Diese Facharbeit soll einige mathematische Anwendungen in der Natur anschaulich darstellen und erläutern und darüber hinaus für die Frage sensibilisieren, ob all diese Modelle wirklich korrekt sind und die Vorgänge in der Natur exakt wiedergeben können.
Dass Mathematik uns im Alltag ständig begegnet, dürfte schon jedem Kind aufgefallen sein. Häufig sind es einfachste Dinge wie zum Beispiel die Verzinsung des Guthabens auf einem Konto oder aber das Berechnen von Rabatten beim Schlussverkauf eines Modegeschäftes, die uns immer wieder mit Teilbereichen der Mathematik konfrontieren. In dieser Facharbeit soll es aber nicht um Zinseszins oder Prozentrechnung und auch nicht um die mathematischen Vorgänge in einem Computer oder Handy gehen, sondern vielmehr soll es um mathematische Anwendungen in der Natur und den damit verbundenen Naturwissenschaften gehen. Ein besonderes Augenmerk soll hierbei auf Exponentialfunktionen und auf damit eng verwandten Modellen liegen.
Viele Vorgänge in der Natur werden durch Exponentialfunktionen modelliert. Ob bei der Barometrischen Höhenformel, beim Wachstum einer Bakterienkultur oder aber bei der Radiokarbonmethode, immer können hier vorliegende Fragen durch Exponentialfunktionen geklärt werden. Doch wer sagt denn, dass sich die Natur, die sonst immer als wild und unberechenbar bezeichnet wird, so einfach durch ein mathematisches Modell beschreiben lässt? Kann es nicht möglicherweise sein, dass wir uns von den einfachen Berechnungen durch Exponentialfunktionen verabschieden und unsere Modelle überarbeiten müssen? Um diese umfangreichen Fragen ansatzweisen beantworten zu können werde ich im ersten Teil dieser Facharbeit als Beispiel die Radiokarbonmethode erklären und untersuchen, ob deren Modellierung durch eine Exponentialfunktion überhaupt sinnvoll ist und genaue Ergebnisse liefert.
In einem zweiten Teil werde ich mich dem Goldenen Schnitt und den Fibonacci-Zahlen zuwenden, die beide in einem engen Zusammenhang mit Exponentialfunktionen stehen, und anhand zweier Beispiele erläutern wo und warum in der Natur außerdem Mathematik angewandt wird.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Was sind Exponentialfunktionen?
2.1 Grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion
2.1.1 Verschiebung von Exponentialfunktionen
3 Die Radiokarbonmethode
3.1 Grundlagen
3.1.1 Das Kohlenstoffisotop 14C
3.1.2 Der radioaktive Zerfall
3.1.3 Allgemeine Formel zur Berechnung des Alters mit Hilfe der Radiokarbonmethode
3.2 Rechnung am Beispiel Ötzis
3.3 Analyse der Radiokarbonmethode
3.3.1 Wo könnten mögliche Fehlerquellen liegen?
3.3.2 Der radioaktive Zerfall selbst als Fehlerquelle?
3.3.3 Bedeutung für die Radiokarbonmethode
4 Die Fibonacci-Zahlenfolge und der Goldene Schnitt in Biologie und Chemie
4.1 Der Goldene Schnitt
4.1.1 Der Goldene Winkel bei Pflanzen
4.2 Die Fibonacci-Zahlenfolge
4.2.1 Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt und Exponentialfunktionen
4.2.2 Die Vielfalt ungesättigter Fettsäuren und die Fibonacci Zahlenfolge
5 Zusammenfassung
Zielsetzung & Themen
Die Facharbeit untersucht die Anwendbarkeit mathematischer Modelle, insbesondere von Exponentialfunktionen, auf reale Vorgänge in der Natur. Ziel ist es, zu hinterfragen, ob diese mathematischen Vereinfachungen die komplexen natürlichen Prozesse präzise abbilden oder ob Diskrepanzen zwischen Modell und Wirklichkeit bestehen.
- Mathematische Modellierung natürlicher Vorgänge
- Kritische Analyse der Radiokarbonmethode
- Der Goldene Schnitt und Fibonacci-Zahlen in der Biologie
- Anwendungen in der Chemie am Beispiel ungesättigter Fettsäuren
- Grenzen mathematischer Modelle in der Naturwissenschaft
Auszug aus dem Buch
3.3.2 Der radioaktive Zerfall selbst als Fehlerquelle?
Da der radioaktive Zerfall kein von Menschen „programmierter“ Vorgang ist, sondern natürlicherweise in unserer Umgebung vorkommt, sollte auch dieser und vor allem dessen Modellierung durch eine Exponentialfunktion hinterfragt werden. Möglicherweise ist der Zerfall von C14 viel komplexer und kann gar nicht so einfach durch eine mathematische Funktion beschrieben werden.
