Diese Arbeit befasst sich mit dem SABR-LIBOR-Market-Modell (SABR-LMM). Das SABR-LMM ist ein Zinsstrukturmodell zur Modellierung von Forward-Raten (oder Swap-Raten) und gilt als die natürliche Erweiterung des SABR- und des klassischen LIBOR oder Swap-Market-Modells. Wir wollen mit Hilfe dieses Modells die Preise von Caps, Floors und Swaptions (also von Standardinstrumenten eines Zinsmarktes) aller Laufzeiten und Strikes, das heißt für das gesamte Volatilitätsoberfläche (Surface), mittels eines einzigen Kalibrierungsvorgangs replizieren. Beide Modelle konnten sich bereits alleinstehend in der Praxis als Marktstandard in ihrem jeweiligen Anwendungsbereich etablieren. Das SABR-Modell wird für Standardinstrumente (Plain Vanilla) verwendet, während das LMM bei komplexeren Strukturen zum Einsatz kommt.
Ziel dieser Arbeit ist die vollständige theoretische Definition, Implementation sowie Kalibrierung des SABR-LMMs. Darüber hinaus soll gezeigt werden, wie dieses Modell zur Bewertung von Plain Vanilla-Zinsderivaten herangezogen wird, welche als Grundlage für die Bewertung und das Hedging von komplexeren Instrumenten dienen. Die Kalibrierung umfasst dabei insbesondere den Volatilitäts- und Korrelationsprozess. Vor allem letzteres ist kein triviales Unterfangen, da die für die Kalibrierung verwendeten Daten nur wenig bis gar keine Informationen über die in der Modellierung benötigten instantanen Korrelationen beinhalten. Die für die Kalibrierung und Anwendung des Modells benötigten Daten sind die Zinsstrukturkurve, die impliziten Cap-Volatilitäten sowie die impliziten Swaption-Volatilitäten am jeweiligen Bewertungsstichtag.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Einführung der grundlegenden Größen
- Tenor-Struktur
- Nullkuponanleihen und Diskontfaktoren
- Forward-Raten und Forward Rate Agreements
- Caps und Floors
- Swap-Raten, Swaps und Swaptions
- Stochastische Prozesse und Martingalmaße
- Brownsche Bewegung
- Martingalmaße und Numéraire
- Das Black-Modell
- Black76-Formel für Caps und Floors
- Black76-Formel für Swaptions
- Vorbereitung der Input-Daten und Bootstrapping der Caplet-Volatilitäten
- Das LIBOR-Market-Modell
- Theorie
- Volatilität
- Korrelation
- Kalibrierung der Prozesse
- Monte-Carlo-Simulation der Forward-Kurve
- Bewertung von Caps und Floors
- Bewertung von Swaptions
- Zusammenfassung
- Das SABR-Modell
- Theorie
- Variation der Modellparameter
- Kalibrierung und Bewertung
- Zusammenfassung
- Das SABR-LIBOR-Market-Modell
- Theorie
- Das Hagan-Modell
- Das Rebonato-Modell
- Das SABR-LMM nach Mercurio und Morini
- Dynamiken unter verschiedenen Martingalmaßen
- Kalibrierung der Prozesse
- Monte-Carlo-Simulation der Forward-Kurve
- Bewertung
- Zusammenfassung
- Anwendung
- Kalibrierungsergebnis
- Monte-Carlo-Simulation
- Fazit
- Ausblick
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit befasst sich mit dem SABR-LIBOR-Market-Modell (SABR-LMM). Das SABR-LMM ist ein Zinsstrukturmodell, das die Preise von Caps, Floors und Swaptions aller Laufzeiten und Strikes durch einen einzigen Kalibrierungsvorgang replizieren soll. Das Ziel dieser Arbeit ist die vollständige theoretische Definition, Implementation und Kalibrierung des SABR-LMMs. Darüber hinaus soll gezeigt werden, wie dieses Modell zur Bewertung von Plain Vanilla-Zinsderivaten herangezogen wird, welche als Grundlage für die Bewertung und das Hedging von komplexeren Instrumenten dienen.
- Theoretische Definition des SABR-LMMs
- Implementierung des SABR-LMMs in Python
- Kalibrierung des SABR-LMMs an Marktdaten
- Bewertung von Caps, Floors und Swaptions im SABR-LMM
- Analyse der Ergebnisse der Kalibrierung und Bewertung
Zusammenfassung der Kapitel
- Einleitung: Einführung der grundlegenden Größen des Zinsmarktes, wie Forward-Raten, Caps, Floors und Swaptions, sowie der theoretischen Konzepte der stochastischen Analyse und Martingalmaße.
- Das LIBOR-Market-Modell: Präsentation des klassischen LIBOR-Market-Modells und seiner theoretischen Grundlagen, einschließlich der Modellierung von Volatilität und Korrelation sowie der Bewertung von Caps und Swaptions.
- Das SABR-Modell: Einführung des SABR-Modells, eines stochastischen Volatilitätsmodells, das die Volatilität als eigenen stochastischen Prozess modelliert und die Abhängigkeit des Volatilitäts-Smiles vom Underlying berücksichtigt.
- Das SABR-LIBOR-Market-Modell: Vorstellung verschiedener Ansätze zur Kombination des SABR- und des LIBOR-Market-Modells, einschließlich einer detaillierten Betrachtung des SABR-LMMs von Mercurio und Morini.
- Anwendung: Demonstration der Implementierung und Kalibrierung des SABR-LMMs von Mercurio und Morini anhand eines Marktdaten-Samples sowie die Durchführung von Monte-Carlo-Simulationen der Forward-Kurve.
Schlüsselwörter
Die Arbeit befasst sich mit Zinsstrukturmodellen, insbesondere dem SABR-LIBOR-Market-Modell. Wichtige Schlüsselwörter sind: SABR-Modell, LIBOR-Market-Modell, stochastische Volatilität, Volatilitäts-Smiles, Volatilitäts-Skews, Kalibrierung, Bewertung, Monte-Carlo-Simulation, Caps, Floors, Swaptions.
- Arbeit zitieren
- Sabri Dali (Autor:in), 2018, Das LIBOR-Market-Modell unter Berücksichtigung stochastischer Volatilitäten, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/494232
