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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis ... 2
Didaktisch-methodischer Kommentar ... 1
Kapitel 1:
Basiswissen ... 2
Formen der quadratischen Gleichung ... 2
Normalform ... 2
Allgemeine Form ... 2
Lösungsmethoden der quadratischen Gleichung ... 2
Lösung mit der p/q-Formel ... 2
Lösung durch Faktorisieren ... 3
Kapitel 2:
Aufgaben zum Basiswissen ... 5
Aufgabe 1:
Terme vervollständigen bei angegebener Lösung ... 5
Aufgabe 2:
Terme ergänzen abhängig von der Anzahl der Lösungen ... 6
Kapitel 3:
Zahlenrätsel mit algebraischem Bezug ... 8
Aufgabe 1:
Zahlen mit besonderen Eigenschaften bestimmen ... 8
Aufgabe 2:
Argumentieren und Begründen bei Zahlenrätseln ... 10
Kapitel 4:
Zahlenrätsel mit geometrischem Bezug ... 12
Aufgabe 1:
Seitenlängen von Rechtecken bestimmen ... 12
Aufgabe 2:
Flächeninhalte von Quadraten bestimmen ... 13
Kapitel 5:
Spielerische Übungen ... 15
Aufgabe 1:
Quadratisches Gleichungsdomino ... 15
Aufgabe 2:
Quadratisches Gleichungsquartett ... 18
Aufgabe 3:
Quadratisches Gleichungssextett ... 19
Aufgabe 4:
Lösen mit der p/q-Formel ... 21
Mein Lösungswort: ... 22
Aufgabe 5:
Lösen durch Faktorisieren ... 23
Mein Lösungswort: ... 25
Aufgabe 6:
Treppauf und treppab mit quadratischen Gleichungen ... 26
Aufgabe 7:
Faktoren und Summanden ergänzen ... 31
Aufgabe 8:
Äquivalente quadratische Gleichungen finden... 33
Aufgabe 9: Kreuz und quer faktorisieren ... 35
Kapitel 6:
Grafische Betrachtungen ... 37
Aufgabe 1:
Quadratische Terme grafisch veranschaulichen ... 37
Aufgabe 2:
Rechtecksmaßzahlen durch Faktorisierung bestimmen ... 38
Kapitel 7:
Aufgaben in Sachzusammenhängen ... 39
Aufgabe 1:
Einen Spielplatz umgestalten ... 39
Aufgabe 2:
Grundstücksmaße berechnen ... 41
Aufgabe 3:
Verkaufsflächen verändern ... 42
Aufgabe 4:
Kreditsummen und Zinssätze berechnen ... 43
Lösungen ... 44
Kapitel 2:
Aufgaben zum Basiswissen ... 44
Kapitel 3:
Zahlenrätsel mit algebraischem Bezug ... 48
Kapitel 4:
Zahlenrätsel mit geometrischem Bezug... 50
Kapitel 5:
Spielerische Übungen mit Selbstkontrolle ... 51
Kapitel 6:
Grafische Betrachtungen ... 56
Kapitel 7:
Aufgaben in Sachzusammenhängen ... 57
2018 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach
Seite 1
Didaktisch-methodischer Kommentar
Als Hilfswerkzeuge in verschiedenen Themenbereichen der Mathematik, ins-
besondere der Differenzial- und Integralrechnung, spielen quadratische Terme
und Gleichungen innermathematisch eine zentrale Rolle. Die grundlegende
Einführung im Unterricht der Sekundarstufe 1 empfinden jedoch viele Schüle-
rinnen und Schüler oft als ziemlich trocken.
Dieses Buch soll helfen, die Materie motivierender zu gestalten. Abwechs-
lungsreiche Einkleidungen in Sachzusammenhänge, handlungsorientierte Le-
gespiele, spannende Rätselformen mit Möglichkeiten der Selbstkontrolle so-
wie Anreize zum Argumentieren, Begründen und problemlösenden Denken
sind geeignet, Interesse und Neugier zu wecken.
