Die handlungsorientierte Erschließung topographischer Fragestellungen im Mathematikunterricht am Beispiel des Ortes Sande in einer 3. Grundschulklasse

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung
1.1. Hinführung zum Thema
1.2. Fragestellung der Arbeit
1.3. Ziele und Abgrenzung
1.3.1. in Bezug auf das Fachliche
1.3.2. in Bezug auf den Unterricht

2. Theoretische Grundlagen
2.1. Begriffsbestimmungen (Arbeitsdefinitionen)
2.1.1. Handlungsorientierung
2.1.2. Topographische Fragestellungen
2.1.2.1. Topologie und Perspektive
2.1.2.2. Netze und Wege
2.1.2.3. Planquadrate
2.1.2.4. Messungen und Maßstäbe

3. Planung der Unterrichtseinheit
3.1. Darstellung der vollständigen Einheit
3.2. Lernvoraussetzungen – Bedingungsanalyse
3.2.1. in Bezug auf die Klassensituation
3.2.2. in Bezug auf die Inhalte
3.2.3. in Bezug auf die Arbeits- und Sozialformen
3.3. Didaktische Überlegungen zur Unterrichtseinheit
3.3.1. in Bezug auf das Fach Sachunterricht
3.3.2. in Bezug auf das Fach Mathematik
3.4. Methodische Überlegungen zur Unterrichtseinheit
3.5. Zielsetzungen der Einheit

4. Durchführung der Unterrichtseinheit
4.1. Vorbemerkungen
4.2. „Planquadrate“ (3. Stunde)
4.2.1. Sachanalyse
4.2.2. Didaktische Überlegungen und Lernziele
4.2.3. Methodische Überlegungen
4.2.4. Stundenverlauf
4.2.5. Anlage zur Stunde
4.2.6. Reflexion
4.3. „Schatzsuche“ (9. Stunde)
4.3.1. Veränderungen der Lernvoraussetzungen
4.3.2. Sachanalyse
4.3.3. Didaktische Überlegungen und Lernziele
4.3.4. Methodische Überlegungen
4.3.5. Stundenverlauf
4.3.6. Anlage zur Stunde
4.3.7. Reflexion

5. Gesamtreflexion und Ausblick
5.1. Zusammenfassung
5.2. fachliche Aspekte
5.3. methodische Aspekte
5.4. Interpretationen von Schüleräußerungen und –aktionen
5.5. Fazit

6. Schlussbemerkungen

7. Literaturangaben

8. Erklärung

9. Anhang

1. Einleitung

1.1. Hinführung zum Thema

Die Wahl des Themas dieser Hausarbeit resultiert aus verschiedenen, annähernd zeitgleich zusammengetroffenen Faktoren. Einerseits ergab sich für den Zeitraum der Einheit zur Examensarbeit aus der groben Langzeitplanung heraus eine Beschäftigung mit topographischen Inhalten (Stadtpläne, Planquadrate, Wegbeschreibungen, etc.)^[1]. Andererseits zogen in dieser Zeit einige Schüler innerhalb des Ortes um oder sind neu hinzugezogen, so dass die neuen Wohnadressen und ihre Lage im Ort für die Schüler von erhöhter Bedeutung waren.

Hinzu kam als aktueller Anlass die Vermessung der Schulhöfe durch das Landesvermessungsamt, welche ebenfalls das Interesse der Schüler auf sich zog und somit Auslöser für den Transfer der Aufgaben aus der Literatur auf die konkrete Anwendung topographischer Fragestellungen auf den Ort Sande war. Aus diesem Transfer auf die unmittelbare Lebensumwelt der Schüler und der Planung ortsgebundener Materialien und Aufgabenstellungen ergab sich notwendigerweise auch ein handlungsorientierter Ansatz für die Bearbeitung dieser Inhalte.

Gleichzeitig soll durch die Verknüpfung von handlungsorientierten Erfahrungen mit geographischen und mathematischen Problemstellungen ein Bogen von konkreten topographischen Entdeckungen und Erkundungen hin zur Mathematisierung derselben geschlagen werden.

Auf diese Weise werden fächerübergreifende Aspekte, welche der Titel der Arbeit bereits in sich birgt, im fließenden Übergang vom Fach Sachkunde zur Mathematik berücksichtigt. In diesem Zusammenhang bilden dann auch Lerninhalte beider Fächer das Fundament dieser Einheit. Eine klare Abgrenzung der verfolgten Ziele dieser Arbeit, bzw. die Schwerpunktsetzung auf eine mathematische Betrachtungsweise soll aber ebenfalls herausgestellt werden (siehe 1.3.).

1.2. Fragestellung der Arbeit

Aus der Hinführung zum Thema der Arbeit wird bereits ersichtlich, dass der Fokus dieser Arbeit – bei vielen möglichen Blickwinkeln – auf die Betrachtung und mögliche Umsetzung mathematischer Aspekte bei der Bearbeitung topographischer Inhalte gerichtet ist. Die Schwierigkeit der Verbindung von mathematischen Fragestellungen mit realen – aus der Alltagsproblematik und Interessenlage der Schüler entnommenen und durch Handlungen erschlossenen – Sachproblemen stellt einen wesentlichen Kritikpunkt des Mathematikunterrichtes und des schulischen Lernens generell dar.

