Multivariates GARCH Modell -BEKK

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Anwendungsbeispiel: Hedge Ratio Berechnung

3 Darstellung vom BEKK-Modell
3.1 Multivariate Modellierung
3.2 BEKK-Modell
3.3 Prüfung der Geeignetheit von multivariaten GARCH Spezifikation

4 Schätzung
4.1 Daten. Test auf Normalverteilung, ARCH-Effekte und Stationarität
4.2 Ergebnisse der BEKK-Schätzung

5 Vergleich der BEKK- und OLS-Hedge Ratios

6 Zusammenfassung

Literaturverzeichnis

Anhang

1 Einleitung

Zur Berücksichtigung der bei Finanzmarktrenditezeitreihen häufig vorhandenen Volatilitätscluster und leptokurtischen Verteilung wurden univariate Modelle: ARCH und GARCH entwickelt. Nachteil von diesen Modellen ist jedoch, dass sie die bei Finanzmarktdaten häufig anzutreffende gegenseitige Einflüße mehrerer Zeitreihen vernachlässigen.^[1]Beispiel für enge Zusammenhänge der Zeitreihen sind Kurse verschiedener Aktien vergleichbarer Firmen. Um diese zu berücksichtigen, wurden univariate GARCH-Spezifikationen auf den multivariaten Fall erweitert. Bei den multivariaten Modellen werden mehrere Prozesse simultan analysiert und die bedingten Varianzen und Kovarianzen verschiedener Prozesse gemeinsam betrachtet. Dies führt zu einer Verbesserung der Modellqualität und damit zu einer besseren Prognose.

Multivariate GARCH-Modelle sind wichtige Hilfsmittel in vielen Anwendungsgebieten der Kapitalmarkttheorie, denn in vielen Gebieten sind kontemporäre Beziehungen der Zeitreihen zu beobachten. Die Schätzungen der bedingten Varianzkovarianzmatrix finden Anwendung in den bedingten Asset Pricing Modellen, in der Portfolio-Optimierung, bei der Erforschung der Zusammenhänge zwischen den Volatilitäten verschiedener Märkte, beim Value at risk, der Bewertung von Optionen, welche mehrere Basiswerte haben und beim Min-Varianz Hedging.^[2]

