Flexibles Rechnen in der Grundschule

Inhalt

VORWORT

THEORETISCHER TEIL
1. Methoden des Rechnens
1.1 Kopfrechnen
1.2 Halbschriftliches Rechnen
1.3 Schriftliche Verfahren des Rechnens
2. Rechenstrategien
2.1 Halbschriftliches Rechnen: Addition
2.2 Halbschriftliches Rechnen: Subtraktion
2.3 Probleme und mögliche Fehler beim halbschriftlichen Rechnen
3. Flexibles Rechnen
3.1 Hintergrund
3.2 Bildungsstandards und Teilrahmenplan

PRAKTISCHER TEIL
4. EIGENE UNTERSUCHUNG
4.1 Rahmenbedingungen
4.2 Untersuchungsmaterial
4.2.1 Erste Studie: Teil A
4.2.2 Zweite Studie: Teil B
4.3 Methoden und Durchführung der Untersuchung
4.3.1 Teil A
4.3.2 Teil B
4.4 Ergebnisse
4.4.1 Teil A
4.4.2 Teil B

FAZIT

LITERATURVERZEICHNIS

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

ANHANG
Elternbrief
Aufgabenmuster Teil A
Aufgabenmuster Teil B
Bearbeitete Aufgabenblätter: Teil A
Bearbeitete Aufgabenblätter: Teil B

Vorwort

Das flexible Rechnen ist ein essentielles Ziel im Mathematikunterricht. Anhand der TIMSSStudien von 2007 und 2009 ist auffällig, dass knapp 20% der Grundschülerinnen und Grundschüler am Ende der vierten Klasse große Defizite im Fach Mathematik und zum Teil nur elementare mathematische Fertigkeiten aufweisen (vgl. Rechtsteiner-Merz, 2013, S.13; Krauthausen/Scherer, 2008, S.190).

Im Mittelpunkt des flexiblen Rechnens stehen das Verständnis des Zahlbegriffs und der Rechenstrategien, die als Grundlage dienen, um generelle Einblicke in Zahl- und Aufgabenbeziehungen zu erlangen und diese verknüpfen zu können. Es wird angestrebt, dass einfache zählende Rechnen durch das Automatisieren von Fakten zu ersetzen, um so zum verstehenden Rechnen zu gelangen, denn das zählende Rechnen ist fehleranfällig, zeitaufwändig und bedarf an hoher Konzentration (vgl. Rechtsteiner-Merz, 2013, S.26 ff.).

Der Teilrahmenplan Mathematik als auch die Bildungsstandards sehen es als eines der wichtigsten Ziele des Mathematikunterrichts an, allgemeine mathematische Fähigkeiten am Ende der Grundschulzeit erworben zu haben: Argumentieren, Modellieren, Kommunizieren, Problemlösen und Darstellen. Diese prozessbezogenen Kompetenzen, die erst durch die Einführung der Bildungsstandards relevant wurden, sollten bereits ab dem ersten Schuljahr stattfinden bzw. gelehrt werden, dass die Kinder am Ende ihrer Grundschulzeit einen eigenständigen Mathematikunterricht und ein selbsterklärendes Rechnen erlebt haben, sodass sie mathematisch selbstständig sind (vgl. Rahmenplan Grundschule - Teilrahmenplan Mathematik, 2014,, S.10 ff.; Bildungsstandards, 2004, S. 7f.).

Da die Kinder oft Defizite und Probleme in den Kompetenzen des Argumentierens und Begründens haben, kann ein Unterricht, in dem die Kinder mathematisch weitestgehend selbstständig arbeiten, sie eher zum flexiblen Denken befähigen, weil sie dadurch Inhalte und Zusammenhänge verstehen und im besten Falle auch Anderen erklären müssen (vgl. Hasemann/Gasteiner, 2014, S. 70 ff., 127 f.; Krauthausen/Scherer, 2008, S.193).

In dieser Bachelorarbeit geht es um die Analyse flexiblen Rechens in einer dritten Jahrgangsstufe. Um die Basis für das Analysieren meiner Untersuchung zu schaffen, wird im Theorieteil auf die Rechenmethoden, die Rechenstrategien der halbschriftlichen Addition und Subtraktion und deren Fehler eingegangen, bevor der theoretische Teil mit dem Auseinandersetzen des flexiblen Rechnens endet.

