Der Ableitungsbegriff im Spiegel von Winters Grunderfahrungen. Eine Schulbuchanalyse

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Fachdidaktischer Hintergrund
2.1 Grunderfahrungen nach Heinrich Winter
2.1.1 Grunderfahrung 1 - Der Weltbezug
2.1.2 Grunderfahrung 2 - Die innere Welt der Mathematik
2.1.3 Die dritte Grunderfahrung - Heuristische Fähigkeiten und ״Mathematik als Schule des Denkens"
2.2 Der Ableltungsbegrlff
2.2.1 Das Grundverständnis des Ableitungsbegriffes als Änderungsrate
2.2.2 Die Geometrie des Differenzenquotienten
2.2.3 Eine Zusammenfassung der Grundvorstellung und ein Ausblick
2.2.4 Das Grundverständnis der Linearen Approximation
2.2.5 Vertiefende Grundverständnisse und eine Zusammenfassung
2.3 Zugänge zum Ableitungsbegriff
2.3.1 Das Tangentenproblem als klassischer Zugang der Differentialrechnung
2.3.2 Das Geschwindigkeitsmodell als Alternativzugang
2.3.3 Zurück zu den Zugängen des Ableitungsbegriffes

3. Erarbeitung des Kriterienkataloges
3.1 Die erste Oberkategorie: Heinrich Winters Grunderfahrungen
3.2 Die zweite Oberkategorie: geschlossene und offene Aufgabentypen sowie Beispielaufgaben
3.3 Die dritte Oberkategorie: Der Kontext der Aufgabe
3.4 Beispielzuordnungen aus dem Buch Mathematik - Analysis
3.4.1 Beispielaufgabe 1
3.4.2 Beispielaufgabe 2
3.4.3 Beispielaufgabe 3
3.4.4 Beispielaufgabe 4

4. Die Ergebnisse der Schulbuchanalyse
4.1. Elemente der Mathematik I
4.1.1 Eine Kurzportrait des Buches
4.1.2 Eine Beispielaufgabe
4.1.3 Die Einordnung der Beispielaufgabe
4.1.4 Die Gesamtergebnisse der Untersuchung
4.2 Elemente der Mathematik II
4.2.1 Ein Kurzportrait des Buches
4.2.2 Eine Beispielaufgabe
4.2.3 Die Einordnung der Aufgabe
4.2.4 Die Gesamtergebnisse der Untersuchung
4.3 Elemente der Mathematik III
4.3.1 Ein Kurzportrait des Buches
4.3.2 Eine Beispielaufgabe
4.3.3 Die Einordnung der Beispielaufgabe
4.3.4 Die Gesamtergebnisse der Untersuchung
4.4 Neue Wege I
4.4.1 Ein Kurzportrait des Buches
4.4.2 Eine Beispielaufgabe
4.4.3 Die Einordnung der Beispielaufgabe
4.4.4 Die Gesamtergebnisse der Untersuchung
4.5 Neue Wege II
4.5.1 Ein Kurzportrait des Buches
4.5.2 Eine Beispielaufgabe
4.5.3 Die Einordnung der Beispielaufgabe
4.5.4 Die Gesamtergebnisse der Untersuchung
4.6 Der Lambacher Schweizer I
4.6.1 Ein Kurzportrait des Buches
4.6.2 Eine Beispielaufgabe
4.6.3 Die Einordnung der Beispielaufgabe
4.6.4 Die Gesamtergebnisse der Untersuchung
4.7 Der Lambacher Schweizer II
4.7.1 Ein Kurzportrait des Buches
4.7.2 Eine Beispielaufgabe
4.7.3 Die Einordnung der Aufgabe
4.7.4 Die Gesamtergebnisse der Untersuchung
4.8 Mathematik - Analysis
4.8.1 Ein Kurzportrait des Buches
4.8.2 Eine Beispielaufgabe
4.8.3 Die Einordnung der Aufgabe
4.8.4 Die Gesamtergebnisse der Untersuchung

5. Auswertung
5.1 Eine Auswertung bezüglich Heinrich Winters Grunderfahrungen
5.2 Die Ergebnisse der zweiten Oberkategorie
5.3 Die dritte Oberkategorie - die Kontexte der Aufgaben
5.4 Verbindungen zwischen den Ober-und Unterkategorien
5.5 Verbindungen zur Fachliteratur

6. Schlusswort

7. Danksagung

8 Anhang

9 Das Abbildungsverzeichnis

10 Das Tabellenverzeichnis

11 Das Diagrammverzeichnis

12. Das Literaturverzeichnis

1. Einleitung

״Manche Schüler mögen Mathe, andere hassen das Fach." (nach Dambeck 2012)

So beschreibt der Spiegel 2012 das Verhältnis vieler Schüler zum Mathematikunterricht. Mathematik scheint ein stark polarisierendes Fach zu sein. Während es die Einen vergöttern, sind viele andere Schüler froh, wenn ihnen nach ihrer Schulzeit möglichst wenig Zahlen begegnen, (vgl. Dambeck 2012)

Bisher gelang es häufig nur partiell, viele Menschen vom Wert der Mathematik zu überzeugen bzw. diese dafür zu begeistern. Es gilt vielerorts als ״cool", nach seinen 13 Jahren Schulbildung, keinen Schimmer mehr davon zu haben, was eine Ableitung ist oder wie man die Steigung einer Gerade bestimmt, (vgl. Winter 1996, S.43)

Ein unglückliches Beispiel dazu lieferte 1986 der damalige Wirtschaftsminister Martin Bangemann, als er in einem Interview auf die Frage, wie viele Nullen eine Milliarde habe mit ״Ach du lieber Gott! Sieben? Acht?", antwortete, (vgl. Drösser 2010)

Eine Milliarde hat bekanntlich neun Nullen, allerdings soll das nicht Thema dieser Arbeit sein. Vielmehr sollen diese Beispiele zeigen, dass der Mathematikunterricht oftmals in einer negativen oder in gar keiner Erinnerung bleibt. Genau das Gegenteil sollte aber zutreffen: Mathematik als anerkannte, notwendige Allgemeinbildung.

