Das Black-Scholes Modell

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Mathematische Grundlagen
2.1 Standard Wiener Prozess
2.1.1 Diskrete Veränderung eines Partikels in einem kleinem Zeitintervall
2.1.2 Diskrete Veränderung eines Partikels in einem großem Zeitintervall
2.1.3 Stetige Veränderung eines Partikels
2.2 Itô-Prozesse
2.2.1 Brownsche Bewegung mit Drift
2.2.2 Geometrische Brownsche Bewegung
2.2.3 Itô Lemma

3 Die Annahmen im Black Schoeles Modell

4 Die Black-Schoeles Differentialgleichung
4.1 Ein Portfolio ohne Dividendenauschütung
4.1.1 Delta-Hedging
4.1.2 Keine Arbitrage Möglichkeit
4.2 Ein Portfolio mit Dividendenauschütung

5 Lösung der Black-Schoeles Differentialgleichung
5.1 Rückführung auf die Wärmeleitungsgleichung . .
5.2 Lösung der Wärmeleitungsgleichung
5.3 Wert einer europäischen Call Option
5.4 Put-Call Parität
5.5 Wert einer europäischen Put Option

6 Abschließende Bewertung

1 Einleitung

Eine Option verbrieft das Recht, jedoch nicht die Pflicht, gegen Zahlung einer Optionsprämie zu einem späteren Zeitpunkt Güter oder Wertpapiere zu kaufen (Call-Option) oder zu verkaufen (Put Option), und zwar zu einem bereits heute festgelegten Preis [BRK]. Ein effizientes Management von Risiken setzt voraus, dass solche Finanzinstrumente richtig bewertet werden. Merton und Scholes entwickelten zusammen mit Fischer Black, der im August 1995 verstarb, eine Methode zur Bewertung von Optionen. Diese wurde zum ersten mal 1973, nach zweimaliger Ablehnung veröffentlicht und trug zu einer Veränderung der finanzmarkttheoretischen Forschung bei.

Das Problem bei der Optionsbewertung bestand darin, für die Kursrisiken eine korrekte Prämie zu definieren. Eine solche Prämie wird wiederum von der Risikoeinstellung (risikofreudig, -avers oder -neutral) der einzelnen Marktteilnehmer bestimmt. Risikoeinstellungen verändern sich aber gegebenenfalls im Zeitablauf und sind deshalb nicht nur in der Realität kaum zu erfassen. Beim Black, Merton und Scholes Modell wird die explizite Forderung nach einer Risikoprämie umgangen. Diese Innovation im Black Scholes Modells wurde schließlich mit der Verleihung des Nobelpreises für Wirtschaftswissenschaften im Jahr 1997 gewürdigt.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einer direkten Herleitung der Black Scholes Preisformel zur Bewertung von Optionen europäischen Typs.

Zunächst werden wir gewisse mathematische Begriffe definieren, die für das Verständnis des Mo- dells grundlegend sind. Anschließend betrachten wir die Annahmen, die in jedem wirtschaftlichen Modell unvermeidbar sind. Im dritten Abschnitt folgt die Herleitung der Black-Scholes Differen- tialgleichung, die den Ausgangspunkt für die Black-Scholes Preisformel darstellt. Die Lösung der Differentialgleichung wird Bestandteil des letzten Abschnittes sein. Wir werden sowohl die Lösung für eine europäische Call Option als auch für eine Put Option des gleichen Typs erläutern.

2 Mathematische Grundlagen

Der Englische Botaniker Brown (1773-1858) beobachtete mit dem Mikroskop Pollenkörner, welche sich in einer wässrigen Lösung (Suspension) befanden. Er entdeckte, dass die Pollenkörner auch nach langer Beobachtungszeit in ständiger regelloser Bewegung waren. Zunächst dachte Brown, er beobachtete Lebewesen. Doch als er feinste Metallspäne in das Wasser gab, bewegte sich auch die sicher tote Materie ähnlich wie die Pollenkörner.

In unserem Kontext können wir die Pollenkörner als ein Aktie und die wässrige Lösung als den Aktienmarkt darstellen. Es ist bemerkenswert, dass Louis Bachelier bereits 1900 seine Dissertation

”Théoriedelaspeculation“eineTheoriederFinanzmärkteberuhendaufdieseGesetzähnlichkeit aufgebaut hat.

