Ermittlung der Kreiszahl Pi und Umfang des Kreises

Inhaltsverzeichnis

1. Soziokultureller Hintergrund
1.1 Vorstellung der Schule
1.2 Vorstellung der Klasse

2. Sachanalyse
2.1 Der Kreis
2.2 Kreiszahl Pi
2.3 Der Umfang

3. Didaktische Analyse
3.1 Bezug zum Bildungsplan
3.2 Schülerbezug
3.3 Unterrichtsziele

4. Methodische Analyse

5. Verlaufskizze

6. Reflexion/ Nachbesinnung
6.1 Eigenreflexion
6.2 Fremdreflexion

7. Anhang
7.1 Tafelbild/ Tafelanschriebe
7.2 Power Point Präsentation, Arbeitsblatt
7.3 Verwendete Literatur

1. Soziokultureller Hintergrund

1.1 Vorstellung der Schule

Die kooperative Gesamtschule, das Bildungszentrum Markdorf, ist ein großes Gebäude, in dem sich nicht nur die Realschule, sondern auch das Gymnasium und die Hauptschule befinden. Es ist die größte allgemein bildende Schule im Bodenseekreis. Alle drei Schularten arbeiten eng zusammen. Der Schulkomplex wurde zu Beginn der siebziger Jahre als Modellschule eingerichtet. Die Realschule ist die größte der drei Schulen. Sie befindet sich im modernsten Teil des Bildungszentrums. Der Anbau wurde 1984 mit dem vorgelagerten Pausenhof Süd erbaut. Sie besteht aus ca. 900 Schülerinnen und Schüler. Diese sind in 30 Klassen aufgeteilt mit insgesamt 60 Lehrerinnen und Lehrer.

Die Schule ist ursprünglich als ländliches Bildungszentrum eingerichtet worden, das schwerpunktmäßig auf die im Hinterland des Bodensees liegenden Gemeinden ausgerichtet war. Doch heute kommen die Schüler nicht nur aus dem ländlichen, sonder auch von umliegenden Städten her. Wesentliche Merkmale aus der damaligen Zeit, nämlich die Ganztagsbetreuung der Schülerschaft, werden auch heute noch in positiver Weise fortgeführt. Ganztagsbetreuung heißt nicht Ganztagsschule, sondern meint die Teilnahme an der „Gestaltung der Freizeit“ an einem zusätzlichen Nachmittag, entweder im Klassenverband (5/6) oder in Neigungs- und Interessensgruppen (7/8). In Klase 9 und 10 steht den Schülern die freiwillige Teilnahme an Arbeitsgemeinschaften offen.

Die Schule bietet eine Vielzahl von Bildungs- und Freizeitangebote an. In der Mittagspause haben die Schülerinnen und Schüler die Möglichkeit im Bistro der Schule Mittag zu essen. Des Weiteren können die Schüler das Angebot einer offenen Werkstatt, in den textilen Fachräumen sowie den Computerräumen nutzen. Es gibt auch noch zwei Spielbereiche, die zwischen dem Vor- und Nachmittagsunterricht geöffnet sind, ebenfalls die Mediothek und das Internet-Cafe. Ganztätig können die Jugendlichen auch die –öffentliche- Bibliothek in der Schule nutzen.

Außer den Klassenzimmern besitzt die Schule Fachräume für Biologie, Chemie, Physik und MUM.

Die Medienausstattung der Schule ist sehr vorbildhaft, da sie zwei Computerräume, einen mobilen Computerraum und mehrere Einheiten mit Beamer und Laptops besitzt.

1.2 Vorstellung der Klasse

Die Klasse 9c an der Realschule in Markdorf ist mit 28 Schüler und Schülerinnen eine relativ große Klasse. Die Schüler teilen sich in 12 Mädchen und 17 Jungen, die zwischen 14 und 16 Jahre alt sind.

Die schulischen Leistungen sind sehr unterschiedlich. Es gibt Schüler mit erheblichen Lernproblemen, aber auch solche mit nahezu keinen. Der Leistungsstand der Klasse liegt etwas unter dem Durchschnitt. Zu den schwächeren gehören auch drei Schüler die die Klasse zum zweiten Mal wiederholen.

Die Klasse hat an einem Versuch, „Lernen durch gegenseitiges Lehren“, teilgenommen, daher sind sie eigenständiges Arbeiten gewohnt und kennen jegliche Sozial- und Arbeitsformen. Die Hilfsbereitschaft der Schülerinnen und Schüler sind teilweise sehr stark ausgeprägt. Sie haben meist ein offenes Verhältnis zu den Lehrern. Doch untereinander ist die Umgangsform je nach Schüler sehr unterschiedlich.