Heinrich Winter hat dazu in einem häufig zitierten Artikel 1996 drei Grunderfahrungen aufgestellt, die als Lehrer anzustreben sind, wenn man einen allgemeinbildenden und vielfältigen Mathematikunterricht ermöglichen möchte. Diese gehen vom Realitätsbezug des Unterrichtes über die Anerkennung der deduktiv geordneten mathematischen Welt bis hin zur Aneignung und Auseinandersetzung mit heuristischen Fähigkeiten, (vgl. Winter 1996, S.37)

״Kein Abiturient kommt an der Analysis vorbei." (nach Danckwerts & Vogel 2006, Vorwort)

Sie ist ein, wenn nicht sogar der entscheidende Bereich der Mathematik in der Schule. Deshalb nimmt sie einen großen Teil der Mathematikdidaktik ein. (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, Vorwort)

Für einen Schüler bildet die Einführung des Ableitungsbegriffes eine Schlüsselstelle seiner schulischen Mathematikerfahrungen. Es ist daher von großer Bedeutung, diesen Begriff möglichst verständlich einzuführen. Die verschiedenen Wege zu einem verständlichen Analysisunterricht werden in dieser Arbeit neben den von Heinrich Winter begründeten Grunderfahrungen des Mathematikunterrichtes eine tragende Rolle spielen.

Keiner dieser Wege führt am Schulbuch vorbei. Michael Otte schreibt dazu in der Zeitschrift Mathematiklehrer: [...] ״das Lehrbuch ist das wichtigste Arbeitsmittel für Lehrer und Schüler im Mathematikunterricht. Man kann sagen, dass die Schulmathematik seit Bestehen des allgemeinbildenden Schulwesens bei uns entscheidend durch die Verfügbarkeit des Buches geprägt worden ist. Sogar die Herausbildung des öffentlichen Schulwesens selbst und die Einführung der allgemeinen Schulpflicht waren an ein bestimmtes technologisches Entwicklungsniveau des Buchdrucks und der Buchherstellung gebunden." (nach Otte, Michael 1981, S.12)

Das Schulbuch nimmt eine zentrale Stellung im Mathematikunterricht ein. Es trägt zu einem großen Teil methodisch und didaktisch zu einem verständlichen Mathematikunterricht bei. Aus diesen Gründen ist es zentrales Anliegen der hier vorliegenden Arbeit Schulbücher im Hinblick auf die Einführung des Ableitungsbegriffes zu untersuchen. Dabei wird unter anderem überprüft, ob die Grunderfahrungen Winters, die allgemeinbildenden Mathematikunterricht ermöglichen, Gehalt finden. Dazu wird jede einzelne Aufgabe in drei ״Oberkategorien" und drei ״Unterkategorien" charakterisiert. Neben der ״Oberkategorie" der Grunderfahrungen Heinrich Winters wird eine ״Oberkategorie" die Offenheit der Aufgabe beurteilen und eine weitere ״Oberkategorie" die Aufgabe einem Kontext zuordnen. Das heißt, es kann anschließend eine Verknüpfung zwischen den Grunderfahrungen Winters und den Eigenschaften der Aufgaben hergestellt werden. Die Grundverständnisse und Zugänge zum Ableitungsbegriff werden bei diesem Verknüpfen helfen.

Zunächst einmal unterscheidet man in der Didaktik der Analysis zwischen verschiedenen Formen des Grundverständnisses des Ableitungsbegriffes. Entscheidend für die Schule sind dabei vor allem zwei Grundvorstellungen, nämlich einerseits der Aspekt der lokalen Änderungsrate zusammen mit der geometrischen Veranschaulichung und andererseits die lineare Approximation, gleichbedeutend mit einer lokalen Näherung einer Gerade an einen Graphen, (vgl. Blum & Törner 1983, s.91ff)

Während Blum und Törner 1983 die beiden Grundvorstellungen noch als gleichwertig betrachten, heben Blum und Kirsch 1996 nur die lokale Änderungsrate und deren Interpretation als Steigung als Grundvorstellung hervor, (vgl. Tietze, Klika & Wolpers 2000, S.259)

Danckwerts und Vogel zeigen beide Grundverständnisse auf, betonen aber ebenso wie Tietze, Klika und Wolpers, dass die Vorstellung der lokalen Änderungsrate deutlich im Fokus zu stehen habe. (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, s.45ff)

Für die Einführung des Ableitungsbegriffes existieren ebenfalls verschiedene Konzepte, die Zugänge. Der traditionelle Zugang ist das klassische Tangentenproblem. Eine Tangente soll an einer Funktion gezeichnet werden. Um ihre Geradengleichung zu bestimmen, benötigt man die Ableitung. Eine andere Möglichkeit ist es, die Ableitung realitätsbezogen in einem Geschwindigkeitsmodell wie Dankwerts und Vogel kennen zu lernen und so einen Zugang zur Differentialrechnung her zu stellen. Die Änderungsrate spielt dabei eine große Rolle, (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, s.45ff)

Tietze, Klika und Wolpers unterteilen die Zugänge in graphische Zugänge anhand von Realitätsbezug, Zugänge mithilfe der Änderungsrate und Zugänge über das Tangentenproblem. Zudem nennen sie weitere Möglichkeiten wie das Newtonverfahren und die Fehlerrechnung. Insbesondere der realitätsbezogene Zugang der Änderungsrate, der eng mit dem Graphischen verbunden ist, findet in den letzten Jahren besonders häufig Verwendung, (vgl. Tietze, Klika & Wolpers 2000, S.262)

Insgesamt gilt es, den Bogen zu spannen zwischen Winters Grunderfahrungen des allgemeinbildenden Mathematikunterrichtes hin zum Ableitungsbegriff sowie seinen Grundverständnissen und Zugängen. Anschließend erlaubt dies einen Rückschluss auf die Umsetzung der Grunderfahrungen Winters in den Zugängen des Ableitungsbegriffes in Schulbüchern.

