Diese Facharbeit beschäftigt sich mit Themen rund um den wohl berühmtesten Lehrsatz in der Mathematik, dem Satz des Pythagoras. Zum einen thematisiert diese Arbeit die Herleitung des Satzes und außerdem wird sich der Unendlichkeit der pythagoreischen Tripel angenommen. Hierbei werden geometrische sowie rechnerische Verfahren angewendet um alles möglichst klar darzustellen und dem Leser das Thema verständlich näher zu bringen. Zur Wissensaneignung wurden sowohl digitale Quellen als auch Print-Medien genutzt. Trotz des Zeitpunkts an dem diese Themen aktuell waren, hat mich die Geschichte hinter dem Satz sehr interessiert und auch, wie man ihn herleitet. An dieser Stelle möchte Ich gerne Johannes Kepler zitieren welcher einst sagte: „Die Geometrie birgt zwei große Schätze: Der eine ist der Satz des Pythagoras, der andere der goldene Schnitt. Den ersten können wir mit einem Scheffel Gold vergleichen, den zweiten als ein kostbares Juwel bezeichnen.“ - Johannes Kepler, 1609 Damit soll verdeutlicht werden, dass der Satz des Pythagoras trotz seines, schon damals, „fortgeschrittenen Alters“, nicht mehr wegzudenken ist. Ein ganz primitives Beispiel wäre dieses: Man kauft eine Leiter und man weiß nicht, wie hoch eine Mauer Maximal sein darf, damit die Leiter nicht zu kurz wäre. Zudem bestimmt man hier den maximalen Abstand zur Mauer. Denn die Leiter sollte nicht zu nah oder zu weit entfernt von der Mauer stehen. Dieses Problem lässt sich ganz leicht mit der Anwendung des Satzes lösen. Die Facharbeit ist in mehrere Teile zu unterteilen. Zum einen werden dem Leser jeweils das Grundwissen zum Satz des Pythagoras und den pythagoreischen Tripeln nähergebracht, zum anderen wird die Geschichte beider Themen thematisiert. Weiter wird untersucht, wie man den Satz des Pythagoras herleitet und, welche Rechnerischen Methoden es gibt, um pythagoreische Tripel herauszufinden. Zudem werden in Hinsicht auf die Unendlichkeit der pythagoreischen Tripel weitere Untersuchungen angestellt.
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
Satz des Pythagoras Geschichte
Satz des Pythagoras Basiswissen
Beispiel an einer Aufgabe
Herleitung vom Satz des Pythagoras
Pythagoreische Tripel
Nähere Erklärung zu pythagoreischen Tripeln
Rechenverfahren zur Unendlichkeit der pythagoreischen Tripel
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Facharbeit zielt darauf ab, den mathematischen Lehrsatz des Pythagoras fundiert darzustellen, seine historische Genese zu beleuchten und eine geometrische sowie rechnerische Herleitung zu liefern. Ein besonderer Fokus liegt auf der Untersuchung pythagoreischer Tripel sowie dem mathematischen Nachweis ihrer Unendlichkeit durch die Anwendung spezifischer Erzeugungsverfahren.
- Historische Entwicklung und Bedeutung des Satzes des Pythagoras
- Vermittlung des mathematischen Basiswissens
- Praktische Anwendung und Herleitung des Satzes
- Theorie der pythagoreischen Tripel
- Mathematische Methoden zur Erzeugung von Tripeln
Auszug aus dem Buch
Herleitung vom Satz des Pythagoras
Man stelle sich ein rechtwinkliges Dreieck vor. Die Kathete a hat eine Länge von 4cm und die Kathete b eine Länge von 3cm. Die Länge der Hypotenuse ist unbekannt. Natürlich könnte man jetzt einfach die Hypotenuse abmessen, hier soll jedoch eine Formel gefunden werden.
Dazu zeichnet man nun an die Hypotenuse c ein Quadrat mit der Seitenlänge c. Das Quadrat hat nun die Seitenlänge c hat also einen Flächeninhalt welcher c² beträgt. Wenn man nun also die Fläche des Quadrates hätte, könnte man aus dieser einfach die Wurzel ziehen. Dann hätte man die Länge c.
Hierzu zeichnet man an jede Seite des Hypotenusenquadrates jeweils ein, mit dem Dreieck des Beispiels, kongruentes Dreieck.
Es wurde nun ein weiteres Quadrat konstruiert welches die Seitenlänge a + b hat. Das heißt, um den Flächeninhalt des Quadrates zu berechnen, muss (a+b)² gerechnet werden.
Also: (3+4)² = 49
Um nun den Wert von c² heraus zu bekommen, muss man die Fläche der vier kongruenten Dreiecke nur von der Fläche des großen Quadrates abziehen.