Die Schüler sitzen an 3 aneinander stehenden Tischreihen. Dies bietet jedem Schüler einen guten Blick an die Tafel. Allgemein herrscht in dem Klassenraum eine gute Atmosphäre. Das Klassenzimmer ist mit einer Tafel und einem Tageslichtprojektor ausgestattet. Zwei Seiten des Raumes bestehen aus großen Fenstern und bieten somit sehr viel Licht. Dies kann wiederum ein Nachteil sein, wenn man mit dem Beamer etwas präsentieren will. Dann muss man beide Seiten verdunkeln. An einer Seite steht ein Regal, wo sich Schulbücher und andere Materialien befinden und darüber eine Pinnwand, an die wichtigen Informationen hängen. Daneben stehen noch ein Computer und ein Drucker für die Schüler.

2. Sachanalyse

2.1 Der Kreis

„Kreis in der Geometrie, ebene Kurve (der Umfang), bei der jeder Punkt den gleichen Abstand von einem Fixpunkt, dem Mittelpunkt des Kreises, hat. Der Kreis gehört zu einer Klasse von Kurven, die man Kegelschnitte nennt, da man einen Kreis als Schnittpunkt eines geraden senkrechten Kegels mit einer senkrecht zur Achse des Kegels stehenden Ebene beschreiben kann.

Jede Strecke, die durch den Kreismittelpunkt verläuft und durch den Kreis begrenzt wird, heißt Durchmesser des Kreises. Der Durchmesser ist eine Strecke, die durch den Mittelpunkt verläuft und deren Endpunkte auf dem Kreisumfang liegen. Der Radius ist eine Strecke vom Kreismittelpunkt zum Kreisumfang. Eine Sehne heißt jeder Geradenabschnitt, der vom Kreis geschnitten wird. Ein Bogen des Kreises ist die Kurve, die sich zwischen zwei Punkten des Kreises spannt. Ein Mittelpunktswinkel ist ein Winkel mit dem Scheitel am Kreismittelpunkt und mit Schenkeln, die Radien des Kreises bilden.

Von allen ebenen Figuren mit dem gleichen Umfang besitzt der Kreis den größten Flächeninhalt. Das Verhältnis von Kreisumfang und Kreisdurchmesser ist eine Konstante, die mit dem Symbol Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten oder Pi gekennzeichnet wird. Pi ist eine der wichtigsten mathematischen Konstanten und spielt bei vielen Rechnungen und Beweisen in der Mathematik, Physik, Technik und anderen Wissenschaften eine Rolle. Pi beträgt etwa 3,141592.

Der Kreismittelpunkt ist das Symmetriezentrum, und jeder Durchmesser des Kreises ist eine Symmetrieachse. Konzentrische Kreise, das sind Kreise mit verschiedenen Umfängen, aber gleichem Mittelpunkt, schneiden sich nie.

Der Flächeninhalt eines Kreises entspricht Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten multipliziert mit dem Quadrat des Kreisradius.

Ein Kreisbogen ist proportional zum Winkel, der ihm am Mittelpunkt gegenüberliegt und umgekehrt. Diese Eigenschaft bildet die Grundlage des Winkelmaßes in Radiant. Ein Kreis hat 360 Grad.“^[1]

2.2 Kreiszahl Pi

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]„Pi, griechischer Buchstabe (p), der in der

Mathematik als Symbol für das Verhältnis

des Umfangs eines Kreises zu seinem

Durchmesser benutzt wird. Der griechische

Mathematiker Archimedes stellte richtig fest,

dass der Wert zwischen 3 Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und 3 Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

liegen muss. 190 n. Chr. wurde in China die Zahl auf fünf Stellen berechnet: 3,14159. Das Symbol Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für dieses Verhältnis verwendete erstmals 1706 der englische Mathematiker William Jones. Aber es wurde erst 1737, nachdem der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler es übernommen hatte, in weiten Kreisen gebräuchlich. 1882 bewies der deutsche Mathematiker Ferdinand Lindemann, dass Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten eine transzendente Zahl ist – d.h., sie ist nicht Lösung irgendeiner polynomischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten. Infolgedessen konnte Lindemann beweisen, dass die Quadratur des Kreises sowohl algebraisch als auch durch Zirkel und Lineal unmöglich ist.

Obwohl Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten eine irrationale Zahl ist, also unendlich viele Dezimalstellen besitzt, kann sie beliebig genau durch eine besondere mathematische Operation, eine Taylor-Reihenentwicklung, ermittelt werden. Mit Hilfe eines Computers wurde Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten 1989 auf 480 Millionen Stellen berechnet. Im März 1998 gelangen mit Hilfe eines Verbundes von Hochleistungsrechnern 51 Milliarden Stellen
hinter dem Komma.“^[2]

„Die Suche nach dem Zusammenhang zwischen Radius und Fläche bzw. Umfang des Kreises ist vermutlich so alt wie die Geschichte der Geometrie.