2. Fachdidaktischer Hintergrund

Kapitel 2.1: Grunderfahrungen nach Winter

1996 veröffentlichte Heinrich Winter drei Grunderfahrungen, die einen allgemeinbildenden Mathematikunterricht ermöglichen. Sein Ziel war es, zu begründen, weshalb der Mathematikunterricht essentiell für die Allgemeinbildung ist. In diesem Zusammenhang beschreibt er die Allgemeinbildung als Wissen, Fertigkeiten, Fähigkeiten und Einstellungen, die jeden Menschen unabhängig von äußeren Faktoren wie Religion, Beruf und äußeren Einflüssen von außerordentlicher Bedeutung sind.

Die Allgemeinbildung scheint angesichts tiefgreifender Wandlungsprozesse in der Gesellschaft und weltweiter Probleme von enormer Bedeutung. Dennoch ist diese schwerer denn je zu definieren, (vgl. Winter 1996, S.37)

2.1.1 Grunderfahrung 1 - Der Weltbezug

״Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen" (nach Winter 1996, s.37)

Die Kernidee dieser Grunderfahrung ist die Mathematik als nützliche, brauchbare Disziplin mit universeller Reichweite. Das bedeutet, dass die Mathematik nahezu alle Teile des alltäglichen Lebens für sich beanspruchen kann. Um das zu begreifen, ist die mathematische Modellbildung das wahrscheinlich nützlichste Werkzeug. Das macht sie zusammen mit dem Sachrechnen unentbehrlich für die Allgemeinbildung. Wenn die Lebensnahe und der Modellcharakter den Schülerinnen und Schülern Vorbehalten werden, verfehlt der Unterricht seine allgemeinbildende Wirkung, (vgl. Winter 1996, S.38)

״Die erste Grunderfahrung richtet ihren Blick auf außermathematische Probleme, die sich erfolgreich mit analytischen Begriffen und Methoden modellieren lassen(nach Danckwerts & Vogel 2007, s.ll)

Im Folgenden soll anhand von Beispielen die Reichweite der ersten Grunderfahrung aufgezeigt werden. Erstes klares Anwendungsgebiet der mathematischen Modellbildung ist die Zinsrechnung. In diesem Zusammenhang ist zum Verständnis üblicher Geldgeschäfte der Zinssatz, also der Mietbetrag, der pro Zeiteinheit und pro Geldeinheit aus- oder eingezahlt wird, von herausragender Bedeutung. Erste Erfahrungen der Differentialrechnung werden mit ihm verbunden, (vgl. Winter 1996, s.38)

Als ebenso wichtig für einen allgemeinbildenden Mathematikunterricht stellt sich das Verständnis von Wachstums- und Zerfallsraten, insbesondere im exponentiellen Sinne, dar. Dessen Anwendung in ökologischen wie auch ökonomischen Zusammenhängen weist ein hohes Maß an Weltbezug auf. Beispielhaft lässt sich zu diesem Thema immer wieder das Bevölkerungswachstum oder auch der Zerfall verschiedener Substanzen wie zum Beispiel Kohlenstoff nennen. Zusammenhängend mit dem Bevölkerungswachstum ist die Bevölkerungskunde als wichtiger Bestandteil zu sehen. Auch Grundfragen in Altersversorgung und Versicherungs- und Steuerwesen bauen darauf auf. (vgl. Winter 1996, S.38)

Beachtung gilt ebenfalls der physischen Außenwelt. Lebensrelevante Phänomene, wie zum Beispiel Mathematisierungen in Technik und Wissenschaft, die in der Menschheitsgeschichte eine bedeutende Rolle eingenommen haben, gilt es einschließlich ihrer Folgen und Ursachen zu thematisieren und zu untersuchen. Dabei sind laut Winter vor allem exemplarisch elementare Bewegungen wie der Wurf, der Fall oder auch Drehungen und Schwingungen zu behandeln. Als eine Möglichkeit kann zum Beispiel das Fallgesetz im historischen paradigmatischen Kontext untersucht werden. Daraus gilt es dann, Schlussfolgerungen zu ziehen, die allgemeine Fallbeispiele erhellen, (vgl. Winter 1996, s.38)

Im allgemeinbildenden Mathematikunterricht sollte zudem der Straßenverkehr berücksichtigt werden. Die Anwendung der Bewegungslehre auf Fahrphysik ist dabei als ״unentbehrlicher" Bestandteil zu sehen, (vgl. Winter 1996, s.38)

Die zu Beginn erwähnten Wachstumsraten finden weitere Anwendung in Berechnung und Modellierung von Körpern, genauer gesagt, in Berechnung und Modellierung von Oberflächen und Volumen. Das Verständnis von quadratischem Oberflächenwachstum und gleichzeitigem kubischen Volumenwachstum lässt laut Winter zahlreiche weitere mathematische Erscheinungen verständlich werden, (vgl. Winter 1996, S.39)

Derartige Modelle können nur mit Kenntnissen und Fertigkeiten der Arithmetik, Algebra, Stochastik und Geometrie angewendet werden. Im weiteren Verlauf des Mathematikunterrichtes kommt dazu die Analysis. Folglich ist es für die Allgemeinbildung von hoher Bedeutung, dass Grundverständnisse über elementare Funktionen wie der Sinusoder der Exponentialfunktion vermittelt werden, (vgl. Winter 1996, s.39)

Geometrische Vorstellungen und Erfahrungen spielen nicht nur in der mathematischen Welt eine herausragende Rolle, sondern auch in der Architektur sowie in Kunst und Design. Im gleichen Zuge ist die Schulung der Raumanschauung zu beleuchten. Dabei sollten insbesondere Symmetrien als wichtiger Bestandteil der mathematischen und der realen Welt großen Anteil haben, (vgl. Winter 1996, S.39) Insgesamt hält Winter fest, dass ein ״hinter die Fassade schauen eines Phänomens der realen Welt“ mithilfe einer geeigneten Mathematisierung die Alltagserfahrungen wesentlich erweitert. Diese ganzen Beispiele zeigen, dass die erste Grunderfahrung Heinrich Winters deutlich über einen klassischen Anwendungsbezug hinaus geht. Sie betrifft vielmehr alle Bereiche unserer Welt. Von Bevölkerungsraten bis zu Zinssätzen kann das ganze alltägliche Erleben und Leben mathematisch erfasst werden. Genau dieser Gedanke spiegelt die erste Grunderfahrung wieder.