2 Anwendungsbeispiel: Hedge Ratio Berechnung

Hedge Ratio wird folgendermassen definiert: Einheiten des Gegengeschäftes wie z.B. der Futurekontrakten (short), die pro Einheit der Kassaposition (long) benötigt werden, um das Kursrisiko der Kassaposition möglichst vollständig abzusichern. Das Gegengeschäft sollte so ausgewählt werden, dass es hinsichtlich seiner Art und seines Umfangs die Risiken der Kassaposition weitgehend abdecken kann. Eine perfekte Hedge Ratio von 1 gelingt nur selten, da der Basiswert, die Laufzeit und das Kontraktvolumen bezogen auf die gehaltene Position meistens nicht passend sind, und die Determinanten des Futurepreises schwanken. Ziel des Hedgings ist eine vollständige Absicherung des Kursrisikos^[3], d.h. eine Rendite der gehedgten Position von Null und die Reduzierung der Varianz der Position.^[4] Basierend auf diesem Ziel, wird Hedge Ratio traditionell in der Form vom Verhältnis zwischen der Kovarianz zwischem dem Kassa- und Terminpreis und der Varianz des Terminpreises berechnet: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.^[5]Dies wird mit der Methode der Kleinsten Quadrate (im folgenden OLS-Methode genannt) geschätzt und entspricht der Steigung der Regressionsgerade zwischen Kassa und Future Renditen.^[6]Diese Berechnungsmethode führt jedoch zur verzerrten Schätzung, da sie Heteroskedastizität in den Zeitreihendaten^[7]nicht berücksichtigt.^[8]Die Kovarianzen und Varianzen der Kassa- und Futurepreise sind zeitvariant^[9]und sollten mit den bedingten heteroskedastischen Schocks dargestellt werden. Univariate GARCH Modelle können dazu nicht verwendet, weil die Modellierung der bedingten Kovarianz gemeinsam mit den Varianzen nicht berücksichtigt wird. Um die bedingte Varianz-Kovarianz Matrix zu erstellen und optimale Hedge Ratios zu berechnen, werden multivariate GARCH Modelle verwendet^[10]. Hedge Ratio wird daher bedingt modelliert. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Viele Studien vergleichen die Performance der Hedge Ratios, welche mit den multivariaten GARCH Modellen geschätzt werden, mit den Hedge Ratios, welche mit der OLS-Methode geschätzt werden.^[11] Es wurde eine Reihe von Kriterien vorgeschlagen und angewendet, die beurteilen können, ob ein Hedge erfolgreich, d.h effizient ist.^[12] Da das Ziel des Hedgings die Minimierung der Varianz ist, wird in dieser Arbeit die Varianzreduzierungs-Ratio verwendet^[13]: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Rahmen dieser Arbeit wird zuerst die multivariate Modellierung und das multivariates GARCH-Modell: BEKK dargestellt. Anschliessend werden die Siemens Aktie und der Dax-Index Future mit dem BEKK-Modell geschätzt. Da keine Futures auf Aktien vorhanden sind, finden zum Hedging von Kursrisiken einzelner Aktienwerte Aktienindex-Futures Anwendung^[14]. Voraussetzung ist, dass zwischen der Aktien und dem Aktienindex, der diese Aktie enthält, eine ähnliche Entwicklung besteht. Mit Hilfe des obengenannten VR-Kriteriums wird zum Schluss dieser Arbeit überprüft, ob die Effizienz der BEKK-Hedge-Ratios sich von der Effizienz der OLS-Hedge-Ratios unterscheidet.

3 Darstellung vom BEKK-Modell

3.1 Multivariate Modellierung

Bestandteil multivariater GARCH-Modelle ist ein n-dimensionaler Störprozess Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten eines Regressionsmodells für einen n-dimensionalen Vektor der zu erklärenden Variable Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten=(Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten)`. Die allgemeine Form eines multivariaten GARCH-Modells im Zeitpunkt t-1:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist der bedingte Erwartungswert von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, bedingt auf Informationsmenge Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, die angibt, welche Informationen zum Zeitpunkt t-1 vorliegen. Um die für die multivariate Modelle komplexe Notation nicht weiter zu erschweren, wird in dieser Arbeit der bedingte Erwartungswert auf 0 gesetzt und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten=Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[15]gesetzt^[16].

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenist eine symmetrische positiv (semi) definite bedingte Varianz-Kovarianzmatrix von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Diese Matrix hat als Hauptdiagonalelemente die bedingten Varianzen von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und neben der Hauptdiagonalen die bedingten Kovarianzen von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist multivariat Normalverteilt: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten~Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.^[17]Im mehrdimensionalen Fall ist die Aufteilung des n-dimensionalen Störvektors Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten in die bedingte Varianz Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und einen n-dimensionalen Prozess unabhängig identisch verteilter Größen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenmöglich: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Für die Verteilung des Zufallsvektors Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten kann die multivariate Normalverteilung angenommen werden Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten~Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.^[18]

Der Dreh- und Angelpunkt bei der Modellierung von multivariaten GARCH-Modellen liegt in einer strukturellen Festlegung der bedingten Varianz-Kovarianzmatrix. Bei der Festlegung der Struktur der Varianz-Kovarianzmatrix soll ein Ausgleich zwischen der Realitätsnähe oder der Flexibilität, der restriktiven Bedingungen der Gewährleistung einer positiv definiten Varianz-Kovarianzmatrix und der Reduzierung der Dimensionalität des zu schätzenden Modells erreicht werden.^[19]

In dieser Arbeit wird das BEKK^[20]-Modell betrachtet und geschätzt.^[21]Gründe für die Auswahl dieses Modell sind dessen relativ leichte Gewährleistung einer positiv definiten Varianz-Kovarianzmatrix und dessen Möglichkeit der Schätzung einer zeitvarianten Korrelation. Zudem werden die dynamischen Strukturen der Abhängigkeit der bedingten Varianzen und Kovarianzen einer Zeitreihe von den bedingten Varianzen bzw. Kovarianzen anderer Zeitreihen modelliert, ohne dabei ein Übermaß an Parametern schätzen zu müssen.

