Dans cette ouvrage, différentes techniques ont été adoptées, comme par exemple, la méthode des inégalités de l’énergie, cette méthode appelée aussi méthode d’analyse fonctionnelle qui est basée sur les idées de J. Leray et L. Garding et présentée sous forme d’une méthode par A. A. Dezin pour l’étude des problèmes aux limites liés aux équations elliptiques, aussi bien par la méthode de formulation variationnelle des problèmes aux limites développée par Lax-Milgram et Stampaccia. Par contre la méthode de degré topologique de Leray-Schauder et la méthode de sous et sur solution permet également de résoudre des problèmes aux limites qui n’ont pas de formulation variationnelle.
Table des matières
1 Généralités et quelques rappels
1.1 Rappels d’analyses fonctionnelles
1.1.1 Espaces normés et espaces de Banach
1.1.2 Espaces de Hilbert
1.1.3 Les espaces de Sobolev Wlm(Ω) et Ẇlm(Ω), (Ω ⊂ ℝn)
1.2 Quelques Inégalités Importantes
1.2.1 Inégalité de Cauchy
1.2.2 Inégalité de Cauchy avec ε
1.2.3 Des inégalités fonctionnelles
1.3 Le degré topologique
1.3.1 Quelques définitions importantes
1.3.2 Degré topologique de Brouwer
1.4 Principe du maximum
1.5 Problème de valeurs propres
2 Théorème d’existence et d’unicité de la solution pour les E.D.P dans les espaces fonctionnels
2.1 Plan de l’étude de l’équation ℒu = f
2.2 Espace de Banach, espace de Hilbert
3 Formulation variationnelle des problèmes aux limites
3.1 Lemme de Lax-Milgram
3.2 Applications
3.2.1 Problèmes aux limites elliptiques avec les conditions de Dirichlet
3.2.2 Problèmes aux limites elliptiques avec les conditions de Neumann
4 Méthode énergétique
4.1 Notions générales, position du problème
4.2 Solutions généralisées dans W12(Ω). Première inégalité de l’énergie
4.3 Deuxième inégalité de l’énergie pour les opérateurs elliptiques
5 Résultat d’existence des solutions des problèmes aux limites quasi-linéaires étudiées par la théorie de degré topologique
5.1 Résultat principale
5.2 Le cas λ = λ1
6 Résultat d’existence de solutions faibles positives d’un système elliptique
6.1 Définitions et notations
6.2 Résultat d’existence
Objectifs et thèmes de recherche
Ce travail a pour objectif d'explorer et d'appliquer diverses méthodes mathématiques pour démontrer l'existence et l'unicité de solutions pour les équations aux dérivées partielles (E.D.P.) de type elliptique. Il se concentre sur l'analyse fonctionnelle, les méthodes variationnelles et la théorie du degré topologique pour résoudre des problèmes linéaires et quasi-linéaires complexes.
- Étude des espaces de Sobolev et des inégalités fonctionnelles fondamentales.
- Analyse de l'existence et de l'unicité via la méthode des inégalités de l'énergie et le lemme de Lax-Milgram.
- Résolution de problèmes aux limites quasi-linéaires par l'approche du degré topologique.
- Application de la méthode de sous et sur-solution pour des systèmes elliptiques.
Auszug aus dem Buch
Introduction Générale
Les équations aux dérivées partielles de types elliptiques ont été soigneusement étudiées durant le vingtième siècle. Ces études ont été surtout menées par Courant et Hilbert [13] et ses co-auteur et d’autre chercheurs et savants comme Dirichlet, Neumann et J.L. Lions ([11, 12]). Un grand nombre d’articles ont été publiés dans ce domaine et plusieurs livres ont vu le jour, nous citons entre autres les ouvrages suivants ([1, 3, 5, 9, 13]).