2.1.2 Grunderfahrung 2 - Die innere Welt der Mathematik

״Mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern
und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen
zu lernen und zu begreifen" (vgl. Winter 1996, S.37)

Die wichtigste Erkenntnis dieser Grunderfahrung ist das Verständnis, dass die Strenge

Wissenschaft möglich ist. Genauer gesagt, dass Menschen dazu imstande sind, Begriffe zu

bilden und neue Wege zu schaffen und zu gehen. Winter nennt in diesem Kontext die

Fähigkeit, Architekturen zu entwerfen, (vgl. Winter 1996, s.39)

Geradezu fundamental erscheint dabei der Begriff der Zahl. Beginnend bei der natürlichen Zahl, die durch eine einfache Konstruktion im Kontrast zu dem komplexen Reichtum an Theoremen und Problemen des eigentlichen natürlichen Zahlbegriffes steht. Der Primzahlbegriff, konstruiert aus einer natürlichen Zahl, die durch zwei natürliche Zahlen teilbar ist, regt bereits zu umfangreichem Experimentieren und Hinterfragen an. Vor allem der Beweis, dass unendlich Primzahlen existieren, motiviert seit Jahrhunderten die Menschen zum Nachdenken und Hinterfragen. Anwendung finden Primzahlen in der Datenverschlüsselung, womit der Bogen zur Informatik und vor allem zur Grunderfahrung eins gespannt ist. (vgl. Winter 1996, s.39)

Direkt aufbauend auf dem Begriff der natürlichen Zahl folgt die Zahlbereichserweiterung auf ganze, rationale und schließlich reelle Zahlen. Unumstößliche Intuitionen werden infrage gestellt. Die auf den ersten Blick daraus folgenden Paradoxien erweitern auf den zweiten Blick den mathematischen Erfahrungsraum in begrifflicher und rechentechnischer Hinsicht. Insbesondere die Füllung der ״Zwischenräume" des Zahlenstrahls ist entscheidend für das Verständnis des Zahlbegriffs und erweist sich als höchst nützlich bei der Erweiterung auf die irrationalen Zahlen, (vgl. Winter 1996, S.40)

Wiederum ist es wichtig, für das Verständnis der Zahlengerade über ein Mindestmaß an mathematischen Fertigkeiten der Algebra zu verfügen. Der Begriff der Variable, des Terms und der Funktion sowie der Gleichung sieht Winter als eines der wichtigsten Ziele der mathematischen Allgemeinbildung. Ein nachhaltiger und verständlicher Gebrauch von Formeln gewährleistet die mathematische Allgemeinbildung an. Dieser sollte nicht nur rechenhaft, sondern vielmehr kreativer Natur sein. Im Gebiet der Geometrie lässt sich dies sehr eindrucksvoll erleben, (vgl. Winter 1996, s.40)

Als erste deduktive Wissenschaft ließ die Geometrie bereits vor Jahrhunderten Menschen das Innere der Mathematik erleben. Die deduktive Geometrie kann laut Winter nur erfahren werden, wenn sie von der Suche nach Symmetrien und Asymmetrien geleitet wird. Dabei darf auch die kreative Konstruktivität nicht vernachlässigt werden. Ziel des allgemeinbildenden Mathematikunterrichtes sollte es sein, die deduktive Ordnung zwischen Aussagen zu entdecken und auszudrücken. Paradebeispiel der Geometrie ist der Satz des Pythagoras als einer der simpelsten, aber fundamentalsten Sätze der Geometrie, (vgl. Winter 1996, S.40)

Zusammenfassend soll die zweite Grunderfahrung Winters auf die Lehre der Analysis bezogen werden. Danckwerts und Vogel liefern dabei folgende Aussage: ״Die zweite Erfahrung zielt zum einen auf den Prozess der Begriffsentwicklung, an dessen (vorläufigem) Ende analytische Begriffe Stehen, die sich von Anschauung und Sachkontexten gelöst haben und damit einen Zugang zur Analysis als deduktiv geordnete Welt eigener Art eröffnen. [...] Zum anderen zielt die Grunderfahrung G2 auf die Entwicklung analytischer Kalküle und die Einsicht in ihre Leistungsfähigkeit ab." (nach Danckwerts & Vogel 2007, s.ll)

2.1.3 Die dritte Grunderfahrung - Heuristische Fähigkeiten und ״Mathematik als Schule des Denkens"

״ln der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die über die Mathematik
hinausgehen (heuristische Fähigkeiten), zu erwerben" (nach Winter 1996, S.37)

Diese Erfahrung wurde früher als formaler Bildungswert der Mathematik bezeichnet. Durch die Übung des Denkens in den Strengen Grenzen der Mathematik, wird auch die außermathematische Praxis des Denkens geschult und verbessert. Dieser Transfer ist ausdrücklich gewünscht und sollte im allgemeinbildenden Mathematikunterricht didaktisch berücksichtigt und gefördert werden, (vgl. Winter 1996, S.41)

Eine besondere Rolle soll die Problemlösefähigkeit spielen. In diesem Zusammenhang liegt die Betonung auf das bewusste Nutzen von heuristischen Strategien und mentalen Techniken.

