Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
Symbolverzeichnis
1 Einleitung
2 Der Newsboy- Ansatz
3 Die endogene Nachfrage
3.1 Das additive Modell
3.1.1 Formale Darstellung
3.1.2 Zahlenbeispiel
3.2 Das multiplikative Modell
3.2.1 Formale Darstellung
3.2.2 Zahlenbeispiel
4 Gegenüberstellung
5 Zusammenfassung
Literaturverzeichnis
Anhang I
Anhang II
Symbolverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1 Einleitung
Das Newsboy- Problem ist eine feste Größe in der Logistik. Es beschreibt das Vorgehen eines Händlers, der über die einmalige Bestellmenge der nächsten Periode bei unsicherer Nachfrage entscheiden muss. Bei gegebenem Preis liefert der Newsboy- Ansatz eine Lösung, wie viel bestellt werden sollte, um den Gewinn zu maximieren. Dieser Lösungsweg kann zu vielen Problemen der Logistik eine Lösung bieten. Auf dieser Grundlage sind zahlreiche Erweiterungen vorgenommen worden, um es auch bei geringen Veränderungen der Voraussetzungen anwenden zu können.
Eine dieser Entwicklungen ist der Fall der endogenen Nachfrage. Das bedeutet, dass der Verkäufer selbst den Verkaufspreis festlegen kann, und somit die Absatzmenge beeinflusst. Je höher der Preis, desto geringer ist die nachgefragte Menge und umgekehrt. Dieser Zusammenhang wird im Folgenden durch y(p), eine fallende Funktion, dargestellt. Die Entscheidung des Verkäufers erweitert sich, da er nun neben der Bestellmenge auch den Verkaufspreis bestimmen muss und diese beiden Entscheidungsparameter abhängig voneinander sind. Mit der Bestimmung des optimalen Preises und der optimalen Bestellmenge, die den Gewinn des Verkäufers maximieren, befasst sich diese Seminararbeit. Sie basiert auf dem Arbeitspapier von Petruzzi und Dada.[1]
Zu Beginn der Arbeit soll das klassische Newsboy- Problem, seine Annahmen und der Lösungsansatz, kurz skizziert werden. Im weiteren Verlauf wird auf die Modellierung der endogenen Nachfrage genauer eingegangen und zwei verschiedene Modellierungsarten vorgestellt, das additive und das multiplikative Modell. Eine Beispielrechnung mit konkreten Zahlen überprüft und erläutert die theoretischen Ergebnisse. Abschließend erfolgt eine Zusammenfassung der Ergebnisse.
2 Der Newsboy- Ansatz
Das klassische Newsboy- Problem, oder auch Newsvendor- Problem genannt, beschreibt eine Situation, in der ein Verkäufer die Entscheidung über die Bestellmenge der nächsten Periode treffen muss. Es wird dabei angenommen, dass der Verkäufer nur einmal, und zwar zu Beginn der Periode, bestellen kann. Bei dem zu verkaufenden Produkt handelt es sich um verderbliche Ware, das heißt eventuelle Restbestände können nicht in einer späteren Periode verkauft werden. Solche Produkte können beispielsweise Sitzplätze in einem Flugzeug oder auch saisonale Modeartikel sein. Die genaue Nachfrage ist dem Verkäufer unbekannt, sie ist exogen. Er weiß allerdings, wie die Nachfrage stochastisch verteilt ist.
