Die folgende Ausarbeitung dient als Beginn einer Auseinandersetzung mit separierten und eigentlichen Morphismen. Im ersten Teil definiere ich den Begriff der 'abgeschlossenen und offenen Immersion', diskutiere Beispiele, um anschließend auf den Begriff des 'separierten Morphismus' einzugehen, um mit einer Diskussion des Begriffs 'eigentlicher Morphismus' abzuschließen. Neben der durchgehenden Untersuchung, inwiefern die diskutierten Begriff stabil sind unter Basiswechsel und Komposition, zeige ich auf, dass der schematatheoretische Separiertheitsbegriff ähnliche Konsequenzen wie in der Topologie hat und erörtere das Verhältnis von Immersion und separierter/eigentlicher Morphismus. Des Weiteren untersuche ich das Verhältnis zwischen affinen und projektiven Morphismen und den hier behandelten Begriffen.
Inhaltsverzeichnis
- Vorwort
- Abgeschlossene und offene Immersionen
- Separierte Morphismen
- Eigentliche Morphismen
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit untersucht den Begriff der separierten und eigentlichen Morphismen in der algebraischen Geometrie. Sie dient als Einführung in die Theorie dieser Konzepte und behandelt ihre Eigenschaften sowie ihr Verhältnis zu anderen wichtigen Begriffen wie abgeschlossenen und offenen Immersionen.
- Definition und Eigenschaften von abgeschlossenen und offenen Immersionen
- Der Begriff des separierten Morphismus und seine Stabilität unter Basiswechsel und Komposition
- Die Eigenschaften und Konsequenzen des separierten Morphismus in der Schematheorie
- Die Beziehung zwischen Immersionen und separierten/eigentlichen Morphismen
- Das Verhältnis zwischen affinen und projektiven Morphismen und den untersuchten Konzepten
Zusammenfassung der Kapitel
- Das erste Kapitel führt den Leser in die Thematik der separierten und eigentlichen Morphismen ein. Es definiert den Begriff der "abgeschlossenen und offenen Immersion" und diskutiert verschiedene Beispiele.
- Das zweite Kapitel behandelt den Begriff des "separierten Morphismus" und analysiert seine Stabilität unter Basiswechsel und Komposition. Zudem werden die Auswirkungen des separierten Morphismus auf die Schematheorie untersucht.
Schlüsselwörter
Die zentralen Themen dieser Arbeit sind separierte und eigentliche Morphismen, abgeschlossene und offene Immersionen, Schematheorie, Basiswechsel, Komposition, affine und projektive Morphismen.
Häufig gestellte Fragen
Was ist ein separierter Morphismus?
Ein separierter Morphismus in der algebraischen Geometrie ist ein Konzept, das ähnliche topologische Konsequenzen wie der Hausdorff-Abstand hat und unter Basiswechsel stabil ist.
Was unterscheidet eine abgeschlossene von einer offenen Immersion?
Die Arbeit definiert beide Begriffe im Kontext der Schematheorie und diskutiert Beispiele für deren Anwendung und Stabilität.
Was bedeutet „Stabilität unter Basiswechsel“?
Dies ist eine Eigenschaft von Morphismen, die sicherstellt, dass die definierenden Merkmale erhalten bleiben, wenn man das zugrunde liegende Schema wechselt.
Wie hängen affine und projektive Morphismen zusammen?
Die Ausarbeitung untersucht das Verhältnis dieser speziellen Morphismen zu den Begriffen der Separiertheit und Eigentlichkeit.
Was ist ein eigentlicher Morphismus?
Ein eigentlicher Morphismus ist ein separierter Morphismus von endlichem Typ, der zusätzlich universell abgeschlossen ist, was in der algebraischen Geometrie von zentraler Bedeutung ist.
- Citation du texte
- Aaron Berman (Auteur), 2017, Separierte und eigentliche Morphismen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/439606
