Oft fragt man sich als Wahlberechtigter, ob diese eine Stimme von so vielen überhaupt etwas bewirken kann. In der Mathematik wurden Formeln entwickelt, die die sogenannte Abstimmungsmacht von Wählern erfassen und damit berechnen, ob und inwiefern man eine ausstehende Entscheidung durch Abgabe seiner Stimme wesentlich beeinflussen kann.
Diese Arbeit untersucht die vergangenen und aktuellen politischen Machtverhältnisse in der Europäischen Union, die bereits Grundlage vieler Diskussionen waren. Es wird zunächst vorgestellt, welche Möglichkeiten es gibt, Abstimmungsstärke anhand von Formeln zu berechnen.
Folgende Fragen sollen nun näher beleuchtet werden:
Waren und sind die Machtverhältnisse in der Europäischen Union fair verteilt oder nicht? Haben EU-Bürger, unabhängig welchen Herkunftslandes, den gleichen Einfluss auf Entscheidungen, die im Rat der Europäischen Union getroffen werden? Können auch Gesetze verabschiedet werden, obwohl die Mehrheit dagegen ist?
Die Antworten darauf zeigen, dass selbst das aktuelle Wahlsystem noch änderungsbedürftig ist und wir werden überlegen, wie man die Wahlregeln umgestalten könnte, damit sie gerecht sind. Sie sollten dabei möglichst einfach und verständlich sein, auf mathematischen Formeln basieren und bestimmte Eigenschaften erfüllen. Eine Antwort auf das Problem könnte das Quadratwurzelgesetz von Penrose geben, das Lionel Penrose 1946 aufstellte. Es basiert auf einer Machtdefnition, die John Banzhaf 1965 aufgriff und formulierte. Das 1. Quadratwurzelgesetz von Penrose besagt, dass unter gewissen Voraussetzungen die Penrose-Zahlen (die den politischen Einfluss messen) der Repräsentanten im EU-Ministerrat proportional zur Quadratwurzel der zu vertretenden Bevölkerung sein müssen. Dann ist garantiert, dass jeder EU-Bürger den gleichen Einfluss auf Entscheidungen im EU-Ministerrat hat. Nachdem wir das Gesetz bewiesen haben, beleuchten wir nochmals die Voraussetzungen näher.
Zur Anwendungstauglichkeit des Gesetzes ist es sinnvoll ein zugehöriges Quorum sowie eine faire Stimmenverteilung berechnen. Dies, auch bekannt als Jagiellonischer Kompromiss, stellten die Mathematiker Wojciech Slomczynski und Karol Zyczkowski von der Jagiellonen-Universität Krakau 2004 auf.
Schließlich leiten wir noch eine analoge Regel zum Quadratwurzelgesetz her, die allerdings auf einer anderen Machtdefnition als der zuvor Verwendeten aufbaut, nämlich dem Shapley-Shubik-Index. Ein überraschendes Ergebnis liefert wiederum Grund zur Diskussion.
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Aufbau der Arbeit
1.2 Notation
1.3 Mathematische Grundlagen
2 Die Rechtsetzung im Rat der Europäischen Union
2.1 Der Rat der Europäischen Union
2.2 Der Vertrag von Nizza
2.3 Der Vertrag von Lissabon
3 Macht gemessen und verglichen
3.1 Machtindizes
3.1.1 Der Banzhaf-Index
3.1.2 Der Shapley-Shubik-Index
3.1.3 Beispiele zu den Machtindizes
3.2 Machtverteilung in der EU-28
4 Fairness und das Quadratwurzelgesetz von Penrose
4.1 Fairness in demokratischen Systemen
4.2 Macht in zweistufigen Wahlsystemen
4.3 Das Quadratwurzelgesetz von Penrose
4.3.1 Satz und Beweis
4.3.2 Voraussetzungen
5 Der Jagiellonische Kompromiss in der Diskussion
5.1 Das entscheidende Quorum
5.2 Vor- und Nachteile
6 Faire Machtverteilung mit dem Shapley-Shubik-Index
6.1 Analogon zum Quadratwurzelgesetz
6.1.1 Konstruktion von π(S) und φ(D)
6.1.2 Satz und Beweis
6.2 Voraussetzungen und Ausblick
7 Zusammenfassung und Vergleich
Zielsetzung und thematische Schwerpunkte
Diese Arbeit untersucht die historischen und gegenwärtigen Machtverhältnisse innerhalb der Europäischen Union mit dem Ziel, mathematisch fundierte Methoden zur gerechten Verteilung von Abstimmungsmacht zu evaluieren. Im Zentrum steht die Untersuchung, ob Bürger unabhängig von ihrem Herkunftsland fairen Einfluss auf EU-Entscheidungen haben und wie bestehende Wahlsysteme durch mathematische Ansätze wie das Quadratwurzelgesetz optimiert werden könnten.
- Mathematische Modellierung von Abstimmungsmacht (Banzhaf- und Shapley-Shubik-Index).
- Analyse der Entscheidungsstrukturen in den Verträgen von Nizza und Lissabon.
- Evaluation des Quadratwurzelgesetzes von Penrose als Kriterium für Fairness.
- Untersuchung des "Jagiellonischen Kompromisses" als alternative Abstimmungsregelung.