Die Produkte werden zu einem vom Markt vorgegebenen Preis verkauft. Kann die Nachfrage nicht vollständig befriedigt werden, ist also die bestellte beziehungsweise eingelagerte Menge geringer als der Bedarf der Kunden, so entstehen dem Verkäufer Fehlmengenkosten (Underage- Kosten). Sie enthalten den entgangenen Gewinn, und können darüber hinaus auch eventuell entstandene Goodwill- Verluste der nicht bedienten Kunden einbeziehen. Hat der Zeitungsjunge zu wenig Zeitungen bestellt und kann den Geschäftsmann, der jeden Morgen auf dem Weg zur Arbeit an der Ecke seine Zeitung kauft, nicht mehr bedienen, könnte dieser beispielsweise in Zukunft einen anderen Weg wählen, um sicher zu gehen, dass er anderswo seine Zeitung erhält. Dem Zeitungsjungen entgeht folglich nicht nur der Gewinn einer Zeitung an jenem Tag, sondern auch der der zukünftigen Tage.[2]
Bleiben nach Ablauf der Periode noch Produkte über, verursachen diese Restmengenkosten (Overage- Kosten). Darin sind der Einkaufspreis, dem nun kein Erlös entgegensteht, aber auch die Lagerungskosten, die während der vergangenen Periode entstanden sind, enthalten. Es können ferner Entsorgungskosten auftreten. Die zentrale Frage lautet nun, welche Anzahl des Produkts der Verkäufer bestellen soll um seinen Gewinn[3] zu maximieren. Die optimale Menge berechnet sich als Quantil der Nachfrageverteilung. Seien cu und co die Underage- und Overage- Kosten sowie F die Verteilungsfunktion der Nachfrage, dann wird die Bestellmenge Q* wie folgt bestimmt:[4]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.
In diesem klassischen Ansatz ist die Nachfrage exogen vorgegeben. Wie sich das Modell im Fall einer endogenen Nachfrage verändert, wird im nächsten Kapitel dargestellt.
3 Die endogene Nachfrage
Ist die Nachfrage endogen gestaltet, so kann der Verkäufer durch die Höhe des von ihm gesetzten Preises die nachgefragte Menge beeinflussen. Die Nachfrage setzt sich aus zwei Termen zusammen. Der eine Term y(p) beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Preis und der nachgefragten Menge, der andere die Schwankung der Nachfrage. Diese Schwankung ist willkürlich, unabhängig vom Preis und unterliegt einer eigenen Verteilung. Sie wird mit ε, ihr Mittelwert mit μ und ihre Varianz mit σ2 bezeichnet. Die Zusammensetzung zwischen y(p) und der Schwankung ε kann unterschiedlich formuliert werden. In der Literatur sind zwei Modellierungsarten vorherrschend, das additive Modell und das multiplikative Modell. Sie sollen im Folgenden vorgestellt und mit einem Zahlenbeispiel verdeutlicht werden.
3.1 Das additive Modell
3.1.1 Formale Darstellung
Im additiven Modell wird die Verteilung der Nachfrage wie folgt dargestellt: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten y(p) + ε. y(p) ist hierbei eine linear abfallende Funktion der Form y(p) = a – bp, wenn b>0 gilt. Auch a sollte >0 sein, damit eine Nachfrage größer Null möglich wird. Zu Beginn der Periode wird die Menge q zu den Kosten cq gekauft und eingelagert. Wenn die Nachfrage während der Verkaufsperiode nicht über q hinausgeht, so wird ein Erlös in Höhe von p Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erwirtschaftet, wobei p der Verkaufspreis ist. Die restliche Menge q – Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenbleibt übrig und muss zu Kosten von h je Einheit entsorgt werden. Übersteigt die Nachfrage allerdings den gelagerten Bestand q, so beträgt der Erlös pq, und die Fehlmenge Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten – q wird mit Strafkosten in Höhe von s je Einheit belegt.