Hierzu ein Beispiel:
Die folgende Grafik, die mit Hilfe einer Ionisationskammer erstellt wurde, zeigt als Beispiel den Zerfall von radioaktiven Radon (220Rn). Hierbei wurde der Strom gemessen, der während des Zerfalls entsteht, und von einem Messschreiber über einen Zeitraum von etwa 220 Sekunden aufgezeichnet.
Entgegen der Erwartungen fällt auf, dass es sich bei dem Graphen gar nicht um eine perfekte Exponentialfunktion handelt. Man erkennt zwar, dass es sich bei einem gedachten Ausgleichsgraphen um eine Exponentialfunktion handeln muss, aber dennoch lassen die häufigen Schwankungen darauf schließen, dass der radioaktive Zerfall gar nicht so exakt exponentiell verläuft wie zunächst angenommen.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Einführung in die Thematik der mathematischen Modellierung in der Natur und Darstellung der Fragestellung bezüglich der Exaktheit dieser Modelle.
2 Was sind Exponentialfunktionen?: Definition der Exponentialfunktion und Erläuterung ihrer grundlegenden Eigenschaften sowie der Auswirkungen verschiedener Parameter auf den Graphen.
3 Die Radiokarbonmethode: Detaillierte Untersuchung des radioaktiven Zerfalls von C14 zur Altersbestimmung inklusive einer kritischen Analyse potenzieller Fehlerquellen.
4 Die Fibonacci-Zahlenfolge und der Goldene Schnitt in Biologie und Chemie: Analyse der Bedeutung des Goldenen Schnitts und der Fibonacci-Zahlen in natürlichen Strukturen sowie deren mathematische Beziehung zu Exponentialfunktionen.
5 Zusammenfassung: Reflexion über die Diskrepanz zwischen mathematischen Modellen und der komplexen Realität in der Natur.
Schlüsselwörter
Exponentialfunktionen, Radiokarbonmethode, C14, radioaktiver Zerfall, Ötzi, Fibonacci-Zahlenfolge, Goldener Schnitt, Goldener Winkel, Modellierung, Naturwissenschaften, ungesättigte Fettsäuren, Formel von Binet, Suess-Effekt, Fehleranalyse, Mathematik.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Facharbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht, wie gut mathematische Modelle natürliche Prozesse beschreiben und ob diese Modelle in der Praxis immer exakte Ergebnisse liefern.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die Arbeit fokussiert sich auf die Anwendung von Exponentialfunktionen bei der Radiokarbonmethode sowie auf das Auftreten von Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt in der Biologie und Chemie.
Was ist das primäre Ziel der Forschungsarbeit?
Das Ziel ist es, für die potenzielle Fehleranfälligkeit mathematischer Modelle bei der Beschreibung realer Naturvorgänge zu sensibilisieren und deren Genauigkeit zu hinterfragen.
Welche wissenschaftliche Methode wird zur Analyse verwendet?
Die Arbeit nutzt mathematische Funktionsanalysen, den Vergleich mit empirischen Daten (z.B. Zerfall von Radon) und die theoretische Untersuchung von Wachstums- und Zerfallsprozessen.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Im Hauptteil werden zunächst die Grundlagen der Exponentialfunktion erläutert, danach die Radiokarbonmethode detailliert analysiert und schließlich die Zusammenhänge zwischen Fibonacci-Zahlen, dem Goldenen Schnitt und chemisch-biologischen Strukturen betrachtet.
Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren die Arbeit?
Zu den wichtigsten Begriffen zählen Exponentialfunktionen, Radiokarbonmethode, radioaktiver Zerfall, Fibonacci-Zahlenfolge und Goldener Schnitt.
Warum wird der "Suess-Effekt" in der Arbeit als Störfaktor genannt?
Der Suess-Effekt beschreibt, wie durch die Verbrennung fossiler Brennstoffe die Konzentration an C14 in der Atmosphäre verdünnt wird, was das Alter von Proben bei der Radiokarbondatierung verfälschen kann.
Wie kommen Wissenschaftler auf den Zusammenhang zwischen Fettsäuren und Fibonacci-Zahlen?
Es wurde festgestellt, dass die Anzahl der möglichen Strukturen ungesättigter Fettsäuren bei zunehmender Kettenlänge dem Fibonacci-Wachstum folgt, wobei sich die Anzahl der Varianten mit jedem weiteren Kohlenstoffatom um den Faktor des Goldenen Schnitts erhöht.
Warum ist der radioaktive Zerfall laut der Arbeit nicht "perfekt" exponentiell?
Messungen mittels Ionisationskammern zeigen Schwankungen im Zerfallsprozess, die darauf hindeuten, dass der reale Zerfall nicht in jedem Moment exakt der mathematischen Ideallinie einer Exponentialfunktion folgt.
- Arbeit zitieren
- Jannis Schmeing (Autor:in), 2017, Exponentialfunktionen in den Naturwissenschaften, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/458755