Theoretischer Teil

1. Methoden des Rechnens

In der Grundschule unterscheidet man im Allgemeinen zwischen vier Rechenmethoden. Ursprünglich sollte sich die Bachelorarbeit auf nur zwei dieser Rechenarten beschränken, jedoch wurde aufgrund der durchgeführten Praxisuntersuchung auch das schriftliche Rechnen relevant. Lediglich das Rechnen mit dem Taschenrechner spielt in der hier vorliegenden Arbeit keine Rolle.

1.1 Kopfrechnen

Beim Kopfrechnen wird eine Aufgabe ohne Hilfsmittel und ohne eine Notation von Zwischenschritten gelöst (vgl. Krauthausen/Scherer, 2007, S.43).

Das Kopfrechnen wird nicht nur auf das reine Ausrechnen einer Aufgabe im Kopf beschränkt, sondern auf das Merken von Zwischenschritten und Teilergebnissen und das Auswendigwissen von Grundaufgaben (mit deren Umkehrungen) erweitert (vgl. Krauthausen/Scherer, 2008, S.43; Rathgeb-Schnierer, 2006, S.49; Schipper, 2009, S.126).

Schipper (2009) fordert, Aufgaben, die nur einen Rechenschritt benötigen, sollen als Grundvoraussetzung von Kindern im Kopf gerechnet werden können. Um dies zu bewältigen, spielt die Größe der Zahlen keine Rolle, jedoch sollte das Wissen über das Stellenwert- und Analogieverständnis vorhanden sein. Je größer eine Zahl wird, desto mehr erfordert es eine Vereinfachung (zum Beispiel ein vorher gelerntes Verfahren) zu nutzen. Hierzu muss der Grundstein bereits im ersten Schuljahr gelegt werden. Einem Kind muss bereits während der Behandlung des Zahlenraums bis 20 bewusst gemacht werden, dass sich alle Aufgaben auch auf weitere Zahlenräume (bis 100 und bis 1000) übertragen lassen

(vgl. Schipper, 2009, S.116, 141).

12 + 3 = 15,

da 2 + 3 = 5 (Analogiebildung)

Sicher ist das Kopfrechnen für den Mathematikunterricht unabdingbar, aber gerade auch im Alltag ist es für Kinder unerlässlich. Nicht umsonst heißt es: Non scholae sed vitae discimus. (Wir lernen nicht für die Schule, sondern für das Leben.) Ein Kind muss den Umgang mit Geld erst erlernen. Schickt man es beispielsweise mit 3€ in eine Eisdiele, damit es sich ein Eis kaufen kann, muss es wissen, wie viele Kugeln Eis sich das Kind für 3€ kaufen kann.

Es sind alltägliche Probleme, zum Beispiel auch im Umgang mit der Zeit, die man ohne das

Kopfrechnen nur schwer bewältigen kann.

1.2 Halbschriftliches Rechnen

Halbschriftliches Rechnen wird auch als „gestütztes (Kopf-)Rechnen“ bezeichnet, welches durch die Notation von Teilschritten oder Zwischenergebnissen gekennzeichnet ist . Maßgebend ist hier, dass die Art und Weise der Notation nicht festgelegt ist, auch wenn dies in manchen Schulbüchern anders scheint. Durch den offenen Weg der Notation, deutet sich eine erste Hinführung zum flexiblen Rechnen an (vgl. K ü hnel, 1930, S.63; Padberg, 2007, S.160; Krauthausen/Scherer, 2007, S.43, 46).

Padberg (2007) zeigt einige Stärken, aber auch Probleme des halbschriftlichen Rechnens auf. Hierfür setzt er aber sowohl von der Schüler- als auch von der Lehrerseite und seitens des Lehrwerks gewisse Dinge voraus:

Die Schülerinnen und Schüler (im Nachfolgenden abgekürzt mit ‚SuS‘) sollen am selbstständigen Entdecken möglichst vieler verschiedener Rechenwege interessiert sein, geeignete Vorkenntnisse besitzen, im Unterricht voll Aufnahmefähig sein und die notwendigen kognitiven Fähigkeiten aufweisen (vgl. Padberg, 2007, S. 194).

Von Seiten der Lehrkräfte setzt er voraus, dass sie geeignete und ausreichende Kenntnisse über die verschiedenen halbschriftlichen Rechenstrategien besitzen, welche während des Unterrichts bei den einzelnen SuS zeitnah und hinreichend erkannt werden, gute Verständigungsmöglichkeiten für die SuS (durch geeignete Notationen) bieten und somit Fortschritte eines einzelnen Schülers und der ganzen Klasse erreichen (vgl. Padberg, 2007, S. 194).

