Fermi-Aufgaben. Eine sinnvolle Ergänzung im Mathematikunterricht der Grundschule?

Inhalt

1. Einleitung

2. Fermi-Aufgaben

3. Kompetenzerwerb durch Fermi-Aufgaben
3.1. Inhaltliche mathematische Kompetenzen
3.2. Modellierungskompetenzen
3.2.1. Soziales Lernen und Modellbildungsprozesse (Peter-Koop, 2012)
3.2.2. Teilkompetenzen des Modellierens (Haberzettl et al., im Druck)
3.3. Allgemein-mathematische und nicht-leistungsbezogene Kompetenzen

4. Grenzen von Fermi-Aufgaben

5. Diskussion der Ergebnisse
5.1. Überwindung von Umsetzungshürden

6. Fazit

Anhang

Quellenverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1.Einleitung

Seit mindestens über hundert Jahren wird Kritik am Sachrechnen im Mathematikunterricht geübt. Im Jahre 1889 äußerte Wendt (Zitiert nach Rude, 1911), dass die SuS^[1] sich nicht um das „Sach-Mäntelchen“ kümmern und die Worte „flüchtig oder gar nicht“ lesen (S. 386). Diese Problematik hat sich bis heute nicht fundamental verbessert, da Franke & Ruwisch (2010) anmerken, dass die Kinder diese „Klugheit“ bis heute anwenden. In der modernen Fachliteratur wird das Sachrechnen auf mehreren Ebenen bemängelt. Strehl (1997) kritisiert bspw. die Oberflächlichkeit der Aufgaben. Seiner Ansicht nach werden Begriffe, gemeinsame Strukturen und Beziehungen nur unzureichend behandelt (S. 14f.). Schütte (1994) betont die Austauschbarkeit der Sachinhalte in den Textaufgaben und eingekleideten Problemen und daraus folgenden fehlendem Bezug zur Erfahrungswirklichkeit. Es fehlt häufig an authentischen Situationen, mit denen sich die SuS identifizieren können (S. 78ff.). Daraus kann folgen, dass völlig unmögliche Ergebnisse von den SuS bedenkenlos akzeptiert werden (Kaufmann, 2006, S.19). Vor diesem Kontext könnten alternative Aufgabenformen eine zunehmend wichtigere Rolle im Mathematikunterricht einnehmen, um realitätsnahe und lebendige Zugänge der Mathematik zu schaffen und eine Trivialisierung des Sachkontextes zu vermeiden. In den letzten Jahren sind infolgedessen insb. die Fermi-Aufgaben in den Fokus des mathematikdidaktischen Diskurses gerückt. Wird der Begriff „Fermi-Aufgabe“ in der Onlinesuchmaschine des Fachportals-Pädagogik (2017) eingegeben, so stammen annähernd alle Beiträge aus den letzten 10 Jahren.

Daher soll diese Hausarbeit der Frage nachgehen, inwiefern Fermi-Aufgaben eine sinnvolle Ergänzung zu konventionellen Aufgaben des Sachrechnens^[2] des Mathematikunterrichts in der Grundschule darstellen können.

Die Eingrenzung der Thematik auf den Primarbereich wurde gewählt, da dies den beruflichen Ambitionen des Autors entspricht. Des Weiteren wären die Ergebnisse, die alle Schulstufen umfassen würden, aufgrund der großen Altersspanne kaum generalisierbar.

Um die Forschungsfrage zu beantworten, soll folgendes Ziel erreicht werden: Zunächst wird der Begriff „Fermi-Aufgabe“ definiert und die Hintergründe des Aufgabentyps erläutert (Kap. 2.). Anschließend findet eine Literaturrecherche des aktuellen Forschungsstandes statt, die den Kompetenzerwerb in unterschiedlichen Dimensionen mithilfe von Fermi-Aufgaben beleuchten soll (Kap. 3). Um ein differenziertes Bild zu vervollständigen, werden zudem Grenzen der Aufgabenform erläutert (Kap 4.). In Hinblick auf die Fragestellung findet eine Diskussion der Ergebnisse statt (Kap. 5). Mit einem abschließenden Fazit wird die Arbeit abgeschlossen (Kap. 6).

