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Einführung in Gröbnerbasen und Anwendungen

Titel: Einführung in Gröbnerbasen und Anwendungen

Ausarbeitung , 2016 , 17 Seiten

Autor:in: Vanessa Buhrmester (Autor:in)

Mathematik - Algebra
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Zusammenfassung Leseprobe Details

Diese Einführung behandelt die von Bruno Buchberger begründeten und nach seinem Doktorvater Wolfgang Gröbner benannten Gröbnerbasen samt einer Einführung in die Theorie, Programmierung des Buchberger-Algorithmus und Erläuterung von Anwendungsbeispielen.

Gröbnerbasen sind Erzeugendensysteme von Idealen in mehrdimensionalen Polynomringen K[T1, ..., Tn], die besondere Eigenschaften haben. Mit deren Eigenschaften können bestimmte Probleme aus der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie gelöst werden. Zwei Beispiele für solche Probleme sind das Lösen von simultanen Nullstellengebilden oder das Idealzugehörigkeitsproblem.

In meiner Arbeit führe ich zunächst grundlegende Definitionen ein, erläutere die Division mit Rest von Polynomen in mehreren Veränderlichen und stelle wichtige Sätze, wie den Hilbert’schen Basissatz vor (mit Beweis). Damit können schließlich Gröbnerbasen definiert und näher beleuchtet werden. Anschließend nenne ich das Buchberger-Kriterium und zeige, wie man Gröbnerbasen berechnen kann: mit dem Buchberger-Algorithmus.

Die Implementierung der verallgemeinerten Polynomdivision und des Algorithmus von Buchberger sowie Anwendungsbeispiele runden die Arbeit schließlich ab.

Leseprobe


Inhaltsverzeichnis

  • Einleitung
  • Mathematische Grundlagen und das Idealzugehörigkeitsproblem
  • Divison von Polynomen aus R[T1, ..., TË] mit Rest
    • Monomordnungen
    • Divisionsalgorithmus
  • Gröbnerbasen und ihre Berechnung
    • Monomideale
    • Gröbnerbasen
    • Der Algorithmus von Buchberger
    • Reduzierte Gröbnerbasen
  • Zusammenfassung

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Dieses Praktikum bietet eine Einführung in die Theorie der Gröbnerbasen, die von Bruno Buchberger begründet wurden. Der Schwerpunkt liegt auf der Erläuterung der mathematischen Grundlagen, der Programmierung des Buchberger-Algorithmus und der Darstellung von Anwendungsbeispielen. Gröbnerbasen sind spezielle Erzeugendensysteme von Idealen in Polynomringen, die zur Lösung von Problemen in der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie eingesetzt werden können.

  • Mathematische Grundlagen von Polynomringen und Idealen
  • Das Idealzugehörigkeitsproblem und seine Bedeutung
  • Die Division von Polynomen in mehreren Veränderlichen
  • Definition und Eigenschaften von Gröbnerbasen
  • Der Buchberger-Algorithmus zur Berechnung von Gröbnerbasen

Zusammenfassung der Kapitel

  • Einleitung: Das Kapitel liefert eine Einführung in das Thema Gröbnerbasen und ihre Bedeutung in der Algebra und Geometrie. Es werden die wichtigsten Anwendungen und Ziele des Praktikums vorgestellt.
  • Mathematische Grundlagen und das Idealzugehörigkeitsproblem: Dieses Kapitel legt die mathematischen Grundlagen für das Verständnis von Gröbnerbasen. Es behandelt Definitionen von Polynomringen, Idealen und dem Idealzugehörigkeitsproblem.
  • Divison von Polynomen aus R[T₁, ..., T] mit Rest: Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Division von Polynomen in mehreren Variablen. Es werden wichtige Konzepte wie Monomordnungen und der Divisionsalgorithmus erläutert.

Schlüsselwörter

Gröbnerbasen, Polynomringe, Ideale, Idealzugehörigkeitsproblem, Division mit Rest, Monomordnungen, Buchberger-Algorithmus, Anwendungen der Algebra, algebraische Geometrie.

Ende der Leseprobe aus 17 Seiten  - nach oben

Details

Titel
Einführung in Gröbnerbasen und Anwendungen
Hochschule
FernUniversität Hagen
Autor
Vanessa Buhrmester (Autor:in)
Erscheinungsjahr
2016
Seiten
17
Katalognummer
V439322
ISBN (eBook)
9783668789494
ISBN (Buch)
9783668789500
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Gröbnerbasen Buchberger Algorithmus Idealzugehörigkeitsproblem Monomordnung verallgemeinerte Polynomdivision reduzierte Gröbnerbasen Idealgleichheitsproblem Lösen von simultanen Nullstellengebilden
Produktsicherheit
GRIN Publishing GmbH
Arbeit zitieren
Vanessa Buhrmester (Autor:in), 2016, Einführung in Gröbnerbasen und Anwendungen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/439322
Blick ins Buch
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Leseprobe aus  17  Seiten
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