Diese Arbeit befasst sich mit dem SABR-LIBOR-Market-Modell (SABR-LMM). Das SABR-LMM ist ein Zinsstrukturmodell zur Modellierung von Forward-Raten (oder Swap-Raten) und gilt als die natürliche Erweiterung des SABR- und des klassischen LIBOR oder Swap-Market-Modells. Wir wollen mit Hilfe dieses Modells die Preise von Caps, Floors und Swaptions (also von Standardinstrumenten eines Zinsmarktes) aller Laufzeiten und Strikes, das heißt für das gesamte Volatilitätsoberfläche (Surface), mittels eines einzigen Kalibrierungsvorgangs replizieren. Beide Modelle konnten sich bereits alleinstehend in der Praxis als Marktstandard in ihrem jeweiligen Anwendungsbereich etablieren. Das SABR-Modell wird für Standardinstrumente (Plain Vanilla) verwendet, während das LMM bei komplexeren Strukturen zum Einsatz kommt.
Ziel dieser Arbeit ist die vollständige theoretische Definition, Implementation sowie Kalibrierung des SABR-LMMs. Darüber hinaus soll gezeigt werden, wie dieses Modell zur Bewertung von Plain Vanilla-Zinsderivaten herangezogen wird, welche als Grundlage für die Bewertung und das Hedging von komplexeren Instrumenten dienen. Die Kalibrierung umfasst dabei insbesondere den Volatilitäts- und Korrelationsprozess. Vor allem letzteres ist kein triviales Unterfangen, da die für die Kalibrierung verwendeten Daten nur wenig bis gar keine Informationen über die in der Modellierung benötigten instantanen Korrelationen beinhalten. Die für die Kalibrierung und Anwendung des Modells benötigten Daten sind die Zinsstrukturkurve, die impliziten Cap-Volatilitäten sowie die impliziten Swaption-Volatilitäten am jeweiligen Bewertungsstichtag.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Einführung der grundlegenden Größen
1.1.1 Tenor-Struktur
1.1.2 Nullkuponanleihen und Diskontfaktoren
1.1.3 Forward-Raten und Forward Rate Agreements
1.1.4 Caps und Floors
1.1.5 Swap-Raten, Swaps und Swaptions
1.2 Stochastische Prozesse und Martingalmaße
1.2.1 Brownsche Bewegung
1.2.2 Martingalmaße und Numéraire
1.3 Das Black-Modell
1.3.1 Black76-Formel für Caps und Floors
1.3.2 Black76-Formel für Swaptions
1.4 Vorbereitung der Input-Daten und Bootstrapping der Caplet-Volatilitäten
2 Das LIBOR-Market-Modell
2.1 Theorie
2.2 Volatilität
2.3 Korrelation
2.4 Kalibrierung der Prozesse
2.5 Monte-Carlo-Simulation der Forward-Kurve
2.6 Bewertung von Caps und Floors
2.7 Bewertung von Swaptions
2.8 Zusammenfassung
3 Das SABR-Modell
3.1 Theorie
3.2 Variation der Modellparameter
3.3 Kalibrierung und Bewertung
3.4 Zusammenfassung
4 Das SABR-LIBOR-Market-Modell
4.1 Theorie
4.2 Das Hagan-Modell
4.3 Das Rebonato-Modell
4.4 Das SABR-LMM nach Mercurio und Morini
4.4.1 Dynamiken unter verschiedenen Martingalmaßen
4.4.2 Kalibrierung der Prozesse
4.4.3 Monte-Carlo-Simulation der Forward-Kurve
4.4.4 Bewertung
4.5 Zusammenfassung
5 Anwendung
5.1 Kalibrierungsergebnis
5.2 Monte-Carlo-Simulation
5.3 Fazit
6 Ausblick
Zielsetzung & Themen
Das Hauptziel dieser Arbeit ist die vollständige theoretische Definition, Implementierung und Kalibrierung des SABR-LIBOR-Market-Modells (SABR-LMM). Es soll demonstriert werden, wie dieses Modell zur Bewertung von Plain Vanilla-Zinsderivaten eingesetzt wird, welche wiederum als Basis für die Bewertung und das Hedging komplexerer Finanzinstrumente dienen.
- Stochastische Zinsmodellierung und das LIBOR-Market-Modell
- Stochastische Volatilitätsmodellierung mittels SABR-Modell
- Kombination beider Ansätze zum SABR-LIBOR-Market-Modell
- Kalibrierungsprozesse für Volatilität und Korrelation
- Monte-Carlo-Simulation von Zinskurven
Auszug aus dem Buch
1.3 Das Black-Modell
Eine große Revolution in der Modellentwicklung leisteten Black, Scholes und Merton im Jahre 1973 mit der Veröffentlichung ihrer Entwicklung eines Modells für den Kursverlauf von Assetpreisen - das sogenannte Black-Scholes-Merton-Modell (BSM-Modell). Nach diesem maßgebenden Modell verhält sich eine Größe bzw. ein Asset Xt entsprechend einer Brownschen Bewegung, welche wir in 1.2.1 eingeführt haben. Im Rahmen des BSM-Modells ist Xt = St der Kurs einer Aktie, μ die Driftrate und σ die Volatilität des Aktienkurses. In dem hier betrachteten Spezialfall führt dies unter dem Martingalmaß P zu einer unterstellten Dynamik der Form dSt = μStdt + σStdWtP.