„Aufgabenstellungen und Phänomene aus dem realen Erfahrungsbereich der Schüler sind ideale Lerngegenstände für die Schule, weil die Schüler eigene Beiträge leisten können und besseres Verständnis für einen bekannten und interessanten Sachverhalt in der Regel gerne als Lernziel akzeptieren. Trotzdem ist es nicht ganz leicht, das Erschließen realer Sachsituationen mit dem Mathematikunterricht sinnvoll zu verbinden, weil häufig in der Wahrnehmung nicht-mathematische Aspekte überwiegen. Bei vielen Sachaufgaben wirkt deshalb der … Übergang von der Sachinformation [zu mathematischen Lösungsmethoden] demotivierend, weil die Sache selbst als Einkleidung entlarvt und damit entwertet wird.“ (BAIREUTHER 2000, S. 121)

WINTER schreibt hierzu:

„In der Funktion ([Sachbezogenheit als Lernprinzip]) sind zwar „bewährte“ didaktische Prinzipien aufgehoben, vor allem die der Anschaulichkeit, der Lebensnähe, des paradigmatischen Lernens, des abwechslungsreichen Übens. Aber abgesehen von der Schwierigkeit, passende anschauliche Situationen überhaupt aufzufinden, gibt es hier das Problem, dass das Anwenden insofern zu einem bloß methodischen Hilfsmittel geraten kann, als inhaltliche Bezüge nicht genügend ernst genommen und damit als austauschbar angesehen werden. Im Extrem läuft da die Anwendungsorientierung auf das Bemühen hinaus, nackte mathematische Ideen in einer attraktiven Verpackung zu präsentieren.“(WINTER 1989, S.217)

Erörtert werden soll hier, welche Möglichkeiten Grundschüler besitzen, sich unter zu Hilfenahme ihrer Vorerfahrungen mit ihrer aktuellen Umwelt auseinanderzusetzen und diese systematisieren zu können. Das Wechselspiel zwischen konkret-anschaulichen Situationen in reellen, handlungsaktiven Arbeitsphasen und der mathematisch-geographischen Abstraktion zur Abbildung der Realität in der Topographie stellt den Untersuchungsschwerpunkt dieser Arbeit dar. Dabei sollen nach Möglichkeit die mathematischen Aspekte soweit in die topographischen Fragen eingebettet werden, dass es eben nicht zu der oben beschriebenen „Entlarvung“ kommt.

Auf der Basis eines ganzheitlichen Menschenbildes soll hier ebenfalls untersucht werden, inwiefern ein handlungsorientierter Ansatz mit offenen, schüleraktiven Unterrichtsformen zur selbständigen Erarbeitung der Inhalte beitragen kann. Aspekte wie gegenseitige Hilfestellung und Rücksichtnahme, sowie Kommunikation und Organisation in der Gruppe können hier als wichtige Indizien zur Bewertung der Entwicklung sozialer Strukturen herangezogen werden. In diesem Zusammenhang ist dann auch die Frage nach Effektivität und Umsetzbarkeit dieses Ansatzes zu stellen.

1.3. Ziele und Abgrenzung

1.3.1. in Bezug auf das Fachliche

Die inhaltliche Zielsetzung dieser Arbeit umfasst die drei folgenden Themenbereiche:

1. Kartographie: Erkundung des Ortes Sande durch die handlungsorientierte Bearbeitung topographischer Aufgabenstellungen zum Ortsplan.
2. Topologie und Perspektivprojektion: Orientierung, Einordnung und Transfer zwischen Wirklichkeit und Kartensystem
3. Messungen: Konkrete Messvorgänge und -methoden in der Umwelt(1:1) und indirekte Messungen auf einer Karte.

Zu 1. Durch chronologisch aufeinander aufbauende und im Schwierigkeitsgrad steigende Arbeitsanweisungen und Aufgabenstellungen sollen die Schüler an den Aufbau von Karten herangeführt werden. Sie sollen Farbgebungen, Symbole und ikonisierte Darstellungen einer Karte identifizieren und in den Gesamtzusammenhang einordnen. Die auf diese Weise gewonnenen grundlegenden Erfahrungen dienen als „Handwerkszeug“ für die weitere spezielle Kartenarbeit und die spätere Anwendung in anderen Aufgabenfeldern.

Zu 2. Problemstellungen, welche die Orientierung auf einer Karte beinhalten (z.B. Wegbeschreibungen, Schatzsuche) erfordern das „Hineinversetzen“ des Schülers in einen bestimmten Teilausschnitt der Karte. Der Schüler soll befähigt werden, ein mentales Abbild der Realität zu erzeugen, welches ihm die Bestimmung seiner Position und die Orientierung im Raum ermöglicht. Später soll der Schüler in der Lage sein, seine reale Bewegung im Raum simultan auf einer Karte zu verfolgen, bzw. durch die Anwendung seiner erworbenen Fähigkeiten im Kartenlesen seinen Weg im realen Raum zu bestimmen. (Schatzsuche)

Zu 3. Einer der wichtigsten mathematischen Teilaspekte beim Umgang mit Karten ist das Messen und maßstabgetreue Übertragen, bzw. Ablesen von Größen, Verhältnissen und Entfernungen. Der Schüler soll unterschiedliche Methoden und Messgeräte (Lineal, Meterstab, Zollstock, Maßband, etc.^[2] ) anwenden können, um Entfernungen in seinem unmittelbaren Wirkungskreis, aber eben auch über dieses Umfeld hinaus bestimmen zu können. Hierbei werden dem Schüler Vorteile von Karten deutlich, er erhält die Gelegenheit, Aussagen über nicht unmittelbar nachprüfbare Sachverhalte zu treffen. Er lernt, sich durch Hilfsmittel Informationen über seine Umwelt zu verschaffen.