Zunächst werden Charakteristika und Hintergründe des Aufgabentyps erläutert.

2. Fermi-Aufgaben

Namensgeber der Fermi-Aufgaben ist der gleichnamige italienische Kernphysiker Enrico Fermi, der 1901 in Rom geboren wurde und 1954 in Chicago starb (Büchter, Herget, Leuders & Müller, 2011). Er erhielt für seine Forschungen im Bereich der Radioaktivität 1938 einen Nobelpreis für Physik. Berühmt war er darüber hinaus für seine erstaunlich präzisen Abschätzungen (Hinrichs, 2008, S. 147). Von seinen Studierenden verlangte er ähnliche Fähigkeiten. Sie sollten zu jeder Frage eine Antwort finden können. Zu großer Bekanntheit gelang seine Frage „wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago?“ (Kaufmann, 2006, S.16).

Diese Frage verdeutlicht die Grundcharakteristika der Fermi-Aufgaben. Es liegen keine oder nur sehr wenige numerische Informationen vor. Die fehlenden Angaben können auf unterschiedliche Art und Weise erschlossen werden: Sie können grob geschätzt, recherchiert oder aus dem Alltagswissen ergänzt werden. Aufgrund der uneindeutigen Informationen und mathematischen Angaben ist kein exaktes Ergebnis erforderlich oder nicht möglich (Hinrichs, 2008, S.148). Stattdessen soll mit Hilfe vernünftiger, gut begründeter Annahmen eine ungefähre Angabe ermittelt werden (Kaufmann, 2006, S. 16).

Fermi-Aufgaben zählen zu den sog. Modellierungsaufgaben, d.h., die Kinder lernen mathematische Strukturen in ihrer Umwelt wahrzunehmen und ihre Erkenntnisse auf sie anzuwenden. Sie lernen ein reales Problem zu strukturieren, zu vereinfachen und zu mathematisieren (Maaß, 2009, S.21-24). Auf der anderen Seite hilft das Verständnis eines realen Problems mathematische Zusammenhänge besser zu verstehen (Franke & Ruwisch, 2010). Im Kontrast dazu stehen eingekleidete Fragen und Textaufgaben des Sachrechnens, bei denen keine Modellierungsprozesse stattfinden (Maaß, 2011, S.6). Das Modellieren als mathematische Kompetenz hat in der didaktischen Literatur in den letzten Jahren zunehmend Beachtung gefunden (Franke & Ruwisch, 2010).

Um den Kompetenzerwerb durch Fermi-Aufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule näher zu untersuchen, werden im anknüpfendem Kapitel unterschiedliche Kompetenzbereiche und Möglichkeiten des Kompetenzerwerbs analysiert.

3. Kompetenzerwerb durch Fermi-Aufgaben

3.1. Inhaltliche mathematische Kompetenzen

Im Folgenden werden die inhaltlichen Kompetenzen der Bildungsstandards (2004) zusammengefasst und Anwendungsbeispiele der Fermi-Aufgaben dargelegt (S. 9ff.):

1. Zahlen und Operationen: Sachaufgaben mit arithmetischen Inhalt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mögliche Fragestellung: „Wie viele Supermärkte gibt es in Münster?“

2. Raum & Form: Sachaufgaben mit geometrischen Inhalt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mögliche Fragestellung: „Wie viele Luftballons passen in unser Klassenzimmer?“

3. Muster & Strukturen: Sachaufgaben zu funktionalen Zusammenhängen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4. Größen & Messen: Sachaufgaben zum situationsadäquaten Umgang mit Größen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mögliche Fragestellung: „Wie viele Meter Haar wachsen einem Menschen pro Tag?“

5. Daten, Häufigkeiten & Wahrscheinlichkeiten: Sachaufg. mit stochastischen Inhalt. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mögliche Fragestellung: „Wie wahrscheinlich ist es, dass du und dein bester Freund sich abends gleichzeitig die Zähne putzen?“

Zu vier der fünf inhaltlichen Kompetenzbereichen des Lehrplans konnte in Übereinstimmung mit Haberzettl, Klett & Schukajlow (im Druck) Anwendungsbeispiele gefunden werden. Lediglich der Bereich „Muster & Strukturen“ kann nicht mit Hilfe von Fermi-Aufgaben abgedeckt werden.

