Eine Option verbrieft das Recht, jedoch nicht die Pflicht, gegen Zahlung einer Optionsprämie zu einem späteren Zeitpunkt Güter oder Wertpapiere zu kaufen (Call-Option) oder zu verkaufen (Put-Option), und zwar zu einem bereits heute festgelegten Preis [BRK]. Ein effizientes Management von Risiken setzt voraus, dass solche Finanzinstrumente richtig bewertet werden. Merton und Scholes entwickelten zusammen mit Fischer Black, der im August 1995 verstarb, eine Methode zur Bewertung von Optionen. Diese wurde zum ersten mal 1973, nach zweimaliger Ablehnung veröffentlicht und trug zu einer Veränderung der finanzmarkttheoretischen Forschung bei.
Das Problem bei der Optionsbewertung bestand darin, für die Kursrisiken eine korrekte Prämie zu definieren. Eine solche Prämie wird wiederum von der Risikoeinstellung (risikofreudig, -avers oder -neutral) der einzelnen Marktteilnehmer bestimmt. Risikoeinstellungen verändern sich aber gegebenenfalls im Zeitablauf und sind deshalb nicht nur in der Realität kaum zu erfassen. Beim Black, Merton und Scholes Modell wird die explizite Forderung nach einer Risikoprämie umgangen. Diese Innovation im Black Scholes Modells wurde schließlich mit der Verleihung des Nobelpreises
für Wirtschaftswissenschaften im Jahr 1997 gewürdigt.
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einer direkten Herleitung der Black Scholes Preisformel zur Bewertung von Optionen europäischen Typs.
Zunächst werden wir gewisse mathematische Begriffe definieren, die für das Verständnis des Modells grundlegend sind. Anschließend betrachten wir die Annahmen, die in jedem wirtschaftlichen Modell unvermeidbar sind. Im dritten Abschnitt folgt die Herleitung der Black-Scholes Differentialgleichung, die den Ausgangspunkt für die Black-Scholes Preisformel darstellt. Die Lösung der Differentialgleichung wird Bestandteil des letzten Abschnittes sein. Wir werden sowohl die Lösung
für eine europäische Call Option als auch für eine Put Option des gleichen Typs erläutern.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Mathematische Grundlagen
- Standard Wiener Prozess
- Diskrete Veränderung eines Partikels in einem kleinem Zeitintervall
- Diskrete Veränderung eines Partikels in einem großem Zeitintervall
- Stetige Veränderung eines Partikels
- Itô-Prozesse
- Brownsche Bewegung mit Drift
- Geometrische Brownsche Bewegung
- Itô Lemma.
- Standard Wiener Prozess
- Die Annahmen im Black Schoeles Modell
- Die Black-Schoeles Differentialgleichung
- Ein Portfolio ohne Dividendenauschütung
- Delta-Hedging.
- Keine Arbitrage Möglichkeit
- Ein Portfolio mit Dividendenauschütung
- Ein Portfolio ohne Dividendenauschütung
- Lösung der Black-Schoeles Differentialgleichung
- Rückführung auf die Wärmeleitungsgleichung
- Lösung der Wärmeleitungsgleichung
- Wert einer europäischen Call Option
- Put-Call Parität.
- Wert einer europäischen Put Option.
- Abschließende Bewertung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Arbeit befasst sich mit der Herleitung der Black Scholes Preisformel zur Bewertung von Optionen europäischen Typs. Sie zielt darauf ab, ein tieferes Verständnis der mathematischen Grundlagen des Modells zu vermitteln und die zentralen Annahmen zu beleuchten, die der Modellierung zugrunde liegen. Die Arbeit behandelt insbesondere die Herleitung der Black-Scholes Differentialgleichung und die Lösung dieser Gleichung für europäische Call- und Put-Optionen.
- Mathematische Grundlagen des Black-Scholes Modells
- Annahmen und Einschränkungen des Black-Scholes Modells
- Herleitung der Black-Scholes Differentialgleichung
- Lösung der Black-Scholes Differentialgleichung für Call- und Put-Optionen
- Bewertung von Finanzderivaten anhand des Black-Scholes Modells
Zusammenfassung der Kapitel
Die Einleitung erläutert die Bedeutung von Optionen und deren Bewertung für das Risikomanagement. Sie stellt das Black-Scholes Modell als eine bahnbrechende Methode zur Bewertung von Optionen vor und skizziert den Aufbau der Arbeit.
Das Kapitel „Mathematische Grundlagen" führt in die Grundlagen der Stochastischen Prozesse ein, insbesondere den Wiener Prozess und Itô-Prozesse. Es stellt wichtige Konzepte und Definitionen vor, die für das Verständnis des Black-Scholes Modells notwendig sind.
Das Kapitel „Die Annahmen im Black Schoeles Modell" behandelt die wichtigsten Annahmen, die dem Black-Scholes Modell zugrunde liegen. Diese Annahmen sind für die Funktionsweise des Modells entscheidend und werden im Detail diskutiert.
Das Kapitel „Die Black-Schoeles Differentialgleichung" leitet die Black-Scholes Differentialgleichung her, die die Grundlage für die Preisformel bildet. Es werden verschiedene Aspekte der Gleichung beleuchtet und die Rolle des Delta-Hedging und der Arbitragefreiheit erläutert.
Das Kapitel „Lösung der Black-Schoeles Differentialgleichung" behandelt die Lösung der Black-Scholes Differentialgleichung für europäische Call- und Put-Optionen. Es beschreibt den Zusammenhang mit der Wärmeleitungsgleichung und erklärt die Vorgehensweise bei der Lösung der Gleichung.
Schlüsselwörter
Black-Scholes Modell, Optionen, Bewertung, Finanzderivate, Wiener Prozess, Itô-Prozess, Brownsche Bewegung, Differentialgleichung, Delta-Hedging, Arbitrage, Call-Option, Put-Option, europäische Optionen.
- Quote paper
- Jassin Meknassi (Author), 2004, Das Black-Scholes Modell, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/43692