Sofern diese Voraussetzungen gegeben sind, kann das halbschriftliche Rechnen …

…eigene Wege eines Schülers oder einer Schülerin aufzeigen, sodass auf eigenem Wege eine (richtige) Lösung erreicht wird (vgl. Padberg, 2007, S.195). …die SuS dazu bewegen, eine Aufgabe flexibel zu lösen (vgl. Padberg, 2007, S.195). …für die SuS anschaulich und verständlich bleiben, da mit den Zahlen als Ganzes und nicht ziffernweise (wie zum Beispiel beim schriftlichen Rechnen) gerechnet wird (vgl. Padberg, 2007, S.195).

…den SuS helfen, ihre eigenen Lösungswege und Überlegungen übersichtlich aufzuschreiben und so zu formulieren, dass sie für andere zugänglich werden (vgl. Padberg, 2007, S.195).

…differenzieren (vgl. Padberg, 2007, S.196).

…helfen, das Kopfrechnen bei größeren Zahlen in der Zahlenraumerweiterung bis

100 oder bis 1000 erfolgreich zu bewältigen (vgl. Padberg, 2007, S.196).

Jedoch bringt der Mathematikunterricht in der Praxis auch einige Probleme mit sich, die laut Padberg in den hohen Anforderungen an die Lehrkraft durch die Leistungsheterogenität der Schülerinnen und Schüler begründet ist. Dadurch werden die hohen Anforderungen auch an die SuS übertragen, da besonders leistungsschwache SuS nicht einmal die Grundaufgaben verstehen und das Scheitern an weiteren Aufgaben absehbar ist. Die Änderung der Variation einer halbschriftlichen Strategie zum Lösen einer Aufgabe erfolgt sehr selten (vgl. Padberg, 2007, S.196 ff.).

Trotz der dargestellten Probleme, sollte die Anwendung des halbschriftlichen Rechnens im Unterricht nicht vernachlässigt werden, denn es hängt viel vom Leistungsstand der Klasse, der Motivation der einzelnen SuS und von der Leistungsheterogenität ab, in wie weit man das halbschriftliche Rechnen als Lehrkraft durchführen kann, sodass es nicht rezeptartig angewendet wird, sondern auch ein Blick über den Tellerrand hinaus, möglich ist (vgl. Padberg, 2007, S.199 ff.).

1.3 Schriftliche Verfahren des Rechnens

Das schriftliche Rechnen ist ein Rechnen mit einzelnen Ziffern auf der Basis des Stellenwertsystems [E(iner), Z(ehner), H(underter),…]. Es beruht auf einem allgemeingültigen Verfahren, welches in seinem Ablauf festgelegt ist und dadurch nach verbindlichen Vorschriften gerechnet wird. Die einzelnen Schritte erfolgen beim Normalverfahren nach einem festen Algorithmus in einer bestimmten Reihenfolge, bei dem das Ergebnis ziffernweise ermittelt wird (vgl. Krauthausen/Scherer, 2008, S.43, 49; Padberg, 2007, S. 203).

Um das schriftliche Rechnen möglich zu machen, sind die Verfahren des Kopfrechnens und des halbschriftlichen Rechnens notwendig. Ebenso ist es wichtig die Grundaufgaben zu beherrschen und über das Bündelungsprinzip Bescheid zu wissen. Zwar sind die Anforderungen des Kopfrechnens beim schriftlichen Rechnen gering, dennoch muss man dem Einspluseins, Einmaleins, sowie den dazugehörigen Umkehrungen mächtig sein, die gleichzeitig als Voraussetzung für die schriftliche Addition dienen (vgl. Schipper, 2009, S.182, 193; Padberg, 2007, S.204).

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Verfahren der schriftlichen Addition jeden Stellenwert getrennt betrachtet, um ihn spaltenweise zu addieren (E+E, Z+Z, H+H). Das jeweilige Ergebnis der E, Z, H usw. schreibt man unter den Rechenstrich. Der eventuelle Übertrag wird in die höher folgende Spalte mitgenommen und dort verrechnet (vgl. Padberg, 2007, S.203).

An dieser Stelle ist es wichtig, die Kinder den Rechenvorgang mitsprechen zu lassen, da das Sprechen hilft, das Verfahren zu verinnerlichen. Eine weitere Methode, um das schriftliche Rechnen (hier insbesondere die Addition) zu verinnerlichen, ist beispielsweise das Arbeiten und Veranschaulichen mit Plättchen oder mit Mehrsystemblöcken, das man an der Stellentafel darstellen kann (vgl. Das Zahlenbuch - Mathematik im 3. Schuljahr, 2001, S.38; Zahlenreise 3, 2000, S.17; Schipper, 2009, S.193).

