Exponentialfunktionen in den Naturwissenschaften

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Was sind Exponentialfunktionen?
2.1 Grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion
2.1.1 Verschiebung von Exponentialfunktionen

3 Die Radiokarbonmethode
3.1 Grundlagen
3.1.1 Das Kohlenstoffisotop [14]C
3.1.2 Der radioaktive Zerfall
3.1.3 Allgemeine Formel zur Berechnung des Alters mit Hilfe der Radiokarbonmethode
3.2 Rechnung am Beispiel Ötzis
3.3 Analyse der Radiokarbonmethode
3.3.1 Wo könnten mögliche Fehlerquellen liegen?
3.3.2 Der radioaktive Zerfall selbst als Fehlerquelle?
3.3.3 Bedeutung für die Radiokarbonmethode

4 Die Fibonacci-Zahlenfolge und der Goldene Schnitt in Biologie und Chemie
4.1 Der Goldene Schnitt
4.1.1 Der Goldene Winkel bei Pflanzen
4.2 Die Fibonacci-Zahlenfolge
4.2.1 Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt und Exponentialfunktionen
4.2.2 Die Vielfalt ungesättigter Fettsäuren und die Fibonacci-Zahlenfolge

5 Zusammenfassung

6 Literaturverzeichnis

1 Einleitung

Das Mathematik uns im Alltag ständig begegnet dürfte schon jedem Kind aufgefallen sein. Häufig sind es einfachste Dinge wie zum Beispiel die Verzinsung des Guthabens auf einem Konto oder aber das Berechnen von Rabatten beim Schlussverkauf eines Modegeschäftes, die uns immer wieder mit Teilbereichen der Mathematik konfrontieren. In dieser Facharbeit soll es aber nicht um Zinseszins oder Prozentrechnung und auch nicht um die mathematischen Vorgänge in einem Computer oder Handy gehen, sondern vielmehr soll es um mathematische Anwendungen in der Natur und den damit verbundenen Naturwissenschaften gehen. Ein besonderes Augenmerk soll hierbei auf Exponentialfunktionen und auf damit eng verwandten Modellen liegen.

Viele Vorgänge in der Natur werden durch Exponentialfunktionen modelliert. Ob bei der Barometrischen Höhenformel, beim Wachstum einer Bakterienkultur oder aber bei der Radiokarbonmethode, immer können hier vorliegende Fragen durch Exponentialfunktionen geklärt werden. Doch wer sagt denn, dass sich die Natur, die sonst immer als wild und unberechenbar bezeichnet wird, so einfach durch ein mathematisches Modell beschreiben lässt? Kann es nicht möglicherweise sein, dass wir uns von den einfachen Berechnungen durch Exponentialfunktionen verabschieden und unsere Modelle überarbeiten müssen? Um diese umfangreichen Fragen ansatzweisen beantworten zu können werde ich im ersten Teil dieser Facharbeit als Beispiel die Radiokarbonmethode erklären und untersuchen, ob deren Modellierung durch eine Exponentialfunktion überhaupt sinnvoll ist und genaue Ergebnisse liefert.

In einem zweiten Teil werde ich mich dem Goldenen Schnitt und den Fibonacci-Zahlen zuwenden, die beide in einem engen Zusammenhang mit Exponentialfunktionen stehen, und anhand zweier Beispiele erläutern wo und warum in der Natur außerdem Mathematik angewandt wird.

Die nun folgende Facharbeit soll einige mathematische Anwendungen in der Natur anschaulich darstellen und erläutern und darüber hinaus für die Frage sensibilisieren, ob all diese Modelle wirklich korrekt sind und die Vorgänge in der Natur exakt wiedergeben können.

2 Was sind Exponentialfunktionen?

Exponentialfunktionen sind grundsätzlich Funktionen der Form f(x)=bx . Das heißt, dass bei Exponentialfunktionen immer eine Basis (hier b) zugrunde liegt und der Exponent die Variable (hier x) darstellt. Typische Anwendungen von Exponentialfunktionen sind zum Beispiel die prozentuale Ab- oder Zunahme eines Wertes, wie bei der Verzinsung von Guthaben, oder aber das Wachstum einer Bakterienkultur durch Zellteilung. Hier verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien unter optimalen Bedingungen immer wieder nach einer gewissen Zeit.

2.1 Grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion

Wie schon erwähnt besitzen Exponentialfunktionen grundsätzlich immer eine Basis und einen Exponenten, der die Variable darstellt. Um aber zum Beispiel verschiedene Wachstumsvorgänge modellieren zu können werden weitere Parameter benötigt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Parameter a wird häufig als Streckungsfaktor bezeichnet, denn:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wenn a negativ ist, wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.