1.3.2. in Bezug auf den Unterricht

Weitere Gesichtspunkte, welche unweigerlich im Thema enthalten sind und durch die Art der Aufbereitung dieser Einheit eine entscheidende Rolle spielen, sind neben dem handlungsorientierten Ansatz fächerübergreifende, soziale und differenzierende Aspekte. So wurde bereits angedeutet, dass die Inhalte der einzelnen Stunden sowohl der Geographie, als auch dem Mathematikunterricht zugeordnet werden können. Weiter erfordert die Bearbeitung der Aufgaben aus organisatorischen Gründen (Platz und Material) und durch die Form der Aufgabenstellungen in fast allen Phasen Partner-, bzw. Gruppenarbeit, so dass das Gelingen dieser Phasen selbstverständlich auch von sozialen Faktoren abhängig ist. Und schließlich findet durch die individuelle Bearbeitungsmöglichkeit der Arbeitsaufträge mit unterschiedlichen Lerntempi eine automatische Differenzierung in der Zeitebene statt. Zur Abgrenzung des Schwerpunktes dieser Arbeit soll der Aspekt des Differenzierens aber nachrangig behandelt werden und sich lediglich in methodischen und didaktischen Überlegungen niederschlagen.

Die Zielsetzungen bezüglich der Unterrichtsformen und sozialer Prozesse sind:

1. Handlungsorientierung: Erschließung topographisch-mathematischer Sachverhalte und Zusammenhänge durch handelnde Auseinandersetzung mit Karten und Materialien.
2. fächerübergreifende Problemstellung: Integration von mathematischen Aspekten in ein geographisches Thema aus dem Sachkundeunterricht
3. Kooperationsförderung: Ausbau sozialer Kompetenzen durch gemeinsames Arbeiten in Partner- und Gruppenarbeit in geöffneten Unterrichtssituationen.

Zu 1. In der handlungsaktiven Bearbeitung sollen die Schüler lernen, Arbeitsaufträge handelnd umzusetzen und die daraus gewonnenen Erfahrungen und Entdeckungen rückwirkend in theoretische Erkenntnisse zu transformieren. Durch diesen Prozess wird eine Verbindung zwischen theoretischen Aussagen und ihrem realen Bezug hergestellt. Der Schüler assoziiert theoretisches Wissen mit praktischen Handlungen und erfährt Zusammenhänge ganzheitlich. Ziel ist also eine erhöhte Lerntiefe und die intensivere Festigung neu erlernter Inhalte durch das Lernen im Sachzusammenhang.

Zu 2. Durch die Verknüpfung mathematischer Aufgaben mit dem Rahmenthema: „Menschen erschließen sich den heimatlichen Raum“ (RRLGS-Sachunterricht 1982, S.6 & S.36 f. & S.53 f. ) des Sachkundeunterrichtes erhalten diese einen Sinnzusammenhang mit der Lebensumwelt der Schüler. Sie erfahren hierdurch eine Aufwertung und stehen damit im unmittelbaren Kontext zur Interessenlage der Schüler. Die Arbeitsaufträge sind dabei so konzipiert, dass sie direkt aus der Kenntnis des Heimatortes, der mittelbaren Anschauung oder der handlungsorientierten Erprobung heraus gelöst werden können. Das Ziel dieser Kombination ist also die Steigerung des Interesses und der Motivation der Schüler durch ortsgebundene und lebensnahe Aufgabenstellungen (im Gegensatz zu beispielsweise allgemeinen Aufgaben des Mathematikbuches). Dabei müssen Handlungssituationen zum Erarbeiten von Sachverhalten nicht erst künstlich geschaffen werden, sondern ergeben sich automatisch.

Zu 3. Durch das gemeinsame Lösen von Aufgaben auf einer Karte, das gemeinsame Herstellen von Handlungsprodukten, sowie die gemeinsame Nutzung von Materialien sollen die Schüler lernen, sich mit ihrem Gegenüber in rücksichtsvoller und tolerierender Weise zu arrangieren. Dabei gilt es durch Kompromisslösungen, das Zurückstellen eigener Bedürfnisse und geschicktes Organisieren der gemeinsamen Arbeit Konflikten vorzubeugen oder aufkeimenden Unstimmigkeiten schlichtend entgegenzuwirken. Im Hinblick auf diesen Aspekt sollen bewusst Situationen erzeugt werden, in denen aufgrund knappen Materials das Bilden von Arbeitsgemeinschaften und damit die genannten sozialen Verhaltensweisen und Hilfestellungen notwendig werden.

2. Theoretische Grundlagen

2.1. Begriffsbestimmungen (Arbeitsdefinitionen)

Die im Folgenden aufgeführten Begriffsbestimmungen stellen zusammenfassend das Verständnis und die Kriterien der einzelnen Aspekte dar und vermitteln eine Übersicht über die hier verfolgten Intentionen. Dabei beschränken sich die Ausführungen auf die relevanten Begriffe für diese Arbeit.