Die schriftliche Addition lässt sich gut an das halbschriftliche Rechnen anknüpfen. Dies bietet sich ideal als Hinführung und Einstieg in die Verfahren des schriftlichen Rechnens an. Wichtig ist, dass man an dieser Stelle den Kindern klarmacht, dass das halbschriftliche Rechnen nicht mit der höchsten Stelle (von links nach rechts) beginnt, sondern rechts bei den Einern, da es sich um Stellenwerte handelt (vgl. Das Zahlenbuch - Mathematik im 3. Schuljahr, 2001, S.63; Padberg, 2007, S.211).

Bei der schriftlichen Subtraktion unterscheidet man zwischen dem Abzieh- und Ergänzungsverfahren. Während man beim Abziehverfahren die Differenz durch Subtraktion bestimmt, wird beim Ergänzungsverfahren die kleinere Zahl durch passende Addition zur größeren Zahl aufaddiert. Dies hat den Vorteil, dass das Aufwärtszählen von den Kindern in der Regel besser bewältigt wird als das Abwärtszählen. Durch das Wegnehmen beim Abziehverfahren, wird so der eigentliche Sinn einer Subtraktion deutlich. Auch die gleichzeitige Sprachwiedergabe trägt hier zur Verinnerlichung bei (vgl. Padberg, 2007, S.223; Schipper, 2009, S.200).

Hinsichtlich des Übertrags führt Padberg (2007) drei Techniken an: Entbündelungstechnik (Borgetechnik), Erweiterungstechnik, Auffülltechnik. Bei der Entbündelungstechnik wird im Minuend eine Einheit des um eins höher folgenden Stellenwert entbündelt, während bei der Auffülltechnik der Minuend unverändert bleibt. Hier wird dem Subtrahenden eine Zahl beigefügt, um den Minuend als Zielzahl zu erhalten. Bei der Erweiterungstechnik werden Minuend und Subtrahend um den jeweils gleichen Betrag erweitert, so dass die Differenz der beiden Zahlen unverändert bleibt (vgl. Padberg, 2008, S.225 ff.; Schipper, 2009, S.201ff.).

2. Rechenstrategien

Um eine Aufgabe anschaulicher und leichter rechnen zu können, gibt es verschiedene Strategien, die als Hilfsmittel angesehen werden können.

Mit dem Begriff ‚Strategien‘ sind in dieser Arbeit „halbschriftliche Hauptstrategien“ gemeint, da beim halbschriftlichen Rechnen die Notation und der Rechenweg nicht eindeutig vorgegeben sind (vgl. Krauthausen/Scherer, 2007, S.47).

Ein weiteres Argument für Strategien, ist die Tatsache, dass beim halbschriftlichen Rechnen keine Normalverfahren verfolgt werden, sondern geschickt und vorteilhaft gerechnet werden soll (vgl. Rathgeb-Schnierer, 2006, S.65).

Die Notation der Aufgaben zum halbschriftlichen Rechnen bezieht sich auf die Form der Notation, die in den Schulbüchern zu finden ist. Andere Notationsformen wie zum Beispiel von Wittmann (1992) sind in dieser Arbeit sekundär. Wittmann schlägt im Gegensatz zur Variante der Notation in Schulbüchern beispielsweise vor, unter dem Rechenstrich nur den Rechenweg festzuhalten und Zwischen- und Endergebnisse hinter dem Gleichheitszeichen zu notieren, während bei der Schulbuch-Notation sowohl die Teilaufgaben als auch die Teilergebnisse unter dem Rechenstrich beschrieben sind (vgl. Wittmann zit. nach Padberg, 2007, S.166).

2.1 Halbschriftliches Rechnen: Addition

Padberg (2007, S.167 ff.) unterscheidet zwischen folgenden Hauptstrategien:

1. Schrittweises Rechnen

Signifikant bei dieser Strategie ist die Zerlegung des ersten oder des zweiten Summanden (E oder Z). Danach wird schrittweise weitergerechnet (vgl. Padberg, 2007, S.167).

2. Stellenweises Rechnen

Hier werden, im Gegensatz zur Strategie des Schrittweisen Rechnens, beide Summanden ihren Stellenwerten (H, Z, E) entsprechend zerlegt. Entweder beginnend mit dem kleinsten oder größten Stellenwert (vgl. Padberg, 2007, S.168).