Es ist leicht zu erkennen, dass dem Aktienkurs hier eine lognormalverteilte Dynamik unterstellt wird. Diese SDE können wir analytisch lösen. Um jedoch einen ersten Eindruck der unterstellten Dynamik zu erlangen, nutzen wir die Euler-Maruyama Diskretisierung, welche uns auch im späteren Verlauf dieser Arbeit öfter als ein einfaches und solides Hilfsmittel im Umgang mit Modellen bzw. SDE’s dienen wird. Nach dieser Diskretisierung lässt sich 1.3.1 mit St+Δt = St + μ · St · Δt + σ · St · ΔWt entwickeln. Mit (1.3.2) können wir nun St mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen über beliebige Zeiträume modellieren und darauf basierende Bewertungen von etwaigen Instrumenten nach (1.2.2) durchführen.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Einführung in Zinsderivate, die Rolle des LIBOR-Market-Modells und notwendige finanzmathematische Grundlagen.
2 Das LIBOR-Market-Modell: Detaillierte theoretische Herleitung des klassischen LMM, einschließlich Volatilität, Korrelation und Kalibrierungsverfahren.
3 Das SABR-Modell: Analyse des SABR-Modells als stochastisches Volatilitätsmodell zur Abbildung von Volatilitäts-Smiles und -Skews.
4 Das SABR-LIBOR-Market-Modell: Theoretische Synthese von LMM und SABR-Modell zur Erstellung eines Modells mit stochastischer Volatilität für die gesamte Forward-Kurve.
5 Anwendung: Praktische Umsetzung und Kalibrierung des Modells in Python sowie Validierung mittels Monte-Carlo-Simulation.
6 Ausblick: Diskussion von Verbesserungsmöglichkeiten und weiterführenden Ansätzen zur Modelloptimierung.
Schlüsselwörter
SABR-LMM, LIBOR-Market-Modell, stochastische Volatilität, Zinsderivate, Forward-Rate, Monte-Carlo-Simulation, Kalibrierung, Volatilitäts-Smile, Plain Vanilla, Swaptions, Caps, Floors, Finanzmathematik, Zinsstrukturkurve, Arbitragefreiheit
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Masterarbeit?
Die Arbeit befasst sich mit dem SABR-LIBOR-Market-Modell, das die Vorteile des klassischen LIBOR-Market-Modells mit der stochastischen Volatilitätsmodellierung nach dem SABR-Ansatz vereint.
Welche Finanzinstrumente stehen im Fokus?
Der Schwerpunkt liegt auf Zinsderivaten wie Caps, Floors und Swaptions, die als Standardinstrumente am Markt gehandelt werden.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Ziel ist die theoretische Herleitung und Implementierung eines Prototypen, der das SABR-LMM für die Bewertung und Kalibrierung an Marktdaten nutzbar macht.
Welche wissenschaftliche Methode wird primär genutzt?
Es werden stochastische Differentialgleichungen und deren numerische Umsetzung mittels Monte-Carlo-Simulation sowie Approximationsformeln zur effizienten Kalibrierung verwendet.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil umfasst die theoretische Modellbildung, die Erweiterung bestehender Modelle zu einem SABR-LMM-Rahmen sowie die Diskussion verschiedener Ansätze (Rebonato, Hagan, Mercurio & Morini).
Welche Kernthemen prägen die Arbeit?
Die Arbeit fokussiert sich auf die Modellierung der Forward-Kurve, die Kalibrierung von Volatilitäts- und Korrelationsparametern sowie die Handhabung von Volatilitäts-Smiles.
Warum ist das SABR-Modell für die Arbeit relevant?
Das SABR-Modell ist notwendig, da das klassische LIBOR-Market-Modell mit deterministischer Volatilität die am Markt beobachtbaren Volatilitäts-Smiles nicht korrekt abbilden kann.
Was sind die Hauptergebnisse der praktischen Implementierung?
Der Autor zeigt, dass das Modell von Mercurio & Morini aufgrund seiner Komplexitätsreduktion ein effektives Framework für die Kalibrierung bietet, wenngleich Monte-Carlo-Simulationen rechenintensiv bleiben.
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- Sabri Dali (Autor), 2018, Das LIBOR-Market-Modell unter Berücksichtigung stochastischer Volatilitäten, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/494232
