Eine Option verbrieft das Recht, jedoch nicht die Pflicht, gegen Zahlung einer Optionsprämie zu einem späteren Zeitpunkt Güter oder Wertpapiere zu kaufen (Call-Option) oder zu verkaufen (Put-Option), und zwar zu einem bereits heute festgelegten Preis [BRK]. Ein effizientes Management von Risiken setzt voraus, dass solche Finanzinstrumente richtig bewertet werden. Merton und Scholes entwickelten zusammen mit Fischer Black, der im August 1995 verstarb, eine Methode zur Bewertung von Optionen. Diese wurde zum ersten mal 1973, nach zweimaliger Ablehnung veröffentlicht und trug zu einer Veränderung der finanzmarkttheoretischen Forschung bei.
Das Problem bei der Optionsbewertung bestand darin, für die Kursrisiken eine korrekte Prämie zu definieren. Eine solche Prämie wird wiederum von der Risikoeinstellung (risikofreudig, -avers oder -neutral) der einzelnen Marktteilnehmer bestimmt. Risikoeinstellungen verändern sich aber gegebenenfalls im Zeitablauf und sind deshalb nicht nur in der Realität kaum zu erfassen. Beim Black, Merton und Scholes Modell wird die explizite Forderung nach einer Risikoprämie umgangen. Diese Innovation im Black Scholes Modells wurde schließlich mit der Verleihung des Nobelpreises
für Wirtschaftswissenschaften im Jahr 1997 gewürdigt.
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einer direkten Herleitung der Black Scholes Preisformel zur Bewertung von Optionen europäischen Typs.
Zunächst werden wir gewisse mathematische Begriffe definieren, die für das Verständnis des Modells grundlegend sind. Anschließend betrachten wir die Annahmen, die in jedem wirtschaftlichen Modell unvermeidbar sind. Im dritten Abschnitt folgt die Herleitung der Black-Scholes Differentialgleichung, die den Ausgangspunkt für die Black-Scholes Preisformel darstellt. Die Lösung der Differentialgleichung wird Bestandteil des letzten Abschnittes sein. Wir werden sowohl die Lösung
für eine europäische Call Option als auch für eine Put Option des gleichen Typs erläutern.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Mathematische Grundlagen
2.1 Standard Wiener Prozess
2.1.1 Diskrete Veränderung eines Partikels in einem kleinem Zeitintervall
2.1.2 Diskrete Veränderung eines Partikels in einem großem Zeitintervall
2.1.3 Stetige Veränderung eines Partikels
2.2 Itô-Prozesse
2.2.1 Brownsche Bewegung mit Drift
2.2.2 Geometrische Brownsche Bewegung
2.2.3 Itô Lemma
3 Die Annahmen im Black Schoeles Modell
4 Die Black-Schoeles Differentialgleichung
4.1 Ein Portfolio ohne Dividendenauschutung
4.1.1 Delta-Hedging
4.1.2 Keine Arbitrage Möglichkeit
4.2 Ein Portfolio mit Dividendenauschutung
5 Lösung der Black-Schoeles Differentialgleichung
5.1 Rückführung auf die Wärmeleitungsgleichung
5.2 Lösung der Wärmeleitungsgleichung
5.3 Wert einer europäischen Call Option
5.4 Put-Call Parität
5.5 Wert einer europäischen Put Option
6 Abschließende Bewertung
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit hat zum Ziel, die Black-Scholes-Preisformel zur Bewertung von Optionen europäischen Typs direkt herzuleiten, um eine präferenzfreie Bewertung von Derivaten zu ermöglichen, ohne dabei auf individuelle Kurserwartungen oder Risikoeinstellungen der Marktteilnehmer angewiesen zu sein.
- Mathematische Grundlagen stochastischer Prozesse (Wiener-Prozess, Itô-Prozesse).
- Aufstellung der Annahmen des Black-Scholes-Modells.
- Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung für Portfolios.
- Lösungsweg mittels Rückführung auf die Wärmeleitungsgleichung.
- Berechnung der Preisformeln für europäische Call- und Put-Optionen.
Auszug aus dem Buch
4.1.2 Keine Arbitrage Möglichkeit
Fahren wir nun fort mit der Herleitung der Black Schoeles Differentialgleichung.