3. Mischformen

Innerhalb der Mischformen kombinieren die SuS die Strategien des Schrittweisen Rechnens und Stellenweisen Rechens miteinander (vgl. Padberg, 2007, S.168 f.).

4. Hilfsaufgabe

Hier werden ähnliche Aufgaben (z.B. Analogieaufgaben) gesucht, bei denen man nur eine oder zwei Zahlen verändern muss und das Ergebnis dadurch leichter ermittelt werden kann. „Durch Auf- und Abrunden eines Summanden auf den nächsten vollen Zehner oder Hunderter oder in speziellen Fällen auch durch Analogieaufgaben kann man […] oft naheliegende Hilfsaufgaben gewinnen“ (Padberg, 2007, S.168 f.).

5. Vereinfachen

Man erreicht eine Vereinfachung der Aufgabe durch das gegensinnige Verändern. Die ursprüngliche Aufgabe wird dadurch so abgeändert, dass das Ergebnis unverändert bleibt, die Ergebnisfindung aber deutlich leichter wird. Aufgrund des gegensinnigen Veränderns spricht man auch vom „Gesetz von der Konstanz der Summe“(vgl. Padberg, 2007, S.169).

2.2 Halbschriftliches Rechnen: Subtraktion

Padberg (2007, S.170 ff.) unterscheidet auch hier zwischen folgenden Hauptstrategien, wobei Strategien 1 und 2 analog zu Kapitel 2.1 sind:

1. Schrittweises Rechnen

Bei dieser Strategie wird der Subtrahend zerlegt und schrittweise vom Minuend subtrahiert (vgl. Padberg, 2007, S.170 f.).

2. Stellenweises Rechnen

Man beginnt beim kleinsten Stellenwert und subtrahiert stellenweise (H, Z, E). Padberg merkt an, dass diese Strategie jedoch mit einigen Schwierigkeiten behaftet sei, da man leicht in den negativen Zahlenbereich rutschen könne. Aufgrund dessen wird diese Strategie nur in wenigen Schulbüchern thematisiert (vgl. Padberg, 2007, S.171).

3. Hilfsaufgabe

Wie bei der halbschriftlichen Addition in Kapitel 2.1 setzt auch diese Strategie wieder auf das Suchen und Finden ähnlicher Aufgaben. So kann durch das Auf- oder Abrunden eines Summanden auf den nächsten vollen Zehner oder Hunderter eine leichtere Hilfsaufgabe genutzt werden (vgl. Padberg, 2007, S.172).

4. Vereinfachen

Während man beim Vereinfachen der halbschriftlichen Addition auf das Gesetz von der Konstanz der Summe und damit auf das gegensinnige Verändern zurückgreift, nutzt man hier das gleichsinnige Verändern. Daher spricht man auch vom „Gesetz von der Konstanz der Differenz“. Ziel ist es hier also den Wert der Differenz durch das gleichsinnige Verändern unverändert zu lassen (vgl. Padberg, 2007, S.172).

5. Ergänzen

Diese Strategie gibt es bei der halbschriftlichen Addition nicht. Man ergänzt schrittweise vom Subtrahenden zum Minuenden. Diese Strategie ist besonders effektiv, wenn Minuend und Subtrahend nahe beieinander liegen (vgl. Padberg, 2007, S.172 f.).

Das halbschriftliche Rechnen beschränkt sich auf den Zahlenraum bis 100 und mit Einschränkungen bis 1000, da im Zahlenraum bis 100 die Strategien des halbschriftlichen Rechnens am besten entdeckt, verdeutlicht und umgesetzt werden können. Die Strategien des halbschriftlichen Addierens und Subtrahierens bieten die meiste Vielfalt an Strategien, wohingegen beim halbschriftlichen Multiplizieren und Dividieren fast nur noch das Schrittweise Rechnen anzuwenden ist (vgl. Padberg, 2007, S.200f.).

