Bei dem vorliegenden wissenschaftlichen Aufsatz handelt es sich um eine Überarbeitung und Erweiterung der 1987 veröffentlichten Monographie "Kosmologisches Prinzip und nicht-archimedische absolute Geometrie".
Nichtarchimedizität in der Algebra bezeichnet das Versagen des archimedischen Axioms gegenüber dem Standardmodell über dem Körper IR.
Dieses Axiom lautet : Zu je zwei positiven reellen Zahlen a und b, a < b, lässt sich immer eine natürliche Zahl n angeben, die die Ungleichung n · a > b erfüllt.
Die geometrische Entsprechung ist das Axiom der Messbarkeit stetiger Größen durch eine Maßeinheit. Die Eigenschaft, dass eine Strecke stets durch endlich-maliges Vervielfachen jede andere Strecke übertreffen kann, geht verloren.
An zwei Beispielen wird die Bedeutung der Nichtarchimedizität auch in anderen Gebieten gezeigt.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Kosmologisches Prinzip und Nichtarchimedizität
- Zunächst die mathematische Grundlegung
- Gemäß <4> 88,89 gilt
- Wir gehen einen Schritt weiter und ordnen jedem Punkt xe E die ihn enthaltende Wolke x zu
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Arbeit untersucht die Bedeutung des archimedischen Axioms und dessen Versagen (Nichtarchimedizität) in verschiedenen Bereichen, insbesondere im Kontext des kosmologischen Prinzips. Es wird eine mathematische Struktur entwickelt, die die Homogenität des Universums widerspiegelt.
- Nichtarchimedizität in der Mathematik und ihre geometrische Interpretation
- Das kosmologische Prinzip und seine mathematische Modellierung
- Konstruktion einer mathematischen Struktur mit infinitesimalen Strecken
- Eigenschaften der konstruierten Struktur und der Wolkenoperator
- Anwendung der entwickelten mathematischen Struktur auf das kosmologische Prinzip
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung: Die Einleitung führt in das Thema der Nichtarchimedizität in der Algebra ein und erläutert das archimedische Axiom und dessen geometrische Entsprechung. Es wird auf das Versagen dieses Axioms im Standardmodell über dem Körper der reellen Zahlen hingewiesen und die Bedeutung der Nichtarchimedizität in anderen Gebieten angedeutet, wobei das kosmologische Prinzip als Beispiel genannt wird. Die Arbeit kündigt die Konstruktion einer mathematischen Struktur an, die die Besonderheiten des kosmologischen Prinzips erfüllt.
Kosmologisches Prinzip und Nichtarchimedizität: Dieses Kapitel beschreibt das kosmologische Prinzip als eine Verallgemeinerung des kopernikanischen Prinzips, welches die Homogenität des Universums postuliert. Die beobachtete Expansion des Universums ohne erkennbares Zentrum wird als weiterer Aspekt dieses Prinzips genannt. Das Kapitel formuliert die Aufgabe, eine mathematische Struktur zu schaffen, die diese Homogenität widerspiegelt, und leitet damit zur mathematischen Modellierung über.
Zunächst die mathematische Grundlegung: In diesem Abschnitt wird die mathematische Grundlage für die Modellierung gelegt. Es wird von einer absoluten Ebene ausgegangen, die durch verschiedene Axiome definiert wird. Das Stetigkeitsaxiom wird jedoch nicht angewendet, stattdessen wird die Existenz infinitesimaler Strecken postuliert (Axiom B). Die Definitionen von infinitesimalen, endlichen und unendlichen Strecken werden eingeführt und die Eigenschaften dieser Strecken untersucht. Die mathematischen Grundlagen, die im weiteren Verlauf für die Entwicklung der Struktur genutzt werden, werden hier etabliert.
Gemäß <4> 88,89 gilt: Dieses Kapitel präsentiert Sätze und Beweise, die die Eigenschaften der infinitesimalen Strecken weiter untersuchen. Es werden Aussagen über kollineare Punkte und Dreiecke bewiesen, welche die Beziehungen zwischen verschiedenen Streckenlängen und deren Zugehörigkeit zu den Mengen der infinitesimalen, endlichen und unendlichen Strecken beschreiben. Diese Sätze bilden den mathematischen Kern der Argumentation und sind essentiell für den Aufbau der gewünschten Struktur.
