Bei dem vorliegenden wissenschaftlichen Aufsatz handelt es sich um eine Überarbeitung und Erweiterung der 1987 veröffentlichten Monographie "Kosmologisches Prinzip und nicht-archimedische absolute Geometrie".
Nichtarchimedizität in der Algebra bezeichnet das Versagen des archimedischen Axioms gegenüber dem Standardmodell über dem Körper IR.
Dieses Axiom lautet : Zu je zwei positiven reellen Zahlen a und b, a < b, lässt sich immer eine natürliche Zahl n angeben, die die Ungleichung n · a > b erfüllt.
Die geometrische Entsprechung ist das Axiom der Messbarkeit stetiger Größen durch eine Maßeinheit. Die Eigenschaft, dass eine Strecke stets durch endlich-maliges Vervielfachen jede andere Strecke übertreffen kann, geht verloren.
An zwei Beispielen wird die Bedeutung der Nichtarchimedizität auch in anderen Gebieten gezeigt.
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
Kosmologisches Prinzip und Nichtarchimedizität
Ein philosophischer Bezug
Zielsetzung und Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht die mathematische Konstruktion einer absoluten Ebene, in der das archimedische Axiom nicht erfüllt ist, und analysiert deren Relevanz unter Anwendung auf das kosmologische Prinzip sowie in einem philosophischen Kontext.
- Mathematische Grundlagen der Nichtarchimedizität
- Konstruktion von infinitesimalen Strecken und Punktmengen
- Strukturbildung durch Wolkenoperatoren
- Zusammenhang zwischen nichtarchimedischer und archimedischer Geometrie
- Philosophische Implikationen aktual unendlich kleiner Elemente
Auszug aus dem Buch
Kosmologisches Prinzip und Nichtarchimedizität
Das kosmologische Prinzip, eine Verallgemeinerung des kopernikanischen Prinzips, besagt:
Es unterscheidet sich nicht nur der Ort unseres Sonnensystems im Universum durch nichts von anderen Positionen. Es gibt im Universum auch keinen einzigen Bereich, der gegenüber einem anderen durch irgendetwas ausgezeichnet ist. Von welcher Galaxie aus man das Universum auch betrachtet, immer bietet es das gleiche Bild. Das Universum ist homogen.
In dieses kosmologische Prinzip fügt sich auch die beobachtete Expansion des Universums, denn sie hat scheinbar kein Zentrum. Wir stellen uns die Aufgabe, eine mathematische Struktur zu konstruieren, die eine solche Besonderheit erfüllt.
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung: Dieses Kapitel definiert den Begriff der Nichtarchimedizität als Versagen des archimedischen Axioms und führt das kosmologische Prinzip als Anwendungsbeispiel ein.
Kosmologisches Prinzip und Nichtarchimedizität: In diesem Teil werden die mathematischen Axiome für eine absolute Ebene mit infinitesimalen Strecken hergeleitet und die Bildung von Wolkenmengen als neue Struktur untersucht.
Ein philosophischer Bezug: Das abschließende Kapitel überträgt die geometrischen Konstruktionen auf angeordnete Körper und diskutiert die Verwendung von infinitesimalen Elementen als aktual unendlich kleine Größen.
Schlüsselwörter
Nichtarchimedizität, archimedisches Axiom, kosmologisches Prinzip, absolute Ebene, infinitesimale Strecken, Wolkenoperator, Hüllenoperator, Rechtseitebene, Bewertungsring, Erweiterungskörper, euklidische Geometrie, homogene Struktur, Punktmenge, mathematische Konstruktion, infinitesimale Elemente
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die mathematische Theorie nichtarchimedischer Geometrien und deren Anwendung, um Strukturen zu modellieren, die kein ausgezeichnetes Zentrum aufweisen, ähnlich dem kosmologischen Prinzip.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Felder sind die algebraische Geometrie, speziell nichtarchimedisch geordnete Körper, sowie deren Übertragung auf physikalisch-kosmologische Modellvorstellungen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Ziel ist die Konstruktion einer mathematischen Struktur, die das Versagen des archimedischen Axioms nutzt, um eine Homogenität zu erreichen, bei der jeder Punkt als Zentrum fungieren kann.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird eine axiomatische Herleitung verwendet, die auf einer absoluten Ebene basiert und durch die Definition von infinitesimalen Strecken und Wolkenoperatoren eine neue Klassenbildung vollzieht.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil widmet sich der strengen mathematischen Fundierung, der Definition von Mengen infinitesimaler und endlicher Strecken sowie der Konstruktion einer archimedischen Großordnung aus einer nichtarchimedischen Basis.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit wird durch Begriffe wie Nichtarchimedizität, infinitesimale Strecken, Wolkenoperator und kosmologisches Prinzip charakterisiert.
Was besagt das kosmologische Prinzip in diesem Kontext?
Es besagt, dass das Universum homogen ist und kein Bereich gegenüber einem anderen ausgezeichnet ist, was mathematisch durch eine Struktur ohne singuläres Zentrum abgebildet werden soll.
Was versteht man unter einer „Wolke“ in dieser Arbeit?
Eine Wolke ist eine definierte Menge von Punkten, die mittels des Wolkenoperators konstruiert wird, um in der resultierenden Struktur als neue „Punkte“ fungieren zu können.
Was ist die Bedeutung der infinitesimalen Elemente?
Sie dienen als mathematisches Werkzeug, um eine Geometrie zu schaffen, in der das archimedische Axiom nicht gilt, und werden philosophisch als aktual unendlich kleine Elemente interpretiert.
Welche Rolle spielt die Rechtseitebene?
Die Rechtseitebene dient als grundlegende Struktur, auf der die nichtarchimedischen Konstruktionen aufbauen, um am Ende zu einer archimedischen euklidischen Ebene überzugehen.
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- Dr. Carl Heinz Fisch (Autor), 2018, Gedanken zur Relevanz der Nichtarchimedizität, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/427725