2.3 Probleme und mögliche Fehler beim halbschriftlichen Rechnen

Nach Schipper, Krauthausen/Scherer und Padberg, dessen Inhalt u.a. auf einer Untersuchung von Meseth/Selter (2002) beruht, entstehen die häufigsten Schwierigkeiten und Fehler der SuS beim halbschriftlichen Rechnen (vgl. Padberg, 2007, S.186 ff.; Krauthausen/Scherer, 2008, S.202 ff.; Schipper, 2009, S.136 ff.):

- Notationsfehler
- Merk- oder Konzentrationsfehler

Addition:

- Vergessen eines Summanden
- doppeltes Verwenden eines Summanden

Subtraktion:

- doppeltes Verwenden eines Subtrahenden/Minuenden
- Rechenfehler

Addition:

- Addition zweistelliger Zahlen
- Nichtberücksichtigung eines Zehners oder Hunderters beim Übergang
- Zählfehler
- Verrechnen um plus 1 (bei Einern), 11 (bei Zehnern),… allgemein: Verrechnen um plus 1, plus 9, plus 10, plus 11
- Verwechseln der Rechenoperation oder falsche Richtung der Rechenoperation
- fehlerhaftes Rechnen mit der Null
- Zehnerüberschreitung

Subtraktion:

- Subtraktion zweistelliger Zahlen
- Zählfehler
- Verrechnen um minus 1(bei Einern), 11 (bei Zehnern),… allgemein: Verrechnen um minus 1, minus 9, minus 10, minus 11
- Verwechseln der Rechenoperation oder falsche Richtung der Rechenoperation
- fehlerhaftes Rechnen mit der Null
- Zehnerüberschreitung

- Links-Rechts-Problematik

Addition und Subtraktion:

- Zahlendreher (bspw. E und Z vertauscht)
- Rechenrichtungsfehler

- Verständnisfehler

Addition:

- falsche Stellenzuordnung

Subtraktion:

- Subtraktion der kleineren von der größeren Zahl
- falsche Subtraktion der Zehner/Einer auch vom Minuenden
- falsche Verknüpfung der Zwischenergebnisse
- falsche Stellenzuordnung

(Anmerkung: Einige Fehler lassen sich in mehrere Kategorien einteilen. Darauf wird in dieser Arbeit verzichtet, da sie dann doppelt gelistet w ä ren. Es wird versucht, die jeweils treffendste Kategorie f ü r den jeweiligen Fehlertyp zu finden.)

Aufgrund der Leistungsheterogenität in der Klasse wird der Unterricht sowohl für die Lehrkraft als auch für die SuS im Einzelnen immer anspruchsvoller, besonders für leistungsschwächere SuS, die dem Leistungsniveau der Klasse entsprechend einfach „mitgeschleift“ werden (vgl. Padberg, 2007, S.196 f.).

Als Konsequenz dessen gerät das (halbschriftliche) Rechnen oft in ein automatisiertes Verfahren, das einfach abgespult und angewendet wird - ohne zu hinterfragen oder gar Zusammenhänge zu verstehen. Erschwerend kommt hinzu, dass auch die Schulbücher keine Erleichterung darstellen, da sie „nämlich nur 1 bis höchstens 2 Wege pro Rechenoperation [vorstellen], die dann […] wie Normalverfahren des halbschriftlichen Rechnens gelernt und angewandt werden“ (Padberg, 2007, S.197).

3. Flexibles Rechnen

Das flexible Rechnen soll immer mehr im Mittelpunkt des Mathematikunterrichts in der Grundschule stehen. Die SuS sollen die an sie gestellten Rechenanforderungen mit einer gewissen Flexibilität ausführen.

3.1 Hintergrund

Der Begriff „flexibles Rechnen“ wird unterschiedlich benutzt und verstanden. Mit ihm verbindet Selter zum einen eine Rechenmethode, während Rathgeb-Schnierer die Verfahren innerhalb des Kopfrechnens und des halbschriftlichen Rechnens meint (vgl. Rechtsteiner-Merz, 2013, S.73; Selter, 2000, S. 229; Rathgeb-Schnierer, 2006, S.48 f., 53ff.).

Aufgrund der komplexen Mehrdeutigkeit und des vielschichtigen Verständnisses, lässt sich keine einzige und einheitliche Definition finden. Elisabeth Rathgeb-Schnierer führte daher eine Untersuchung in der zweiten Klassenstufe, die über einen Zeitraum von einem Schuljahr andauerte, durch. Die Inhalte beziehen sich auf das additive Rechnen und wurden durch Interviews ergänzt. Sie kam zu dem Ergebnis, dass folgende Kennzeichen für flexibles Rechnen entscheidend sind: Erkennen von Zahleigenschaften, Zahlbeziehungen, Nutzen von Zahlbeziehungen, Zahl- und Aufgabeneigenschaften, Kennen und flexibler Umgang der Rechenstrategien, Begründen des Lösungsweges usw. (vgl. Rathgeb-Schnierer, 2006, S. 9 ff., 21 ff., 45 ff, .217 ff., 270 ff.; Rechtsteiner-Merz, 2013, S.81 f.).

