Das Doppelverhältnis und der Satz vom vollständigen Vierseit

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Projektive Räume und Unterräume
2.1 Projektiver Raum
2.1.1 Definition
2.1.2 Bemerkung
2.1.3 Beispiel eines projektiven Raums
2.2 Projektiver Unterraum
2.2.1 Definition
2.3 Projektives Koordinatensystem
2.3.1 Definition
2.4 Projektive Dimension
2.4.1 Definition

3 Invarianten von Projektivitäten - Das Doppelverhältnis
3.1 Das Doppelverhältnis
3.1.1 Definition
3.1.2 Bemerkung
3.1.3 Geometrische Interpretation
3.1.4 Das Doppelverhältnis bleibt bei Projektivitäten erhalten
3.2 Rechenregel für das Doppelverhältnis
3.2.1 Lemma
3.2.2 Satz
3.2.3 Bemerkung
3.3 Beispiele zur Berechnung von Doppelverhältnissen
3.3.1 Beispiel
3.3.2 Beispiel

4 Der Satz vom Vollständigen Vierseit
4.1 Harmonische Punkte
4.1.1 Definition
4.1.2 Bemerkung
4.1.3 Beispiel
4.1.4 Bemerkung
4.2 Das vollständige Vierseit
4.2.1 Definition
4.2.2 Satz vom vollständigen Vierseit
4.3 Konstruktionen mit vollständigen Vierseiten
4.3.1 Konstruktion eines vierten harmonischen Punktes
4.3.2 Konstruktion eines Mittelpunktes

5 Schüler-AG
5.1 Grundlagenwissen
5.2 Motivation
5.3 Arbeitsweise
5.4 Ergebnis

6 Zusammenfassung

7 Schlussfolgerung

8 Danksagung

1 Einleitung

„Was als Schulfach präsentiert wird, ist ein kleiner, langweiliger Teil der Mathematik" [Roell, 2013]. Zu dieser Meinung kam 2013 Professor Günter Ziegler von der FU Berlin zum Thema Mathematik in Schulen.

Die meisten Schülerinnen und Schüler sind nicht motiviert, etwas zu lernen, was sie später nie wieder gebrauchen können. Vor allem Lehrerinnen und Lehrer stehen daher oft vor der Herausforderung, junge Menschen für die Mathematik zu begeistern und sie dafür zu begeistern.

Es erscheint demnach fraglich, wie Kinder (von Anfang an) für ein Schulfach gewonnen werden können, welches so stark polarisiert wie kaum ein anderes. Einige vergöttern die Mathematik für ihren Charakter, dass sie keinen Spielraum für "Richtig" oder "Falsch" hat, andere können schon Wochen vor einem Test nicht schlafen und wieder andere interessieren sich überhaupt nicht für die Disziplin des Rechnens mit Zahlen.

Die meisten jungen Erwachsenen haben noch Jahre nach ihrer Schulzeit Angst vor dem Rechnen, wissen aber gleichzeitig um die Notwendigkeit der Zahlenkunst. Nur wie soll der Unterricht interessant gestaltet werden, wenn die Vorgaben des Kerncurri- culums kaum Handlungsspielraum für Lehrer bieten? Es verbleibt zu wenig Zeit für Neues oder Exkurse in Themen, die nicht auf dem vorgesehenen Stundenplan stehen. Somit schließt sich der Teufelskreis für die engagierten Mathematiker in den Schulen. Genau diese Aussage ist falsch, denn Möglichkeiten gibt es mehr als genug. Lehrerinnen und Lehrer sollten durch ihr absolviertes Studium die Fähigkeiten besitzen, Lernsituationen im- mer wieder neu anzupassen und die aktuellen Bedürfnisse von Schülerinnen und Schülern in der Unterrichtsvorbereitung zu berücksichtigen. Der Kreativität sind hierbei keine Grenzen gesetzt. Die Lehrerschaft muss sich nur über eines bewusst werden; eine Weiterentwick- lung des Unterrichts sollte niemals stoppen, denn dies ist einer der Haupttätigkeiten die den Pädagogen nach ihrem Studium zugrunde gelegt werden. Ziegler [Roell, 2013] merkt hierzu kritisch an „[...]es gebe einfach zu wenig Fortbildung. In so einem Berufsleben zwischen 27 und 67 ändere sich die Auffassung vom Fach und von gutem Unterricht so stark, dass Lehrer alle zehn Jahre die Chance zu einem Neustart haben müssten, mit neuen Inhalten und neuer Didaktik."

Diesen Leitgedanken sollte jede Lehrkraft tief verinnerlicht haben, denn dafür war das frühe- re Mathematikstudium gedacht. Oftmals wirkt das System der Lehrerausbildung sehr fach- orientiert und genau das ist auch so gewollt. Tatsächlich ist das Studium so aufgebaut, dass angehende Lehrer sich die Fähigkeiten erarbeiten, neue mathematische Themenkomplexe anzueignen und diese in didaktisch für den Schulunterricht aufzuarbeiten und aufzubereiten. So können sich beispielsweise Lehrkräfte, die bereits lange in ihrem Beruf tätig sind, au- todidaktisch neue Fachkenntnisse für den Schulgebrauch aneignen. Mit viel Enthusiasmus können hier ganze Themenkomplexe neu aufgearbeitet und für den Schulunterricht ange- passt werden. Meist obliegt dieser Prozess alleinig einer Lehrperson. In Fachkonferenzen können neue Vorschläge auf Widerstand treffen, da eine einheitliche Vorbereitung auf das neue Schuljahr oder gar das Abitur vorausgesetzt und gefordert wird. Des Weiteren wird der Schritt zu neuen Aufgaben sehr häufig als Wagnis empfunden und kann auf Ablehnung vom Kollegium treffen.