2.1.1. Handlungsorientierung

Der Begriff der Handlungsorientierung wird hier vorangestellt, da alle weiteren Bereiche inhaltlicher Art handlungsorientiert behandelt werden, bzw. die Orientierung an einer handlungsorientierten Umsetzung dieser Inhalte die übergeordnete methodische Richtung für das Vorgehen in den einzelnen Phasen darstellt.

„Handlungsorientierter Unterricht ist ein ganzheitlicher und schülerInnenaktiver Unterricht, in dem die zwischen dem Lehrer/der Lehrerin und den SchülerInnen vereinbarten Handlungsprodukte die Organisation des Unterrichtsprozesses leiten, so dass Kopf- und Handarbeit der SchülerInnen in ein ausgewogenes Verhältnis zueinander gebracht werden können.“ (Z2: MEYER & PARADIES, 2000, S.27)

Handlungsorientierung im Unterricht beschreibt also – wie bereits angedeutet – den Übergang, bzw. Wechsel zwischen handelndem Tun und kognitiver Wissensbildung. Dabei herrscht eine Koinzidenz beider Teile. Die Handlung bewirkt kognitive Prozesse, welche wiederum ihrerseits Einfluss auf die Handlung nehmen. Handlungsorientierter Unterricht basiert nach MEYER & PARADIES auf „pädagogischem Optimismus“, dem ein Weltbild zugrunde liegt, welches von der natürlichen Neugier des Menschen, der emotionalen Auseinandersetzung mit seiner Umwelt und einer instinktiven Experimentierlust ausgeht. (Vgl. Z2: MEYER & PARADIES, 2000, S.28 f.).

Um diesen genuinen Bedürfnissen im Unterricht nachkommen zu können, bzw. ihnen nicht im Wege zu stehen, sind als Grundvoraussetzungen ganzheitliche Zugänge auf personaler, inhaltlicher und methodischer Ebene erforderlich. Weiterhin ist die schüleraktive und von Schülerinteressen geleitete Herstellung von „veröffentlichungsfähigen materiellen und geistigen Handlungsprodukten“, sowie die Öffnung des Lernumfeldes bezüglich der Lernorte, -methoden und –organisationsformen notwendig. (Vgl. Z2: MEYER & PARADIES, 2000, S.30 ff.)

Die erhofften Vorteile handlungsorientierten Unterrichts liegen in dem Auf- und Ausbau von Methodenkompetenzen der Schüler durch die aktive Mitgestaltung des Unterrichtsprozesses. Hieraus resultieren eine intensive Identifikation mit dem Thema, die Entfaltung organisierender Kräfte und sozialer Kompetenzen, sowie Selbständigkeit und Reflexionsvermögen (Vgl. Z2: MEYER & PARADIES, 2000, S.29 f.). In der praktischen Umsetzung erfordert dies eine „Dialektik von Führung und Selbsttätigkeit“ (Z2: MEYER & PARADIES, 2000, S.31 f.), den Einsatz verschiedener Arbeitstechniken und Sozialformen (Gruppen- und Partnerarbeit, Lehraufgaben für Schüler) und die Schaffung von Freiräumen für verschiedene Problemlösungsmöglichkeiten und Methoden.

Nach MEYER & PARADIES ist handlungsorientierter Unterricht nicht an zeitliche oder organisatorische Rahmenbedingungen gebunden, so dass er sowohl als einzelne Unterrichtsphase, als Methode für eine bestimmte Einheit, aber auch grundsätzlich als Unterrichtsform eingesetzt werden kann (Vgl. Z2: MEYER & PARADIES, 2000, S.27). So sind in der hier behandelten Einheit neben den handlungsorientierten Elementen auch andere Methoden eingesetzt worden, um die für die Beibehaltung der Grundrichtung im Hinblick auf gesetzte fachliche Ziele notwendigen Schritte auch anleitend umsetzen zu können. Damit grenzt sich das hier behandelte Vorgehen insofern vom Projektunterricht ab, als dass die für die Projektarbeit notwendige „Offenheit der Ausgangssituation“ (FREY 2002, S.56) nicht gegeben ist und die grundlegenden Inhalte und Intentionen der einzelnen Stunden bereits vorgegeben wurden. Die folgende Graphik gibt eine Übersicht über die Kriterien handlungsorientierten Unterrichts, welche als Grundlage für den methodischen Aufbau und die Umsetzung dieser Einheit maßgebend sind. Da eine gleichzeitige Berücksichtigung aller Gesichtspunkte nicht möglich ist, wurden die für diese Einheit primär bedeutungsvollen Aspekte hervorgehoben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Handlungsorientierung (WEB 1)

Als Nachteile einer handlungsorientierten Vorgehensweise werden Unruhe, erhöhter Aufwand, fehlende Öffnung der Schule und Störungsanfälligkeit aufgrund der komplexeren Organisationsstruktur der Ziele genannt, so dass die Effektivität und Umsetzbarkeit von handlungsorientiertem Unterricht allgemein und in Bezug auf dieses spezielle Thema zu untersuchen sein wird (Vgl. Z2: MEYER & PARADIES, 2000, S.71 f.). Bei der Beurteilung ist allerdings die spezifische Schwerpunktsetzung zu berücksichtigen. Gerade handlungsorientierte Konzepte, welche ihren Ursprung in der reformpädagogischen Bewegung haben, richten sich gegen die traditionelle „Kopfschule“, die mechanisierte Vermittlung und die unerfahrene, unreflektierte und emotionslose Aneignung von Wissen. In handlungsorientiertem Unterricht soll der ganzheitliche Ansatz im Vordergrund stehen, sollen Experimente und auch Fehler gemacht werden können. Für den Schüler entsteht somit offenkundig eine Trennung zwischen „Lernen“ und „Leisten“, so dass er sich ungezwungen und frei erproben kann.