Man betrachte nun einen Bargeldbestand der zu Zeit t den Wert Π unseres Portfolios aus Gleichung (13) entspricht. Wenn man diesen Bargeldbestand mit dem risikolosen Zinssatz r anlegt, entspricht der Wertzuwachs gerade den Zinsen, d.h.
dΠ= rΠdt
Die Rendite des Portfolios Π muss der einer sicheren Anlage entsprechen, da sonst Arbitragemöglichkeiten existieren. Zur Verdeutlichung nehmen wir an dass:
dΠ >rΠdt
dann würde man sich Geld zum risikolosen Zinssatz r von der Bank leihen und in das risikolose Portfolio investieren. Zusammen würde man also einem risikolosen Gewinn realisieren. Was mit der fünften Annahmen vom Black Schoeles Modell nicht vereinbar ist. Wäre statdessen:
dΠ so würde auch hier Arbitrage Möglichkeit bestehen. Jeder Arbitrageur würde das risikolose Portfolio verkaufen, um das dadurch eingenommene Geld zum risikolosen Zinssatz r bei der Bank anzulegen. Es muss also gelten, dass die Renditen des risikolosen Portfolios den einer sicheren Bargeldbestandes entsprechen.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Stellt das grundlegende Problem der Optionsbewertung und die historische Bedeutung des Black-Scholes-Modells vor.
2 Mathematische Grundlagen: Definiert die notwendigen stochastischen Werkzeuge wie den Wiener-Prozess, Itô-Prozesse und das Itô-Lemma.
3 Die Annahmen im Black Schoeles Modell: Listet die fünf grundlegenden Prämissen auf, auf denen das Modell basiert.
4 Die Black-Schoeles Differentialgleichung: Leitet die zentrale Differentialgleichung für Portfolios mit und ohne Dividendenausschüttung her.
5 Lösung der Black-Schoeles Differentialgleichung: Beschreibt die Transformation der Differentialgleichung in die Wärmeleitungsgleichung und die Herleitung der Preisformeln für Optionen.
6 Abschließende Bewertung: Reflektiert die Stärken und praktischen Einschränkungen des Modells, insbesondere hinsichtlich der Volatilitätsannahme.
Schlüsselwörter
Black-Scholes-Modell, Finanzderivate, Optionsbewertung, Stochastischer Prozess, Wiener-Prozess, Itô-Prozess, Delta-Hedging, Arbitragefreiheit, Geometrische Brownsche Bewegung, Wärmeleitungsgleichung, Europäische Option, Call-Option, Put-Call-Parität, Volatilität, Finanzmathematik.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser wissenschaftlichen Arbeit grundlegend?
Die Arbeit befasst sich mit der theoretischen Herleitung der Black-Scholes-Formel zur präferenzfreien Bewertung von Optionen europäischen Typs.
Was sind die zentralen Themenfelder der Publikation?
Die Schwerpunkte liegen auf den mathematischen Grundlagen stochastischer Prozesse, der Konstruktion risikofreier Portfolios und der analytischen Lösung der Black-Scholes-Differentialgleichung.
Welches primäre Ziel verfolgt der Autor mit dieser Untersuchung?
Das Ziel ist die direkte Herleitung der Preisformel für Optionen, um eine Bewertungsmethode bereitzustellen, die unabhängig von den subjektiven Risikoeinstellungen der Anleger ist.
Welche wissenschaftliche Methode wird zur Herleitung angewandt?
Es werden Methoden der stochastischen Analysis, insbesondere das Itô-Lemma, sowie die Transformation der Differentialgleichung auf die physikalische Wärmeleitungsgleichung genutzt.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil umfasst die Modellannahmen, die Konstruktion von Portfolios durch Delta-Hedging, die Herleitung der Differentialgleichung und deren anschließende Lösung für Call- und Put-Optionen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit am besten?
Wichtige Begriffe sind Black-Scholes-Modell, Stochastik, Delta-Hedging, Arbitragefreiheit, geometrische Brownsche Bewegung und Optionsbewertung.
Warum ist die Rückführung auf die Wärmeleitungsgleichung relevant?
Diese Rückführung erlaubt es, die Black-Scholes-Differentialgleichung durch bekannte physikalische Lösungsansätze für Diffusionsprozesse analytisch zu lösen.
Welche Rolle spielt das Delta-Hedging im Modell?
Das Delta-Hedging dient der Eliminierung des Risikos aus dem Portfolio, indem die Anzahl der gehaltenen Basiswerte kontinuierlich so angepasst wird, dass der stochastische Anteil der Preisänderung neutralisiert wird.
- Quote paper
- Jassin Meknassi (Author), 2004, Das Black-Scholes Modell, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/43692
