L'objectif de ce travail est de proposer et d'étudier des schémas numériques de type volumes finis adaptés à la simulation de certains problèmes de convection et de diffusion.
La première partie est consacrée àl'étude de la convergence des schémas numériques de type volumes finis. Par la suite, l’auteur analyse trois types de schémas, conservatifs et consistants au sens des volumes finis l'un totalement explicite, le deuxième totalement implicite, puis un nouveau θ- schéma totalement implicite. Après, l’auteur traité et analysé les schémas de type volumes finis explicite, implicite et θ-schéma implicite pour l'équation non linéaire instationnaire mono-dimensionnelle de convection-diffusion, où le terme de convection est approché par un schéma de Godunov décentré amont et le terme de diffusion par une approximation d'ordre 1. Dans la deuxième partie, l’auteur présente la simulation numérique de l'équation de la chaleur, correspondant aux schémas explicite et implicite et Crank-Nicolson, en utilisant langage de programmation matlab pour visualiser les courbes solutions.
Les phénomènes de transport, tels que les transferts de chaleur et de masse, jouent un rôle très important dans la vie humaine. Les gaz et les liquides nous entourent, les flux à l'intérieur de notre corps, et ont une influence profonde sur l'environnement dans lequel nous vivons. Lorsqu'il s'agit du phénomène de transport, on distingue généralement deux processus, la convection et la diffusion.
Inhaltsverzeichnis
- Méthode des Volumes Finis pour les Problèmes de Convection – Diffusion
- Ꮎ Schéma volumes finis pour l'équation de la chaleur linéaire dans le cas unidimensionnel
- Introduction
- Présentation du problème ; Existence et unicité de solution forte
- Méthode des volumes finis - Discrétisation du problème
- Définitions et notations
- Construction de la méthode
- Définitions
- Schéma explicite
- Schéma implicite
- 0 Schéma complétement implicite
- Existence et unicité de la solution discrète
- Résultats de stabilité L∞
- Résultats de convergence
- Conclusion et perspective
- Let BV Stabilité du 0 schéma VF pour une classe d'équations de type convection - diffusion non linéaire le cas monodimensionnel
- Introduction
- Présentation du problème; Existence et unicité de solution faible
- Méthode des volumes finis - Discrétisation du problème
- Notations
- Construction de la méthode
- Définitions
- Schéma explicite
- Schéma implicite
- 0 Schéma complétement implicite
- Existence et unicité de la solution discrète
- Résultats de stabilité
- Stabilité L∞
- Estimation BV
- Résultats de convergence
- Conclusion et perspective
- Convergence de schéma implicite de type volumes finis pour classe d'équations de convection – diffusion linéaire dans le cas multi-dimensionnel R² ou R³
- Introduction
- Présentation du problème ; Existence et unicité de solution faible
- Méthode des volumes finis - Discrétisation du problème
- Définitions et notations
- Construction de la méthode
- Définitions
- Schéma implicite
- Existence et unicité de la solution discrète
- Stabilité L∞
- Résultats de convergence
- Conclusion et conjecture
- Ꮎ Schéma volumes finis pour l'équation de la chaleur linéaire dans le cas unidimensionnel
- Simulations numériques
- Tests numériques dans le cas unidimensionnel
- Introduction
- L'équation de la chaleur
- Tests numériques
- Méthode VF explicite
- Méthode VF implicite
- Méthode VF Crank-Nicolson
- Comparaison des temps d'exécution et de l'erreur L²
- L'instabilité de SVF Explicite
- Conclusion
- Tests numériques dans le cas unidimensionnel
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Der Fokus dieser Arbeit liegt auf der theoretischen Analyse und numerischen Simulation der Methode der Finiten Volumen für Konvektions-Diffusions-Probleme. Die Arbeit untersucht verschiedene Aspekte der Methode, einschließlich ihrer Anwendung auf lineare und nichtlineare Gleichungen sowie ihre Umsetzung in eindimensionaler und mehrdimensionaler Form. Besonderes Augenmerk wird auf die Analyse der Stabilität und Konvergenz der Methode gelegt, sowie auf die Präsentation von Simulationsergebnissen.
- Anwendung der Finiten-Volumen-Methode auf Konvektions-Diffusions-Probleme
- Analyse von Stabilitäts- und Konvergenzeigenschaften der Methode
- Untersuchung der Anwendung der Methode auf lineare und nichtlineare Gleichungen
- Numerische Simulation und Validierung der Methode
- Untersuchung der verschiedenen Schemata (explizit, implizit, Crank-Nicolson)
Zusammenfassung der Kapitel
Das erste Kapitel behandelt die Finiten-Volumen-Methode für lineare Wärmeleitungsgleichungen in eindimensionaler Form. Es werden die Grundlagen der Methode erläutert, einschließlich der Konstruktion des Schemas, der Existenz- und Eindeutigkeit von Lösungen, der Stabilitätsanalyse und der Konvergenz. Das zweite Kapitel erweitert diese Analyse auf eine Klasse nichtlinearer Konvektions-Diffusions-Gleichungen. Es werden die Stabilität und Konvergenz der Methode untersucht, wobei ein besonderer Schwerpunkt auf der BV-Stabilität liegt. Das dritte Kapitel behandelt die Konvergenz der Methode in mehrdimensionaler Form für lineare Konvektions-Diffusions-Gleichungen. Das vierte Kapitel präsentiert eine Reihe von numerischen Simulationen in eindimensionaler Form, um die Methode zu validieren und verschiedene Schemata zu vergleichen.
Schlüsselwörter
Finite-Volumen-Methode, Konvektions-Diffusions-Gleichungen, Stabilität, Konvergenz, numerische Simulation, Matlab, Wärmeleitung, BV-Stabilität, mehrdimensionale Probleme, Crank-Nicolson-Schema.
- Arbeit zitieren
- Abdeslam Koubaa (Autor:in), 2018, La Méthode des Volumes Finis pour les Problèmes de Convection Diffusion, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/496816