„Dies darf jedoch nicht darüber hinwegtäuschen, dass Lernen und Leisten im Mathematikunterricht nicht unverbunden nebeneinander stehen, sondern sich wechselseitig eng aufeinander beziehen. Dass Lernen, also der Aufbau von Kompetenzen, Voraussetzung für Leisten ist, versteht sich von selbst. Umgekehrt ist das Leisten das Ziel des Lernens, die erworbenen Kompetenzen sollen schließlich in unterschiedlichsten Situationen verfügbar sein und angewendet werden.“(BÜCHTER 2005, S. 187)

Insofern ist der Betrachtungswinkel und damit die Bewertung der Effektivität handlungsorientierter Vorgehensweisen auch auf nichtinhaltliche Lernziele wie den Erwerb sozialer, handwerklicher, problemlösender Kompetenzen, etc. zu erweitern.

2.1.2. Topographische Fragestellungen

Der Umgang mit Karten und das Lösen von topographischen Problemen ist ein elementarer Inhalt des alltäglichen Lebens. Die Fahrt mit dem Bus, dem Auto oder der Bahn, die Suche nach einer Adresse, das Bereisen einer fremden Stadt oder das Zeichnen eines Grundrisses, all dies sind Situationen in denen sich der Mensch früher oder später befindet und welche das Lesen oder Herstellen von Karten unentbehrlich machen. Karten helfen sich in der Umwelt zurechtzufinden, Dinge zu lokalisieren und ihre Beziehungen zueinander zu bestimmen. Immer spielen hierbei auch mathematische Aspekte eine wichtige Rolle, bzw. werden grundlegende Fähigkeiten für das mathematische Verständnis ausgebildet (Beispiel: Links- und Rechtsunterscheidung für Addition und Subtraktion, das Auslesen von Planquadraten für die spätere Arbeit im Koordinatensystem, Messungen für alle Bereiche der Geometrie, etc.). In dieser Arbeit soll primär die mögliche Einbettung mathematischer Inhalte in das Thema Topographie erörtert werden. Dabei lassen sich topographische Fragestellungen im Mathematikunterricht der 3. Klasse im Wesentlichen auf die folgenden 4 Bereiche beschränken:

1. Topologie und Perspektive
2. Netze und Wege
3. Planquadrate
4. Messungen und Maßstäbe

In den weiteren Punkten sollen diese Aspekte näher erläutert und die für den Mathematikunterricht relevanten Kriterien erörtert werden. Abschließend werden fachübergreifende Aspekte genannt.

2.1.2.1. Topologie und Perspektive

Die Grundvoraussetzung für das Arbeiten mit Karten ist die Orientierung und Einordnung der eigenen Person in die Umwelt und die Übertragung dieser Gegebenheiten in die Zweidimensionalität einer Karte. Über die Identifikation einzelner Teile auf der Karte (Häuser, Felder, Straßen, Infrastruktur) hin zu orientierten Bewegungen und Bewegungsbeschreibungen stellt der Umgang mit Karten neben Problemen der Handhabung auch hohe Anforderungen an kognitives Denkvermögen und visuelle Vorstellungskraft. Die Topologie „befasst sich mit denjenigen Eigenschaften geometrischer Figuren im Raum, die sich nicht verändern, wenn der Raum in irgendeiner Art gekrümmt, verdreht, gedehnt oder verformt wird.“ (ENCARTA ENZYKLOPÄDIE, Microsoft) Es gilt also, perspektivisch dreidimensionale Beziehungen aus der Erfahrungswelt in Karten wieder zu entdecken und trotz zweidimensionaler Betrachtung (hier aus der Draufsicht (Vogelperspektive)) als Abbild der Wirklichkeit zu identifizieren. Gleichzeitig müssen im Umkehrschluss ebenfalls zweidimensionale Abbildungen unter Berücksichtigung topologischer Konstanten in den dreidimensionalen Raum projiziert werden können. Eine zusätzliche Schwierigkeit stellt hierbei die Parallelexistenz von maßstabgetreuen ikonischen Darstellungen (Straßen, Felder, Flüsse, Häuser) und Symbolen (besondere Einrichtungen wie z.B. Kirche, Polizei, Rathaus, etc.) auf der Karte dar, so dass der Schüler gezwungen ist, das mentale Bild der Wirklichkeit aus beiden Elementen individuell zu konstruieren.^[3]

Ein weiterer Teilaspekt topologischer Fragestellungen im Zusammenhang mit der Kartenarbeit ist der Bereich Netze und Wege, der im Folgenden näher erläutert wird.