Die Brownsche Bewegung ist auch als Wiener Prozess bekannt, da es Norbet Wiener¹⁹²³ als erster gelang, eine mathematische Formulierung für die von Brown beobachtete Bewegung aufzustellen. Wir werden nun diesen Stochastischen Prozess näher betrachten.

2.1 Standard Wiener Prozess

2.1.1 Diskrete Veränderung eines Partikels in einem kleinem Zeitintervall

Sei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] änderung eines Partikels in einem kleinem Intervall[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Wir nehmen an das[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]und[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Es ist also möglich den Erwartungswert und die Varianz von ∆ x zu berechnen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.1.2 Diskrete Veränderung eines Partikels in einem großem Zeitintervall

Die gerade entwickelte Relation bleibt für ein großes Intervall T bestanden. Den T besteht aus n kleineren Intervallen der Länge ∆ t d.h T = n ∆ t.

In diesem Kontext ist es wünschenswert ∆ x = xT − x 0 zu setzen. Dann haben wir:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wie im oberen Abschnitt können wir in diesem Fall den Erwartungswert und die Varianz von[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]berechnen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.1.3 Stetige Veränderung eines Partikels

Wenn ma[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]streben lässt, dann zieht man in Erwägung, dass sich das Intervall T in extrem kleine Intervalle unterteilen lässt. Mit anderen Worten betrachtet man ein stetiges Zeitintervall, was uns dazu bringt[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]zu setzen. √

In diesem fall ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]). Dies definiert einen Standard Wiener Prozess. Hier folgt die exakte mathematische Formulierung:

Definition 2.1 Ein stochastischer Prozess (wt) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]auf einemW ahrscheinlichkeitsraum[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]hei ß t Wiener-Prozess oder Standard Brownsche Bewegung, falls gilt:

1. w 0 = 0 ,
2. fur 0 ≤ s < t ist wt − ws normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz t − s,
3. fur 0 ≤ t 0 < t 1 < ... < tn sind die Zuw ä chse wt − wt i − 1 i = 1 ,...,n stochastisch unabhangig, i
4. die Pfade t → wt sind stetig.

Im laufe dieser Arbeit werden wir uns ausschließlich mit stetigen Prozesse befassen obwohl, Preisänderungen auf den Finanzmärkten stückweise Stetig sind d.h. dass, der Preis sich nicht permanent ändert, sondern während einer kurzen Zeit konstant bleibt. In der Tat haben wir in der Realität Prozesse, welche stückweise stetig sind und auf diesen stetigen Zwischenstücken diskret(Treppenfunktionen) sind. Die Preisänderungen sind derart häufig und die Änderungen im Vergleich zum ganzen Preis derart klein, dass wir letztendlich ein Prozess in stetiger Zeit betrachten werden. Als weiterer Vorteil kommt noch dazu, dass wir in den Modellen stetiger Zeit explizitere Formeln erhalten als in den Modellen in diskreter Zeit.

Betrachtet man nun einen stetigen Pfad eines Wiener Prozesses (Abbildung 1) so bemerkt man, dass dieser auch negative Werte annehmen kann. Da aber in unserem Kontext eine Aktie nur positive Werte annimmt, müssen wir eine Erweiterung dieses Prozess entwickeln, der diese Eigenschaft nicht verletzt. Diese Überlegung bringt uns zum nächsten Unterabschnitt über Itô Prozesse.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Pfad eines Wiener Prozesses mit Startwert x 0 = 0.

2.2 Itô-Prozesse

Um reale Wirtschaftsgrößen zu modellieren, wird selten ein reiner Standard Wiener Prozess wt geeignet sein. So ist bei vielen Variablen ein ständiger Aufwärtstrend zu beobachten, der in einem einfachen Wiener Prozess nicht modellierbar ist (Abbildung 1). Des Weiteren könnte man z.B. einen Prozess darstellen wollen, dessen Varianz sich mit der Zeit t bzw. der Größe der Variablen selbst verändert. Diese Möglichkeiten können mit dem so genannten Itô-Prozess abgebildet werden. Die allgemeine mathematische Darstellung eines Itô-Prozesses lautet folgendermaßen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei sind a und b deterministische Funktionen von t und xt. Die Inkremente von xt (dxt) setzen sich also aus zwei Teilen zusammen: aus einem deterministischen Glied, das dt und aus einem stochastischen Glied, in dem der Standard Wiener Prozess dwt als erratische Komponente eingeht. Auch hier können wir den Erwartungswert und Varianz von dxt berechnen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2.1 Brownsche Bewegung mit Drift