Schon von den Babyloniern sind Angaben dazu bekannt; allerdings rechneten sie meist mit dem stark gerundeten Wert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten = 3. Die Ägypter kamen dem wahren Wert sehr viel näher: Sie benutzten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ≈ Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten dies entspricht in Dezimaldarstellung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten = 3,1605. Archimedes (um 300 n. Chr.) schließlich entwickelte ein Verfahren, bei dem der Kreis durch ein- und umbeschriebene Vielecke angenähert wurde. Geht man beispielsweise von einem Quadrat aus, so erhält man mit Hilfe der Mittelsenkrechten daraus ein 8 – Eck, aus diesem ein 16 – Eck, dann ein 32 – Eck usw. Mit steigender Eckenzahl n werden die Kanten immer kürzer und die Form des Vielecks nähert sich – zumindest optisch – der des Kreises. In der Grenze, das heißt für ein „Unendlich – Eck“, ist der Kreis erreicht.

Der Kreis mit ein- und umbeschriebenem 4- und 8 – Eck:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Archimedes selbst hatte die Ungleichung 3Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten < Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten < 3Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erhalten."3

„Der derzeitige Rekord der Berechnung von π wird durch Yasumasa Kanada auf einem HITACHI Supercomputer mit 1.241 Milliarden Stellen gehalten.“4^[3]

2.3 Der Umfang

„Ein Umfang ist in der Mathematik (Geometrie) die Länge des Randes einer Fläche in der Zeichenebene (im Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten).

Beispielsweise lautet die Formel für den Kreisumfang:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- U steht dabei für den Umfang,
- r für den Radius des Kreises und
- π für die Konstante Pi mit dem Wert 3,141592654...“5^[4]

3. Didaktische Analyse

3.1 Bezug zum Bildungsplan

Ausgehend vom Mathematikunterricht in einer 10. Klasse findet man im neuen Bildungsplan den Bereich „1. Leitidee Zahl“. Die Schüler und Schülerinnen sollen „die Notwendigkeit von Zahlenbereichserweiterungen verstehen und wissen um Bedeutung und Eigenschaften nicht rationaler Zahlen“. Des Weiteren sollen sie „sinntragende Vorstellungen von den Zahlen und ihrer Darstellungen darlegen – und sie entsprechend der Verwendungsnotwendigkeit nutzen“. Auch den „Zusammenhang“ von Umfang und Durchmesser sollen sie „erkennen und beschreiben“ können.

Unter „2. Leitidee Messen“ sollen die Schülerinnen und Schüler „Messergebnisse und berechnete Größen in sinnvoller Genauigkeit angeben“ können. Des Weiteren sollen sie „gezielt Messungen vornehmen, Maßangaben entnehmen und damit Berechnungen durchführen“. „Eine Möglichkeit zur näherungsweise Bestimmung des Umfangs eines Kreises darstellen“ und „die Formel zur Kreisberechnung anwenden“. 6^[5]

3.2 Schülerbezug

Für das Unterrichtsthema „Die Ermittlung der Kreiszahl Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenund der Umfang vom Kreis" findet man nicht unbedingt einen direkten Bezug zur Anwendbarkeit im Alltag. Später werden die Schülerinnen und Schüler die Zahl Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten einfach verwenden ohne darüber nachzudenken, wie diese Zahl eigentlich entsteht. Dennoch halte ich es für sinnvoll und wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler lernen, Zusammenhänge zu erkennen (z.B. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) und Strategien zur Beweisbarkeit fachlicher Inhalte zu finden. Dadurch lernen sie, präzise zu denken und sich zu äußern, nicht nur im mathematischen Bereich.

Was den Jugendlichen schon bekannt ist, sind die Bezeichnungen am Kreis. Das Thema ist für die Geometrie von großer Bedeutung. Alles was rund und kreisförmig ist, wie z. B. der Zylinder, die Kugel, und vieles mehr, benötigt man die Zahl Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten um das Volumen oder die Oberfläche von einzelnen Objekten oder zusammengesetzten Flächen und Körpern auszurechnen. Auch das Vorstellungsvermögen der Schülerinnen und Schüler wird trainiert und angewendet. Für das spätere Leben sind solche geometrischen Figuren von großer Bedeutung. Überall, wo man hin schaut, sieht man Kreise. In der Umwelt findet man Kreise, z.B. die Erde, die Sonne, usw. sind rund. Auch viele alltägliche Gegenstände haben eine runde Form. Die Schülerinnen und Schüler kommen jeden Tag mit Kreisen in Verbindung. Z.B. wenn sie in die Schule fahren, sei es mit dem Fahrrad, Bus, Bahn, oder dem Auto, findet man überall Räder.

[...]

^[1] Vgl. mit: Microsoft Encarta Enzyklopädie 2001, CD-Rom

^[2] Vgl. mit: Microsoft Encarta Enzyklopädie 2001, CD-Rom

^[3] Vgl. mit: Handbuch Mathematik, S. 387

^[4] Vgl. mit: http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl

^[5] Vgl. mit: http://de.wikipedia.org/wiki/Umfang

^[6] Vgl. mit: Ministerium für Kultus und Sport: Bildungsplan für die Realschule, Seite 65, 66