Die meisten Schülerinnen und Schüler sind nicht motiviert, etwas zu lernen, was sie später nie wieder gebrauchen können. Vor allem Lehrerinnen und Lehrer stehen daher oft vor der Herausforderung, junge Menschen für die Mathematik zu begeistern und sie dafür zu begeistern. Es erscheint demnach fraglich, wie Kinder (von Anfang an) für ein Schulfach gewonnen werden können, welches so stark polarisiert wie kaum ein anderes. Einige vergöttern die Mathematik für ihren Charakter, dass sie keinen Spielraum für "Richtig" oder "Falsch" hat, andere können schon Wochen vor einem Test nicht schlafen und wieder andere interessieren sich überhaupt nicht für die Disziplin des Rechnens mit Zahlen. Die meisten jungen Erwachsenen haben noch Jahre nach ihrer Schulzeit Angst vor dem Rechnen, wissen aber gleichzeitig um die Notwendigkeit der Zahlenkunst. Nur wie soll der Unterricht interessant gestaltet werden, wenn die Vorgaben des Kerncurriculums kaum Handlungsspielraum für Lehrer bieten? Es verbleibt zu wenig Zeit für Neues oder Exkurse in Themen, die nicht auf dem vorgesehenen Stundenplan stehen. Somit schließt sich der Teufelskreis für die engagierten Mathematiker in den Schulen. Genau diese Aussage ist falsch, denn Möglichkeiten gibt es mehr als genug. Lehrerinnen und Lehrer sollten durch ihr absolviertes Studium die Fähigkeiten besitzen, Lernsituationen immer wieder neu anzupassen und die aktuellen Bedürfnisse von Schülerinnen und Schülern in der Unterrichtsvorbereitung zu berücksichtigen. Der Kreativität sind hierbei keine Grenzen gesetzt. Die Lehrerschaft muss sich nur über eines bewusst werden; eine Weiterentwicklung des Unterrichts sollte niemals stoppen, denn dies ist einer der Haupttätigkeiten die den Pädagogen nach ihrem Studium zugrunde gelegt werden. Ziegler merkt hierzu kritisch an „[...]es gebe einfach zu wenig Fortbildung. In so einem Berufsleben zwischen 27 und 67 ändere sich die Auffassung vom Fach und von gutem Unterricht so stark, dass Lehrer alle zehn Jahre die Chance zu einem Neustart haben müssten, mit neuen Inhalten und neuer Didaktik." Diesen Leitgedanken sollte jede Lehrkraft tief verinnerlicht haben, denn dafür war das frühere Mathematikstudium gedacht. Oftmals wirkt das System der Lehrerausbildung sehr fachorientiert und genau das ist auch so gewollt.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Projektive Räume und Unterräume
2.1 Projektiver Raum
2.1.1 Definition
2.1.2 Bemerkung
2.1.3 Beispiel eines projektiven Raums
2.2 Projektiver Unterraum
2.2.1 Definition
2.3 Projektives Koordinatensystem
2.3.1 Definition
2.4 Projektive Dimension
2.4.1 Definition
3 Invarianten von Projektivitäten - Das Doppelverhältnis
3.1 Das Doppelverhältnis
3.1.1 Definition
3.1.2 Bemerkung
3.1.3 Geometrische Interpretation
3.1.4 Das Doppelverhältnis bleibt bei Projektivitäten erhalten
3.2 Rechenregel für das Doppelverhältnis
3.2.1 Lemma
3.2.2 Satz
3.2.3 Bemerkung
3.3 Beispiele zur Berechnung von Doppelverhältnissen
3.3.1 Beispiel 1
3.3.2 Beispiel 2
4 Der Satz vom Vollständigen Vierseit
4.1 Harmonische Punkte
4.1.1 Definition
4.1.2 Bemerkung
4.1.3 Beispiel
4.1.4 Bemerkung
4.2 Das vollständige Vierseit
4.2.1 Definition
4.2.2 Satz vom vollständigen Vierseit
4.3 Konstruktionen mit vollständigen Vierseiten
4.3.1 Konstruktion eines vierten harmonischen Punktes
4.3.2 Konstruktion eines Mittelpunktes
5 Schüler-AG
5.1 Grundlagenwissen
5.2 Motivation
5.3 Arbeitsweise
5.4 Ergebnis
6 Zusammenfassung
7 Schlussfolgerung
8 Danksagung
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit verfolgt das Ziel, das Konzept des Doppelverhältnisses im projektiven Raum sowie den Satz vom vollständigen Vierseit didaktisch aufzubereiten, um diese Themen in einer Schüler-AG der Oberstufe motivierend und verständlich zu vermitteln.
- Methodik des projektiven Raums und dessen Dimensionen.
- Mathematische Definition und Berechnung des Doppelverhältnisses.
- Invarianten von Projektivitäten und deren Bedeutung in der Geometrie.
- Theorie und Anwendung des Satzes vom vollständigen Vierseit.
- Praktische Konstruktionsaufgaben mit Zirkel und Lineal für Schüler.