Eine weitere Möglichkeit wäre, zusätzliches Lernmaterial in Form von Zusatzaufgaben für interessierte Schülerinnen und Schüler bereitzustellen. Hierbei könnten Vorträge bzw. Referate erstellt werden, welche vor dem kompletten Klassenverband vorgestellt werden müssten. Diese Methode ist sehr bekannt in der Schule und wird auch in der Oberstufe häufig angewendet. Problematisch zu betrachten ist hierbei der Aspekt, dass lediglich ein Schüler sich intensiv mit dem gestellten Thema befasst und dann in einer Art Kurzform vorstellt. Der Rest der Klasse nimmt oftmals lediglich oberflächliches Wissen mit, insofern dem Referat des vortragenden Schülers überhaupt interessiert zugehört wird.

Aus didaktischer Sicht wird sich diese Bachelorarbeit mit der Lernmethode der Arbeitsge- meinschaft (Kurzform: „AG") in der Oberstufe genauer befassen. Des Weiteren soll heraus- gestellt werden, welche Chancen und Risiken eine solche Arbeitsweise in sich birgt. Die Gründe, eine AG in der Oberstufe ins Leben zu rufen, sind vielschichtig und bieten vielen Schülerinnen und Schülern eine Gelegenheit sich weiterzuentwickeln. Denn sowohl an Fachhochschulen wie auch Universitäten bereitet gerade die Mathematik Studienanfän- gerinnen und Studienanfängern häufig sehr große Probleme. Daher ist es ratsam, sich mit mathematischen Denk- und Vorgehensweise schon vor dem ersten Universitätskurs zu be- schäftigen.

In der Mathematik werden stets allgemein gültige Aussagen formuliert, die später auch be- wiesen werden müssen. Die Beweismethoden und das korrekte Verfahren mit den verschie- denen Beweistechniken bereitet den meisten Studentinnen und Studenten in den ersten Se- mestern gehörige Probleme. Am Gymnasium werden Beweise sehr häufig zu kurz gehalten, viel zu wenig eingeübt oder ganz und gar weggelassen. (vgl.[Stuttgart-LS, 2015]) Es bietet sich daher an, einen Arbeitskreis zu bilden, der ausschließlich aus wissbegierigen Schülern besteht, die ein Ziel vor Augen haben oder sich schlicht für einen "Blick über den Tellerrand" interessieren.

Die Mathematik als Geisteswissenschaft bekommt somit einen höheren Stellenwert für einige Schülerinnen und Schüler und das wöchentliche Zeitkontingent für dieses Fach wird gesteigert. Bekanntermaßen bedeutet eine höhere Übungsdauer und -intensität auch gleichzeitig mehr Verständnis für die Thematik und Erfolgserlebnisse werden sich kurz über lang einstellen, so Ziegler (vgl.[Methling, 2009]).

Aus thematischer Sicht befasst sich diese Bachelorarbeit mit dem Doppelverhältnis im pro- jektiven Raum und dem Satz des vollständigen Vierseits und wie dieser Themenkomplex, der fernab vom Kerncurriculum gewählt wurde, inhaltlich umgesetzt werden könnte. Mit der Definition eines neuen Raumes beginnt hierbei schon die Denkaufgabe für die Schülerinnen und Schüler. Sich etwas Neues vorzustellen und dazu Konstruktionen zu entwickeln und zu deuten, darin besteht das inhaltliche Feld der Arbeitsgruppe. Eine behutsame Einführung neuer Denkschemata, sowie Techniken, welche mit ständiger Kontrolle einhergeht, sollte immer im Vordergrund stehen. Nur so kann sichergestellt werden, dass die Schüler Schritt für Schritt an das Universitätsniveau herangeführt werden.

Mathematik wirkt häufig so, als ob es vorprogrammiert ist, wer es beherrscht und wer nicht. Diese Auffassung ist so nicht richtig. Es entstehen immer wieder Lücken im Verständnis der Schülerinnen und Schüler, ddie dazu führen, dass Schüler den Unterrichtsstoff nicht begrei- fen, bei folgenden neue Themen abschalten und dem Unterricht nicht mehr folgen können (vgl.[Amon, 2011]). Es steht also außer Frage, dass eine Hinführung zu einem komplexen, neuen Thema mit Bedacht durchgeführt werden muss und es auf das Feingefühl das Lehrers ankommt, alle Teilnehmer der AG gleichermaßen zu fordern und zu fördern.

2 Projektive Räume und Unterräume

Diese o.g. Hinführung kann nun über unterschiedliche Wege geschehen. In der affinen Geo- metrie ist die Parallelprojektion ein zentrales Element um Sachverhalte zu erläutern. In der projektiven Geometrie hingegen ist die Zentralprojektion das Gegenstück hierzu. Die Anwendungsbereiche hierfür sind sehr vielseitig. In der Physik, Natur und Biologie exis- tieren sehr viele Beispiele, aber auch im Alltagsgeschehen können Modelle die Form einer Zentralprojektion annehmen. So ist bei Abbildung eines Raumes durch eine Linse oder eine Lochkamera auf eine Ebene immer auf die Erklärung einer Zentralprojektion zu schlussfolgern .

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