Ce travail décrit quelques outils et méthodes pour l’étude des équations aux dérivées partielles de types elliptiques. Ces outils sont utilisés pour obtenir des résultats d’existence et d’unicité. Dans cette mémoire, différentes techniques ont été adoptées, comme par exemple, la méthode des inégalités de l’énergie cette méthode, appelée aussi méthode d’analyse fonctionnelle, est basée sur les idées de J. Leray et L. Garding [7, 8] est présentée sou forme d’une méthode par A. A. Dezin [4] pour l’étude des problèmes aux limites liés aux équations elliptiques, aussi bien par la méthode de formulation variationnelle des problèmes aux limites développée par Lax-Milgram et Stampaccia ([3]). Par contre la méthode de degré topologique de Leray-Schauder permet également de résoudre des problemes aux limites qui n’ont pas de formulation variationnelle (voir Otared Kavian[9]).
Résumé des chapitres
1 Généralités et quelques rappels : Ce chapitre pose les bases théoriques en introduisant les espaces de Sobolev, les inégalités fonctionnelles clés et les concepts de degré topologique.
2 Théorème d’existence et d’unicité de la solution pour les E.D.P dans les espaces fonctionnels : Cette partie développe le cadre mathématique pour établir l'existence et l'unicité des solutions dans les espaces de Banach et de Hilbert.
3 Formulation variationnelle des problèmes aux limites : Ce chapitre se concentre sur le lemme de Lax-Milgram et ses applications directes pour résoudre des problèmes aux limites elliptiques avec des conditions de Dirichlet ou de Neumann.
4 Méthode énergétique : Ici, l'étude porte sur les solutions généralisées et l'établissement des première et deuxième inégalités de l'énergie pour les opérateurs elliptiques.
5 Résultat d’existence des solutions des problèmes aux limites quasi-linéaires étudiées par la théorie de degré topologique : Ce chapitre utilise le degré topologique pour démontrer l'existence de solutions faibles pour des problèmes quasi-linéaires.
6 Résultat d’existence de solutions faibles positives d’un système elliptique : Ce chapitre final applique la technique des sous et sur-solutions pour prouver l'existence de solutions positives pour un système d'équations elliptiques.
Mots-clés
Équations aux dérivées partielles, type elliptique, espaces de Sobolev, Lax-Milgram, degré topologique, existence, unicité, méthode énergétique, opérateur Laplacien, solution faible, analyse fonctionnelle, conditions de Dirichlet, conditions de Neumann, problème aux limites.
Questions fréquemment posées
Quel est le sujet principal de ce travail ?
Le document traite de l'étude mathématique des équations aux dérivées partielles (E.D.P.) elliptiques, en se concentrant sur les preuves d'existence et d'unicité des solutions dans des espaces fonctionnels.
Quels sont les domaines mathématiques abordés ?
Les principaux domaines sont l'analyse fonctionnelle, les méthodes variationnelles (notamment Lax-Milgram), la théorie du degré topologique de Leray-Schauder et les méthodes énergétiques.
Quel est l'objectif de la recherche ?
L'objectif est d'appliquer différentes méthodes analytiques, telles que les inégalités de l'énergie et la théorie du degré, pour résoudre des problèmes aux limites linéaires et quasi-linéaires.
Quelles méthodes sont utilisées dans la thèse ?
Les méthodes incluent la formulation variationnelle, l'approche de la contraction stricte, le principe du maximum, ainsi que la méthode des sous et sur-solutions pour les systèmes elliptiques.
Que traite-t-on dans la partie principale de l'ouvrage ?
Le corps du texte détaille les preuves théoriques pour diverses classes d'équations, depuis les bases d'analyse fonctionnelle jusqu'aux résultats d'existence pour des problèmes quasi-linéaires et des systèmes elliptiques complexes.
Quels sont les termes clés de cette recherche ?
Les termes centraux incluent : équations elliptiques, espaces de Sobolev, lemme de Lax-Milgram, degré topologique, solution faible, et opérateur de Laplace.
Pourquoi le lemme de Lax-Milgram est-il important ici ?
Il constitue la base fondamentale de la méthode variationnelle, permettant de garantir l'existence et l'unicité de la solution pour des problèmes elliptiques linéaires.
Qu'est-ce que le degré topologique dans ce contexte ?
Il s'agit d'un outil puissant pour résoudre des problèmes aux limites non linéaires qui ne possèdent pas nécessairement de formulation variationnelle.
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- Zaraï Abderrahmane (Author), 2018, Problèmes Elliptiques. Existence et Unicité, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/433892
