In dieser Bachelorarbeit wird das aus der Ökonomie bekannte Modell von Kaldor zur Beschreibung von Konjunkturzyklen mathematisch analysiert auf Grenzzyklen. Es findet eine Verknüpfung zwischen Mathematik und Volkswirtschaftslehre statt. Die Arbeit wurde aufbauend auf ein Seminar mit Vorkenntnissen im Bereich Dynamischer Systeme entworfen.
In der Ökonomie waren Anfang der 1940er Jahre so genannte business cycle modelle in der keynsianistischen Wirtschaftsbetrachtung von Interesse. Während die heutige Makroökonomie aufgrund des Aggregationsproblems eine Mikrofundierung sowie die new keynesians eine Erweiterung in Form der real business cycle theory vornimmt, war die damalige Ansicht diejenige, über derartige Modelle die herrschenden Konjunkturzyklen zu erklären. Für den Nachweis existierender Zyklen in ihren dynamischen Modellen, d.h. periodischer Lösungen in einem nichtlinearen System, konnten sich die Ökonomen später eines sehr bekannten Phänomen aus der Verzweigungstheorie, der Hopf-Verzweigung, bedienen und unter gewissen Bedingungen(bzw. Annahmen an ihre wirtschaftlichen Funktionen in diesen Modellen), über diese Theorie die Existenz jener Zyklen lokal nachweisen.
In dieser Bachelorarbeit möchte ich zunächst den grundlegenden Rahmen der Hopf-Verzweigungstheorie knapp erarbeiten, der u.a. für die Analyse dieser business cycles modelle benötigt wird. Hierbei werde ich die Hopf-Verzweigung in zwei Arten unterteilen und Existenz sowie Stabilitätsaussagen der periodischen Lösung präsentieren und ein Beispiel betrachten.
Im 2. Abschnitt wende ich die bereitgestellte Theorie auf das bekannte business cycle modell von Kaldor an und prüfe, ob ich ohne Kenntnis der im ökonomischen System benötigten wirtschaftlichen Funktionen Aussagen über Existenz und Stabilität eines Zyklusses treffen kann bzw. welche Annahmen hierfür vorgenommen werden müssen. Man kann sich dann fragen, wie diese Funktionen - ökonomisch sinnvoll - gewählt werden können, so dass alle Modellannahmen weiterhin erfüllt sind.
Inhaltsverzeichnis
1. Die Hopf-Verzweigung
1.1 Aufkommen der Hopf-Verzweigung
1.1.1 Ein akademisches Beispiel
1.1.2 Arten der Hopf-Verzweigung
1.2 Existenz & Stabilität periodischer Lösungen bei einer Hopf-Verzweigung
1.2.1 Ein Existenzsatz - der Satz von Hopf
1.2.2 Bestimmung der Verzweigungsrichtung
2. Das Business Cycle Modell von Kaldor
2.1 Ein Business-Cycle-Modell : Das Modell von Kaldor
2.1.1 Modell und seine Annahmen
2.1.2 Existenz einer Hopf-Verzweigung im Kaldor Modell
2.1.3 Stabilität des Zyklus im Kaldor Modell
2.2 Ein konkretes Kaldor Business Cycle Modell
2.2.1 Wahl der Investitions-und Sparfunktionen
2.2.2 Bestimmung des kritischen Parameterwertes
3. Simulation des konkreten Kaldor Modells bei variierendem α
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht die Anwendbarkeit der Hopf-Verzweigungstheorie auf das makroökonomische Business-Cycle-Modell von Kaldor, um die Existenz und Stabilität von Konjunkturzyklen in einem nichtlinearen mathematischen System nachzuweisen.
- Mathematische Grundlagen der Hopf-Verzweigung
- Analyse des Kaldor-Modells hinsichtlich ökonomischer Annahmen
- Herleitung und mathematischer Existenzbeweis von Grenzzyklen
- Computersimulation mittels XPP-AUTO zur Visualisierung des Modellverhaltens
Auszug aus dem Buch
Die Hopf-Verzweigung
Betrachtet werden Dynamische Systeme, die abhängig von einem Parameter sind. Ziel ist es, das (qualitative) Verhalten des Systems in Abhängigkeit des Parameters zu studieren, da Änderungen dieses Parameters zu neuem Verhalten des gegebenen Systems führen können. Hierfür reduziert sich die Betrachtung auf den nichthyperbolischen Fall, da die anderen Fälle für die weitere Arbeit keine Rolle spielen werden. Dabei wird zunächst nur die planare Situation betrachtet ; jedoch sind diese Ergebnisse auch auf höhere Dimensionen übertragbar. Die rechte Seite des zu betrachtenden Systems sei dabei im Folgenden für Abschnitt 1 stets genügend oft differenzierbar, insbesondere auch in der Umgebung der(s) Fixpunkte(s).