Heuristische Strategien oder Methoden sind Vorgehen, bei denen der Lernende versucht, Probleme mithilfe von Heurismen (Werkzeuge zum Problemlosen) zu lösen. Wenn bei einer kognitiven Anforderung kein Routineverfahren (Algorithmus) zur Verfügung steht, kommen heuristische Strategien zum Einsatz. Dabei wird nach einem bestimmten Muster ein Verfahren zur Lösung des Problems gesucht. Das Lösungsverfahren muss jedoch erst konstruiert werden. Die Heurismen sind mehr ein Denkansatz als eine Lösungsgarantie, (vgl. Brandt 2013, s.35ff)

Ein Beispiel kann systematisches Probieren sein, auch Backtracking oder Vorwärts- bzw. Rückwärtsarbeiten sind Beispiele für heuristische Strategien. Auch das Arbeiten mit Analogien oder einer Fallunterscheidung kann ein heuristischer Lösungsansatz sein. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, das Problem auf eine andere Situation, die bereits gelöst wurde, zu transformieren und so eine Lösung zu finden. Hilfreich zur Anwendung heuristischer Verfahren sind in einem allgemeinbildenden Mathematikunterricht zum Beispiel Tabellen, Graphiken oder Zeichnungen. Im Unterricht gilt es zudem, auf eine ״geschulte Kreativität" zu achten, was bedeutet, die Schülerinnen und Schüler möglichst breit zu flexibilisieren, (vgl. Brand 2013, s.39ff)

Im Gegensatz zu den heuristischen Strategien existiert bei einem algorithmischen Vorgehen eine eindeutige Start-Ziel-Vorgabe. Durch einen festen Ablaufplan steht von vornherein fest, wie vorgegangen werden muss, um eine Aufgabe zu lösen, (vgl. Brandt 2013, s. 36)

Die Mathematik weist ein hohes Maß an innerer Vernetzung auf, was eine interne Kontrolle von Theorien und Problemlösungen begünstigt, (vgl. Winter 1996, S.42)

Darüberhinaus verfügt die Mathematik über vielfältige Beziehungen zur außermathematischen Realität. Diese können in den unterschiedlichsten Aufgaben verwendet werden. Das bietet die Chance, den Gebrauch des Verstandes besonders zu trainieren. Wichtiges Qualitätsmerkmal ist laut Winter dabei die Reflexion der eigenen Denkweise, die regelmäßig in das eigene Denken mit einbezogen werden muss. Die Reflexion findet während des kompletten Lösungsprozesses einer Aufgabe statt und nicht nur danach. Das Eingeständnis eines Misserfolges spielt dabei eine große Rolle, (vgl. Winter 1996, S.42)

Sinnvolle Hinterfragungen sollen dabei beispielhaft genannt werden:

״ Was macht die Aufgabe so schwierig?"

״Hilft mir eine Zeichnung?"

״Komme ich mit Probieren weiter?"

״Kann ich rückwärts arbeiten, um zum Ziel zu kommen?"

״Kann ich meine Lösung auf irgendeine Art kontrollieren ?" ״Gibt es einen kürzeren Lösungsweg?"

״Kann ich die Lösung benutzen für eine andere Aufgabe?" ״Inwiefern weiß ich jetzt mehr als vor der Aufgabe?"

(nach Winter 1996, S.41)

Eine wichtige Eigenschaft der Mathematik ist ihre objektive Fehlbarkeit. Das soll die Eigenschaft beschreiben, dass Misserfolge oder Fehler objektiv nachweisbar und kritisierbar sind. Im Gegensatz zu anderen Wissenschaften ist es in der Mathematik einem Laien möglich, die Fehler eines Experten aufzudecken und nachzuweisen. Für die mathematische Allgemeinbildung ist es von enormer Bedeutung, diese angesprochenen Brüche oder Missverständnisse in der Aufgabenbewältigung aufzudecken und diese ins Produktive zu wenden. Ziel der Reflexion ist es, Argumentationsweisen zu durchschauen und bewerten zu lernen, (vgl. Winter 1996, s.42)

Zum allgemeinbildenden Mathematikunterricht gehört die Einsicht in stichhaltige Schlussweisen. Die Logik sollte jedoch einen nicht zu großen Anteil für sich beanspruchen. Das Augenmerk liegt auf der Einsicht. Anschaulich gemacht werden kann die logische Mathematik anhand der Euler-Kreise. Das mathematische Argumentieren, bzw. nach Winter ״die Mathematik als Schule des Sprechens", darf dabei jedoch nicht vernachlässigt werden. Vollständige Induktion und unvollständige Induktion sollten laut Winter ebenfalls im allgemeinbildenden Unterricht integriert sein. (vgl. Winter 1996, s.42)

Um den Bogen zur Grunderfahrung eins zu spannen, gilt es für die Reflexion auf das eigene Tun, zu überprüfen, ob die Modellbildung adäquat ist. ״Existiert ein besseres Modell und ist das ausgewählte Modell überhaupt plausibel? Kann man es vereinfachen?" Diese Fragen gehören zum Reflexionsstrang vom allgemeinbildenden Mathematikunterricht. Im letzten Schritt führt Reflektion dann wieder vom Modell zurück zur Realität. Die Bedeutung des Modells für das alltägliche Leben wird diskutiert. Mathematik kann auf positive und negative

Weise in die Welt verstrickt sein. Wenn ein Modell entworfen wird, kann man nicht voraussehen, wofür es später einmal benutzt wird. (vgl. Winter 1996, S.43)

Kapitel 2.2: Der Ableitungsbegriff

Die Hinführung zum, beziehungsweise die Behandlung des Ableitungsbegriffes nimmt in jeglichem Analysisunterricht eine zentrale Stellung ein. (vgl. Blum & Törner 1983, S.91)

In der Literatur existieren verschiedene Grundvorstellungen des Ableitungsbegriffes. Die Vorstellung des Ableitungsbegriffes als Änderungsrate und die Vorstellung der linearen Approximation sollen in diesem Abschnitt genauer beleuchtet werden. Weitere Grundvorstellungen, die den Ableitungsbegriff mathematischer behandeln, sollen lediglich benannt, jedoch nicht ausgeführt werden. Sie spielen in der Mathematikdidaktik der Oberstufe eine eher untergeordnete bis gar keine Rolle und sind damit für die Schulbuchanalyse von geringem Interesse.