2.1.2.2. Netze und Wege

„In der Mathematik werden Kantenmodelle von Körpern, Rechenbäume oder Rechenräder als Netze bezeichnet.“ „Ein topologisches Netz besteht aus Ecken (auch Knoten genannt) und Kanten, wobei in der Ecke eines Netzes mehrere Kanten zusammentreffen können. Es werden zusammenhängende und nicht zusammenhängende Netze unterschieden. In einem Netz lassen sich Wege beschreiben. Ein Kantenzug, der aus verschiedenen Kanten gebildet ist, heißt Weg.“ „Die Arbeit an Netzen trainiert das räumliche Vorstellungsvermögen und die Raumorientierung.“ „In der Umwelt gibt es viele netzartige Strukturen. Einige Beispiele:

- Verkehrsnetze
- Wege durch den Zoo, den Vergnügungspark, den Rummelplatz
- Straßenkarten, Stadtpläne“ (RADATZ, 1999, S.179)

In diesen Ausführungen spiegelt sich bereits der direkte Zusammenhang zwischen den mathematischen Inhalten topographischer Fragestellungen und den lebensnahen Umsetzungs-, bzw. Aufbereitungsmöglichkeiten dieser Inhalte im Unterricht wider. Reale Wege in der Umwelt können hier direkt auf mathematische Wege in (Karten-)Netzen übertragen werden und werden somit erfahrbar gemacht. Die Behandlungsmöglichkeiten für das Thema Netze und Wege sind vielfältig (Knoten gerader und ungerader Ordnung, offene und geschlossene Wege, Durchlaufbarkeit von Netzen, etc.), der Schwerpunkt soll hier aber auf diesen ersten Transfererfahrungen liegen, so dass intuitiv Wege erstellt und Eigenschaften von Wegen und Netzen erfahren werden, ohne dies explizit zu thematisieren.^[4]

2.1.2.3. Planquadrate

Die Aufteilung einer Karte in Planquadrate dient der systematischen Einteilung in Teilabschnitte, welche durch horizontale und vertikale Nummerierungen eindeutig identifiziert und zugeordnet werden können. Der mathematische Gesichtspunkt liegt hier neben dem Zuordnungsaspekt im Umgang mit tabellarischen Rastern, also der Lokalisation einer Zelle, bzw. die genaue Bestimmung ihres Inhaltes in Abhängigkeit von seinen äußeren Faktoren (Beispiel: 1x1-Tafel, Gitternetz, Koordinatensystem, Tabellenkalkulation, etc.). Im Vordergrund stehen hier aus mathematischem Blickwinkel also nicht Planquadrate in rein topographischer Anwendung, sondern diese werden repräsentativ für allgemeine, übergreifende, bzw. vorbereitende und auch übende Aspekte im Umgang mit Tabellen und Rastern genutzt. „Die tabellenartige Anordnung von Daten ist nicht nur dazu geeignet, eine Sachaufgabe zu „lösen“, sondern sie fördert eine sehr wichtige Arbeitshaltung im Umgang mit Mathematik. Eine Tabelle schiebt nicht nur den Blick von der Vervollständigung einzelner Datensätze auf die Sammlung größerer Mengen gleichartiger Datensätze, sie regt auch die systematische Fortsetzung mit dem Ziel an, einen repräsentativen Überblick über alle in einem Sachzusammenhang enthaltenen möglichen Datensätze zu gewinnen.“ (BAIREUTHER 2000, S. 119)

2.1.2.4. Messungen und Maßstäbe

Als weiterer mathematischer Themenbereich im Zusammenhang mit der Kartenarbeit sind (Entfernungs-)Messungen und das richtige Ein- und Zuordnen von Maßen und Relationen von hoher Bedeutung. In der Grundschule soll und kann es dabei aber nur um den Erwerb von Fähigkeiten im Einsatz von Messgeräten und Gegensatzerfahrungen bezüglich real gemessenen Strecken oder Gegenständen und der Messung auf Karten gehen, nicht aber um die maßstabgetreue Kartographie selbst.

3. Planung der Unterrichtseinheit

3.1. Darstellung der vollständigen Einheit

Der Aufbau der Unterrichtseinheit spannt einen Bogen vom Kennenlernen des Kartenmaterials über die Auseinandersetzung mit differenzierten Fragestellungen und der Herstellung spezifischer Karten hin zu Messungen und der aktiven Anwendung neu erworbener Fähigkeiten. Im Vorfeld wurden dabei die Lernvoraussetzungen im Umgang mit Karten und topographischen Fragestellungen erörtert, sowie organisatorische Aspekte in Bezug auf die Umsetzbarkeit größerer geplanter Aktionen (Nagelbrettkartenerstellung mit Präsentation, Messungen mit diversen Gegenständen auf dem Schulgelände, Erkundung des Ortes in Form einer Schatzsuche) geklärt. Entsprechend umfassten die Vorbereitungsmaßnahmen neben der theoretischen Erarbeitung der Einheit auch die Bereitstellung des Materials (Karten, Ausschnittskopien, Holzplatten, Werkzeuge, Verbrauchsmaterial, Messgegenstände, Schatz, Schatzkarten und Kompass) und die Rahmenorganisation (Belegung des Werkraumes, Lehrkraft zur Unterstützung der Aufsicht während der Schatzsuche, Dokumentation der Arbeitsphasen und –ergebnisse).

