Die folgende Ausarbeitung dient als Beginn einer Auseinandersetzung mit separierten und eigentlichen Morphismen. Im ersten Teil definiere ich den Begriff der 'abgeschlossenen und offenen Immersion', diskutiere Beispiele, um anschließend auf den Begriff des 'separierten Morphismus' einzugehen, um mit einer Diskussion des Begriffs 'eigentlicher Morphismus' abzuschließen. Neben der durchgehenden Untersuchung, inwiefern die diskutierten Begriff stabil sind unter Basiswechsel und Komposition, zeige ich auf, dass der schematatheoretische Separiertheitsbegriff ähnliche Konsequenzen wie in der Topologie hat und erörtere das Verhältnis von Immersion und separierter/eigentlicher Morphismus. Des Weiteren untersuche ich das Verhältnis zwischen affinen und projektiven Morphismen und den hier behandelten Begriffen.
Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort
2 Abgeschlossene und offene Immersionen
3 Separierte Morphismen
4 Eigentliche Morphismen
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit den mathematischen Definitionen und Eigenschaften von separierten und eigentlichen Morphismen im Kontext der algebraischen Geometrie, wobei insbesondere die Stabilität dieser Begriffe unter Basiswechsel und Komposition untersucht wird.
- Definition und Eigenschaften von offenen und abgeschlossenen Immersionen
- Die Rolle der Diagonalabbildung bei der Definition separierter Morphismen
- Stabilitätskriterien für separierte und eigentliche Morphismen
- Analyse des Begriffs der Eigentlichkeit von Schemata-Morphismen
- Untersuchung von projektiven Morphismen als fundamentale Beispiele
Auszug aus dem Buch
3 Separierte Morphismen
Definition 3.1. Sei T ein topologischer Raum. T ist genau dann hausdorffsch, wenn das Bild der Diagonalabbildung
Δ : T → T × T
x → (x, x)
eine abgeschlossene Teilmenge von T × T ist.
Eine ähnliche Bedingung kann für Schemata definiert werden:
Definition 3.2. Es sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata.
1. Die Diagonalabbildung zu f ist definiert als der eindeutige Morphismus
Δ_f : X → X ×_Y X,
welcher folgendes Diagramm kommutieren lässt:
2. Der Morphismus f heiße separiert, falls Δ_f eine abgeschlossene Immersion ist. In diesem Fall sagt man, X ist separiert über Y.
3. Ein Schema X heiße separiert, falls der eindeutige Morphismus X → SpecZ separiert ist.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Vorwort: Dieses Kapitel gibt einen Überblick über die Zielsetzung der Arbeit, die sich mit der Untersuchung separierter und eigentlicher Morphismen befasst.
2 Abgeschlossene und offene Immersionen: Hier werden die grundlegenden Definitionen für offene und abgeschlossene Immersionen von Schemata sowie deren Stabilität unter Komposition und Basiswechsel behandelt.
3 Separierte Morphismen: Dieses Kapitel führt den Begriff der separierten Morphismen mittels der Diagonalabbildung ein und diskutiert deren Eigenschaften in Analogie zum hausdorffschen Raum.
4 Eigentliche Morphismen: Hier wird der Begriff der eigentlichen Morphismen definiert, ausgehend von der Endlichkeit, Separiertheit und universellen Abgeschlossenheit, ergänzt durch Beispiele wie projektive Morphismen.
Schlüsselwörter
Algebraische Geometrie, Schemata, Morphismen, Separiertheit, Eigentlichkeit, Diagonalabbildung, Immersion, Basiswechsel, Projektiver Morphismus, Garbenmorphismus, Faserprodukt, Topologischer Raum, Hausdorffsch, Komposition, Ringhomomorphismus
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die mathematische Theorie der separierten und eigentlichen Morphismen im Rahmen der algebraischen Geometrie und Schematatheorie.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind Immersionen, die Konstruktion von Diagonalabbildungen, die Stabilität von Morphismeneigenschaften und die Definition des Eigentlichkeitsbegriffs.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist die systematische Definition und Untersuchung von Morphismen, um zu verstehen, wie sich diese unter geometrischen Operationen wie Basiswechsel oder Komposition verhalten.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit nutzt die deduktive mathematische Methode, indem Definitionen aufgestellt und Sätze über deren Eigenschaften durch Beweise hergeleitet werden.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die Untersuchung von Immersionen, die Einführung der separierten Morphismen und die detaillierte Definition und Analyse eigentlicher Morphismen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind Schemata, Separiertheit, Eigentlichkeit, Immersionen, Basiswechsel und Diagonalabbildung.
Was unterscheidet einen separierten Morphismus von einem hausdorffschen Raum?
Ein separierter Morphismus ist eine Verallgemeinerung der hausdorffschen Eigenschaft auf Schemata, wobei nicht die Hausdorff-Eigenschaft des zugrunde liegenden topologischen Raums, sondern die Abgeschlossenheit der Diagonalabbildung im Schema-Kontext gefordert wird.
Warum sind projektive Morphismen zentrale Beispiele für eigentliche Morphismen?
Projektive Morphismen erfüllen die Bedingungen der Endlichkeit, Separiertheit und universellen Abgeschlossenheit, was sie zu einem grundlegenden Standardbeispiel für eigentliche Morphismen macht.
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- Aaron Berman (Author), 2017, Separierte und eigentliche Morphismen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/439606