3.2. Modellierungskompetenzen

3.2.1. Soziales Lernen und Modellbildungsprozesse (Peter-Koop, 2012)

Zentrale Fragestellung eines Forschungsprojekts unter Leitung von Peter-Koop war, inwieweit Kinder bei der Bearbeitung von Fermi-Aufgaben komplexe Modellbildungsprozesse entwerfen und mathematische Konzepte erkunden. Weiterer Forschungsgegenstand war der Zusammenhang des sozialen Lernens mit dem Aufbau von Wissen während der Bearbeitung von Fermi-Fragen. Theoretischer Hintergrund ist in diesem Kontext der Mathematisierungsprozess einer Sachsituation nach Winter (1994, S.13). Er umfasst drei Teilschritte (Modellbildung, Datenverarbeitung und Interpretation) und kann folgendermaßen in einem vereinfachten Schema dargestellt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Vereinfachtes Schema des mathematischen Modellierens in Anlehnung an Winter (1994, S.13; Abb. In: Peter-Koop, 2012, S. 112)

Ferner beruft sich Peter-Koop auf Erkenntnisse und Standpunkte der Lerntheorie im Bereich des sozialen Lernens. So eignet sich nach Einschätzung Freudenthals (1978) das Fach Mathematik besonders gut für heterogene Lernprozesse, da in der Mathematik ein stufenförmiger Aufbau der Lernprozesse stattfindet (S. 65). Durch die Konfrontation mit anderen Sichtweisen wird neues Wissen getriggert (Trognon, 1993, S.325-345).

Untersuchungsgegenstand war eine vierte Klasse des Primarbereichs. Die Forschergruppe wählte eine Brennpunktregion, um möglichst heterogene Lerngruppen schaffen zu können. Die Klasse wurde in vier Gruppen mit jeweils vier bis fünf Kindern getrennt. Die Kinder nahmen die Einteilung selbst vor. Auf diese Weise entstanden leistungshomogene wie -heterogene Gruppen. Die zu bearbeitende Aufgabe lautete „wie viele Autos stehen in einem 3-km-Stau?“.

Eine bedeutungsvolle Erkenntnis ist die Tatsache, dass durch die kollektive Konstruktion selbst die homogen leistungsschwachen Gruppen eine adäquate Lösung entwickeln konnten (Peter-Koop, 2012, S. 123). Entscheidende Ursache könnte das große Vertrauen und die Sympathie zwischen den Kindern seien. Durch diesen „Schonraum“ waren die Kinder offener falsche Ideen zu äußern. Die Gruppen wiesen eine ausgesprochen hohe Interaktionsrate auf. Leistungsheterogene Gruppen zeichneten sich eher dadurch aus, dass starke SchülerInnen vorschnell den Lösungsprozess durchliefen, ohne schwächere Kinder zu beteiligen (ebd., 2012, S. 124f.). In Bezug auf den Modellierungsprozess stellte sich heraus, dass dieser nicht einmal durchlaufen wird und dann abgeschlossen ist. Stattdessen wird der Zyklus mehrmals wiederholt (s. Anhang Abb. 2; ebd., 2012, S. 127). Daraus folgerte Peter-Koop (2012), dass der gesamte Bearbeitungsprozess in einem Spannungsfeld zwischen Sache und Mathematik stattfand (S. 126). Eine weitere bedeutungsvolle Beobachtung ist der Fokus auf den Lösungsprozess und den Referenzkontext den die Kinder setzten. Da es unterschiedliche Lösungen gab, gewann das „Wie“ an Bedeutung. Die Angaben, die die Kinder auf Grundlage ihres Vorwissens machten und die mathematischen Operationen, in denen diese Eingebettet waren, nahmen eine wichtige Stellung bei der Lösungsbesprechung ein. Ursache war die Verwunderung der Kinder über die unterschiedlichen Lösungen der anderen Gruppen (ebd., 2012, S.128).