Aufgrund der unterschiedlichen offenen Arbeitsformen und individuellen Bearbeitungsmöglichkeiten, die in dieser Einheit zum Einsatz gekommen sind und der teilweise starken Differenzierung in einigen Phasen wurde der zeitliche Rahmen zunächst auf 10 Unterrichtsstunden (2 Wochen) festgelegt. Inhaltlich konnte dieser Rahmen eingehalten werden, die Fertigstellung der Handlungsprodukte und deren Präsentation erforderte allerdings zwei weitere Stunden.

Die Einheit lässt sich in drei Blöcken zusammenfassen:

1. Einführung in die Arbeit mit der Karte

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Erstellung von Nagelbrettkarten (Werkraum) (3 Stunden)

6. Schatzsuche

7. Anwendungsübungen

8. Fertigstellung der Handlungsprodukte und Präsentation (2 Stunden)

Durch den Beginn mit leichten Erkennungsaufgaben (Beispiel: Farben der Karte) wird den Schülern zunächst auf eine dem Alter angemessene Weise der generelle Umgang mit Karten und die Bedeutung der einzelnen Symbole vermittelt, sowie eine erste Orientierung auf der Karte ermöglicht, ohne dass Vorerfahrungen oder topographisches Fachwissen notwendig sind.

Nach dem Erwerb dieser Grundfertigkeiten ist dann der Übergang zu spezifischen Aufgabenstellungen und komplexeren Handlungen möglich und die Schüler lernen Karten differenziert zu betrachten und die für die jeweilig aktuelle Aufgabenstellung relevanten Informationen zu selektieren.

Im weiteren Verlauf erstellen die Schüler durch handwerkliche Tätigkeiten repräsentative Handlungsprodukte in Form von spezifischen Karten, welche auf Holzplatten befestigt wurden und auf denen mit Nägeln und Wollfäden die Wohnorte der Schüler, ihre Schulwege und verschiedene Entfernungen dargestellt werden. Zusätzlich lernen sie mit verschiedenen Gegenständen Entfernungen zu messen und diese zu notieren. Die Produkte werden abschließend der Schulöffentlichkeit in Form einer Ausstellung präsentiert.

Für den Abschluss der Einheit wurde eine Schatzsuche geplant, in der die Schüler mithilfe ihrer erworbenen Fähigkeiten im Kartenlesen und in der räumlichen Orientierung den Weg ermitteln und den Schatz finden können.

Nachfolgend werden die Vorüberlegungen und das theoretische Fundament zur Planung der gesamten Unterrichtseinheit vorgestellt und danach die praktische Umsetzung anhand zweier ausführlich beschriebener Stunden(planungen) verdeutlicht.

3.2. Lernvoraussetzungen – Bedingungsanalyse

3.2.1. in Bezug auf die Klassensituation

Die Klasse 3c stellt in ihrer Zusammensetzung in Hinsicht auf mathematische Fähigkeiten eine leistungsheterogene Gruppe dar. Besonders zeigt sich dies in stark unterschiedlichen Lern- und Arbeitstempi, dem Auffassungsvermögen und heuristischen Problemlösungsstrategien. Einige Schüler können dabei auf gut fundierte Grundkenntnisse aufbauen und diese – gegebenenfalls in Kombination mit Alltagsvorerfahrungen – auf neue Gebiete anwenden. Gerade in Geometrie und Topographie treffen häufig diverse Anforderungen zusammen, so dass diese unterschiedlichen Fähigkeiten Grundvoraussetzung für das Bearbeiten komplexer Aufgabenstellungen sind. Im Gegensatz zu anderen Themengebieten der Mathematik, in denen eine Isolation einzelner Aspekte einfacher zu verwirklichen ist, setzt die Behandlung geometrischer Fragestellungen immer auch gleichzeitig andere Fähigkeiten – wie Vorwissen zu geometrischen Zusammenhängen, Gebrauch von Materialien und Werkzeugen und Verknüpfung mit Sachzusammenhängen – voraus. Die in dieser Arbeit umgesetzte Vorgehensweise wendet sich ebenfalls von der beschriebenen „Isolation der Schwierigkeiten“ ab und verfolgt den Ansatz des „kumulative[n] Lernen[s], bei dem der Zuwachs an mathematischer Kompetenz durch die Verbindung von aktuellen mit früheren und auch zukünftigen Inhalten, Methoden und Betrachtungsweisen erfahrbar gemacht wird“ (BAIREUTHER, 2000, S.10), um den ganzheitlichen Charakter des Erarbeitungsprozesses gewährleisten zu können.

Besonders beim Kennenlernen von Karten, ein Gebiet welches durch den engen Bezug zu Alltagssituationen bereits die unterschiedlichsten Vorerfahrungen der Schüler erwarten lässt, ist eine entsprechend umfangreiche und die gesamte Einheit durchdringende Differenzierung notwendig. Nur auf diese Weise kann der angemessene und individuelle Zugang für jeden Schüler gewährleistet werden, wobei selbstverständlich die allgemeine Sicherung der zu erlernenden Inhalte, sowie gegenseitige Hilfestellung, Kommunikation und schülerorientierte Vermittlungsprozesse garantiert bleiben müssen.