Der Gewinn der Periode П(q,p) berechnet sich über den Erlös abzüglich der entstehenden Kosten:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten(1)
Nun kann die Nachfrage durch den additiven Term Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten = y(p) + ε ersetzt und zur mathematischen Vereinfachung zusätzlich die Variable z Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten q – y(p) eingeführt werden. Es ergibt sich folgende, bereits gekürzte Funktion:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (2)
Sie erlaubt eine neue Interpretation der Bestellentscheidung, da nicht mehr die Nachfrage sondern nur noch ihre Schwankung mit z verglichen wird. z stellt eine Art Aufschlag dar, der die Schwankung abdecken soll. Wird z zu hoch gewählt, das heißt übersteigt es den realisierten Wert der zufälligen Schwankung der Nachfrage, werden am Ende der Periode Einheiten übrig bleiben. Sie verursachen Restkosten in Höhe von h. Bei zu kleiner Wahl von z im Vergleich zu ε kann jedoch nicht die gesamte Nachfrage bedient werden und es entstehen Fehlmengen, die mit Kosten s belegt werden. Die optimale Bestellmenge berechnet sich dann durch q* = y(p*) + z*.
Da die Nachfrage eine stochastische Größe ist, ist auch der Gewinn pro Periode stochastisch. Es gibt keinen absolut höchsten Gewinn, sondern er ist abhängig davon, welchen Wert die zufällige Schwankung ε annimmt. Um den erwarteten Gewinn zu errechnen, wird der Mittelwert μ der Schwankung verwendet. Die Funktion des erwarteten Gewinns kann umgeformt werden, sodass sie sich aus zwei Termen zusammensetzt, dem risikolosen Gewinn [ Ψ(p) ] und der Verlustfunktion [ L(z,p) ].
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten(3)
Der risikolose Gewinn beschreibt den Gewinn bei Sicherheit. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (4)
Der Preis, welcher den risikolosen Gewinn maximiert, wird als p0 bezeichnet und wird durch die erste partielle Ableitung von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bestimmt: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (5)
Mit der Verlustfunktion Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (6)
werden vom sicheren Gewinn diejenigen Verluste abgezogen, die durch die Unsicherheit der Nachfrage entstehen. Denn erst wenn die Nachfrage nicht genau bekannt ist, kann zu viel oder zu wenig bestellt werden und es entstehen Rest- oder Fehlmengen. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten steht für die übrig gebliebenen Restmengen (Leftovers), Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten steht für die Fehlmengen (Shortages).
Ziel ist die Maximierung des erwarteten Gewinns: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es kann gezeigt werden, dass die beiden zweiten partiellen Ableitungen von E[ П(z,p) ] nach z und p kleiner als Null sind, die Funktion des erwarteten Gewinns also konkav verläuft. Die Ableitungen sollen hier nicht explizit hergeleitet werden, sie können im zugrunde gelegten Arbeitspapier von Petruzzi und Dada nachgeschlagen werden.[5] Um den erwarteten Gewinn zu maximieren, kann eine Vereinfachung in jener Hinsicht vorgenommen werden, dass entweder der Preis oder z in Abhängigkeit der jeweils anderen Variablen dargestellt wird. So reduziert sich das Maximierungsproblem von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten auf eine Variable. Whitin wendete diese Methode 1955 an[6] und formulierte z in Abhängigkeit des Preises. In Anlehnung an Petruzzi und Dada[7] soll in dieser Arbeit aber lediglich der Preis als eine Funktion von z ausgedrückt werden. Er ergibt sich aus der ersten partiellen Ableitung vonAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten nach p.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (7)
Da Θ(z) nicht negativ ist, kann der optimale Preis bei Unsicherheit höchstens genau so hoch sein wie der Preis bei Sicherheit: p*Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten p0.[8]
Wird p* in das Maximierungsproblem eingesetzt, muss der Gewinn nur noch nach einer Variablen maximiert werden. Es ergibt sich: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Das erweiterte Problem der endogenen Nachfrage lässt sich dadurch auf die einfache Entscheidung über die Menge reduzieren. Es liegt ein Newsvendor- Problem in seiner klassischen Form, wie in Kapitel zwei erläutert, vor.