2.2.1 Das Grundverständnis des Ableitungsbegriffes als Änderungsrate

Als erstes Grundverständnis des Ableitungsbegriffes soll das der Änderungsrate vorgestellt werden.

Bei nahezu allen anwendungsbezogenen Problemen der Mathematik, bei denen zwei Größen funktional voneinander abhängig sind, liegt das Interesse nicht nur auf den Werten selbst, sondern insbesondere auf der Änderung dieser Werte. Die zu verzeichnende Änderung führt uns zur mittleren Änderungsrate einer Funktion. Diese mittlere Änderungsrate einer Funktion in einem bestimmten Zeitraum soll nun im Fokus Stehen. Sie wird in der Literatur häufig unterschiedlich definiert. An dieser Stelle soll Blums und Törners Definition gelten. Sie definieren einerseits

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(nach Blum & Törner 1983, s.91)

Der Begriff der mittleren Änderungsrate steht im direkten Zusammenhang mit dem Differenzenquotient einer Funktion. Für den letzten Schritt der Kette von den einfachen Beschreibungen der Änderung zweier funktional abhängender Werte hin zur momentanen Änderungsrate einer Funktion an einer festen Stelle bedarf es des Grenzwertes des Differenzenquotienten, auch Differentialquotient genannt, (vgl. Blum & Törner 1983, S.91 sowie Danckwerts & Vogel 2006, S.56)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tietze, Klika und Wolpers bezeichnen diesen Ansatz daher auch als ״Differentialquotienten- Konzept" und definieren den Differentialquotient als

Dabei bezeichnet das f (a) den ״neuen" Begriff der Ableitung der Funktion an der festen Stelle a. (vgl. Tietze, Klika & Wolpers 2000, S.257)

Es lässt sich also festhalten, dass dieser Grenzwert des Differenzenquotienten das Änderungsverhalten der Funktion an einer festen Stelle beschreibt. Gleichzeitig ist er eine gute Näherung, um eine beliebige andere Änderungsrate zu approximieren, (vgl. Tietze, Klika & Wolpers 2000, S.257)

Danckwerts und Vogel zeigen als beispielhafte Kette den Weg vom aktuellen Bestand über den absoluten und relativen Zuwachs bis hin zur lokalen Änderungsrate auf. Anhand eines Geschwindigkeitsmodelles lässt sich dies noch einmal verdeutlichen, (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, S.57)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Der Weg vom Funktionswert zur Ableitung (aus Danckwerts & Vogel 2006, s.57)

Jeder einzelne Schritt erfordert neue Anstrengungen bei der Interpretation des mathematischen Hintergrunds hinein in Sachzusammenhänge, (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, S.58)

Das Problem der Bestimmung von lokalen Änderungsraten sollte laut Blum und Törner in einem anwendungsorientierten Analysis-Unterricht besondere Anwendung finden. Dadurch wird ein natürlicher Zugang zur Differentialrechnung geschaffen, (vgl. Blum & Törner 1983, s. 91 sowie Fischer 76, u.a.)

Hervorzuheben ist dabei der Übergang von der mittleren zur lokalen Änderungsrate im kinematischen Kontext. Dieser bedient sich intuitiv am Zeitkontinuum und dient somit der Aufschlüsselung des Weg-Zeit-Zusammenhangs. (nach Danckwerts & Vogel 2006, S.6)

2.2.2 Die Geometrie des Differenzenquotienten

Geometrisch veranschaulichen lassen sich mittlere bzw. lokale Änderungsraten am Graphen durch Sekanten- bzw. Tangentensteigungen, (vgl. Blum & Törner 1983, S.91)

Der Tangentenbegriff sollte Schülerinnen und Schüler bereits aus der Kreisrechnung bekannt sein, wo die Tangente als Stützgerade an einem Kreis dient. Diese Vorstellung gilt es nun zu revidieren zugunsten der Vorstellung einer Geraden, die sich lokal optimal an einen Graphen anpasst. Die Sekante sollte als eine Gerade, die einen Graphen in zwei Punkten schneidet, ebenfalls hinreichend aus der Kreisrechnung bekannt sein und andernfalls eingeführt werden, (vgl. Blum & Törner 1983, S.94)

Die Sekanten bzw. Tangentensteigungen spielen beim traditionellen Zugang zum Ableitungsbegriff mithilfe des Tangentenproblems die entscheidende Rolle. Die lokale Änderungsrate wird mithilfe der mittleren Änderungsrate approximiert. Geometrisch gesehen wird die Tangentensteigung durch die Sekantensteigung angenähert, (vgl. Blum & Törner 1983, S.93)

Der Differenzenquotient ist dabei der Anstieg der Sekante, die die Funktion f in den Punkten p(a|/(a)) und Q(a + h\f(a + /1)) schneidet. Die Tangente beschreibt nun den ״Grenzwert" dieser Sekanten und damit den Punkt, der, nachdem h gegen Null gelaufen ist, von der Tangente berührt wird. (vgl. Tietze, Klika & Wolpers 2000, S.257)

2.2.3 Eine Zusammenfassung der Grundvorstellung und ein Ausblick

Nachdem sich die Tangente als günstige Veranschaulichung der lokalen Änderungsrate bei den Schülerinnen und Schülern etabliert hat, gilt es, im Mathematikunterricht adäquate Vorstellungen des Tangentenbegriffs zu entwickeln, (vgl. Blum & Törner 1983, S.94)

Sinnvoll ist es dafür, viele Anwendungsbereiche von Änderungsraten herauszuarbeiten. Beispiele sind Modelle von Preissteigerungen, Lohnzuwächsen oder Inflationen. Auch die Stromstärke, Temperatur oder der simpelste Fall der Steigung gehören dazu. (vgl. Tietze, Klika & Wolpers 2000, S.191)

Zusammenfassend lässt sich die Grundvorstellung folgern: ״Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle a ist eine Zahl, die aus einem Grenzprozess hervorgeht und die lokale Änderungsrate von fan der Stelle a angibt.“ (nach Blum & Törner 1983, S.91)

Kirsch beschreibt das Funktionenmikroskop als eine Möglichkeit, dies zu verdeutlichen, (vgl. Blum & Törner 1983, s.94)

Das führt schließlich auch zum Grundverständnis der linearen Approximation, da der Graph bei ausreichender Vergrößerung geglättet erscheint.