Daraus folgt: 49cm² - 4 x 1/2 x 4cm x 3cm = 49 – 2 x 4cm x 3cm = 49cm² – 24cm² = 25cm²
Mit dieser Rechnung hat man nun die Größe von c² berechnet. Zieht man nun die Wurzel aus c² bekommt man als Ergebnis die Länge von c, also die Länge der Hypotenuse, heraus.
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung: Die Einleitung führt in die Bedeutung des Satzes des Pythagoras ein und beschreibt die Zielsetzung der Arbeit sowie die verwendete Methodik.
Satz des Pythagoras Geschichte: Dieses Kapitel behandelt die historischen Ursprünge des Satzes, von den Babyloniern bis hin zur Lebensgeschichte des Pythagoras von Samos.
Satz des Pythagoras Basiswissen: Hier werden die mathematischen Grundlagen des Satzes erläutert und die grundlegende Formel a² + b² = c² definiert.
Beispiel an einer Aufgabe: Anhand eines konkreten Rechenbeispiels wird die praktische Anwendung des Satzes des Pythagoras demonstriert.
Herleitung vom Satz des Pythagoras: Dieses Kapitel widmet sich der geometrischen Herleitung der berühmten Formel anhand von Flächenbetrachtungen.
Pythagoreische Tripel: Es wird definiert, was pythagoreische Tripel sind und welche Bedeutung sie als Lösungen der Gleichung a² + b² = c² haben.
Nähere Erklärung zu pythagoreischen Tripeln: Eine vertiefende Betrachtung der Tripel im Kontext diophantischer Gleichungen.
Rechenverfahren zur Unendlichkeit der pythagoreischen Tripel: Dieses Kapitel stellt Verfahren zur Erzeugung von Tripeln vor und beweist deren unendliches Vorkommen.
Schlüsselwörter
Satz des Pythagoras, Geometrie, Hypotenuse, Katheten, rechtwinkliges Dreieck, pythagoreische Tripel, diophantische Gleichungen, Mathematische Herleitung, Zahlentheorie, Geschichte der Mathematik, Binomische Formeln, Quadratflächen, Unendlichkeit, Beweisführung, primitive Tripel.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Facharbeit grundlegend?
Die Arbeit befasst sich umfassend mit dem Satz des Pythagoras, von seiner historischen Einordnung über die mathematische Herleitung bis hin zu den theoretischen Hintergründen pythagoreischer Tripel.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Zentrale Felder sind die geometrische Beweisführung des Satzes, die historische Bedeutung für Ägypter und Griechen sowie die rechnerische Untersuchung der Unendlichkeit von Tripeln.
Welches Ziel verfolgt der Autor mit dieser Untersuchung?
Das Ziel ist es, dem Leser das komplexe Thema durch eine Kombination aus historischen Fakten, anschaulichen Beispielen und geometrischen Herleitungen verständlich näherzubringen.
Welche wissenschaftliche Methode wird primär angewandt?
Der Autor nutzt eine theoretische Analyse unter Einbeziehung digitaler Quellen und Literatur, gepaart mit geometrischen Konstruktionen und algebraischen Rechenverfahren.
Was behandelt der Hauptteil des Dokuments?
Der Hauptteil gliedert sich in eine historische Aufarbeitung, die Definition und Anwendung des Satzes, die geometrische Herleitung sowie die mathematische Analyse pythagoreischer Tripel.
Durch welche Schlüsselwörter lässt sich der Inhalt charakterisieren?
Die Arbeit wird maßgeblich durch Begriffe wie Satz des Pythagoras, pythagoreische Tripel, Geometrie, diophantische Gleichungen und mathematische Herleitung geprägt.
Wie lässt sich ein pythagoreisches Tripel definieren?
Ein pythagoreisches Tripel besteht aus drei natürlichen Zahlen (a, b, c), die die Gleichung a² + b² = c² erfüllen und somit die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks beschreiben.
Welche Rolle spielen diophantische Gleichungen in der Arbeit?
Sie dienen dazu, die Suche nach pythagoreischen Tripeln formal als ganzzahlige Lösungen einer Gleichung zu definieren, bei der nur Interesse an ganzzahligen Ergebnissen besteht.
Wie wird die Unendlichkeit der pythagoreischen Tripel bewiesen?
Der Beweis erfolgt durch die Herleitung einer allgemeinen Erzeugungsformel, die zeigt, dass für beliebige teilerfremde Zahlen u und v immer neue, gültige Tripel generiert werden können.
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- Julius Finn Strahl (Autor), 2018, Der Satz des Pythagoras. Herleitung, Geschichte und Hintergründe, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/414737