Alles in allem zeigt dieses Buch alternative Wege zu einer interessanteren und
damit einprägsameren Vermittlung des so wichtigen Themenkomplexes der
quadratischen Terme und Gleichungen auf.
2018 Wolfgang Göbels Bergisch Gladbach
Seite 2
Kapitel 1: Basiswissen
Formen der quadratischen Gleichung
Normalform
Eine Gleichung der Form
x² + px + q = 0
(ausmultiplizierte Form)
oder
(x + u)(x + v) = 0 (faktorisierte Form)
heißt quadratische Gleichung.
Die Form x² + px + q = 0 heißt auch Normalform der quadratischen Gleichung.
Allgemeine Form
Eine Gleichung der Form
ax² + bx + c = 0
(a 0)
entsteht aus der Normalform x² + p x + q = 0
durch die Äquivalenzumformung
2
2
0
0
b
c
ax
bx c
x
x
a
a
mit
b
p
a
und
c
q
a
.
Die Form ax² + bx + c = 0 heißt allgemeine Form der quadratischen Gleichung.
Lösungsmethoden der quadratischen Gleichung
Lösung mit der p/q-Formel
Diese Lösungsmethode geht von der Normalform aus und ist am gebräuch-
lichsten, da der Lösungsweg sehr systematisch aufgebaut ist.
Die quadratische Gleichung
2
0
x
px q
hat
die Lösungen
2
1
2
2
p
p
x
q
und
2
2
2
2
p
p
x
q
, wenn
2
0
2
p
q
,
die Lösung
1
2
p
x
, wenn
2
0
2
p
q
, keine Lösung, wenn
2
0
2
p
q
.
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Seite 3
Beispiele zur Lösung mit der p/q-Formel
Beispiel 1
² 14
24 0
7
49 24 7 5
x
x
x
Lösungen:
x
1
= 2, x
1
= 12
Beispiel 2
² 14
49 0
7
49 49 7
x
x
x
Lösung:
x
1
= 7
Beispiel 3
² 14
50 0
7
49 50
x
x
x
Keine Lösung
Beispiel 4
Umwandlung der allgemeinen Form in die Normalform:
1
² 7
12 0
² 14
24 0
2
x
x
x
x
(durch Multiplikation beider Seiten mit 2)
Die nachfolgenden beiden Lösungsmethoden seien hier noch der Vollständig-
keit halber vorgestellt. Sie werden eher selten zur Lösung einer quadratischen
Gleichung angewendet, da sie oftmals nur mit einem höheren Zeitaufwand
zum Ziel führen.
Lösung durch Faktorisieren
Wenn es Zahlen u und v gibt mit
u v = q und u + v = p,
dann gilt
x² + px + q = (x + u)(x + v).
Die Zahlen u und v erhält man durch systematisches Ausprobieren.
Vorgehensweise:
Kombiniere zunächst verschiedene Faktorenzerlegungen von q mit verschie-
denen Summandenzerlegungen von p und prüfe jeweils danach die Gültigkeit
von x² + px + q = ( x + u ) ( x + v ).
Die Lösungen der Gleichung sind dann x
1
= u und x
2
= v.
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Seite 4
Beispiele zur Lösung durch Faktorisieren
Beispiel 1
x² + 10x + 24 = 0
Zu der ganzzahligen Faktorenzerlegung von q = 24 = 4 6 gehört die Sum-
mandenzerlegung p = u + v = 4 + 6 = 10.
x² + 10x + 24 = ( x + 4 ) (x + 6 ) = 0 hat die Lösungen x
1
= 4 und x
2
= 6.
Beispiel 2
x² 10x + 24 = 0
Zu der ganzzahligen Faktorenzerlegung von q = 24 = ( 4 ) ( 6 ) gehört die
Summandenzerlegung p = u + v = ( 4 ) + ( 6 ) = 10.
x² 10x + 24 = ( x 4 ) (x 6 ) = 0 hat die Lösungen x
1
= 4 und x
2
= 6.