2.2.4 Das Grundverständnis der Linearen Approximation

Das Konzept der linearen Approximation wird in der Fachliteratur häufig bevorzugt und daher als grundlegendes Konzept bezeichnet, (vgl. Tietze, Klika & Wolpers 2000, S.193)

Man spricht auch vom Verständnis über die lokale lineare Approximation, (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, S.68)

Die Kernidee der lokalen Approximation besteht darin, die zu untersuchende Funktion/an der Stelle a durch eine affine Funktion zu approximieren. Dabei begegnet uns zunächst eine bereits verwendete Definition der Änderungsrate, die nun folgendermaßen gleichgesetzt wird:

ƒ(a+/ł)-/(a) _ ш _|_ für jecĮes fo ψ о

(nach Tietze, Klika & Wolpers 2000, s.193) Dabei geht man von einem festen Wert m aus. Das r beschreibt die sogenannte ״Fehlerfunktion", die den relativen Fehler der Approximation von ƒ durch die (affine Ersatz-) Funktion h I—>/(a) +m-h festhält. Bei festen ƒ ist r nur von h abhängig. Es lässt sich schließlich festhalten, dass die Existenz einer lokalen Änderungsrate abhängig von der Existenz des Grenzwertes Нш/ļ^o r(K) = 0 ist. (vgl. Tietze, Klika & Wolpers 2000, s.193)

Anschaulich betrachtet, geht man davon aus, dass sich der Graph einer Funktion ƒ in der Nähe von Xq^[1] durch die Tangente in x0 so annähern lässt, dass der Fehler dieser Näherung besonders״gut" bzw. schneller als h gegen Null geht. Danckwerts und Vogel verdeutlichen das analytisch:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(nach Danckwerts & Vogel, S.71)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Illustrieren lässt sich dies in den zwei folgenden Diagrammen aus Danckwerts und Vogel.

Abbildung 2: Die Tangente als Approximation einer Abbildung 3. Die Tangente als Approximation einer Funktion (nach Danckwerts & Vogel 2006, s.71) Funktion (nach Danckwerts & Vogel 2006, S.72)

Eine geeignete Definition des Grundverständnisses des Ableitungsbegriffes über der lineare Approximierung liefern Blum und Törner: ״Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle a ist der Steigungsfaktor einer affin-Hnearen Funktion, welche ƒ in einer Umgebung von a am besten approximiert." (nach Blum Törner 1983 s. 96-97)

Äquivalent dazu formulieren Tietze, Klika und Wolpers etwas analytischer: ״ƒ heißt differenzierbar an der Stelle a, wenn gilt: es existiert eine reelle Zahl m und eine in einer Umgebung von Null erklärte, in Null selbst stetige Funktion r mit r(0) = 0, so dass gilt: f(a + h) = /(a) +771■ h + h■ r(h), für alle h aus der angegebenen Umgebung, m heißt dann die Ableitung an der Stelle a; sie wird auch mit f'(a) bezeichnet. Die linear
approximierende Funktion t: a + h I—> /(a) + m ■ h wird als Tangente bezeichnet." (nach Tietze, Klika & Wolpers 2000, S.258)

Die Funktion h ■ r misst die Güte der linearen Näherung. Dieses Fehlerglied läuft bei höherer Ordnung als eins und vorausgesetzt, h geht gegen Null, ebenfalls gegen Null. Dadurch kann man zeigen, dass die durch ŕ gegebene Gerade die optimal Approximierende ist. (vgl. "Hetze, Klika & Wolpers 2000, s.258)

Die Definition des Ableitungsbegriffes im Zuge des Konzeptes der linearen Approximierung ist äquivalent zu der des Verständnisses über die lokale Änderungsrate. (vgl. "Hetze, Klika & Wolpers 2000, s.258)

2.2.5 Vertiefende Grundverständnisse und eine Zusammenfassung

In der Theorie existieren verschiedene weitere Grundverständnisse des Ableitungsbegriffes, die in der Schule jedoch eher eine untergeordnete Rolle spielen. Das Konzept der stetigen Fortsetzung der Differenzenquotientenfunktion ist eines dieser Grundverständnisse. Es wird heute zur Einführung des Ableitungsbegriffes als eher ungeeignet gesehen, (vgl. Tietze, Klika & Wolpers 2000, S.258)

Daher wird es in dieser Arbeit keine weitere Berücksichtigung finden. Genauso soll das Konzept der Linearisierung mit quadratischem Fehler an dieser Stelle lediglich einmal genannt werden.

Die Fachliteratur stellt vor allem die ersten beiden vorgestellten Grundverständnisse des Ableitungsbegriffes in den Fokus. Wurden früher die beiden Grundverständnisse noch gleichgewichtet (vgl. Blum & Törner 1983, s.91ff.), steht seit einigen Jahren die Konzeption der lokalen Änderungsrate und dessen Interpretation als Steigung deutlich im Vordergrund, (vgl. Blum & Kirsch 1996)

Tietze, Klika & Wolpers geben dem Konzept sogar uneingeschränkten Vorzug, (vgl. Tietze, Klika & Wolpers 2000, s. 259)

Nichtsdestotrotz sei eine vertiefende Behandlung des Ableitungsbegriffes, beispielsweise in einem Leistungskurs, sinnvoll. Vor allem bei der Beleuchtung von Numerischen Näherungen, der Fehlerrechnung, der Taylorabschätzung, des Newton-Verfahrens und weiteren vertiefenden Beweisen erweist sich die Linearisierung als nützlich, (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, s. 74)

Insgesamt hat das Linearisierungskonzept jedoch an Bedeutung verloren.