Für den Wertebereich W von Exponentialfunktionen gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Somit haben Exponentialfunktionen keine Nullstellen. Sie nähern sich asymptotisch der x-Achse an.

2.1.1 Verschiebung von Exponentialfunktionen

Verschiebung in x-Richtung:

Durch den Parameter c in f(x)=a*bx+c wird eine Verschiebung in x-Richtung erreicht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Wertebereich verändert sich durch diese Verschiebung nicht.

Verschiebung in y-Richtung:

Indem man d als weiteren Parameter addiert wird der Graph in y-Richtung verschoben. Man erhält so die Funktionsgleichung f(x)=a*bx+c+d.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Wertebereich verändert sich somit zu W=]d;∞[ und im Falle einer Verschiebung nach unten kommt eine Nullstelle hinzu.

3 Die Radiokarbonmethode

Ein wichtiges Anwendungsgebiet von Exponentialfunktionen ist die Radiokarbonmethode (auch C14-Methode oder Radiokarbondatierung genannt). Sie bezeichnet eine Berechnung des Alters von (vor allem) organischen Materialien mit Hilfe des radioaktiven Kohlenstoffisotops [14]C, beziehungsweise dessen Verhältnisses zwischen der Konzentration in der Luft und der Konzentration in dem organischen Präparat. So können Proben mit einem Alter von bis zu 60.000 Jahren (s. Quelle 1) sehr genau datiert werden.

3.1 Grundlagen

3.1.1 Das Kohlenstoffisotop [14]C

Neben dem „normalen“ Kohlenstoff, das Isotop [12]C, gibt es unter anderem auch das Isotop [14]C (in dieser Facharbeit der Einfachheit halber meist als „C14“ bezeichnet), welches für die Radiokarbonmethode wichtig ist.

C14 wird in der Atmosphäre durch Kernreaktionen ständig neu gebildet und, da es nicht stabil ist, zerfällt es nach einer gewissen Zeit wieder zu [14]N. Zwischen Bildung und Zerfall stellt sich ein Fließgleichgewicht ein.

Wenn zum Beispiel Pflanzen nun C14 in Form von Kohlenstoffdioxid aufnehmen, beginnt die „Uhr“ zu „ticken“. Jetzt ist das C14 aus dem Kreislauf (Neubildung & Zerfall) entfernt und wenn die Pflanze dann letztendlich abstirbt nimmt die Konzentration im Organismus nur noch nach dem Zerfallsprinzip ab, da ja der Stoffwechsel der Pflanze beendet ist und so kein neues C14 mehr aufgenommen werden kann. Selbstverständlich verteilt sich C14 sehr weit in der Nahrungskette, da zum Beispiel Tiere die Pflanzen mit C14 fressen. (s. Quelle 1)

3.1.2 Der radioaktive Zerfall

Radioaktive Nuklide (sehr häufig Isotope von verschiedensten Stoffen, sowie C14) zerfallen unter Abgabe von Strahlung spontan zu einem anderen Stoff. Dieser Zerfall findet exponentiell statt, sodass sich nach einer bestimmten Zeit, der Halbwertszeit, die von Nuklid zu Nuklid unterschiedlich ist, die Menge des Materials halbiert.

Bei dem Kohlenstoffisotop C14 beträgt die Halbwertszeit 5730 ± 40 Jahre (s. Quelle 2).

3.1.3 Allgemeine Formel zur Berechnung des Alters mit Hilfe der Radiokarbonmethode

Da es sich beim radioaktiven Zerfall um einen exponentiell ablaufenden Vorgang handelt kann zunächst die allgemeine Exponentialfunktion angenommen werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Weil hier eine Abnahme vorliegt, muss das Vorzeichen des Exponenten negativ sein. Außerdem entfallen die Parameter c und d:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

B(0) (Verhältnis von [14]C zu [12]C zum Todeszeitpunkt des Lebewesens) beschreibt den Streckungsfaktor und da sich die Anzahl der C14-Atome immer wieder halbiert, muss b durch 2 ersetzt werden (2 anstatt 0,5, da der Exponent negativ ist).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Exponent ist in diesem Fall t/T1/2. T1/2 ist die Halbwertszeit des Stoffes und t beschreibt die Zeit in Jahren. Und da f(x) das Verhältnis von [14]C zu [12]C in der Probe zum heutigen Zeitpunkt beschreibt, wird geschrieben:

[...]