3.2.2. Teilkompetenzen des Modellierens (Haberzettl et al., im Druck)

^[3] Die o. g. Forschergruppe konzipierte eine Unterrichtssequenz für ein 3. Schuljahr der Grundschule. Ziel der Untersuchung war die Beantwortung der Frage, inwieweit Fermi-Aufgaben dazu beitragen können die Modellierungskompetenzen von Kindern zu erweitern. Zentraler theoretischer Bezugspunkt war der Modellierungskreislauf nach Blum (2006), der unter anderem zur Erhebung verschiedener Modellierungskompetenzen der SuS dient und zu großer Bekanntheit gelang (Voigt, 2011, S.31). Prinzipiell kann jede Teilkompetenz des Modellierungskreislaufs eine kognitive Barriere darstellen (Blum, 2006, S.13):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Modellierungsprozess in Anlehnung an Blum (2006, S.9)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Modellierungsprozess in Anlehnung an Blum (2006, S. 9)

Die Unterrichtssequenz wurde in je 8 Doppelstunden eingeteilt, in denen je eine Fermi-Aufgabe bearbeitet wurde. Methodisch orientierte sich die Forschergruppe an der sog. „Ich-Du-Wir-Methode“. In der „Ich-Phase“ arbeiten die Kinder zunächst weitgehend individuell. Anschließend beraten sich die Kinder in der „Du-Phase“ mit ihren jeweiligen Sitznachbarn. Während der „Wir-Phase“ findet das Gespräch schließlich am gesamten Gruppentisch statt (Hülse & Neubert, 2015, S. 31ff.). Die Forschergruppe entschied sich für diese Methode, da sie viele Kommunikationsanlässe zulässt. Jede Unterrichtsstunde wurde mit einem Brief der Eule Fermine eingeleitet. Anschließend durchliefen die Kinder die Teilschritte des Modellierungskreislaufs mit Hilfe eines Modellierungsschemas:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5: Modellierungsschema zur Unterstützung für die Kinder (Haberzettl et al., 2016)

Die Kinder konnten im Verlauf der Sequenz zunehmend komplexere Fragen adäquat lösen. Während und nach der Durchführung des Unterrichtsvorhabens stellte die Forschergruppe in fast allen Teilkompetenzen des Modellierens anhand der Schülerlösungen eine Progression fest. Die Kinder waren besser in der Lage die Sachsituation zu verstehen und eine mentale Vorstellung zu konstruieren. So konnte ein Mädchen in der letzten Einheit Angaben zu der Aufgabe treffen, die ein tiefes Verständnis der Aufgabe und der zu beachtenden Variablen voraussetzt. In den Teilkompetenzen Vereinfachen und Strukturieren machten die Kinder große Fortschritte. Sie nutzten im Laufe der Unterrichtssequenz zunehmend häufiger Skizzen und konnten schneller Angaben als zu Anfang der Untersuchung nutzen. Die Kinder konnten bereits in der dritten Doppelstunde größtenteils selbstständig einen Lösungsweg entdecken und verstehen. Dies ist ein Indikator dafür, dass die Kinder sich im Bereich des mathematischen Arbeitens verbessert haben. Die Notation der Angaben erfolgte ökonomischer und schneller durch die Kinder, wodurch Fortschritte im Darlegen der Ergebnisse erkennbar sind. Außerdem konnten sie zunehmend besser den anderen Kindern ihren Lösungsweg so erklären, dass alle die Vorgehensweise verstehen konnten. Der Rückbezug der Lösung auf die Realsituation durch das Interpretieren gelang den Kindern grundsätzlich gut. Einzig das kognitiv komplexe Validieren der Lösungen bereitete den Kindern weiter Schwierigkeiten. Positiv stach ein Mädchen hervor, das in der letzten Sequenz eine Skizze als Lösungsüberprüfung anfertigte.

[...]

^[1] SuS: Schülerinnen und Schüler

^[2] Unter „konventionellen Aufgaben des Sachrechnens“ werden in diesen Zusammenhang die drei traditionellen Aufgabentypen nach Franke (2003) eingekleidete Aufgaben, Textaufgaben und Sachaufgaben verstanden (S. 32ff.).

^[3] Sofern keine Quellenangaben vorliegen, beziehen sich die Informationen auf die Untersuchung, die in Haberzettl et al. (im Druck) zu finden ist (s. Quellenverzeichnis). Aus Gründen der Übersicht wurde im Folgenden auf mehrmalige Zitatverweise verzichtet.