3.2 BEKK-Modell

Spezifikation des Modells ist^[22]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Matrix C stellt dabei eine obere Dreiecksmatrix der Dimension N x N dar. Die Matrizen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltensind Parametermatrizen der Dimension N x N. K determiniert die Allgemeinheit des Prozesses. Um die BEKK-Repräsentation eindeutig zu identifizieren, äquivalente Repräsentationen auszuschliessen, müssen die Parametermatrizen spezifiziert werden. Bei K=1 sind die Parameter durch Vorzeichenrestriktionen: positive C, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten identifiziert.^[23]U ist ein Renditevektor (ist gleich dem Störprozessvektor). Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist bedingte Varianz-Kovarianz Matrix. In dieser Arbeit wird ein bivariates Modell für P=Q=K=1 betrachtet-(BEKK (1,1,1)):^[24]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenEs ist unter schwachen Annahmen garantiert, dass die Varianz-Kovarianzmatrix positiv definit ist, da die Terme auf der rechten Seite der Gleichung (1) quadratisch formuliert sind.^[25]Engle und Kroner führen unter der Bedingung von positiv definiten, ursprünglichen Kovarianzmatrizen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für eine positiv definite Matrix Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten die hinreichende Bedingung des vollen Rangs entweder von C oder Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten an.^[26]

Unter Voraussetzung bestimmter Parameterkonstellationen können trotz zeitabhängiger bedingter Varianz-Kovarianzmatrix die unbedingten Momente konstant und der Prozess stationär sein. Der multivariate GARCH-Prozess aus dem BEKK-Modell ist dann kovarianzstationär, wenn alle Eigenwerte von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten einen Betrag kleiner eins haben.^[27]Unbedingte Kovarianzmatrix des BEKK-Modells wird wie folgt definiert:^[28]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In bivariaten BEKK-Modell (1,1,1) sollten 11 Parameter geschätzt werden. Zum Vergleich müssen beim VEC-Modell^[29](1,1,1) im bivariaten Fall 21 Paramenter geschätzt werden. Eine geringere Anzahl von Parametern bedeutet jedoch, dass die funktionalen Beziehungen für die einzelnen bedingten Varianzen und Kovarianzen nicht mehr so allgemein sind wie bei den Vec-Garch-Modellen. Bei entsprechender Wahl von K und der Spezifikation der Parametermatrizen werden mehr positive semidefinite Terme zu der (1) addiert, so dass das BEKK-Modell genügend allgemein gehalten und weniger Restriktionen unterstellt wird. Dabei ergibt sich aber dieselbe Anzahl von Parametern wie in einem vergleichbaren Vec-Modell. Notwendige Bedingung um alle positiv definiten diagonalen VEC-Repräsentationen und die meisten positiv definiten VEC-Repräsentationen eines multivariaten GARCH-Prozesses zu umfassen und die volle Allgemeinheit vom BEKK-Modell zu erreichen^[30]: K soll so hoch sein, so dass die Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten oder Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Matrizen mindestens Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Parameter beinhalten. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Zudem muss eine Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (oderAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) Matrix existieren, die ein nicht negatives Parameterpaar (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) oder (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) für alle i,j,l,m zwischen 1 und n beinhaltet. Bei der Aufstellung der hinreichenden Bedingung^[31], muss berücksichtigt werden, dass bei K>1 im BEKK Modell Identifizierbarkeitprobleme auftreten. Engle und Kroner stellen Bedingungen der vollen Allgemeinheit und Identifizierbarkeit des BEKK –Modells auf: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist eine Matrix mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, und r =1,...,n. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten wird so definiert, dass die ersten r-1 Spalten und die ersten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten- n(r-1)-1 Reihen gleich null gesetzt werden. Diagonalelemente von C und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenmüssen positiv sein. Das gleiche gilt für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Die am häufigsten benutzte Methode zur Schätzung der multivariaten GARCH-Modelle ist die Maximum-Likelihood- (ML) Methode^[32].

