In der modernen (Wirtschafts-)Mathematik kommt man oft in die Situation, mit Zufallsgrößen oder auch Zeitreihen arbeiten zu müssen, die sich in irgendeiner Form auf Summen unabhängiger Zufallsvariablen zurückführen lassen. Ein wichtiges Forschungsgebiet ist deshalb deren approximative Einordnung und Beschreibung. Ein besonders prominentes Ergebnis ist hierbei der zentrale Grenzwertsatz, der 1920 erstmals von George Pólya unter dieser Bezeichnung aufgeführt wurde. Er sagt unter anderem aus, dass sich der Mittelwert unabhängig identisch verteilter Zufallsvariablen für große Stichproben einer Normalverteilung annähert. Er findet häufige Anwendung in der Praxis, zum Beispiel im Risikomanagement, wenn es um Wahrscheinlichkeiten von Extremereignissen geht, oder auch bei der Bewertung von Optionen im Aktienhandel. Damit in diesen Gebieten verlässliche Ergebnisse und Berechnungen erzielt werden, ist es aber wichtig, die Konvergenzaussage für unterschiedliche Fälle zu spezifizieren und passende Ableitungen zu entwickeln. In dieser Arbeit sollen deshalb einige Ergebnisse vorgestellt werden, die auf dem zentralen Grenzwertsatz aufbauen.
Dabei wird zuerst kompakt auf dessen genaue Definition und deren Herleitung im Allgemeinen eingegangen (Kapitel 2). Anschließend wird versucht, die recht allgemein gehaltene Konvergenzaussage durch verschiedene Werkzeuge genauer einzuordnen (Kapitel 3). Im letzten Teil der Arbeit wird schließlich dessen Aussage auf das Gebiet der stochastischen Prozesse übertragen und analoge Ergebnisse für Summenprozesse unabhängig identisch verteilter Zufallsvariablen vorgestellt (Kapitel 4).
Inhaltsverzeichnis
- Einführung in das Thema
- Grundlagen
- Verfeinerungen des zentralen Grenzwertsatzes
- Berry-Esséen
- Asymptotische Erweiterungen
- Große Abweichungen
- Funktionaler Zentraler Grenzwertsatz
- Grundlagen stochastischer Prozesse
- Funktionlaler zentraler Grenzwertsatz für a
- Funktionaler zentraler Grenzwertsatz für a
- Zusammenfassung und Ausblick
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit befasst sich mit dem zentralen Grenzwertsatz (ZGS) und seinen Verfeinerungen. Ziel ist es, die Konvergenzaussage des ZGS für verschiedene Fälle zu spezifizieren und passende Ableitungen zu entwickeln. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der Einordnung der Konvergenzaussage mithilfe verschiedener Werkzeuge sowie der Übertragung des ZGS auf das Gebiet der stochastischen Prozesse.
- Definition und Herleitung des zentralen Grenzwertsatzes
- Verfeinerungen des zentralen Grenzwertsatzes, wie z.B. Berry-Esséen-Ungleichung, asymptotische Erweiterungen und große Abweichungen
- Der funktionale zentrale Grenzwertsatz für stochastische Prozesse
- Anwendungen des zentralen Grenzwertsatzes in verschiedenen Bereichen
- Zusammenhang zwischen dem zentralen Grenzwertsatz und stabilen Verteilungen
Zusammenfassung der Kapitel
Kapitel 2 legt die grundlegenden Definitionen und Erkenntnisse dar, die für den zentralen Grenzwertsatz relevant sind, insbesondere im Hinblick auf Summen unabhängiger Zufallsvariablen. Hier werden stabile Verteilungen und deren charakteristische Funktionen eingeführt, die als Grenzverteilungen für solche Summen fungieren.
Kapitel 3 behandelt Verfeinerungen des zentralen Grenzwertsatzes. Es werden verschiedene Werkzeuge vorgestellt, um die Konvergenzaussage des ZGS genauer zu untersuchen. Dies umfasst Themen wie die Berry-Esséen-Ungleichung, asymptotische Erweiterungen und große Abweichungen.
Kapitel 4 widmet sich dem funktionalen zentralen Grenzwertsatz. Es werden die Grundlagen stochastischer Prozesse erläutert und analoge Ergebnisse für Summenprozesse unabhängig identisch verteilter Zufallsvariablen vorgestellt.
Schlüsselwörter
Der zentrale Grenzwertsatz, stabile Verteilungen, Berry-Esséen-Ungleichung, asymptotische Erweiterungen, große Abweichungen, funktionale Grenzwertsätze, stochastische Prozesse, Summen unabhängiger Zufallsvariablen.
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- Niklas Würtele (Autor), 2016, Der zentrale Grenzwertsatz. Verfeinerungen und die funktionale Version, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/454250