- Vergleich zweistufiger Wahlsysteme in der EU-Mitgliedschaft.
Auszug aus dem Buch
4.3.1 Satz und Beweis
Satz 4.3.1 (1. Quadratwurzelgesetz von Penrose (Lionel Penrose, 1946.)) Es sei (S,G) das zweistufiges Wahlsystem im EU-Ministerrat. Damit die Abstimmungsmacht in (S,G) für jeden EU-Bürger gleich ist, muss der Einfluss, d. h. die Penrose-Zahl, eines jeden Repräsentanten Dk bei einer Wahl in (D,C) proportional zur Quadratwurzel der Bevölkerungszahl Nk seines Landes sein. Vorausgesetzt sei dabei, dass Dk so entscheidet, wie die einfache Mehrheit bei einer (fiktiven) Volksabstimmung in seinem Land dies vorgibt.
Damit das Wahlsystem fair ist, muss folglich gelten:
P(D,C) Dk = c · √Nk (4.12)
mit einer Proportionalitätskonstante c ∈ R+.
Bevor wir zum Beweis kommen, führen wir noch einen wesentlichen Hilfssatz ein, den Werner Kirsch 2013 aufgestellt hat (siehe auch [13]).
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einführung: Die Arbeit motiviert die mathematische Untersuchung von Abstimmungsmacht in der EU und definiert den strukturellen Rahmen sowie die verwendeten Notationen.
2 Die Rechtsetzung im Rat der Europäischen Union: Dieses Kapitel erläutert die Arbeitsweise des EU-Rates und die rechtlichen Rahmenbedingungen der Verträge von Nizza und Lissabon.
3 Macht gemessen und verglichen: Hier werden die mathematischen Kernkonzepte wie die Penrose-Zahl, der Banzhaf-Index und der Shapley-Shubik-Index eingeführt und an Beispielen illustriert.
4 Fairness und das Quadratwurzelgesetz von Penrose: Der Fokus liegt auf der Definition von Fairness in zweistufigen Wahlsystemen und der Herleitung des Penrose-Gesetzes.
5 Der Jagiellonische Kompromiss in der Diskussion: Das Kapitel diskutiert das optimale Quorum für Abstimmungen und bewertet die Vor- und Nachteile des Jagiellonischen Kompromissmodells.
6 Faire Machtverteilung mit dem Shapley-Shubik-Index: Hier wird ein zum Quadratwurzelgesetz analoges Gesetz basierend auf der Machtdefinition nach Shapley-Shubik abgeleitet.
7 Zusammenfassung und Vergleich: Die Arbeit schließt mit einer Synthese der Ergebnisse und einem Vergleich der verschiedenen mathematischen Ansätze zur Machtverteilung.
Schlüsselwörter
Quadratwurzelgesetz, Penrose, Banzhaf-Index, Shapley-Shubik-Index, EU-Ministerrat, Abstimmungsmacht, Fairness, zweistufiges Wahlsystem, Jagiellonischer Kompromiss, EU-28, Vertrag von Nizza, Vertrag von Lissabon, Stimmgewicht, demokratische Systeme, mathematische Politikanalyse.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Messung und fairen Verteilung von Abstimmungsmacht in der Europäischen Union unter besonderer Berücksichtigung der unterschiedlichen Bevölkerungsgrößen der Mitgliedstaaten.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Die zentralen Felder sind die Spieltheorie in der Politik, die Analyse von EU-Vertragsänderungen und die Anwendung mathematischer Indizes zur Ermittlung des Einflusses von Wählern.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das primäre Ziel ist es, zu prüfen, ob die Abstimmungsregeln der EU fair sind, und mathematisch zu begründen, wie eine gerechte Machtverteilung erreicht werden könnte.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Die Arbeit nutzt Methoden aus der Mengenlehre, der Analysis und der Spieltheorie, insbesondere die Berechnung von Machtindizes wie dem Banzhaf-Index und dem Shapley-Shubik-Index.
Was ist der Inhalt des Hauptteils?
Der Hauptteil befasst sich mit der Definition mathematischer Machtbegriffe, der Anwendung dieser auf die EU-Verträge von Nizza und Lissabon sowie der Herleitung des Quadratwurzelgesetzes von Penrose.
Welche Begriffe charakterisieren die Arbeit?
Die wichtigsten Schlagworte sind Quadratwurzelgesetz, Machtindizes, EU-Ministerrat, Fairness, Stimmgewicht und zweistufige Wahlsysteme.
Was genau besagt das Quadratwurzelgesetz von Penrose?
Es besagt, dass für ein faires Wahlsystem die Stimmkraft eines Vertreters im EU-Rat proportional zur Quadratwurzel der Bevölkerungszahl seines Landes sein sollte.
Wie unterscheidet sich der Shapley-Shubik-Index vom Banzhaf-Index?
Während der Banzhaf-Index auf der Untersuchung möglicher Koalitionen basiert, betrachtet der Shapley-Shubik-Index die Bedeutung eines Wählers innerhalb aller möglichen Permutationen (Reihenfolgen) der Abstimmenden.
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- Vanessa Buhrmester (Author), 2014, Das Quadratwurzelgesetz von Penrose, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/439140