„Doch auch innerhalb einer Klassenstufe sind die Kinder in ihrem Leistungsniveau sehr unterschiedlich. Einige probieren alle Handlungen praktisch aus, während andere manches schon auf der Vorstellungsebene bewältigen. Auch im Arbeitstempo unterscheiden sich die Kinder einer Klasse. Die Aufgabenstellungen sollten daher möglichst so sein, dass jedes Kind seinen Fähigkeiten entsprechend auf seinem Entwicklungsniveau arbeiten kann. Wenn Aufgaben eine natürliche Differenzierung ermöglichen, wird der Lernerfolg der Kinder garantiert. Sie fühlen sich weder überfordert noch emotional in die Rolle der Schwachen gedrängt.“ (FRANKE 2001, S.26)

Von der Sache selbst ist anzunehmen, dass sie die Schüler aufgrund des direkten Bezuges zu dem ihnen bekannten Umfeld (Ort Sande) und der Beschäftigung mit einem weitgehend unbehandelten Thema (Topographie) motiviert und diese Motivation durch die unterschiedlichen Aufgaben und Anforderungen über den Zeitraum der Einheit erhalten bleibt.

Da es in der Klasse trotzdem Schüler gibt, denen es schwer fällt, ihr Interesse und ihre Aufmerksamkeit über einen längeren Zeitraum auf ein Thema zu konzentrieren, müssen entsprechend abwechslungsreiche Alternativen bereitgestellt werden, zumal nicht alle Schüler mit länger anhaltenden Freiarbeitsphasen zurechtkommen.

3.2.2. in Bezug auf die Inhalte

Alle in dieser Einheit auftretenden Kernideen mathematischer Inhalte, aber auch darüber hinausgehende – für diese Einheit erforderliche – Fertigkeiten sind im Sinne des Brunerschen Spiralprinzips in vorausgegangenen Einheiten auf niedrigerem Niveau („früher Stufe“) vorbereitet worden (Vgl. CLAUS 1995, S. 73 f. & BAIREUTHER 2000, S. 11 f.).

So wurden Karten bereits in vereinfachter Form im Unterricht eingesetzt, indem Urlaubsländer auf einer Weltkarte lokalisiert wurden oder einzelne Länder und ihre Besonderheiten unter Zuhilfenahme von Kartendemonstrationen thematisiert wurden. Grundfertigkeiten im Umgang mit Hammer und Nagel (für die Erstellung der Handlungsprodukte) und das Messen von Gegenständen und Längen mit verschiedenen Messgeräten sind bereits im Werkunterricht, aber auch in anderen Fächern erworben worden. Topologische Fragestellungen durchziehen bereits viele Themenbereiche der ersten beiden Schuljahre, wobei Netze und dreidimensionale Perspektiven noch eher eine untergeordnete Rolle spielen. Die systematisierte Darstellung von Daten in Tabellen wurde bereits in vielfachen Situationen, wie dem Erstellen und Lesen von Stunden- und Fahrplänen, Stellenwerttafeln, tabellarischen Zuordnungen, etc. behandelt.

Grundlegende Begriffe und (mathematische) Vorkenntnisse (Bsp.: Quadrat, Fläche, Längeneinheiten, Zollstock, Himmelsrichtungen, links/rechts, etc.) sind vorhanden und teilweise ist spezifischeres Wissen angebahnt worden, so dass beim Anknüpfen an dieses Vorwissen kaum Schwierigkeiten zu erwarten sind. Insgesamt könnten allerdings Probleme im Zusammenhang mit der Bearbeitung geometrischer Fragestellungen auftreten, da einige Schüler leichte Schwächen im Bereich der Geometrie aufweisen. Vereinzelt sind Defizite in der Links-Rechtsunterscheidung und räumlichen Orientierung, visumotorischer Koordination, Figur-Grund-Wahrnehmung und im Gebrauch von Materialien und Messgegenständen zu verzeichnen. Hier muss individuell durch die Lehrkraft oder Mitschüler unterstützt werden, bzw. entsprechende Differenzierungsmöglichkeiten geboten werden.

Zu erwarten ist ebenfalls ein mehr oder weniger umfangreiches Vorwissen der Schüler aus dem familiären Bereich. So werden sich einige Schüler schnell auf Karten zurechtfinden können, weil sie sich eventuell schon einmal auf Fahrradtouren, Reisen oder während einer Autofahrt mit Karten beschäftigt haben. Andere wiederum werden wenig Mühe im handwerklichen Bereich haben und bereits im Umgang mit Messgeräten, Kompass, etc. geschult sein. Inhaltlich kann hier also sowohl an Vorkenntnissen, als auch an außerschulischen Vorerfahrungen angeknüpft werden.

[...]

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^[1] Anmerkung: Die Seiten des Mathematikbuches zu diesen Inhalten hatten bereits vor der Behandlung einen hohen Anziehungscharakter.

^[2] Vgl. Rahmenrichtlinien für die Grundschule-Mathematik 1983, S.47

^[3] siehe zur Theorie ikonischer und symbolischer Darstellungsebenen auch die Ausführungen zur Lerntheorie J.S. Bruners in CLAUS 1995, S. 75 ff.

^[4] Wege und Netze werden besonders in der 2. Stunde in Form von Suchaufgaben und Wegbeschreibungen, bei der Erstellung des Handlungsproduktes zu den Schulwegen der Schüler und in den abschließenden Anwendungsübungen thematisiert.