Inhaltlich zählt das Zahlwissen (number facts), die Schätzkompetenz und das Zahlgefühl (estimation), das Zahlverständnis (numeration) und das Wissen um den Umgang mit Zahlen bei Rechenoperationen (number and operation) zu den Kompetenzen, die flexible Rechner auszeichnen. Um die Fähigkeit der mathematischen Flexibilität zu erreichen, geht es auch darum, die Mathematik als solches zu verstehen, das heißt den Sinn in etwas zu sehen, Lösungswege verstehen, nachzuvollziehen und kommunizierbar zu machen (vgl. Rathgeb Schnierer, 2006, S.80; Rechtsteiner-Merz, 2013, S.80 f.).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Lösungsverhalten flexiblen Rechnens

Rathgeb-Schnierer gibt mit dem Modell in Abb. 1 einen Überblick darüber, wie verschiedene Varianten im Lösungsverhalten zum flexiblen Rechnen verknüpft sind. Je mehr man an Verständnis in Bezug auf Zahlen, Aufgabenunterschiede etc. gewinnt, desto flexibler ist das Handeln in Bezug auf die Rechenkompetenzen (vgl. Rechtsteiner-Merz, 2013, S.82).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2: Einflussfaktoren zum Finden eines Rechenweges

Eine Studie von Rathgeb-Schnierer verdeutlicht, dass Rechenwege durch unterschiedliche Faktoren beeinflusst werden: Darunter zählen die Zahlwahrnehmung, das Zahlenwissen mit dem Wissen über Rechenoperationen und unter anderem die Verwendung strategischer Werkzeuge das Zahlwissen und das Wissen über Rechenoperationen, das Nutzen von strategischen Werkzeugen etc. (siehe Abb.2). Der Weg zum flexiblen Rechnen ist ein individueller Weg, den das Kind vorgibt und der vom Kind ausgehen muss (vgl. Rathgeb- Schnierer, 2006, S.276 f.).

An dieser Stelle ist der Zahlenblick, Zahlensinn bzw. der Zahlbegriff (number sense) anzuführen (vgl. Rechtsteiner-Merz, 2013, S.96). Schütte versteht darunter die Fähigkeit Verknüpfungen und das Weiterdenken von Zahlbeziehungen herzustellen (vgl. Sch ü tte, 2004, S.143 ff.). Dieser Begriff kann zum Teil als Sinnbild des flexiblen Rechnens gesehen werden. Er wird damit gleichgesetzt, mit dem Rechnen flexibel umzugehen. Nach Schütte solle man sich zuerst die Aufgabe anschauen und dann entscheiden, welche Strategie sich am sinnvollsten nutzen lässt, denn allein durch das reine Beherrschen der unterschiedlichen Strategien wird kein Kind zum flexiblen Rechner (vgl. Rechtsteiner-Merz, 2013, S.96 ff.; Rathgeb-Schnierer, 2006, S.296; Schipper, 2009, S.130).

Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass bei der halbschriftlichen Addition und Subtraktion - im Gegensatz zu den schriftlichen Verfahren - die Rechenwege nicht vorgegeben sind. Den SuS steht die jeweilige Notation ebenfalls frei, da jedes Kind auf seiner individuellen Ebene zum Ergebnis kommen soll. Das eine Kind muss ein bis zwei Schritte mehr notieren, wohingegen das andere Kind vielleicht weniger Zwischenschritte braucht, bis es zum richtigen Ergebnis gelangt. Welche Strategie besonders geschickt ist, hängt von der jeweils geforderten Aufgabe ab. Ein Kennzeichen des halbschriftlichen, flexiblen Rechnens ist der variable aber bewusste Einsatz einer Rechenstrategie. Dass dies jedoch in der Praxis nicht funktioniert, zeigt die nachfolgende Studie von Selter (vgl. Spiegel/Selter, 2003, S.24 f.).

Christoph Selter führte zu drei verschiedenen Zeitpunkten eine Studie durch, bei dem er vor der Einführung der Verfahren des schriftlichen Rechnens, direkt nach der Einführung, sowie zu Beginn des neuen Schuljahres jeweils einen schriftlichen Test mit jeweils 6 Aufgaben zur Addition und Subtraktion im Tausenderraum durchführte. In der Studie wurde festgehalten, wie viel Prozent der Kinder jeweils im Kopf, halbschriftlich oder schriftlich rechneten. Die SuS, die halbschriftlich rechneten, nutzten zu ca. 80 % die Strategie des Stellenweisen und Schrittweisen Rechnens sowie Mischformen. Bei der Aufgabe 701-698, die Selter als eine der insgesamt 12 Aufgaben stellte, wurde erstaunlicherweise die auf der Hand liegende Strategie des Ergänzens überhaupt nicht verwendet. Stattdessen überwog das Stellenweise Rechnen (vgl. Spiegel/Selter, 2003, S.24 f.; Padberg, 2007, S.179 ff., S. 193 f., Rathgeb- Schnierer, 2006, S.57 ff., Schipper, 2009, S.142)).