Die Brownsche Bewegung mit Drift ist eine einfache Erweiterung der Brownschen Bewegung: dxt = µ · dt + σ · dwt

Dabei bezeichnet µ die Driftrate, also den erwarteten Zuwachs von xt in einer Zeiteinheit. Die wirklichen Inkremente sind jedoch um µ herum gestreut, da ja auch die stochastische Komponente auf der rechten Seite des Pluszeichens in das Inkrement mit eingeht. Dabei ist σ der Standartabweichungsparameter. Je grosser σ ist, desto stärker ist die erratische Komponente im Vergleich zur Driftkomponente µ. Die Inkremente des Prozesses mit Standardabweichung µ um den Mittelwert σ sind folgendermaßen normalverteilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es ist nicht einfach, Anwendungen zur Brownschen Bewegung mit Drift in der Wirtschaftswelt zu finden, da konstant wachsende wirtschaftliche Größen wie ein Preis- oder Aktienindex fast immer in exponentieller und nicht in linearer Form zunehmen. Meistens ist für die Modellierung derartiger Zeitreihen die geometrische Brownsche Bewegung besser geeignet.

2.2.2 Geometrische Brownsche Bewegung

Sei St der Aktienpreis (Stockprice) zum Zeitpunkt t. Falls für die deterministischen Funktionen des Itô-Prozesses folgendes gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

dann haben wir eine geometrische Brownsche Bewegung die folgendermaßen definiert ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dann bezeichnet man σ als Volatilität d.h. der Preistrend des Aktienkurses. Die Gleichung (6) besagt dann, dass die Standartabweichungsrate proportional zur Höhe des Aktienkurses S ist. Wobei Gleichung (5) mit µ als Driftrate besagt, dass die erwarteten Renditen konstant sind.

Teilt man Gleichung (7) durch St, so erhält man:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es wird deutlich, dass ein enger Zusammenhang zwischen Gleichung (8) und der Brownschen Bewegung mit Drift besteht. Man beachte das[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

S t dt

Dies zeigt, dass die prozentualen Wachstumsraten von St nicht wie bei der Bewegung mit Drift um die erwartete Rendite µ herum mit Standardabweichung σ normalverteilt sind, sondern einer anderen Verteilung angehören.

Um eine Aussage über die Verteilung der geometrischen Brownschen Bewegung zu treffen brauchen wir das Itô-Lemma. Dies leitet den nächsten Unterabschnitt ein.

2.2.3 Itô Lemma

Sei[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]eine deterministische Funktion die mindestens einmal in t und zweimal in St differenzierbar ist.

Das Itô Lemma wird mittels der Taylor Formel für zwei Variablen aufgebaut:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei der Aktienkurs S einer geometrischen Brownschen Bewegung folgt.

Das Lemma besagt, nur die Terme von dSt und dt vom Grad 1 zu betrachten, was dazu führt, nur die ersten drei Terme von dGt in Betracht zu nehmen. Auf den ersten Blick mag die Beibehaltung des dritten thermes von dGt nicht selbstverständlich sein. Der Terme wird beibehalten weil:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

da außerdem

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

folgt aus (9) und (10) dass:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man betrachtet also nur die ersten drei Terme von dGt. Was dazu führt dass:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nach Gruppierung der Terme in deterministische (d.h. Terme mit dt) und stochastische (d.h. Terme

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da Aktienkurse über einen langen Zeitraum nahezu exponentiell verlaufen, betrachtet man loga- rithmische Aktienkurse. Man setzt also Gt = ln St. Gleichung (12) ist dann gleich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Logarithmierte Aktienkurs folgt also einer Brownschen Bewegung mit Drift. Wir können nun ein Aussage über die Verteilung von St machen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Stockpreis ist also lognormalverteilt mit Erwartungswert (µ −σ 22 ) dt undVarianz σ 2 d t.

Abbildung² gibt die Dichte der Lognormalverteilung mit flexiblem Parametern S und t wieder. Man bemerkt, dass die Verteilung im Gegensatz zu Normalverteilung nur positive Werte annehmen kann (S ≥ 0). Sie ist eine asymmetrische und konkave Funktion, wodurch große Werte von St beim Einsetzen in Gt in der Relation zu kleineren mehr gestaucht werden.

[...]