Angenommen, die folgende Situation liege vor: x_punkt = f(x, µ) , x ∈ R^2, µ ∈ R und f(0^T, 0) = 0, d.h. ohne Einschränkung sei (0, 0, 0) ein Fixpunkt des Systems. Die Jacobi-Matrix J_f habe die Eigenschaft, dass sie Eigenwerte λ(µ) = α_dach(µ) ± iβ(µ) hat, für die α_dach(0) = 0 und β(0) ≠ 0 gilt. Weiter sei d(α_dach)/dµ (µ)|µ=0 ≠ 0. Dann besitzt das betrachtete System eine Hopf-Verzweigung und (x^0, µ^0) = (0, 0, 0) nennt man den Hopfverzweigungspunkt. Diese Hopf-Verzweigung ist ein Phänomen, welches nur bei nichtlinearen Systemen der Dimension n ≥ 2 erscheint. Anhand eines Prototypbeispiels soll ein Überblick verschafft werden, welche Gestalt eine solche Verzweigung annehmen kann.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Die Hopf-Verzweigung: Dieses Kapitel führt die mathematischen Grundlagen für nichtlineare Systeme ein und definiert die Bedingungen für das Auftreten einer Hopf-Verzweigung sowie die Existenz und Stabilität periodischer Lösungen.
2. Das Business Cycle Modell von Kaldor: Hier wird die Hopf-Verzweigungstheorie auf das ökonomische Kaldor-Modell angewendet, wobei die Existenz von Konjunkturzyklen durch eine mathematische Stabilitätsanalyse nachgewiesen wird.
3. Simulation des konkreten Kaldor Modells bei variierendem α: Dieses Kapitel widmet sich der praktischen Anwendung mittels der Software XPP-AUTO, um die theoretisch hergeleiteten Zyklen bei Variation des Parameters α zu simulieren und zu visualisieren.
Schlüsselwörter
Hopf-Verzweigung, Kaldor-Modell, Konjunkturzyklus, Dynamische Systeme, Grenzzyklus, Stabilitätsanalyse, Business Cycle, Nichtlineare Dynamik, Fixpunkt, ökonomische Modellierung, Parameter α, XPP-AUTO, Investitionsfunktion, Sparfunktion, Bifurkation.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht die mathematische Fundierung von Konjunkturzyklen innerhalb des klassischen ökonomischen Kaldor-Modells unter Verwendung der Hopf-Verzweigungstheorie.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die Arbeit verknüpft makroökonomische Theorien mit der Theorie dynamischer Systeme, insbesondere der qualitativen Analyse von Differentialgleichungen und numerischen Simulationen.
Was ist das primäre Ziel der Forschungsarbeit?
Das Ziel ist es, nachzuweisen, dass das Kaldor-Modell unter bestimmten Bedingungen eine Hopf-Verzweigung aufweist, aus der stabile Konjunkturzyklen hervorgehen.
Welche wissenschaftliche Methode wird zur Analyse verwendet?
Es werden Methoden aus der Theorie der dynamischen Systeme genutzt (z.B. Jacobi-Matrizen, Eigenwertanalyse) sowie computergestützte Simulationen mit dem Programm XPP-AUTO durchgeführt.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Herleitung der Verzweigungsbedingungen und deren Anwendung auf die ökonomischen Funktionen des Kaldor-Modells sowie die anschließende numerische Simulation.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zu den wichtigsten Begriffen gehören Hopf-Verzweigung, Konjunkturzyklus, Stabilitätsanalyse und das Kaldor-Modell.
Wie genau bestimmt der Autor die Stabilität des Zyklus?
Die Stabilität wird durch eine Koordinatentransformation in die Normalform und die Anwendung des Vorzeichentests für den führenden kubischen Koeffizienten bestimmt.
Warum wird für die Simulation das Programm XPP-AUTO gewählt?
XPP-AUTO eignet sich hervorragend, um komplexe nichtlineare Systeme zu visualisieren und durch die integrierte AUTO-Routine automatisiert Verzweigungsdiagramme für verschiedene Parameter zu erstellen.
- Citation du texte
- Christian Summerer (Auteur), 2013, Hopfverzweigung angewendet auf das Kaldor Modell, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/457945