Kinder werden in Schulbüchern zum flexiblen Denken und Rechnen angeregt (vgl. Die Matheprofis 3, 2002, S.31). Sie werden aufgefordert, Rechenwege selbst auszuprobieren und ggf. neue Wege zu finden. Weiterhin dürfen sie selbst entscheiden, ob und wie sie ihre Zwischenschritte und Teilergebnisse notieren wollen. Dennoch überwiegen die schriftlichen Verfahren gegenüber den halbschriftlichen Strategien (vgl. Padberg, 2007, S.190f.).

Dies könnte daran liegen, dass die SuS die Strategie am häufigsten verwenden, denen sie vertrauen und die sie sicher beherrschen. Mit Blick in verschiedene Schulbücher wird deutlich, dass die Strategie des Stellenweisen Rechnens sehr häufig vertreten ist, während die Strategie der Hilfsaufgabe beispielsweise weniger bis gar nicht thematisiert wird. Dadurch ist auch nicht gesagt, dass die Lehrkraft im Unterricht weitere Strategien thematisiert, da die Schere zwischen leistungsstarken und leistungsschwachen SuS oftmals weit auseinander geht und schwächere SuS an dieser Stelle überfordert wären. So gesteht Padberg auch ein, dass es für ein Großteil der SuS sinnvoller ist, lieber wenige Strategien zu kennen und dafür richtig anwenden zu können, als viele Strategien, die nur oberflächlich beherrscht werden (vgl. Padberg, 2007, S.199 f.).

Nach der Thematik der schriftlichen Verfahren des Rechnens bietet es sich an, bei einer Aufgabe auf möglichst viele verschiedene Lösungswege hinzuweisen und die SuS selbst finden zu lassen. So lässt sich am Ende gut darüber reflektieren, bei dem die SuS begründen müssen, welcher Rechenweg der geschickteste ist. Damit man nicht in eine Monotonie des Aufgabenrechnens abrutscht und die SuS die Lust verlieren, kann das Finden des Lösungsweges unter motivierenden Aspekten gestaltet werden, zum Beispiel unter dem Aspekt der Schnelligkeit (vgl. Padberg, 2007, S.201 f.). Unterstützend hierzu können Lernwegebücher oder Reisetagebücher dienen, in denen die SuS festhalten müssen, wie sie gerechnet haben und warum sie genau den Rechenweg eingeschlagen haben (vgl. Padberg, 2007, S.202; Sundermann/Selter, 2006, S.62 ff.).

3.2 Bildungsstandards und Teilrahmenplan

Dass das flexible Rechnen zum Mathematikunterricht dazugehört und deshalb einer unabdingbaren Förderung bedarf, ist unumstritten. Aufgrund dieser Wichtigkeit findet man die Förderung flexibler Rechenkompetenzen sogar in den Bildungsstandards wieder (vgl. Rechtsteiner-Merz, 2013, S.13, S.72). In den Bildungsstandards sind alle wichtigen Grundsteine, die als Voraussetzung gelten, damit das flexible Denken und Rechnen überhaupt stattfinden kann, zu finden. Es beginnt mit den Zahlbeziehungen, weitet sich über die Grundaufgaben bis hin zu den verschiedenen Rechenmethoden aus und mündet letztendlich in den schriftlichen Verfahren des Rechnens (vgl. Bildungsstandards im Fach Mathematik f ü r den Primarbereich, 2005, S.9). Auch der Teilrahmenplan der Mathematik schließt sich der Flexibilität der mathematischen Fähigkeiten an, der es als Ziel ansieht, den Mathematikunterricht eigenverantwortlich und flexibel zu gestalten (vgl. Rahmenplan Grundschule Teilrahmenplan Mathematik, 2014, S. 14, 26 ff., 35). Allerdings sehen sowohl der Teilrahmenplan als auch die Bildungsstandards vor, dass o.g. am Ende der vierten Jahrgangsstufe erreicht werden soll.

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