[...]

^[1]Vgl. Hamao, Masulis, Ng (1990), S.281

^[2]Vgl. Harris, Stoja, Tucker (2004), S.2; Vgl.Bauwens, Laurent, Rombouts (2003), S.1-2

^[3]spekulative Ziele des Hedgings werden hier nicht betrachtet

^[4]Vgl. Floros, Vougas (2004), S.1

^[5]Vgl.Brooks, Burke, Persand (2003), S.6

^[6]Vgl.Bauwens, Laurent, Rombouts (2003), S.1-2

^[7](Geschätzte) generalisierte Methode der kleinsten Quadrate ((E)GLS) ist vor allem für uerschnittsdaten, nicht für Zeitreihendaten geeignet

^[8]Vgl. Kim, Leuthold (2000),S.1; Vgl. Bell, Krasker (1986), S.34

^[9]Vgl.Bera,Garcia, Roh(1997), S.346-368; Vgl.Kroner, Sultan (1991), S.397-412; Vgl.Longin, Solnik(1995),S.3-26

^[10]Vgl.Watt (1997), S.18; Vgl.Malo,, Kanto (2005), S.8

^[11]Überblick der Literatur dazu unter: Floros,Vougas (2004), S.4

^[12]Überblick der Literatur dazu unter: Floros, Vougas (2004), S.2-3

^[13]Vgl.Park, Switzer (1995), S.131

^[14]Nur das systematische Risiko wird berücksichtigt;Genauere Information über die Absicherung von Aktien mit den Aktienindexfutures und Berechnung der Hedge Ratio dazu ist zu finden unter: Brealey, Myers (2003), S.758-761, 769-770; http://www.deifin.de/fuhedge5.htm; Ableitung der Hedge Ratio unter: In, Kim (2003), S.8-9

^[15]Diese Spezifikation liegt den Schätzungen in JMulTi ebenso zugrunde.

^[16]Bedingungen dazu unter: Bera, Higgins (1993), S. 305 -366; Tse, Tsui (2001),S.4

^[17]Vgl. Engle, Kroner (1995), S.124

^[18]Vgl. Fengler, Herwartz (2002), S.250

^[19]Vgl. Harris, Stoja, Tucker (2004), S.2-3

^[20]Das Akronym BEKK stammt von der gemeinsamen Arbeit von Baba, Engle, Kraft, Kroner (1989)

^[21]Überblick über die multivariate Modelle bei: Brooks, Burke, Persand (2003), S.2

^[22]Vgl. Engle, Kroner(1995), S.127; die exogene Variablen werden hier weiterhin nicht berücksichtigt, um die Gleichungen zu vereinfachen: S.141

^[23]Vgl. Engle, Kroner (1995), S.128

^[24]Vgl. Engle, Kroner, (1995), S.127;

^[25]Vgl. Baur, D.(2002), S.4; Vgl. Malo, Kanto (2005), S.5

^[26]Vgl. Engle, Kroner, (1995),S.131

^[27]Vgl. Engle, Kroner (1995), S.133; ist elementweise Multiplikation zweier Matrizen

^[28]Vgl. Engle, Kroner (1995), S.133; Vech steht für den Operator, der die Elemente des linken unteren Dreieckteils einer symmetrischen Matrix spaltenweise untereinander platziert.

^[29]Vgl. Bollerslev, Engle, Wooldridge (1988), S.119

^[30]Vgl. Engle, Kroner (1995), S.129

^[31]Vgl. Engle, Kroner(1995), S.129-130

^[32]Literatur dazu: Berndt, Hall, Hausman (1974), S. 656ff.; Engle (1982), S. 996f.; Bauwens, Laurent (2002),S.12; Choi (2002), S.5; Hafner, Rombouts (2003),S.1