3.1.2 Zahlenbeispiel
In diesem Abschnitt soll das additive Modell anhand eines Zahlenbeispiels verdeutlicht werden. Die nachstehenden Berechnungen wurden mit Hilfe von Excel durchgeführt, die entsprechende Datei ist auf CD der Arbeit beigefügt. Es wird angenommen, dass y(p) = 500 – 2p und ε gleichverteilt im Intervall [1, 50] mit μ = 25,5 und σ = 14,57 ist. Des Weiteren betragen die Beschaffungs-/Produktionskosten c = 2. Als risikoloser Preis ergibt sich Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Als schwieriger erweist sich die Bestimmung von p*, da hierfür das Integral Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten berechnet werden muss. Da Excel keine stetigen Funktionen berechnen kann, wird in diesem Beispiel die Funktion durch eine diskrete Verteilung abgebildet. Konkret wird ein Θ(z) für jedes ganzzahlige z im Intervall [A,B] berechnet. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Daraus folgt jeweils ein p* für jedes z. Im nächsten Schritt wird der erwartete Gewinn gemäß Gleichung (3) für jedes z ermittelt. Hierbei werden Fehlmengenkosten von s = 4 und Restmengenkosten von h = 3 unterstellt. Die Berechnung in Excel zeigt, dass der profitmaximierende Preis p* = 132,36 unter dem errechneten risikolosen Preis von 132,375 liegt, z* beträgt 48 und der Gewinn kann um 4,311 Einheiten gesteigert werden.
Werden die Fehlmengenkosten s erhöht, so sinkt der erwartete Gewinn, da für jede fehlende Einheit höhere Verluste in die Rechnung eingehen. Wird s stark erhöht, zum Beispiel auf s = 200, dann ist der Verlust je fehlender Einheit so hoch, dass sich die Entscheidungsparameter ändern. Nun wird z von 48 auf 49 Stück aufgestockt, und der Preis entsprechend auf 132,37 erhöht. Für den Entscheider ist es folglich günstiger, eine Einheit mehr zu lagern, als den Verlust durch eine fehlende Einheit hinzunehmen.
Bei Veränderungen an den Restmengenkosten h wird z bereits bei h = 6 auf 47 herabgesetzt und schon bei h = 9 um eine weitere Einheit gesenkt. Der Preis fällt entsprechend auf 132,35 und 132,33 ab. Da die Kosten für jede übrig gebliebene Einheit so hoch sind, senkt der Entscheider die Gesamtmenge, um Resteinheiten zu vermeiden. Der Abfall des Preises kann zweifach interpretiert werden. Da z = q – y(p) ist, kann durch Senkung des Preises die Reduktion von z vorangetrieben werden. Bei geringerem Preis steigt die Nachfrage und es verbleibt eine kleinere Restmenge. Andererseits ist der Rückgang von p* mathematisch aus Gleichung (7) begründbar. Sinkt z, so steigen die Fehlmengen Θ(z), wodurch der Betrag, welcher von p0 abgezogen wird, wächst.
Die starke Reaktion von z auf Änderungen bei h und die schwache Reaktion bei s kann durch den hohen Wert von z erklärt werden. Da sich in diesem Beispiel z am oberen Rand des Intervalls befindet, fällt Θ(z) relativ klein und Λ(z) relativ hoch aus. Dadurch haben h und s, die mit Θ(z) und Λ(z) multipliziert werden, eine unterschiedlich starke Auswirkung auf den erwarteten Gewinn.
Eine Veränderung der Beschaffungskosten c bewirkt erstmals eine Änderung des risikolosen Preises. Schon eine Erhöhung um eine Einheit lässt p0 um 0,5 steigen, und auch p* wächst ceteris paribus um exakt diesen Betrag, da der durch die Unsicherheit bedingte Abschlag von c nicht beeinflusst wird. Bei einer Anhebung der Kosten sinkt der Deckungsbeitrag und somit der risikolose Gewinn. Hinzu kommt der relativ starke Einfluss der Restmengen Λ(z), die zu den Kosten c beschafft werden mussten, aber keinen Gewinn einbringen. Dieser Anstieg der Verlustfunktion schmälert zusätzlich den erwarteten Profit. Um das Gewicht der Restmengen zu verringern, reduziert der Entscheider z. So sinkt zum einen die Anzahl der Restmengen und zum anderen gehen entstandene Restmengen mit geringeren Kosten in die Rechnung ein, da durch ein kleineres z auch der Preis reduziert wird. Im Beispiel wird z ab c = 5 um eine Einheit (von 48 auf 47) herabgesetzt, und bei c = 1 auf 49 aufgestockt.