Beispiel 3
x² + 2x 24 = 0
Zu der ganzzahligen Faktorenzerlegung von q = 24 = ( 4 ) 6 gehört die
Summandenzerlegung p = u + v = ( 4 ) + 6 = 2.
x² + 2x 24 = ( x 4 ) (x + 6 ) = 0 hat die Lösungen x
1
= 4 und x
2
= 6.
Beispiel 4
x² 2x 24 = 0
Zu der ganzzahligen Faktorenzerlegung von q = 24 = 4 ( 6 ) gehört die
Summandenzerlegung p = u + v = 4 + ( 6 ) = 2.
x² 2x 24 = ( x + 4 ) (x 6 ) = 0 hat die Lösungen x
1
= 4 und x
2
= 6.
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Seite 5
Kapitel 2: Aufgaben zum Basiswissen
Aufgabe 1:
Terme vervollständigen bei angegebener
Lösung
Ergänze in den quadratischen Gleichungen die fehlende Zahl so, dass die
Gleichung die angegebene Lösung hat.
Gib gegebenenfalls auch die zweite Lösung an.
a)
x² + 7x +
__
= 0, x
1
= 2
b)
x² +
__
x 12 = 0, x
1
= 3
c)
x²
__
x 7 = 0, x
1
= 1
d)
x² 11x +
__
= 0, x
1
= 10
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e)
x² __x + 1 = 0, x1 = 1
f)
x² + 6x +
__
= 0, x
1
= 3
Aufgabe 2:
Terme ergänzen abhängig von der
Anzahl der Lösungen
Bestimme in jeder quadratischen Gleichung den Wert a so, dass sie
keine,
genau eine,
genau zwei Lösung(en)
hat.
Gib gegebenenfalls die Lösung, bzw. die Lösungen an.
a)
x² + 8x + a = 0
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b)
x² a x + 36 = 0
c)
x² 24x + a = 0
d)
x² + a x + 144 = 0
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Kapitel 3: Zahlenrätsel mit
algebraischem Bezug
Aufgabe 1:
Zahlen mit besonderen Eigenschaften
bestimmen
Bestimme jeweils Zahlen mit den angegebenen Eigenschaften.
a)
Das Produkt aus der um 3 verkleinerten und der um 9 vergrößerten
Zahl beträgt 13.
b)
Multipliziert man die um 6 vergrößerte mit der um 6 verkleinerten Zahl,
so erhält man das 9fache der Zahl.
c)
Multipliziert man die um 5 verkleinerte mit der um 8 vergrößerten Zahl,
so erhält man das Produkt aus der um 10 vergrößerten und der um 4
verkleinerten Zahl.
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d)
Quadriert man eine Zahl, so erhält man den Nachfolger des verdoppel-
ten Nachfolgers der Zahl.
e)
Multipliziert man eine Zahl mit ihrem Nachfolger, so erhält man das Pro-
dukt aus zwei Nachfolgern der Zahl.
f)
Eine Zahl wird um 3 größer, wenn man sie mit ihrem Vorgänger multipli-
ziert.
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Aufgabe 2:
Argumentieren und Begründen bei Zahlen-
rätseln
Anna und Ben testen gegenseitig ihre Mathekenntnisse. Jeder von den beiden
denkt sich eine natürliche Zahl aus.
Anna behauptet:
,,Wenn ich meine gedachte Zahl von ihrem Quadrat subtrahiere, so erhalte ich
das Ergebnis 2."
Anna hat sich die Zahl ____________ gedacht.
Ben entgegnet:
,,Wenn ich meine gedachte Zahl zu ihrem Quadrat addiere, so erhalte ich das
dreifache Ergebnis, also 6."
Ben hat sich die Zahl ____________ gedacht.
Anna überlegt einen Moment:
,,Stimmt, so ein Zufall! Dann hast du dir ja dieselbe Zahl gedacht wie ich!"
Was denkst du? Hat Anna Recht? Begründe.
Excerpt out of 62 pages
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- Wolfgang Göbels (Author), 2018, Quadratische Terme und Gleichungen vielseitig anwenden. Übungen für die Sekundarstufe, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/431388
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