Wir gehen einen Schritt weiter und ordnen jedem Punkt xe E die ihn enthaltende Wolke x zu: Hier wird der Begriff der "Wolke" eingeführt, die die Menge aller Punkte umfasst, die zu einem gegebenen Punkt infinitesimal benachbart sind. Die Konstruktion der Wolkenmenge Ê und die Untersuchung der Eigenschaften der Struktur (Ê, Ô) bilden den Schwerpunkt dieses Abschnitts. Der Wolkenoperator wird definiert und als Hüllenoperator bewiesen. Die Eigenschaften der Wolkenstrecken und Wolkengeraden werden erörtert, und es wird gezeigt, dass in dieser Struktur jeder Punkt als Zentrum betrachtet werden kann, was die Anforderungen des kosmologischen Prinzips erfüllt.
Schlüsselwörter
Nichtarchimedizität, archimedisches Axiom, kosmologisches Prinzip, Homogenität, infinitesimale Strecken, mathematische Modellierung, Wolkenoperator, absolute Ebene, endliche Kosmos.
Häufig gestellte Fragen zu: Mathematische Modellierung des Kosmologischen Prinzips unter Berücksichtigung der Nichtarchimedizität
Was ist das zentrale Thema dieser Arbeit?
Die Arbeit untersucht die mathematische Modellierung des kosmologischen Prinzips unter Berücksichtigung der Nichtarchimedizität, d.h. des Versagens des archimedischen Axioms. Ziel ist die Konstruktion einer mathematischen Struktur, die die Homogenität des Universums widerspiegelt.
Was ist das archimedische Axiom und warum ist dessen Versagen (Nichtarchimedizität) relevant?
Das archimedische Axiom besagt grob gesagt, dass es für je zwei positive Größen immer eine natürliche Zahl gibt, mit der man die kleinere Größe multiplizieren kann, um die größere zu übersteigen. Die Nichtarchimedizität bedeutet, dass dieses Axiom nicht gilt, was die Existenz infinitesimaler Größen ermöglicht. Diese sind für die Modellierung des unendlich großen Kosmos relevant.
Wie wird das kosmologische Prinzip mathematisch modelliert?
Die Modellierung erfolgt durch die Konstruktion einer mathematischen Struktur mit infinitesimalen Strecken. Ein zentraler Bestandteil ist der "Wolkenoperator", der jedem Punkt eine "Wolke" infinitesimal benachbarter Punkte zuordnet. Diese Struktur erlaubt es, jeden Punkt als Zentrum zu betrachten, was der Homogenität des Universums entspricht.
Welche mathematischen Konzepte werden verwendet?
Die Arbeit verwendet Konzepte aus der Algebra und Geometrie, insbesondere die Definition und Untersuchung infinitesimaler, endlicher und unendlicher Strecken. Es werden Axiome eingeführt, um die absolute Ebene zu definieren, auf der die Struktur aufgebaut wird. Sätze und Beweise untersuchen die Eigenschaften der infinitesimalen Strecken und der "Wolken".
Was sind die wichtigsten Kapitel und deren Inhalte?
Die Arbeit gliedert sich in eine Einleitung, ein Kapitel zum kosmologischen Prinzip und zur Nichtarchimedizität, ein Kapitel zur mathematischen Grundlegung, ein Kapitel mit Sätzen und Beweisen über infinitesimale Strecken, und ein Kapitel zur Einführung und Untersuchung des Wolkenoperators und der resultierenden Struktur.
Was ist der Wolkenoperator und welche Rolle spielt er?
Der Wolkenoperator ordnet jedem Punkt eine "Wolke" von infinitesimal benachbarten Punkten zu. Er wird als Hüllenoperator bewiesen und ist essentiell für die Konstruktion der mathematischen Struktur, die die Homogenität des Kosmos widerspiegelt. Die Struktur (Ê, Ô) mit den Wolkenmengen erfüllt die Anforderungen des kosmologischen Prinzips.
Welche Schlüsselwörter beschreiben die Arbeit?
Schlüsselwörter sind: Nichtarchimedizität, archimedisches Axiom, kosmologisches Prinzip, Homogenität, infinitesimale Strecken, mathematische Modellierung, Wolkenoperator, absolute Ebene, endlicher Kosmos.
Für wen ist diese Arbeit relevant?
Diese Arbeit ist relevant für Mathematiker und Physiker, die sich mit der mathematischen Modellierung des Kosmos und der Nichtarchimedizität auseinandersetzen. Sie bietet einen neuen Ansatz zur Beschreibung der Homogenität des Universums.
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- Dr. Carl Heinz Fisch (Author), 2018, Gedanken zur Relevanz der Nichtarchimedizität, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/427725