2.3 Zugänge zum Ableitungsbegriff

2.3.1 Das Tangentenproblem als klassischer Zugang der Differentialrechnung

Um den Ableitungsbegriff einzuführen, existieren in der Literatur verschiedene Strategien. Der früher häufig verwendete, klassische Zugang ist das Tangentenproblem. Zunächst wird dabei mithilfe der Beobachtung, dass eine Kurve sich allgemein von Punkt zu Punkt ändert, auf den punktuellen Anstieg einer Funktion geschlossen. Die Steigung einer Kurve in einem bestimmten Punkt entspricht der Steigung der Tangente an diesem Punkt. Dieser Zugang ist eng vernetzt mit dem Grundverständnis der Änderungsrate. (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, S.45)

Im Endeffekt entspricht der Zugang des Tangentenproblems der geometrischen Interpretation der Änderungsrate. Nachdem der Tangentenbegriff eingeführt ist, findet ein Paradigmenwechsel zur analytischen Interpretation statt. Anschließend wird die Tangente als Grenzlage von Sekanten aufgefasst, um die spätere Berechnung mittels des Grenzwertes des Differenzenquotienten vorzubereiten, (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, S.49)

Dieser Weg gehört nach wie vor zu den bevorzugten Wegen, (vgl. Danckwerts Vogel 2006, S.50)

Es bleibt jedoch eine Häufung von Schwierigkeiten und Verständnisproblemen von Schülern, die nicht einmal bei hoher methodischer und didaktischer Anstrengung gänzlich auszuschließen sind. Danckwerts und Vogel sehen das Kernproblem in der Vermischung von geometrischen, analytischen und algebraischen Argumenten und Sichtweisen, (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, s.50)

Der im ersten Schritt des Konzeptes stattfindende Paradigmenwechsel stellt bereits eine erste Hürde dar. Der zweite Schritt der Annäherung der Tangente durch Sekanten steht im Widerspruch zur eigentlichen Schmieggeradendefinition der Tangente. Der dabei stattfindende Bruch in der Gedankenführung wird im dritten Schritt durch den Grenzwertbegriff verstärkt, (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, s.49ff)

Einen Ansatz, der deutlich anwendungsbezogener ist, liefern Danckwerts und Vogel mit ihrem Geschwindigkeitsmodell.

2.3.2 Das Geschwindigkeitsmodell als Alternativzugang

Dieser Zugang thematisiert ein kinematisches Beispiel, nämlich das der Momentangeschwindigkeit. Laut Danckwerts und Vogel sind in diesem Beispiel alle drei Grunderfahrungen Winters verarbeitet. Der Bezug zur Realität und Außenwelt aus Grunderfahrung eins, die Durchdringung eines zentralen mathematischen Begriffes (G2) und das erfolgreiche Arbeit durch Heurismen (G3). Einen Einstieg in die Differenzialrechnung über die Momentangeschwindigkeit findet ebenfalls in der Fachliteratur in den Werken von Sawyer 1964 und Wong 2003 Verwendung, (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, s.50-51)

Das Modell von Danckwerts und Vogel beleuchtet den zurückgelegten Weg eines Fahrzeugs in Abhängigkeit zu der Zeit. Diese Abhängigkeit wird durch eine Funktion beschrieben, die Weg-Zeit-Funktion. Sie ordnet jedem Zeitpunkt t den bis dahin zurückgelegten Weg s(t) zu. Also t I—> s(t). (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, S.51)

Die Weg-Zeit-Funktion soll möglichst realistisch definiert werden. Daher gehen Danckwerts und Vogel von einer quadratischen Steigung aus. Das bedeutet, das Fahrzeug bewegt sich bei fortschreitender Zeit immer rapider. Um herauszufinden, welche Wegstrecke in einem bestimmten Zeitabschnitt zurückgelegt wurde, muss man die Differenz der beiden Funktionswerte bestimmen. Beispielhaft soll derZeitraum von t0 bis t! ausgewählt werden. Dann berechnet man die Differenz 5(tļ) — s(t0). Daraus ergibt sich dann leicht durch das Beziehen der Wegdifferenz s(^) — s(t0) auf die Zeitdifferenz t! —10 die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall von t0 bis tļ, genauer gesagt durch das Dividieren der beiden Differenzen: Damit wurde die, umgangssprachlich als Durchschnittsgeschwindigkeit bezeichnete, Geschwindigkeit im Zeitintervall t0 bis tļ errechnet, (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, S.53)

Nun soll jedoch die Geschwindigkeit bestimmt werden, die das Fahrzeug in einem bestimmten Zeitpunkt hat, die Momentangeschwindigkeit. Hierfür nähern wir diese durch unsere errechnete mittlere Geschwindigkeit an. Dafür wird eine Tabelle verwendet. Sei s(t) = t[2]. Gesucht ist die Geschwindigkeit im Zeitpunkt t= 2. (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, S.54)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Die Annäherung von "oben"(nach Danckwerts & Vogel 2006, S.54)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5: Die Annäherung von "unten" (nach Danckwerts & Vogel 2006, s.54)

Aus der Näherung lässt sich schließen, dass sich in diesem Fall die Durchschnittsgeschwindigkeiten zu dem Wert 2 hinbewegen. Damit kann man annehmen, dass der Wert 2 m/s der gesuchten Momentangeschwindigkeit entspricht. Dies muss man jedoch noch beweisen, (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, s. 54)

Nimmt man das Intervall so ergibt sich aus der Formel für die

Durchschnittsgeschwindigkeit:

Wenn jetzt t der Wert 1 angenähert wird, kann man trivialerweise feststellen, dass die Geschwindigkeit ebenfalls dem Wert 2 entsprechend nahe kommt, (vgl. Danckwerts & Vogel 2006, S.55)

[...]

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^[1] x0 wurde zuvor als a bezeichnet