Auszug aus dem Buch
3.1 Das Doppelverhältnis
Das Doppelverhältnis in der projektiven Geometrie wurde bereits von Pappus ca. 300 Jahre nach Christus verwendet und später von Desargue im 17. Jahrhundert weiterentwickelt. Die Verwendbarkeit ihrer Definitionen sind bis heute unangefochten und sollen im folgenden Abschnitt genauer beschrieben werden (vgl.[Beutelspacher and Rosenbaum, 1998][S.59ff.]).
Seien p0, p1, p2, p kollineare Punkte eines projektiven Raumes P(V) über einem Körper K, dann ist mit (λ : μ) = κ−1(p) ∈ P1(K), DV(p0, p1, p2, p) := λ : μ das Doppelverhältnis der Punkte p0, p1, p2, p.
Für μ ≠ 0 ist dies ein Element von K. Für den Fall das μ = 0 ist, gilt DV(p0, p1, p2, p0) = λ : 0 = ∞. Des Weiteren kann der Doppelpunkt zwischen λ und μ als Quotient verstanden werden und wird auch später zur Rechnung genau so genutzt.
Geometrisch gesehen, wird nun die Abbildung 3 betrachtet, in der das Doppelverhältnis zwischen den Punkten p0, p1, p2, p dargestellt ist. Hier bei sind p0, p1, p2 fest gewählt und spannen das projektive Koordinatensystem auf. Lediglich p kann beliebig variiert werden, wodurch sich das Doppelverhältnis DV(p0, p1, p2, p0) ändert (Siehe Abbildung 4). Der Zusammenhang zwischen den beiden Abbildungen besteht darin, dass die affine Gerade aus Abbildung 3 die Abzisse aus Abbildung 4 ist. Des Weiteren wird das Doppelverhältnis auf der y-Achse angegeben und es ist direkt abhängig vom Punkt p.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Die Arbeit beleuchtet die Herausforderungen des Mathematikunterrichts und zeigt Wege auf, durch Arbeitsgemeinschaften und komplexe Themen wie die projektive Geometrie das Interesse von Schülern zu fördern.
2 Projektive Räume und Unterräume: Dieses Kapitel definiert die mathematischen Grundlagen, insbesondere projektive Räume, Unterräume, Koordinatensysteme und die projektive Dimension.
3 Invarianten von Projektivitäten - Das Doppelverhältnis: Hier wird das Doppelverhältnis als zentrale Invariante der projektiven Geometrie eingeführt, mathematisch hergeleitet und anhand von Beispielen berechnet.
4 Der Satz vom Vollständigen Vierseit: Dieses Kapitel behandelt die harmonische Lage von Punkten und definiert das vollständige Vierseit, gefolgt von praktischen Konstruktionsanleitungen.
5 Schüler-AG: Hier wird der Bezug zur Praxis hergestellt, indem Grundlagen, Motivation und Arbeitsweise für eine AG in der Oberstufe diskutiert werden.
6 Zusammenfassung: Eine kurze Zusammenführung der Ergebnisse der Arbeit.
7 Schlussfolgerung: Eine reflektierte Betrachtung der Thematik.
8 Danksagung: Danksagung des Autors.
Schlüsselwörter
Projektive Geometrie, Doppelverhältnis, vollständiges Vierseit, projektiver Raum, harmonische Punkte, projektive Dimension, Zentralprojektion, Schulmathematik, Arbeitsgemeinschaft, analytische Geometrie, Invarianten, Konstruktion, affine Geometrie, homogene Koordinaten, Beweisführung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundlegend?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Theorie des Doppelverhältnisses und des Satzes vom vollständigen Vierseit sowie deren didaktischer Aufarbeitung für eine Schüler-AG.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Felder sind die projektive Geometrie, die Invarianz des Doppelverhältnisses, die harmonische Punktlage und geometrische Konstruktionsverfahren.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Ziel ist es, Schülern der Oberstufe komplexe mathematische Zusammenhänge außerhalb des regulären Kerncurriculums zugänglich zu machen und sie für mathematische Beweisführungen zu begeistern.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden mathematische Beweise innerhalb der projektiven Geometrie geführt und diese didaktisch für den schulischen Kontext (Arbeitsgemeinschaft) aufbereitet.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Fundierung des projektiven Raumes, die Herleitung des Doppelverhältnisses und die praktische Anwendung durch den Satz vom vollständigen Vierseit.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Projektive Geometrie, Doppelverhältnis, vollständiges Vierseit, harmonische Punkte und didaktische Vermittlung in der Oberstufe.
Wie lässt sich ein Doppelverhältnis bei vier kollinearen Punkten berechnen?
Die Arbeit stellt hierfür allgemeine Rechenregeln unter Verwendung von Koordinaten vor, die in einer Formel für das Doppelverhältnis resultieren.
Warum ist das Doppelverhältnis für die Arbeit so wichtig?
Es dient als Invariante in der projektiven Geometrie, da im Gegensatz zur affinen Geometrie andere Streckenverhältnisse nicht erhalten bleiben, was es zu einem mächtigen Werkzeug zur Klassifizierung macht.
- Quote paper
- Master of Education Patrice Fankhänel (Author), 2005, Das Doppelverhältnis und der Satz vom vollständigen Vierseit, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/415767
