabe
4.7.4 Die Gesamtergebnisse der Untersuchung
4.8 Mathematik – Analysis
4.8.1 Ein Kurzportrait des Buches
4.8.2 Eine Beispielaufgabe
4.8.3 Die Einordnung der Aufgabe
4.8.4 Die Gesamtergebnisse der Untersuchung
5. Auswertung
5.1 Eine Auswertung bezüglich Heinrich Winters Grunderfahrungen
5.2 Die Ergebnisse der zweiten Oberkategorie
5.3 Die dritte Oberkategorie – die Kontexte der Aufgaben
5.4 Verbindungen zwischen den Ober-und Unterkategorien
5.5 Verbindungen zur Fachliteratur
6. Schlusswort
7. Danksagung
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit zielt darauf ab, die Aufgabenkultur in ausgewählten Mathematikschulbüchern im Kontext der Einführung des Ableitungsbegriffs zu untersuchen und kritisch auf ihre didaktische Qualität hin zu überprüfen.
- Analyse der Berücksichtigung von Heinrich Winters drei Grunderfahrungen in Schulbuchaufgaben.
- Kategorisierung von Aufgaben nach deren Offenheit (offene vs. geschlossene Aufgabentypen).
- Zuordnung von Aufgaben zu fachdidaktischen Kontexten (graphischer, geometrischer Kontext sowie Kontext der Änderungsrate).
- Untersuchung der Verknüpfung von mathematischen Grundvorstellungen mit der Aufgabenpraxis.
- Vergleich verschiedener Schulbuchverlage und -reihen hinsichtlich ihrer didaktischen Ausrichtung.
Auszug aus dem Buch
2.3.2 Das Geschwindigkeitsmodell als Alternativzugang
Dieser Zugang thematisiert ein kinematisches Beispiel, nämlich das der Momentangeschwindigkeit. Laut Danckwerts und Vogel sind in diesem Beispiel alle drei Grunderfahrungen Winters verarbeitet. Der Bezug zur Realität und Außenwelt aus Grunderfahrung eins, die Durchdringung eines zentralen mathematischen Begriffes (G2) und das erfolgreiche Arbeit durch Heurismen (G3). Einen Einstieg in die Differenzialrechnung über die Momentangeschwindigkeit findet ebenfalls in der Fachliteratur in den Werken von Sawyer 1964 und Wong 2003 Verwendung. (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, S.50-51)
Das Modell von Danckwerts und Vogel beleuchtet den zurückgelegten Weg eines Fahrzeugs in Abhängigkeit zu der Zeit. Diese Abhängigkeit wird durch eine Funktion beschrieben, die Weg-Zeit-Funktion. Sie ordnet jedem Zeitpunkt t den bis dahin zurückgelegten Weg s(t) zu. Also t ↦ s(t). (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, S.51)
Die Weg-Zeit-Funktion soll möglichst realistisch definiert werden. Daher gehen Danckwerts und Vogel von einer quadratischen Steigung aus. Das bedeutet, das Fahrzeug bewegt sich bei fortschreitender Zeit immer rapider. Um herauszufinden, welche Wegstrecke in einem bestimmten Zeitabschnitt zurückgelegt wurde, muss man die Differenz der beiden Funktionswerte bestimmen. Beispielhaft soll der Zeitraum von t0 bis t1 ausgewählt werden. Dann berechnet man die Differenz s(t1) - s(t0). Daraus ergibt sich dann leicht durch das Beziehen der Wegdifferenz s(t1) - s(t0) auf die Zeitdifferenz t1 - t0 die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall von t0 bis t1, genauer gesagt durch das Dividieren der beiden Differenzen: (s(t1)-s(t0))/(t1-t0). Damit wurde die, umgangssprachlich als Durchschnittsgeschwindigkeit bezeichnete, Geschwindigkeit im Zeitintervall t0 bis t1 errechnet. (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, S.53)
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Das Kapitel beleuchtet das ambivalente Verhältnis von Schülern zur Mathematik und betont die Bedeutung einer verständlichen Einführung des Ableitungsbegriffs als Schlüsselstelle der mathematischen Bildung.
2. Fachdidaktischer Hintergrund: Hier werden Heinrich Winters drei Grunderfahrungen sowie verschiedene Grundvorstellungen und Zugänge zum Ableitungsbegriff theoretisch hergeleitet und für die Analyse fundiert.