Es soll festgehalten werden, dass der erwartete Gewinn durch jede Erhöhung der Kosten reduziert wird.
3.2 Das multiplikative Modell
3.2.1 Formale Darstellung
Im multiplikativen Modell wird die Nachfrage durch die Gleichung D(p,є) = y(p)ε abgebildet. y(p) ist in diesem Fall eine exponentielle Funktion y(p) = ap-b unter den Bedingungen a>0 und b>1 um sicherzustellen, dass die Nachfrage positiv ist. Die Funktion des Gewinns pro Periode sieht dann wie folgt aus, wobei im multiplikativen Fall Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gilt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (8)
Auch im multplikativen Modell kann der erwartete Gewinn pro Periode wie in Gleichung (3) als die Differenz zwischen risikolosem Gewinn und der Verlustfunktion dargestellt werden, welche geringen Änderungen im Vergleich zu (4) und (6) unterliegen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (9)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (10)
Der risikolose Preis beträgt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Abermals soll das Optimierungsproblem auf eine Variable reduziert werden. Der optimale Preis in Abhängigkeit von z ergibt sich durch einen Aufschlag auf den risikolosen PreisAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.(11)
Infolgedessen ist Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.
3.2.2 Zahlenbeispiel
Auch dieses Verhalten des Preises soll an einem Beispiel überprüft werden. Zur besseren Vergleichbarkeit mit dem additiven Modell werden in diesem Beispiel die gleichen Zahlen wie dort eingesetzt. Die Ergebnisse können in der Beispieldatei nachvollzogen werden.
Der risikolose Preis beträgt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und liegt damit deutlich unter dem des additiven Modells. Der Preis bei Unsicherheit wird für jedes mögliche ganzzahlige z im Intervall [A,B] bestimmt. Der maximale erwartete Gewinn wird bei p* = 10 und z* = 36 erreicht.
Die Fehlmengenkosten s wirken sich im multiplikativen Fall direkt auf den Preis p* aus. Wird s erhöht, so steigt auch p* aufgrund von Gleichung (11). Im weiteren Verlauf wird y(p*) gesenkt, was sich letztendlich in einem Anstieg von z ausdrückt. Da in diesem Beispiel z aber nur ganzzahlige Werte annimmt, verändert sich der Preis zwar bei jeder Änderung von s, die Abweichung von z hingegen ist so gering, dass ein Umspringen auf einen höheren Wert nicht bei jeder Änderung von s geschieht. Als Beispiel sei die Erhöhung von s auf s = 5 und s = 6 genannt. Im ersten Fall steigt der Preis auf p* = 10,29, z bleibt unverändert. Im zweiten Fall steigt p* erneut, und zwar auf p* = 10,43, jetzt wird auch z auf z = 37 angehoben. Der Entscheider lagert bei höheren Fehlmengenkosten mehr Teile, um eventuelle Fehlmengen und deren Kosten zu verhindern.
[...]
[1] Vgl. Petruzzi, N.C., M. Dada. (1999).
[2] Vgl. Schmidt, G. (1998).
[3] Gewinn wird hier verstanden als Erlös abzüglich der Kosten.
[4] Vgl. Arnold, D. et al. (2002), S. A3-65 f.
[5] Vgl. Petruzzi, N. C., M. Dada, (1999), S. 184 f.
[6] Vgl. Whitin, T. M. (1955), S. 64 ff.
[7] Vgl. Petruzzi, N. C., M. Dada, (1999), S. 185.
[8] Vgl. Mills, E. S. (1959), S. 123.