3. Erarbeitung des Kriterienkataloges: In diesem Teil wird die methodische Grundlage geschaffen, indem Kategorien zur Analyse der Aufgabenkultur in Schulbüchern definiert werden.
4. Die Ergebnisse der Schulbuchanalyse: Dieses Kapitel präsentiert die konkreten Untersuchungsergebnisse der neun ausgewählten Schulbücher und stellt diese in Tabellen und Diagrammen dar.
5. Auswertung: Die erhobenen Daten werden hier interpretiert und hinsichtlich der Umsetzung von Winters Grunderfahrungen sowie der Aufgabencharakteristik (offen/geschlossen/Kontext) bewertet.
6. Schlusswort: Das Fazit fasst die Ergebnisse zusammen und reflektiert die Schwierigkeit einer objektiven Bewertung der Qualität von Schulbüchern.
7. Danksagung: Danksagung an Betreuer und beteiligte Institutionen.
Schlüsselwörter
Mathematikdidaktik, Ableitungsbegriff, Grunderfahrungen, Heinrich Winter, Schulbuchanalyse, Änderungsrate, Lineare Approximation, Differentialrechnung, Aufgabentyp, Mathematische Bildung, Analysismethodik, Mathematische Modellbildung, Mathematische Kompetenz, Sekundarstufe, Didaktische Analyse
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Bachelorarbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht, wie deutsche Mathematikschulbücher den Ableitungsbegriff einführen und ob dabei die didaktischen Forderungen von Heinrich Winter nach einer allgemeinbildenden Mathematikunterrichtspraxis erfüllt werden.
Was sind die zentralen Themenfelder der Untersuchung?
Die zentralen Felder sind die didaktische Theorie nach Heinrich Winter (Grunderfahrungen), verschiedene Grundvorstellungen zur Analysis (wie Änderungsrate und lineare Approximation) sowie die Gestaltung von Schulbuchaufgaben.
Was ist das primäre Ziel der Forschungsfrage?
Das Ziel ist es, auf Basis eines erarbeiteten Kriterienkatalogs aufzuzeigen, ob und wie verschiedene Schulbuchreihen mathematische Konzepte in Aufgaben übersetzen und ob diese Aufgaben die von Winter geforderten Kompetenzen fördern.
Welche wissenschaftliche Methode wird in der Arbeit verwendet?
Es handelt sich um eine vergleichende Schulbuchanalyse, bei der knapp 1759 Aufgaben aus neun verschiedenen Lehrwerken anhand dreier Oberkategorien (Grunderfahrungen, Aufgabentyp, Kontext) kategorial erfasst und statistisch ausgewertet wurden.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Neben der theoretischen Fundierung der Analysis-Didaktik erfolgt eine detaillierte quantitative Auswertung der einzelnen Schulbuchreihen, wobei jedes Buch individuell vorgestellt und seine Aufgabenkultur analysiert wird.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren diese Arbeit?
Die Arbeit lässt sich durch Begriffe wie Mathematikdidaktik, Analysis, Schulbuchanalyse, Heinrich Winter, Grunderfahrungen, Aufgabentypen und mathematische Modellbildung beschreiben.
Inwiefern beeinflusst die Schulbuchwahl das Verständnis der Schüler vom Ableitungsbegriff?
Die Arbeit legt nahe, dass eine Dominanz geschlossener Aufgaben dazu führen kann, dass Schüler Mathematik primär als reines Produkt (Anwendung von Regeln) statt als Prozess begreifen, was die gewünschte allgemeine Bildung behindern kann.
Wie wird das "Gleichgewicht" der Grunderfahrungen in der Oberstufe bewertet?
Die Arbeit greift Expertenmeinungen auf, wonach ein dynamisches Gleichgewicht zwischen der ersten (Weltbezug) und zweiten (innermathematische Welt) Grunderfahrung notwendig ist, um die bildende Kraft der Mathematik voll entfalten zu können.
- Arbeit zitieren
- Börge Albers (Autor:in), 2014, Der Ableitungsbegriff im Spiegel von Winters Grunderfahrungen. Eine Schulbuchanalyse, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/413484
